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圓的周長、弧長

圓的周長、弧長


圓周長、弧長(一)

教學(xué)目標(biāo) 

1、初步掌握圓周長、弧長公式;

2、通過弧長公式的推導(dǎo),培養(yǎng)學(xué)生探究新問題的能力;

3、調(diào)動學(xué)生的積極性,培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神;

4、進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力,綜合運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

教學(xué)重點弧長公式.

教學(xué)難點 正確理解弧長公式.

教學(xué)活動設(shè)計:

(一)復(fù)習(xí)(圓周長)

已知⊙O半徑為R,⊙O的周長C是多少?

C=2πR

這里π=3.14159…,這個無限不循環(huán)的小數(shù)叫做圓周率.

由于生產(chǎn)、生活實際中常遇到有關(guān)弧的長度計算,那么怎樣求一段弧的長度呢?

提出新問題:已知⊙O半徑為R,求n°圓心角所對弧長.

(二)探究新問題、歸納結(jié)論

教師組織學(xué)生探討(因為問題并不難,學(xué)生完全可以自己研究得到公式).

研究步驟:

(1)圓周長C=2πR

(2)1°圓心角所對弧長= ;

(3)n°圓心角所對的弧長是1°圓心角所對的弧長的n倍;

(4)n°圓心角所對弧長= .

歸納結(jié)論:若設(shè)⊙O半徑為R, n°圓心角所對弧長l,則

  (弧長公式)

(三)理解公式、區(qū)分概念

教師引導(dǎo)學(xué)生理解:

(1)在應(yīng)用弧長公式 進(jìn)行計算時,要注意公式中n的意義.n表示1°圓心角的倍數(shù),它是不帶單位的;

(2)公式可以理解記憶(即按照上面推導(dǎo)過程記憶);

(3)區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三概念.度數(shù)相等的弧,弧長不一定相等,弧長相等的弧也不一定是等孤,而只有在同圓或等圓中,才可能是等弧.

(四)初步應(yīng)用

例1、已知:如圖,圓環(huán)的外圓周長C1=250cm,內(nèi)圓周長C2=150cm,求圓環(huán)的寬度d (精確到1mm).

分析:(1)圓環(huán)的寬度與同心圓半徑有什么關(guān)系?

(2)已知周長怎樣求半徑?

(學(xué)生獨立完成)

解:設(shè)外圓的半徑為R1,內(nèi)圓的半徑為R2,則

d= .

(cm

例2,彎制管道時,先按中心線計算展直長度,再下料,試計算圖所示管道的展直長度L(單位:mm,精確到1mm)

教師引導(dǎo)學(xué)生把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題,滲透數(shù)學(xué)建模思想.

解:由弧長公式,得

(mm

所要求的展直長度

L (mm

答:管道的展直長度為2970mm.

課堂練習(xí):P176練習(xí)1、4題.

(五)總結(jié)

知識:圓周長、弧長公式;圓周率概念;

能力:探究問題的方法和能力,弧長公式的記憶方法;初步應(yīng)用弧長公式解決問題.

(六)作業(yè)   教材P176練習(xí)2、3;P186習(xí)題3.

圓周長、弧長(二)

教學(xué)目標(biāo) 

1、應(yīng)用圓周長、弧長公式綜合圓的有關(guān)知識解答問題;

2、培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力和數(shù)學(xué)模型的能力;

3、通過應(yīng)用題的教學(xué),向?qū)W生滲透理論聯(lián)系實際的觀點.

教學(xué)重點靈活運用弧長公式解有關(guān)的應(yīng)用題.

教學(xué)難點 建立數(shù)學(xué)模型.

教學(xué)活動設(shè)計:

(一)靈活運用弧長公式

例1、填空:

(1)半徑為3cm,120°的圓心角所對的弧長是_______cm;

(2)已知圓心角為150°,所對的弧長為20π,則圓的半徑為_______;

(3)已知半徑為3,則弧長為π的弧所對的圓心角為_______.

(學(xué)生獨立完成,在弧長公式中l、n、R知二求一.)

答案:(1)2π;(2)24;(3)60°.

說明:使學(xué)生靈活運用公式,為綜合題目作準(zhǔn)備.

練習(xí):P196練習(xí)第1題

(二)綜合應(yīng)用題

例2、如圖,兩個皮帶輪的中心的距離為2.1m,直徑分別為0.65m和0.24m.(1)求皮帶長(保留三個有效數(shù)字);(2)如果小輪每分轉(zhuǎn)750轉(zhuǎn),求大輪每分約轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn).

教師引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型:

分析:(1)皮帶長包括哪幾部分(+DC++AB);

(2)“兩個皮帶輪的中心的距離為2.1m”,給我們解決此題提供了什么數(shù)學(xué)信息?

(3)AB、CD與⊙O1、⊙O2具有什么位置關(guān)系?AB與CD具有什么數(shù)量關(guān)系?根據(jù)是什么?(AB與CD是⊙O1與⊙O2的公切線,AB=CD,根據(jù)的是兩圓外公切線長相等.)

(4)如何求每一部分的長?

這里給學(xué)生考慮的時間和空間,充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.

解:(1)作過切點的半徑O1A、O1D、O2B、O2C,作O2E⊥O1A,垂足為E.

∵O1O2=2.1,

(m)

,∴

∴的長l1 (m).

,  ∴的長(m).

∴皮帶長l=l1+l2+2AB=5.62(m).

(2)設(shè)大輪每分鐘轉(zhuǎn)數(shù)為n,則

(轉(zhuǎn))

答:皮帶長約5.63m,大輪每分鐘約轉(zhuǎn)277轉(zhuǎn).

說明:通過本題滲透數(shù)學(xué)建模思想,弧長公式的應(yīng)用,求兩圓公切線的方法和計算能力.

鞏固練習(xí):P196練習(xí)2、3題.

探究活動

鋼管捆扎問題

已知由若干根鋼管的外直徑均為d,想用一根金屬帶緊密地捆在一起,求金屬帶的長度.

請根據(jù)下列特殊情況,找出規(guī)律,并加以證明.

提示:設(shè)鋼管的根數(shù)為n,金屬帶的長度為Ln如圖:

當(dāng)n=2時,L2=(π+2)d.

當(dāng)n=3時,L3=(π+3)d.

當(dāng)n=4時,L4=(π+4)d.

當(dāng)n=5時,L5=(π+5)d.

當(dāng)n=6時,L6=(π+6)d.

當(dāng)n=7時,L7=(π+6)d.

當(dāng)n=8時,L8=(π+7)d.

猜測:若最外層有n根鋼管,兩兩相鄰接排列成一個向外凸的圈,相鄰兩圓是切,則金屬帶的長度為L=(π+n)d.

證明略.

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