圓的周長、弧長

圓周長、弧長(一)

教學目標 ：

1、初步掌握圓周長、弧長公式；

2、通過弧長公式的推導，培養學生探究新問題的能力；

3、調動學生的積極性，培養學生的鉆研精神;

4、進一步培養學生從實際問題中抽象出數學模型的能力，綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力.

教學重點：弧長公式.

教學難點 ：正確理解弧長公式.

教學活動設計：

（一）復習（圓周長）

已知⊙O半徑為R，⊙O的周長C是多少？

C=2πR

這里π=3.14159…，這個無限不循環的小數叫做圓周率.

由于生產、生活實際中常遇到有關弧的長度計算，那么怎樣求一段弧的長度呢？

提出新問題：已知⊙O半徑為R，求n°圓心角所對弧長.

（二）探究新問題、歸納結論

教師組織學生探討（因為問題并不難，學生完全可以自己研究得到公式）.

研究步驟：

（1）圓周長C=2πR；

（2）1°圓心角所對弧長=；

（3）n°圓心角所對的弧長是1°圓心角所對的弧長的n倍；

（4）n°圓心角所對弧長=.

歸納結論：若設⊙O半徑為R， n°圓心角所對弧長l，則

  （弧長公式）

（三）理解公式、區分概念

教師引導學生理解：

（1）在應用弧長公式 進行計算時，要注意公式中n的意義.n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的；

（2）公式可以理解記憶（即按照上面推導過程記憶）；

（3）區分弧、弧的度數、弧長三概念.度數相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圓或等圓中，才可能是等弧.

（四）初步應用

例1、已知：如圖，圓環的外圓周長C₁=250cm，內圓周長C₂=150cm，求圓環的寬度d (精確到1mm).

分析：（1）圓環的寬度與同心圓半徑有什么關系？

（2）已知周長怎樣求半徑？

（學生獨立完成）

解：設外圓的半徑為R₁，內圓的半徑為R₂，則

d= .

∵ ， ，

∴ （cm）

例2，彎制管道時，先按中心線計算展直長度，再下料，試計算圖所示管道的展直長度L(單位：mm，精確到1mm)

教師引導學生把實際問題抽象成數學問題，滲透數學建模思想.

解：由弧長公式，得

（mm）

所要求的展直長度

L （mm）

答：管道的展直長度為2970mm.

課堂練習：P176練習1、4題.

（五）總結

知識：圓周長、弧長公式；圓周率概念；

能力：探究問題的方法和能力，弧長公式的記憶方法；初步應用弧長公式解決問題.

（六）作業   教材P176練習2、3；P186習題3.

圓周長、弧長(二)

教學目標 ：

1、應用圓周長、弧長公式綜合圓的有關知識解答問題；

2、培養學生綜合運用知識的能力和數學模型的能力；

3、通過應用題的教學，向學生滲透理論聯系實際的觀點.

教學重點：靈活運用弧長公式解有關的應用題.

教學難點 ：建立數學模型.

教學活動設計：

（一）靈活運用弧長公式

例1、填空：

（1）半徑為3cm，120°的圓心角所對的弧長是_______cm；

（2）已知圓心角為150°，所對的弧長為20π，則圓的半徑為_______；

（3）已知半徑為3，則弧長為π的弧所對的圓心角為_______.

（學生獨立完成，在弧長公式中l、n、R知二求一.）

答案：（1）2π；（2）24；（3）60°.

說明：使學生靈活運用公式，為綜合題目作準備.

練習：P196練習第1題

（二）綜合應用題

例2、如圖，兩個皮帶輪的中心的距離為2.1m，直徑分別為0.65m和0.24m.(1)求皮帶長(保留三個有效數字)；(2)如果小輪每分轉750轉，求大輪每分約轉多少轉.

教師引導學生建立數學模型：

分析：（1）皮帶長包括哪幾部分（+DC++AB）；

（2）“兩個皮帶輪的中心的距離為2.1m”，給我們解決此題提供了什么數學信息？

（3）AB、CD與⊙O₁、⊙O₂具有什么位置關系？AB與CD具有什么數量關系？根據是什么？（AB與CD是⊙O₁與⊙O₂的公切線，AB=CD，根據的是兩圓外公切線長相等.）

（4）如何求每一部分的長？

這里給學生考慮的時間和空間，充分發揮學生的主體作用.

解：(1)作過切點的半徑O₁A、O₁D、O₂B、O₂C，作O₂E⊥O₁A，垂足為E.

∵O₁O₂=2.1， ， ，

∴ ，

∴ （m）

∵ ，∴ ，

∴的長l₁ （m）.

∵，  ∴的長（m）.

∴皮帶長l=l₁+l₂+2AB=5.62（m）.

（2）設大輪每分鐘轉數為n，則

， （轉）

答：皮帶長約5.63m，大輪每分鐘約轉277轉.

說明：通過本題滲透數學建模思想，弧長公式的應用，求兩圓公切線的方法和計算能力.

鞏固練習：P196練習2、3題.

探究活動

鋼管捆扎問題

已知由若干根鋼管的外直徑均為d，想用一根金屬帶緊密地捆在一起，求金屬帶的長度.

請根據下列特殊情況，找出規律，并加以證明.

提示：設鋼管的根數為n，金屬帶的長度為Ln如圖：

當n=2時，L₂=（π+2）d.

當n=3時，L₃=（π+3）d.

當n=4時，L₄=（π+4）d.

當n=5時，L₅=（π+5）d.

當n=6時，L₆=（π+6）d.

當n=7時，L₇=（π+6）d.

當n=8時，L₈=（π+7）d.

猜測：若最外層有n根鋼管，兩兩相鄰接排列成一個向外凸的圈，相鄰兩圓是切，則金屬帶的長度為L=（π+n）d.

證明略.