解直角三角形

教學(xué)建議

1.知識(shí)結(jié)構(gòu)：

本小節(jié)主要學(xué)習(xí)的概念，直角三角形中除直角外的五個(gè)元素之間的關(guān)系以及直角三角形的解法.

2.重點(diǎn)和難點(diǎn)分析：

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：直角三角形的解法.

本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是直角三角形的解法.為了使學(xué)生熟練掌握直角三角形的解法，首先要使學(xué)生知道什么叫做，直角三角形中三邊之間的關(guān)系，兩銳角之間的關(guān)系，邊角之間的關(guān)系.正確選用這些關(guān)系，是正確、迅速地的關(guān)鍵.

3. 深刻認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)的定義，理解三角函數(shù)的表達(dá)式向方程的轉(zhuǎn)化.

銳角三角函數(shù)的定義：

實(shí)際上分別給了三個(gè)量的關(guān)系：a、b、c是邊的長(zhǎng)、和是由用不同方式來(lái)決定的三角函數(shù)值，它們都是實(shí)數(shù)，但它與代數(shù)式的不同點(diǎn)在于三角函數(shù)的值是有一個(gè)銳角的數(shù)值參與其中.

當(dāng)這三個(gè)實(shí)數(shù)中有兩個(gè)是已知數(shù)時(shí)，它就轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元方程，解這個(gè)方程，就求出了一個(gè)直角三角形的未知的元素.

如：已知直角三角形ABC中，，求BC邊的長(zhǎng).

畫出圖形，可知邊AC，BC和三個(gè)元素的關(guān)系是正切函數(shù)（或余切函數(shù)）的定義給出的，所以有等式

，

由于，它實(shí)際上已經(jīng)轉(zhuǎn)化了以BC為未知數(shù)的代數(shù)方程，解這個(gè)方程，得

.

即得BC的長(zhǎng)為.

又如，已知直角三角形斜邊的長(zhǎng)為35.42cm，一條直角邊的長(zhǎng)29.17cm，求另一條邊所對(duì)的銳角的大小.

畫出圖形，可設(shè)中，，于是，求的大小時(shí)，涉及的三個(gè)元素的關(guān)系是

也就是

這時(shí)，就把以為未知數(shù)的代數(shù)方程轉(zhuǎn)化為了以為未知數(shù)的方程，經(jīng)查三角函數(shù)表，得

.

由此看來(lái)，表達(dá)三角函數(shù)的定義的4個(gè)等式，可以轉(zhuǎn)化為求邊長(zhǎng)的方程，也可以轉(zhuǎn)化為求角的方程，所以成為解三角形的重要工具.

4. 直角三角形的解法可以歸納為以下4種，列表如下：

5. 注意非直角三角形問(wèn)題向直角三角形問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

由上述（3）可以看到，只要已知條件適當(dāng)，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不僅使直角三角形的計(jì)算問(wèn)題得到徹底的解決，而且給非直角三角形圖形問(wèn)題的解決鋪平了道路.不難想到，只要能把非直角三角形的圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題，就可以通過(guò)而獲得解決.請(qǐng)看下例.

例如，在銳角三角形ABC中，，求這個(gè)三角形的未知的邊和未知的角（如圖）

這是一個(gè)銳角三角形的解法的問(wèn)題，我們只需作出BC邊上的高（想一想：作其它邊上的高為什么不好.），問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)的問(wèn)題.

在Rt中，有兩個(gè)獨(dú)立的條件，具備求解的條件，而在Rt中，只有已知條件，暫時(shí)不具備求解的條件，但高AD可由解時(shí)求出，那時(shí)，它也將轉(zhuǎn)化為可解的直角三角形，問(wèn)題就迎刃而解了.解法如下：

解：作于D，在Rt中，有

；

又，在Rt中，有

∴

又，

∴ 

于是，有

由此可知，掌握非直角三角形的圖形向直角三角形轉(zhuǎn)化的途徑和方法是十分重要的，如

（1）作高線可以把銳角三角形或鈍角三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形.

（2）作高線可以把平行四邊形、梯形轉(zhuǎn)化為含直角三角形的圖形.

（3）連結(jié)對(duì)角線，可以把矩形、菱形和正方形轉(zhuǎn)化為含直角三角形的圖形.

（4）如圖，等腰三角形AOB是正n邊形的n分之一.作它的底邊上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半徑，OM是邊心距，AB是邊長(zhǎng)的一半，銳角.

6. 要善于把某些實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為問(wèn)題.

很多實(shí)際問(wèn)題都可以歸結(jié)為圖形的計(jì)算問(wèn)題，而圖形計(jì)算問(wèn)題又可以歸結(jié)為問(wèn)題.

我們知道，機(jī)器上用的螺絲釘問(wèn)題可以看作計(jì)算問(wèn)題，而圓柱的側(cè)面可以看作是長(zhǎng)方形圍成的（如圖）.螺紋是以一定的角度旋轉(zhuǎn)上升，使得螺絲旋轉(zhuǎn)時(shí)向前推進(jìn)，問(wèn)直徑是6mm的螺絲釘，若每轉(zhuǎn)一圈向前推進(jìn)1.25mm，螺紋的初始角應(yīng)是多少度多少分？

據(jù)題意，螺紋轉(zhuǎn)一周時(shí)，把側(cè)面展開(kāi)可以看作一個(gè)直角三角形，直角邊AC的長(zhǎng)為

，

另一條直角邊為螺釘推進(jìn)的距離，所以

，

設(shè)螺紋初始角為，則在Rt中，有

∴.

即，螺紋的初始角約為 .

這個(gè)例子說(shuō)明，生產(chǎn)和生活中有很多實(shí)際問(wèn)題都可以抽象為一個(gè)問(wèn)題，我們應(yīng)當(dāng)注意培養(yǎng)這種把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活的意識(shí)和能力.

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