平行四邊形及其性質(zhì) —— 初中數(shù)學(xué)第二冊(cè)教案

平行四邊形及其性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo) 

1、知識(shí)目標(biāo)

（1）使學(xué)生掌握平行四邊形的概念，理解兩條平行線間的距離的概念。

（2）掌握平行四邊形的性質(zhì)定理1、2，并能運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的證明或計(jì)算.

2、能力目標(biāo)

(1)通過啟發(fā)、引導(dǎo)，讓學(xué)生猜想結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和猜想能力。

(2)驗(yàn)證猜想結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的論證和邏輯思維能力。

(3)通過開放式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。

3、非智力目標(biāo)

滲透從具體到抽象、化未知為已知的數(shù)學(xué)思想及事物之間相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點(diǎn).

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：平行四邊形的概念及其性質(zhì).

難點(diǎn)：正確理解兩條平行線間的距離的概念和性質(zhì)定理2的推論。

平行四邊形的概念及性質(zhì)的靈活運(yùn)用

教學(xué)方法：講解、分析、轉(zhuǎn)化

教學(xué)過程 設(shè)計(jì)

一、利用分類、特殊化的方法引出平行四邊形的概念

1.復(fù)習(xí)四邊形的知識(shí).

(1)引導(dǎo)學(xué)生畫任意凸四邊形，指出它的主要元素——頂點(diǎn)、邊、角、對(duì)角線的性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)對(duì)角線的作用：將四邊形分割化歸為三角形來研究.

(2)將四邊形的邊角按位置關(guān)系分為兩類：

教學(xué)時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形，讓學(xué)生識(shí)別清楚，并注意與三角形中角的對(duì)邊、邊的對(duì)角及第一章中的鄰角相區(qū)別.

2.教師提問：四邊形中的兩組對(duì)邊按位置關(guān)系分為幾種情況？

引導(dǎo)學(xué)生畫圖回答，并出示投影片顯示四邊形與特殊四邊形的關(guān)系，如圖4－11.

3.對(duì)比引出平行四邊形的概念.

(1)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖4－11，敘述平行四邊形的概念，引出課題.

(2)注意它與梯形的對(duì)比，及它與四邊形的特殊與一般的關(guān)系：平行四邊形是特殊的四邊形，因此它具有四邊形的一切性質(zhì)(共性).同時(shí)它還具有一般四邊形不具備的特殊性質(zhì)(個(gè)性).

(3)強(qiáng)調(diào)定義既是平行四邊形的一個(gè)判定方法，同時(shí)又是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì).

(4)介紹平行四邊形的符號(hào)表示及定義的使用方法：如圖4－12.

①∵ ABCD，∴AD∥BC，AB∥CD.(平行四邊形的定義)

②∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.(平行四邊形的定義)

練習(xí)1(投影)

如圖4－13，DC∥EF∥AB，DA∥GH∥CB，圖中的平行四邊形共有__個(gè)，它們是__.

二、探索平行四邊形的性質(zhì)并證明

1.探索性質(zhì).

啟發(fā)學(xué)生從平行四邊形的主要元素——邊、角、對(duì)角線的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系入手，來觀察、探索、猜想平行四邊形的特有的性質(zhì)如下：

(3)對(duì)角線

⑤對(duì)角線互相平分(性質(zhì)定理3)

教師注意解釋并強(qiáng)調(diào)對(duì)角線互相平分的含義及表示方法.

2.利用化歸的方法對(duì)性質(zhì)逐一進(jìn)行證明.

(1)由平行四邊形的定義及平行線的性質(zhì)很快證出性質(zhì)①，④，③.

(2)啟發(fā)學(xué)生添加一條或兩條對(duì)角線，將四邊形分割、化歸為三角形；利用全等三角形的知識(shí)證出性質(zhì)②，⑤.

(3)寫出證明過程.

3.關(guān)于“兩條平行線間的平行線段和距離”的教學(xué).

(1)利用性質(zhì)定理2

導(dǎo)出推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等.

①提問：在圖4－14中，l1∥l2，AB∥CD，那么AB，CD的數(shù)量有何關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)平行四邊形的定義和性質(zhì)進(jìn)行證明.

②引導(dǎo)學(xué)生用語言簡(jiǎn)練地?cái)⑹鰣D4－14所反映的幾何命題，并強(qiáng)調(diào)它的作用.證題時(shí)可節(jié)省步驟，省掉判定平行四邊形這一步，直接得到夾在兩條平行線間的平行線段相等.

③強(qiáng)調(diào)推論中的條件：“夾”、“平行線間”、“平行線段”的含義和重要性，并做一組辨析練習(xí).

練習(xí)2

(投影)如圖4－15，判斷下列幾組圖形能否體現(xiàn)推論所代表的含義.

(2)根據(jù)圖4－15(d)引出兩條平行線的距離的概念，并通過練習(xí)區(qū)別三個(gè)距離.

練習(xí)3

在圖4－15(d)中，

①點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離是線段__的長(zhǎng)；

②點(diǎn)A到直線l2的距離是線段__的長(zhǎng)；

③兩條平行線l1與l2的距離是線段__或__的長(zhǎng)；

④由推論可得：兩條平行線間的距離__.

三、平行四邊形的定義及性質(zhì)的應(yīng)用

1.計(jì)算.

例1填空.

(1)在 ABCD中，AB＝a，BC＝b，∠A＝50°，則 ABCD的周長(zhǎng)為__，∠B＝__，∠C＝__，∠D＝__；

(2)在 ABCD中：①∠A∶∠B＝5∶4，則∠A＝__；②∠A＋∠C＝200°，則∠A＝___，∠B＝__；

(3)已知平行四邊形周長(zhǎng)為54，兩鄰邊之比為4∶5，則這兩邊長(zhǎng)度分別為__；

(4)已知 ABCD對(duì)角線交點(diǎn)為O，AC＝24mm，BD＝26mm，①若AD＝22mm，則△OBC周長(zhǎng)為__；②若AB⊥AC，則△OBC比△OAB的周長(zhǎng)大___；

(5)在 ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°，S ABCD＝__；

說明：通過此題讓學(xué)生熟悉平行四邊形的性質(zhì)，會(huì)用它及方程的思想進(jìn)行計(jì)算，并復(fù)習(xí)平行四邊形的面積公式.

2.證明.

例2 已知：如圖4－16， ABCD中，E，F分別為BC，AD上的點(diǎn)，AE∥CF.求證(1)BE＝DF；(2)EF過BD的中點(diǎn).

分析：

(1)盡量利用平行四邊形的定義和性質(zhì)，避免證三角形全等.

(2)考慮特殊化情形.在 ABCD中，若E，F在BC，AD上運(yùn)動(dòng)到如下位置：AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，求證BE＝DF.在題目的變化與聯(lián)系中靈活選用性質(zhì)來解題.

例3已知：如圖4－17，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC.求證：(1)∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；(2)△ABC的頂點(diǎn)分別是△B′C′A′各邊的中點(diǎn).

著重引導(dǎo)學(xué)生先分解基本圖形，圖中有3個(gè)平行四邊形： C′BCA， ABCB′， ABA′C，分別利用對(duì)角相等和對(duì)邊相等的性質(zhì)使問題得到證明.對(duì)于第(2)問也可用“夾在兩條平行線間的平行線段相等”來證明.

例4 已知：如圖4－18(a)， ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O與AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F.求證：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF.

分析：

(1)引導(dǎo)學(xué)生證明以OE，OF為邊的兩個(gè)三角形全等，如證△AOE≌△COF或證△BOE≌△DOF.

(2)根據(jù)學(xué)生實(shí)際，對(duì)圖4－18(a)可作適當(dāng)引申，如圖4－18(b)，(c)，(d)，并歸納結(jié)論如下：過平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)作直線交對(duì)邊或?qū)�邊的延長(zhǎng)線，所得對(duì)應(yīng)線段相等.

(3)圖4－18是一組重要的基本圖形，熟悉它的性質(zhì)對(duì)解答復(fù)雜問題是很有幫助的.

3.供選用例題.

(1)從平行四邊形的一個(gè)銳角頂點(diǎn)作平行四邊形的兩條高線.如果這兩條高線的夾角為135°，則這個(gè)平行四邊形相鄰兩內(nèi)角的度數(shù)為__；若高線分別為1cm和2cm，則平行四邊形的周長(zhǎng)為__，面積為___；若兩條高線夾角為120°呢？

(2)如圖4－19，在△ABC中，AD平分∠BAC，過D作DE∥AC交AB于E，過E作EF∥DC交AC于F.求證：AE＝FC.

(3)如圖4－20，在 ABCD中，AD＝2AB，將AB向兩方延長(zhǎng)，使AE＝BF＝AB.求證：EC⊥FD.

四、師生共同小結(jié)

1.平行四邊形與四邊形的關(guān)系.

2.學(xué)習(xí)了平行四邊形哪些方面的性質(zhì)？

3.兩條平行線的距離是怎樣定義的？有什么性質(zhì)？

五、作業(yè) 

課本第143頁第2，3，4，5，6題.

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

本教學(xué)設(shè)計(jì)需2課時(shí)完成.

這節(jié)內(nèi)容分2課時(shí).第1課時(shí)在復(fù)習(xí)四邊形的有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，用對(duì)比的方式引入平行四邊形的概念，充分體現(xiàn)了平行四邊形在四邊形體系中的地位，然后，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面探索平行四邊形的性質(zhì)，使知識(shí)更加系統(tǒng)，更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，而且突出了第1課時(shí)的重點(diǎn)，同時(shí)更能培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探求知識(shí)的精神和思維的條理性.第2課時(shí)重點(diǎn)應(yīng)用平行四邊形的定義、性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明，教師注意讓學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，加強(qiáng)對(duì)解題思路的分析，解題思想方法的概括、指導(dǎo)和結(jié)論的升華.

平行四邊形及其性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo) 

1、知識(shí)目標(biāo)

（1）使學(xué)生掌握平行四邊形的概念，理解兩條平行線間的距離的概念。

（2）掌握平行四邊形的性質(zhì)定理1、2，并能運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的證明或計(jì)算.

2、能力目標(biāo)

(1)通過啟發(fā)、引導(dǎo)，讓學(xué)生猜想結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和猜想能力。

(2)驗(yàn)證猜想結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的論證和邏輯思維能力。

(3)通過開放式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。

3、非智力目標(biāo)

滲透從具體到抽象、化未知為已知的數(shù)學(xué)思想及事物之間相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點(diǎn).

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：平行四邊形的概念及其性質(zhì).

難點(diǎn)：正確理解兩條平行線間的距離的概念和性質(zhì)定理2的推論。

平行四邊形的概念及性質(zhì)的靈活運(yùn)用

教學(xué)方法：講解、分析、轉(zhuǎn)化

教學(xué)過程 設(shè)計(jì)

一、利用分類、特殊化的方法引出平行四邊形的概念

1.復(fù)習(xí)四邊形的知識(shí).

(1)引導(dǎo)學(xué)生畫任意凸四邊形，指出它的主要元素——頂點(diǎn)、邊、角、對(duì)角線的性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)對(duì)角線的作用：將四邊形分割化歸為三角形來研究.

(2)將四邊形的邊角按位置關(guān)系分為兩類：

教學(xué)時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形，讓學(xué)生識(shí)別清楚，并注意與三角形中角的對(duì)邊、邊的對(duì)角及第一章中的鄰角相區(qū)別.

2.教師提問：四邊形中的兩組對(duì)邊按位置關(guān)系分為幾種情況？

引導(dǎo)學(xué)生畫圖回答，并出示投影片顯示四邊形與特殊四邊形的關(guān)系，如圖4－11.

3.對(duì)比引出平行四邊形的概念.

(1)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖4－11，敘述平行四邊形的概念，引出課題.

(2)注意它與梯形的對(duì)比，及它與四邊形的特殊與一般的關(guān)系：平行四邊形是特殊的四邊形，因此它具有四邊形的一切性質(zhì)(共性).同時(shí)它還具有一般四邊形不具備的特殊性質(zhì)(個(gè)性).

(3)強(qiáng)調(diào)定義既是平行四邊形的一個(gè)判定方法，同時(shí)又是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì).

(4)介紹平行四邊形的符號(hào)表示及定義的使用方法：如圖4－12.

①∵ ABCD，∴AD∥BC，AB∥CD.(平行四邊形的定義)

②∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.(平行四邊形的定義)

練習(xí)1(投影)

如圖4－13，DC∥EF∥AB，DA∥GH∥CB，圖中的平行四邊形共有__個(gè)，它們是__.

二、探索平行四邊形的性質(zhì)并證明

1.探索性質(zhì).

啟發(fā)學(xué)生從平行四邊形的主要元素——邊、角、對(duì)角線的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系入手，來觀察、探索、猜想平行四邊形的特有的性質(zhì)如下：

(3)對(duì)角線

⑤對(duì)角線互相平分(性質(zhì)定理3)

教師注意解釋并強(qiáng)調(diào)對(duì)角線互相平分的含義及表示方法.

2.利用化歸的方法對(duì)性質(zhì)逐一進(jìn)行證明.

(1)由平行四邊形的定義及平行線的性質(zhì)很快證出性質(zhì)①，④，③.

(2)啟發(fā)學(xué)生添加一條或兩條對(duì)角線，將四邊形分割、化歸為三角形；利用全等三角形的知識(shí)證出性質(zhì)②，⑤.

(3)寫出證明過程.

3.關(guān)于“兩條平行線間的平行線段和距離”的教學(xué).

(1)利用性質(zhì)定理2

導(dǎo)出推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等.

①提問：在圖4－14中，l1∥l2，AB∥CD，那么AB，CD的數(shù)量有何關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)平行四邊形的定義和性質(zhì)進(jìn)行證明.

②引導(dǎo)學(xué)生用語言簡(jiǎn)練地?cái)⑹鰣D4－14所反映的幾何命題，并強(qiáng)調(diào)它的作用.證題時(shí)可節(jié)省步驟，省掉判定平行四邊形這一步，直接得到夾在兩條平行線間的平行線段相等.

③強(qiáng)調(diào)推論中的條件：“夾”、“平行線間”、“平行線段”的含義和重要性，并做一組辨析練習(xí).

練習(xí)2

(投影)如圖4－15，判斷下列幾組圖形能否體現(xiàn)推論所代表的含義.

(2)根據(jù)圖4－15(d)引出兩條平行線的距離的概念，并通過練習(xí)區(qū)別三個(gè)距離.

練習(xí)3

在圖4－15(d)中，

①點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離是線段__的長(zhǎng)；

②點(diǎn)A到直線l2的距離是線段__的長(zhǎng)；

③兩條平行線l1與l2的距離是線段__或__的長(zhǎng)；

④由推論可得：兩條平行線間的距離__.

三、平行四邊形的定義及性質(zhì)的應(yīng)用

1.計(jì)算.

例1填空.

(1)在 ABCD中，AB＝a，BC＝b，∠A＝50°，則 ABCD的周長(zhǎng)為__，∠B＝__，∠C＝__，∠D＝__；

(2)在 ABCD中：①∠A∶∠B＝5∶4，則∠A＝__；②∠A＋∠C＝200°，則∠A＝___，∠B＝__；

(3)已知平行四邊形周長(zhǎng)為54，兩鄰邊之比為4∶5，則這兩邊長(zhǎng)度分別為__；

(4)已知 ABCD對(duì)角線交點(diǎn)為O，AC＝24mm，BD＝26mm，①若AD＝22mm，則△OBC周長(zhǎng)為__；②若AB⊥AC，則△OBC比△OAB的周長(zhǎng)大___；

(5)在 ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°，S ABCD＝__；

說明：通過此題讓學(xué)生熟悉平行四邊形的性質(zhì)，會(huì)用它及方程的思想進(jìn)行計(jì)算，并復(fù)習(xí)平行四邊形的面積公式.

2.證明.

例2 已知：如圖4－16， ABCD中，E，F分別為BC，AD上的點(diǎn)，AE∥CF.求證(1)BE＝DF；(2)EF過BD的中點(diǎn).

分析：

(1)盡量利用平行四邊形的定義和性質(zhì)，避免證三角形全等.

(2)考慮特殊化情形.在 ABCD中，若E，F在BC，AD上運(yùn)動(dòng)到如下位置：AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，求證BE＝DF.在題目的變化與聯(lián)系中靈活選用性質(zhì)來解題.

例3已知：如圖4－17，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC.求證：(1)∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；(2)△ABC的頂點(diǎn)分別是△B′C′A′各邊的中點(diǎn).

著重引導(dǎo)學(xué)生先分解基本圖形，圖中有3個(gè)平行四邊形： C′BCA， ABCB′， ABA′C，分別利用對(duì)角相等和對(duì)邊相等的性質(zhì)使問題得到證明.對(duì)于第(2)問也可用“夾在兩條平行線間的平行線段相等”來證明.

例4 已知：如圖4－18(a)， ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O與AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F.求證：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF.

分析：

(1)引導(dǎo)學(xué)生證明以OE，OF為邊的兩個(gè)三角形全等，如證△AOE≌△COF或證△BOE≌△DOF.

(2)根據(jù)學(xué)生實(shí)際，對(duì)圖4－18(a)可作適當(dāng)引申，如圖4－18(b)，(c)，(d)，并歸納結(jié)論如下：過平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)作直線交對(duì)邊或?qū)�邊的延長(zhǎng)線，所得對(duì)應(yīng)線段相等.

(3)圖4－18是一組重要的基本圖形，熟悉它的性質(zhì)對(duì)解答復(fù)雜問題是很有幫助的.

3.供選用例題.

(1)從平行四邊形的一個(gè)銳角頂點(diǎn)作平行四邊形的兩條高線.如果這兩條高線的夾角為135°，則這個(gè)平行四邊形相鄰兩內(nèi)角的度數(shù)為__；若高線分別為1cm和2cm，則平行四邊形的周長(zhǎng)為__，面積為___；若兩條高線夾角為120°呢？

(2)如圖4－19，在△ABC中，AD平分∠BAC，過D作DE∥AC交AB于E，過E作EF∥DC交AC于F.求證：AE＝FC.

(3)如圖4－20，在 ABCD中，AD＝2AB，將AB向兩方延長(zhǎng)，使AE＝BF＝AB.求證：EC⊥FD.

四、師生共同小結(jié)

1.平行四邊形與四邊形的關(guān)系.

2.學(xué)習(xí)了平行四邊形哪些方面的性質(zhì)？

3.兩條平行線的距離是怎樣定義的？有什么性質(zhì)？

五、作業(yè) 

課本第143頁第2，3，4，5，6題.

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

本教學(xué)設(shè)計(jì)需2課時(shí)完成.

這節(jié)內(nèi)容分2課時(shí).第1課時(shí)在復(fù)習(xí)四邊形的有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，用對(duì)比的方式引入平行四邊形的概念，充分體現(xiàn)了平行四邊形在四邊形體系中的地位，然后，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面探索平行四邊形的性質(zhì)，使知識(shí)更加系統(tǒng)，更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，而且突出了第1課時(shí)的重點(diǎn)，同時(shí)更能培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探求知識(shí)的精神和思維的條理性.第2課時(shí)重點(diǎn)應(yīng)用平行四邊形的定義、性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明，教師注意讓學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，加強(qiáng)對(duì)解題思路的分析，解題思想方法的概括、指導(dǎo)和結(jié)論的升華.