卷五百六 列傳二百九十三

　　文鼏又有累年算稿，文鼎為錄存，名曰授時步交食式一卷。又有幾何類求新法，算書中比例規(guī)解，本無算例，文鼎作度算，用文鼏所補(bǔ)，而參之以陳藎謨尺算用法。

　　明安圖，字靜庵，蒙古正白旗人。官欽天監(jiān)監(jiān)正。受數(shù)學(xué)於圣祖，預(yù)修御定歷象考成后編、御定儀象考成。因西士杜德美用連比例演周徑密率及求正弦、正矢之法，知其理深奧，索解未易，因積思三十馀年，著割圜密率捷法四卷。一曰步法，於杜氏三法外，補(bǔ)創(chuàng)弧背求通弦、求矢法，仍杜氏原法，但通加一四除耳。又弦、矢求弧背，并通弦、矢求弧背，凡六法，合杜氏共成九法。其弦求弧背法，以弦為連比例二率，半徑為一率，求得二、四、六、八、十諸率，以一、三、五、七、九之五數(shù)各自乘，為累次乘數(shù)。二、三、四、五、六、七、八、九相挨，兩兩相乘，為累次除數(shù)，即用二率為第一得數(shù)。復(fù)置四率，以第一乘數(shù)乘之，第一除數(shù)除之，為第二得數(shù)。又置六率，以第一、第二乘數(shù)乘之，第一、第二除數(shù)除之，為第三得數(shù)。又置八率，以第一、第二、第三乘數(shù)乘之，第一、第二、第三除數(shù)除之，為第四得數(shù)。如是累求，至所得數(shù)祗一位止，乃并之，即所求之弧背也。矢求弧背法，倍正矢為連比例三率，亦以半徑為一率，求得五、七、九、十一諸率。以一、二、三、四、五之五數(shù)各自乘，為屢次乘數(shù)，三、四、五、六、七、八、九、十相挨，兩兩相乘，為屢次除數(shù)，即用三率為第一得數(shù)。復(fù)置五率，以第一乘數(shù)乘之，第一除數(shù)除之，為第二得數(shù)。又置七率，以第一、第二乘數(shù)乘之，第一、第二除數(shù)除之，為第三得數(shù)。又置九率，以第一、第二、第三乘數(shù)乘之，第一、第二、第三除數(shù)除之，為第四得數(shù)。如是累求，至所得數(shù)祗一位而止。開平方，即所求之弧背也，通弦求弧背，亦各加一四除。矢求弧背，則三率又多加一四。因更創(chuàng)馀弧求弦矢，馀弦矢求本弧，及借弧與正、馀弦互求四術(shù)。二曰用法，以角度求八線，及直線、弧線、三角形邊角相求，共設(shè)七題。謂今法所以密於古者，以用三角形也。然三角形非用八線表不能相求，惟用此法，以之立表則甚易，以之推三角形，則不用表而得數(shù)同。三、四兩卷曰法解，皆闡明弦、矢與弧背相求之根。其法先以一分弧通弦求二分弧通弧弦之?dāng)?shù)，次以一分、二分弧通弦求三分、四分全弧通弦之?dāng)?shù)，以一分三分弧通弦求五分全弧通弦之?dāng)?shù)。又因二分、五分相乘得十分，十分自乘得百分，十分、百分相乘得千分，十分、千分相乘得萬分。遂以半徑為一率，一分弧通弦為二率，各如相乘之率數(shù)，求得十、百、千、萬諸分弧率數(shù)。比例得弧背求通弦，應(yīng)減四率二十四分之一，加六率八十分之一，減八率一百六十八分之一，加十率二百八十八分之一，減十二率四百四十分之一，加十四率六百二十四分之一，減十六率八百四十分之一。各四歸之，則二十四得六，為二三相乘數(shù)；八十得二十，為四五相乘數(shù)；一百六十八得四十二，為六七相乘數(shù)；二百八十八得七十二，為八九相乘數(shù)；四百四十得一百一十，為十與十一相乘數(shù)；六百二十四得一百五十六，為十二與十三相乘數(shù)；八百四十得二百一十，為十四與十五相乘數(shù)。故以二、三、四、五、六、七、八、九等數(shù)兩兩相乘，為屢次除數(shù)。又以通弦求得二率一分多，四率一分，六率九分，八率二百二十五分，十率一萬一千二十五分，十二率八十九萬三千二十五分，十四率一億八百五萬六千二十五分，得后率分?jǐn)?shù)為實。各遞降二等，使二率降為四率，四率降為六率，得前率分?jǐn)?shù)為法。以法除實，得四率一分，為一自乘數(shù)；六率九分，為三自乘數(shù)；八率二十五分，為五自乘數(shù)；十率四十九分，為七自乘數(shù)；十二率八十一分，為九自乘數(shù)；十四率一百二十一分，為十一自乘數(shù)；十六率一百六十九分，為十三自乘數(shù)：故以一、三、五、七、九等數(shù)各自乘為屢次乘數(shù)。次求通弦法，求得十、百、千、萬諸分弧正矢率數(shù)，比例得弧背求正矢，應(yīng)減五率十二分之一，加七率三十分之一，減九率五十六分之一，加十一率九十分之一，減十三率一百三十二分之一，加十五率一百八十二分之一，減十七率二百四十分之一；而十二為三四相乘數(shù)，三十為五六相乘數(shù)，五十六為七八相乘數(shù)，九十為九與十相乘數(shù)，一百三十二為十一與十二相乘數(shù)，一百八十二為十三與十四相乘數(shù)，二百四十為十五與十六相乘數(shù)，故以三、四、五、六、七、八、九等數(shù)兩兩相乘，為屢次除數(shù)。又以正矢求得五率一分多，七率四分，九率三十六分，十一率五百七十六分，十三率一萬四千四百分，十五率五十一萬八千四百分，十七率二千五百四十萬一千六百分，為后率分?jǐn)?shù)，各遞降二等為前率分?jǐn)?shù)。如前通弦法，除得五率一分為一自乘數(shù)，七率四分為二自乘數(shù)，九率九分為三自乘數(shù)，十一率十六分為四自乘數(shù)，十三率二十五分為五自乘數(shù)，十五率三十六分為六自乘數(shù)，十七率四十九為七自乘數(shù)，故以一、二、三、四、五等數(shù)各自乘，為屢次乘數(shù)。書未成而卒，子新續(xù)之。