課例二面角的教學設計與評述

教學目標 ：

知識目標：使學生正確理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念。

技能目標：通過組織引導學生參與“二面角”、“二面角的平面角”概念的發現、形成和發展過程，培養學生探究能力及數學應用能力，并能解決有關簡單的二面角問題。

情感目標：激發學生學習數學的熱情。

教學方法：

探導式

教學過程 ：

引入

師：同學們爬過山嗎？

生：爬過，爬過高山，爬過平坦的山，也爬過陡峭的山，很刺激。

師：怎樣的山看上去陡峭？

生：山坡與水平面愈垂直，這樣的山愈陡峭。

師：怎樣的山看上去“平坦”？

生：山坡與水平面所成角愈小，這樣的山就愈“平坦”。

師：山坡陡峭與否，跟山坡與水平面所成的角大小有關。

生：老師，山不是凹凸不平，彎曲的嗎？它的坡面是不平的，那坡面與水平面所成的角，是怎么回事？

師：現實的山確實是這樣凹凸不平，彎曲的，大家對這位同學所提的問題，意見如何？

（學生議論紛紛，思索著。）

生：若從全局來看整個山坡面是凹凸不平，彎曲的，但從局部小范圍去看，山坡面可看作“平”，物理中不也是把山坡面看作平面，這樣山坡面與水平面所成的角就是平面與平面所成的角。

師：這位同學講得很好，現實生活中一些問題，只需給適當的數學化，便可轉化到數學問題，然后用數學知識加以解決。今天我們研究平面與平面所成的角。

（老師板書課題）二面角

[評：教師的責任就是指導、激發學生積極地思考，幫助學生去觀察、分析和判斷。把二面角置于爬山的背景之中，這樣引進新課，不僅自然，學生學起來興趣、具體、生動，培養學生用數學意識，更重要的是讓學生能夠主動去想、去探究，在探究過程中不斷檢驗、判斷自己和他人的思維，更好的促使學生提出自己的創見]

新課

師：請同學們閱讀課本p39--------p40上數第3行止。

（學生閱讀課本）

師：什么是半平面？

生：一個平面內的一條直線，把這個平面分成兩部分，其中一部分叫做半平面。

師：什么是二面角？及表示方法怎樣？

生：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。可表示為

二面角α----ab----β，α，β分別是二面角的面，ab叫二面角的棱。

[評：引導學生閱讀課本，對二面角的定義理解及學生自學能力的培養必有好處。]

師：（放出幻燈）以下哪些圖形是表示一個二面角？

生：（1）--------（5）是一個二面角，（6）是二個二面角。

[評：對二面角的圖形進行變式，有利于學生更深刻理解二面角的本質含義。]

師：（提出問題，老師邊演示山的模具，邊講述題意）

山上有一條直道cd與山腳線成30°，一人沿著cd爬上100米后，問這時此人站的地方有多高？

生：此人這時站的高度不定，跟山坡陡度大小有關，當陡度大，此人站的位置就要高，反之，就低。

師：山坡陡度就是山坡面與水平面所成二面角的大小有關，而二面角大小如何去度量呢？

（學生思考）

師：斜線與平面所成角的大小是怎樣度量？

生：我知道，斜線和斜線在平面上的射影所成角的大小規定為斜線與平面所成角的大小。

師：對，即把斜線與平面所成角轉化為平面幾何中的線和線所成角。下面請同學們討論二面角的度量方法。

（學生獨立思考，動手擺弄二面角模具，并與同桌、前后桌同學之間共同討論。）

師：誰來談自己的想法。

（學生講述各自的想法，老師板書。）

生：分別在二個半平面上，過棱上一點o作oa⊥a、ob⊥a，把∠aob大小規定為二面角大小（圖1）。

 生：在一個半平面上取一點a，作ab垂直另一個半平面，b為垂足，過b作ob垂直棱，o為垂足，連oa，把∠aob大小規定為二面角大小（圖2）。

生：過二面角棱上一點0作平面垂直棱，分別交兩個面oa，ob，把∠aob大小規定為二面角大小（圖3）。

師：以上幾位同學得出∠aob有什么共同點？

師生一起歸納小結：（1）兩條射線oa，ob分別在α，β上，且o在棱a上。（2）oa⊥a，ob⊥a。

師：對于同一個二面角以上三種作法得出的∠aob大小相同嗎？

生：相同。

師：我也有一種想法，請同學們討論一下。這樣行不行。

放出幻燈并講述想法：如圖（4）若∠aob=30°∠bod=45°，把∠aob的大小規定為二面角α--cd--β的大小。

生：不行，當兩個面合攏的時候，∠aob=15°、但二面角為0°，不合常規。

師：如圖（5）若“∠bod=45°”改為“∠bod=30°”結果又怎樣？

生：也不行，當兩個平面轉“平”的時候，二面角為180°，而∠aob=60°不合常規。

師：我們把圖（1）、（2）、（3）中∠aob稱為二面角α--ab--β的平面角。∠aob大小就是二面角大小。這樣規定，合情合理。同學們提出的圖（1）、（2）、（3）是作二面角的平面角常用三種方法。一個二面角中它的平面角是否只有一個？

生：有無數個，但它們大小相等。

[評：學生在參與探討度量二面角大小方法過程中，生生之間、師生之間互相交流，共同討論，變單向傳遞為多向交流，這樣既發揮了學生主體作用，又有利于學生協作意識形成和創新能力培養。]

師：（放出幻燈）

在正方體----中（如圖6）

求二面角--------大小，（2）求二面角--------大小，（3）求二面角--------的正切值，（4）若為中點，作出二面角--------的平面角。（師生一起討論完成）

（過程略）

[評：從一道題出發通過一題多變，進行變式練習，不僅是使學生掌握知識、形成技能的有效手段，更有利于學生形成完整的知識結構，培養學生思維的靈活性]

如圖7：山坡的傾斜度（坡面與水平面所成二面角的度數）是60°，山坡上有一條直道，它和坡腳的水平線的夾角是30°，沿這條路上山，行走100米后，升高了多少米？

圖7

解：已知=100米，設垂直于過的水平平面，垂足為，線段的長度就是所求的高度。在平面內，過點作，垂足是，連結。

平面，

。

因此，就是坡面和水平平面所成的二面角的平面角，=60°。由此得=sin60°=sin30°sin60°=100sin30°sin60°=

答：沿直道前進100米，升高約43。3米。

[評：從實際問題出發，又以實際問題結束，將理論與實際相結合的數學原理，提到了更重要的高度。]

三、小結：

師：同學們把上圖中山“去掉”留下的圖形是什么幾何體？有哪些特征？

生：是一個四面體，這個四面體四個面都是直角三角形。這個圖中還包含二面角的平面角、線與面所成角、點到線距離、點到面距離等。

師：這個四面體是立體幾何中最常用的一個基本圖形，立體中許多問題都可化歸到這個四面體進行求解，這就是數學中最常用一種化歸思想。關于二面角計算題或證明題，關鍵找（作）出二面角的平面角，今天我們講了作二面角的平面角三種方法。這節課講的兩個例題用圖（2）方法----三垂線法作二面角的平面角，這樣通過作二面角的平面角，把立體幾何問題化歸為平幾問題來處理。許多實際應用題，通過建模，可轉化為數學問題來解決。我們的周圍處處有數學，希望同學們學會從數學的角度發現和提出問題，并加以探索和研究。

四、作業 ：p451--6

[評：大多數學生之所以學習有困難，解決問題能力差，問題在于他們所獲得的概念、知識不是通過研究事實和現象的途徑形成的，而是死記硬背得來的。本課例設計不是簡單地將二面角及二面角的平面角定義直接傳受給學生，而是考慮到知識的形成過程，設法從學生的數學現實出發，創設“爬山”的實際問題情景，調動學生積極參與探索、發現、問題解決全過程，這樣，學生學到的不單是知識本身，也經歷了知識的發生、形成過程，同時在分析、探索過程中，依靠自己的獨立智慧努力，而獲得了一些能夠概括大量事實現象和知識，這種知識對學生來說是極為寶貴。]