集合
1.理解的概念；2.掌握的兩種表示方法；3.會正確使用符號這三個學習目標即可
1.
點、線、面等概念都是幾何中原始的、不加定義的概念，則是論中原始的、不加定義的概念.一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個，也簡稱集.一般用大括號表示，例如“汽車，飛機，輪船”等交通運輸工具組成的可以寫成｛汽車、飛機、輪船｝為了方便.我們還通常用大寫的拉丁字母A、B、C……表示，例如A＝｛a,b,c｝.
2.中的元素
中的每個對象叫做這個的元素.例如“中國的直轄市”這一的元素是：北京、上海、天津、重慶.
中的元素常用小寫的拉丁字母a,b,c，…表示.
如果a是A的元素，就說a屬于A，記作a∈A；
如果a不是A的元素，就說a不屬于A，記作a A.
3.中元素的特性
(1)確定性 對于A和某一對象x，有一個明確的判斷標準是x∈A，還是x A，二者必成其一，不會模棱兩可.
例如，“著名的數學家”，“漂亮的人”這類對象，一般不能構成數學意義上的，因為找不到用以判別每一具體對象是否屬于的明確標準.
(2)互異性.對于一個給定的，它的任何兩個元素都是不同的；因此，中的相同元素只能算作一個，如方程x2-2x+1=0的兩個等根，x1＝x2＝1，用記為｛1｝，而不寫為｛1，1｝，如果把｛1，2，3｝，｛2,3,4｝的元素合并起來構成一個新，那么新只有1，2，3，4這四個元素.
(3)無序性 中的元素是不排序的，如｛1，2｝與｛2，1｝是同一個，但實際上在書寫時還是按一定順序書寫的，如｛-1，0，1，2｝而不寫成｛0，1，-1，2｝，這樣寫不方便，其更深刻的含義是揭示了元素的“平等地位”.
4.表示法
(1)列舉法 將中的所有元素一一列舉出來，寫在大括號內.
(2)描述法 用描述表示的，對其元素的屬性要準確理解.例如，｛y｜y=x2｝表示函數y值的全體，即｛y｜y≥0｝；｛x｜y＝x2｝表示自變量x的值的全體，即｛x｜x為任一實數｝；｛x,y｜y=x2｝表示拋物線y=x2上的點的全體，是點集(一條拋物線)；而｛y=x2｝則是用列舉法表示的單元素集，也就是只有一個元素(方程y=x2)的有限集.
(3)圖示法 為了形象地表示，我們常常畫一條封閉曲線，用它的內部來表示一個，例如，如圖可表示｛1,2,3,4｝
5.特定表示法
自然數集(或非負整數集)，記作N，自然數集內排除0的集，也稱正整數集，記作N*或N+(注意，自然數集包括0)；
整數集，記作Z；
有理數集，記作Q；
實數集，記作R；
Z，Q，R等數集內排除0的集，分別表示為Z*(或Z+)，Q*(或Q+)，R*(或R+).
6.的分類
①有限集：含有限個元素的叫做有限集.例如：A＝｛1,2,3,4｝
②無限集：含有無限多個元素的叫做無限集.例如：N+
③空集：不含任何元素的稱為空集.例如：方程x2+2x+3=0在實數范圍內的解集. 例1 下列各組對象能否構成一個?指出其中的是無限集還是有限集?并用適當的方法表示出來.
(1)直角坐標平面內橫坐標與縱坐標互為相反數的點；
(2)高一數學課本中所有的難題；
(3)方程x4+x2+2＝0的實數根；
(4)圖甲中陰影部分的點(含邊界上的點).
圖甲 圖乙
解：(1)是無限.其中元素是點，這些點要滿足橫坐標和縱坐標互為相反數.
可用兩種方法表示這個：
描述法：｛(x,y)｜y＝x｜｝；
圖示法：如圖乙中直線l上的點.
(2)不是.難題的概念是模糊的不確定的，實際上一道數學題是“難者不會，會者不難”.因而這些難題不能構成.
(3)是空集.其中元素是實數，這些實數應是方程x4+x2+2=0的根，這個方程沒有實數根，它的解集是空集.可用描述法表示為：
或者｛x∈R｜x4+x2+2=0｝.
(4)是無限.其中元素是點，這些點必須落在圖甲的陰影部分(包括邊界上的點).
圖甲本身也可看成圖示法表示，我們還可用描述表示這個；
｛(x,y)｜-1≤x≤2，- ≤y≤2，且xy≤0｝
例2 下面六種表示法：
(1)｛x＝-1，y=2｝，(2)｛(x,y)｜x=-1,y=2｝，(3)｛-1，2｝，(4)(-1，2)，(5)｛(-1，2)｝，(6)｛(x,y)｜x＝-1或y＝2｝，能正確表示方程組 的解集的是：
A. (1)(2)(3)(4)(5)(6) B.(1)(2)(4)(5)
C.(2)(5) D.(2)(5)(6)
分析 由于此方程組的解是 因而寫成時，應表示成一對有序實數(-1，2).
解：因為｛(x,y)｜ ＝｛(x,y)｜ ＝｛(-1，2)｝故選C.
評析 (1)既非列舉法，又非描述法.(3)表示由-1和2兩個數組成的.(4)是一個點.(6)中的元素是(-1，y)或(x,2)，x,y∈R是一個無限集.以上均不合題意.
例3 用符號∈或 填空.
(1)3.14 Q，0 N， Z，(-1)0 N，0
(2)2 ｛x｜x＜ ＝，3 ｛x｜x＞4｝， + ｛x｜x≤2+ ｝；
(3)3 ｛x｜x＝n2+1，n∈N｝，5 ｛x｜x＝n2+1，n∈N｝；
(4)(-1，1) ｛y｜y＝x2｝,(-1,1) ｛(x,y)｜y＝x2｝
解：(1)∈、∈、 、∈、 (空集不含任何元素)；
(2)2 ＝ ＞ ，3 ＝ ＞ ＝4，
+ ＝
＝ ＜
＝
＝2+ ，故填 、∈、∈；
(3)令n2+1=3，n＝± n N.令n2+1＝5，
n＝±2，2∈N，故填 、∈；
(4) ，∈.(因為｛y｜y＝x2｝中元素是數而(-1，1)代表一個點)
例4 用另一種形式表示下列
(1)｛絕對值不大于3的整數｝
(2)｛所有被3整除的數｝
(3)｛x｜x＝｜x｜，x∈Z且x＜5｝
(4)｛x｜（3x-5）(x+2)(x2+3)＝0，x∈Z｝
(5)｛(x,y)｝｜x+y=6，x∈N+，y∈N+｝
解：(1)絕對值不大于3的整數｝還可以表示為｛x｜｜x｜≤3，x∈Z｝，也可表示為｛-3，-2，-1，0，1，，2，3｝；
(2)｛x｜x＝3n，n∈Z｝；(說明：｛被3除余1的整數｝可表示為｛x｜x=3n+1,n∈Z｝)；
(3)∵x＝｜x｜，∴x≥0，又∵x∈Z且x＜5，∴｛x｜x＝｜x｜，x∈Z且x＜5｝還可以表示為｛0,1,2,3,4｝
(4)｛-2｝(注意x∈Z｝)
(5)｛(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)｝
例5。用另一種形式表示下面的：｛x｜(2x-1)(x+2)(x2+1)=0,x∈Z｝.
錯誤解答 的元素x是由方程(2x-1)(x+2)(x2+1)＝0的根組成的，解方程，得x＝ ，x＝-2，x＝
∴ 原可以表示為｛ ，-2， ｝
錯誤存在于解方程的過程和最后的表示當中，解方程時應注意到x2+1≠0，x∈R，所以，方程的根為x＝ ，x＝-2.注意到已知條件x∈z R，才不致造成錯誤.
因為 Z 所以，
正確答案應為｛-2｝或寫作｛x｜x=-2｝.
例6 已知A＝｛x｜x＝a+b ，a,b∈Z｝，分析判斷下列元素x與A之間的關系：
(1)x＝0，(2)x＝ ，(3)x＝ .
分析 x與A的關系只有x∈A和x A兩種.判斷x是不是A中的元素，即觀察x能否寫成a+b (a,b∈Z)的形式.
解：(1)因為0＝0+0× ，所以0∈A.
(2)因為x＝ ＝ - ，無論a、b為何整數，a+b ＝ - 不能成立，所以x＝ A.
(3)因為x＝ ＝ ＝1+2 ，
所以 ∈A.
評析 研究元素與的關系，一要注意的表示方法(列舉法或描述法)，二要準確判斷元素的屬性.
例7 已知A＝｛p｜x2+2(p-1)x+1=0,x∈R｝，求一次函數y＝2x-1，x∈A的取值范圍.
分析 關鍵是理解A中元素的屬性.p的取值范圍必須滿足關于x的一元二次方程x2+2(p-1)x+1=0有實數根.
解：由已知，Δ＝4(p-1)2-4≥0.得p≥2或p≤0.所以A＝｛p｜p≥2或p≤0｝.因為x∈A，所以x≥2或x≤0，所以2x-1≥3或2x-1≤-1，所以y的取值范圍是｛y｜y≤-1或y≥3｝.