集合
一、知識結構本小節首先從初中代數與幾何涉及的集合實例人手,引出集合與集合的元素的概念,并且結合實例對集合的概念作了說明.然后,介紹了集合的常用表示方法,包括列舉法、描述法,還給出了畫圖表示集合的例子.
二、重點難點分析
這一節的重點是集合的基本概念和表示方法,難點是運用集合的三種常用表示方法正確表示一些簡單的集合.這一節的特點是概念多、符號多,正確理解概念和準確使用符號是學好本節的關鍵.為此,在教學時可以配備一些需要辨析概念、判定符號表示正誤的題目,以幫助學生提高判定能力,加深理解集合的概念和表示方法.
1.關于牽頭圖和引言分析
章頭圖是一組跳傘隊員編成的圖案,引言給出了一個實際問題,其目的都是為了引出本章的內容無論是分析還是解決這個實際間題,必須用到集合和邏輯的知識,也就是把它數學化.一方面提高用數學的意識,一方面說明集合和簡易邏輯知識是高中數學重要的基礎.
2.關于集合的概念分析
點、線、面等概念都是幾何中原始的、不加定義的概念,集合則是集合論中原始的、不加定義的概念.
初中代數中曾經了解“正數的集合”、“不等式解的集合”;初中幾何中也知道中垂線是“到兩定點距離相等的點的集合”等等.在開始接觸集合的概念時,主要還是通過實例,對概念有一個初步熟悉.教科書給出的“一般地,某些指定的對象集在一起就成為一個集合,也簡稱集.”這句話,只是對集合概念的描述性說明.
我們可以舉出很多生活中的實際例子來進一步說明這個概念,從而闡明集合概念如同其他數學概念一樣,不是人們憑空想象出來的,而是來自現實世界.
3.關于自然數集的分析
教科書中給出的常用數集的記法,是新的國家標準,與原教科書不盡相同,應該注重.
新的國家標準定義自然數集n含元素0,這樣做一方面是為了推行國際標準化組織(iso)制定的國際標準,以便早日與之接軌,另一方面,0還是十進位數{0,1,2,…,9}中最小的數,有了0,減法運算 仍屬于自然數,其中 .因此要注重幾下幾點:
(1)自然數集合與非負整數集合是相同的集合,也就是說自然數集包含0;
(2)自然數集內排除0的集,表示成 或 ,其他數集{如整數集z、有理數集q、實數集r}內排除0的集,也可類似表示 , , ;
(3)原教科書或根據原教科書編寫的教輔用書中出現的符號如 , , …不再適用.
4.關于集合中的元素的三個特性分析
集合中的每個對象叫做這個集合的元素.例如“中國的直轄市”這一集合的元素是:北京、上海、天津、重慶。
集合中的元素常用小寫的拉丁字母 ,…表示.假如a是集合a的元素,就說a屬于集合a,記作 ;否則,就說a不屬于a,記作
要正確熟悉集合中元素的特性:
(l)確定性: 和 ,二者必居其一.
集合中的元素必須是確定的.這就是說,給定一個集合,任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了.例如,給出集合{地球上的四大洋},它的元素是:太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.其他對象都不用于這個集合.假如說“由接近 的數組成的集合”,這里“接近 的數”是沒有嚴格標準、比較模糊的概念,它不能構成集合.