集合
(2)互異性:若 , ,則
集合中的元素是互異的.這就是說,集合中的元素是不能重復的,集合中相同的元素只能算是一個.例如方程 有兩個重根 ,其解集只能記為{1},而不能記為{1,1}.
(3)無序性:{a,b}和{b,a}表示同一個集合.
集合中的元素是不分順序的.集合和點的坐標是不同的概念,在平面直角坐標系中,點(
l,0)和點(0,l)表示不同的兩個點,而集合{1,0}和{0,1}表示同一個集合.
5.要辯證理解集合和元素這兩個概念
(1)集合和元素是兩個不同的概念,符號和是表示元素和集合之間關系的,不能用來表示集合之間的關系.例如 的寫法就是錯誤的,而 的寫法就是正確的.
(2)一些對象一旦組成了集合,那么這個集合的元素就是這些對象的全體,而非個別現象.例如對于集合 ,就是指所有不小于0的實數,而不是指“ 可以在不小于0的實數范圍內取值”,不是指“ 是不小于0的一個實數或某些實數,”也不是指“ 是不小于0的任一實數值”……
(3)集合具有兩方面的意義,即:凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符合條件.
6.表示集合的方法所依據的國家標準
本小節列舉法與描述法所使用的集合的記法,依據的是新國家標準如下的規定.
符號
應用
意義或讀法
備注及示例
諸元素 構成的集
也可用 ,這里的i表示指標集
使命題 為真的a中諸元素之集
例: ,假如從前后關系來看,集a已很明確,則可使用 來表示,例如
此外, 有時也可寫成 或
7.集合的表示方法分析
集合有三種表示方法:列舉法、描述法、圖示法.它們各有優點.用什么方法來表示集合,要具體問題具體分析.
(l)有的集合可以分別用三種方法表示.例如“小于 的自然數組成的集合”就可以表為:
①列舉法: ;
②描述法: ;
③圖示法:如圖1。
(2)有的集合不宜用列舉法表示.例如“由小于 的正實數組成的集合”就不宜用列舉法表示,因為不能將這個集合中的元素—一列舉出來,但這個集合可以這樣表示:
①描述法: ;
②圖示法:如圖2.
(3)用描述法表示集合,要非凡注重這個集合中的元素是什么,它應該符合什么條件,從而準確理解集合的意義.例如:
①集合 中的元素是 ,它表示函數 中自變量 的取值范圍,即 ;
②集合 中的元素是 ,它表示函數值。的取值范圍,即 ;
③集合 中的元素是點 ,它表示方程 的解組成的集合,或者理解為表示曲線 上的點組成的集合;
④集合 中的元素只有一個,就是方程 ,它是用列舉法表示的單元素集合.
實際上,這是四個完全不同的集合.