直線的傾斜角和斜率

教學(xué)目標(biāo) 

（1）了解直線方程的概念.
（2）正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率.
（3）理解公式的推導(dǎo)過程，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
（4）通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評(píng)價(jià)能力.
（5）通過斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)精神.

教學(xué)建議

1.教材分析

（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
本節(jié)內(nèi)容首先根據(jù)一次函數(shù)與其圖像——直線的關(guān)系導(dǎo)出直線方程的概念；其次為進(jìn)一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進(jìn)而建立直線斜率的概念，從而實(shí)現(xiàn)了直線的方向或者說直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數(shù)屬性的轉(zhuǎn)變；最后推導(dǎo)出經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.這些充分體現(xiàn)了解析幾何的思想方法.
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
①本節(jié)的重點(diǎn)是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內(nèi)容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系，以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系，直線的斜率都發(fā)揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生對(duì)于用直線的傾斜角來刻畫直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個(gè)問題卻并不容易接受.
2.教法建議
（1）本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)有三大項(xiàng)：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學(xué)生思維也對(duì)應(yīng)三個(gè)高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應(yīng)的教學(xué)過程 也有三個(gè)階段
①在教學(xué)中首先是創(chuàng)設(shè)問題情境，然后通過討論明確用角來刻畫直線的方向，如何定義這個(gè)角呢，學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生認(rèn)為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學(xué)生還會(huì)認(rèn)為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數(shù)量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問題，就要求教師幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到在直線的方程中體現(xiàn)的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程（一次函數(shù) 的形式，下同）中x的系數(shù)恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學(xué)生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫板設(shè)計(jì)：
(1)  α變化→直線變化→ 中的 系數(shù) 變化    （同時(shí)注意 的變化）.
(2)  中的 系數(shù) 變化→直線變化→α變化    （同時(shí)注意 的變化）.

運(yùn)用上述正反兩種變化的動(dòng)態(tài)演示充分揭示直線方程中 系數(shù)與傾斜角正切的內(nèi)在關(guān)系，這對(duì)幫助學(xué)生理解斜率概念是極有好處的.
③在進(jìn)行過兩點(diǎn)的斜率公式推導(dǎo)的教學(xué)中要注意與前后知識(shí)的聯(lián)系，課前要對(duì)平面向量，三角函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容作一定的復(fù)習(xí)準(zhǔn)備.
④在學(xué)習(xí)直線方程的概念時(shí)要通過舉例清晰地指出兩個(gè)條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強(qiáng)化直線與相應(yīng)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.為將來學(xué)習(xí)曲線方程做好準(zhǔn)備.
（2）本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中宜采用啟發(fā)引導(dǎo)法和討論法，設(shè)計(jì)為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、評(píng)價(jià)的教學(xué)模式.學(xué)生在積極思維的基礎(chǔ)上，進(jìn)行充分的討論、爭(zhēng)辯、交流、和評(píng)價(jià).傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項(xiàng)教學(xué)任務(wù)都是在討論、交流、評(píng)價(jià)中完成的.在此過程中學(xué)生的思維和能力得到充分的發(fā)展.教師的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)爭(zhēng)論，組織交流，參與評(píng)價(jià).

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

教學(xué)目標(biāo) ：
（1）了解直線方程的概念，正確理解直線傾斜角和斜率概念，
（2）理解公式的推導(dǎo)過程，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
（3）培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評(píng)價(jià)能力.
（4）幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)精神.
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：直線斜率的概念和公式
教學(xué)用具：計(jì)算機(jī)
教學(xué)方法：?jiǎn)�發(fā)引導(dǎo)法，討論法

教學(xué)過程 ：

（一）直線方程的概念

如圖1，對(duì)于一次函數(shù) ，和它的圖像——直線 有下面關(guān)系：

（1）有序數(shù)對(duì)（0，1）滿足函數(shù) ，則直線上就有一點(diǎn)A，它的坐標(biāo)是（0，1）.

（2）反過來，直線上點(diǎn)B（1，3），則有序?qū)崝?shù)對(duì)（1，3）就滿足 . 

一般地，滿足函數(shù)式 的每一對(duì) ， 的值，都是直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)（ ， ）；

反之，直線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（ ， ）都滿足函數(shù)式 ，因此，一次函數(shù) 的圖象是一條直線，它是以滿足 的每一對(duì)x，y的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的.

從方程的角度看，函數(shù) 也可以看作是二元一次方程 ，這樣滿足一次函數(shù) 的每一對(duì) ， 的值“變成了”二元一次方程 的解，使方程和直線建立了聯(lián)系.

定義：以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)，反過來，這條直線上的所有點(diǎn)坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，這時(shí)，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程，這條直線就叫做這個(gè)方程的直線.

以上定義改用集合表述： ， 的二元一次方程的解為坐標(biāo)的集合，記作 .若（1） （2） ，則 .

問：你能用充要條件敘述嗎？

答：一條直線是一個(gè)方程的直線，或者說這個(gè)方程是這條直線的方程的充要條件是…….

（二）直線的傾斜角

【問題1】

請(qǐng)畫出以下三個(gè)方程所表示的直線，并觀察它們的異同.

； ；

過定點(diǎn)，方向不同.

如何確定一條直線？

兩點(diǎn)確定一條直線.
還有其他方法嗎？或者說如果只給出一點(diǎn)，要確定這條直線還應(yīng)增加什么條件？
學(xué)生：思考、回憶、回答：這條直線的方向，或者說傾斜程度.

【導(dǎo)入  】

今天我們就共同來研究如何刻畫直線的方向.

【問題2】
在坐標(biāo)系中的一條直線，我們用怎樣的角來刻畫直線的方向呢？討論之前我們可以設(shè)想這個(gè)角應(yīng)該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問題，同時(shí)還應(yīng)該是簡(jiǎn)單的、自然的.
學(xué)生：展開討論.
學(xué)生討論過程中會(huì)有錯(cuò)誤和不嚴(yán)謹(jǐn)之處，教師注意引導(dǎo).
通過討論認(rèn)為：應(yīng)選擇α角來刻畫直線的方向.根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，表明一個(gè)方向可以有無窮多個(gè)角，這里只需一個(gè)角即可（開始時(shí)可能有學(xué)生認(rèn)為有四個(gè)角或兩個(gè)角），當(dāng)然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.
【板書】

定義：一條直線l向上的方向與 軸的正方向所成的最小正角叫做直線 的傾斜角.

（教師強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：（1）直線向上的方向，（2） 軸的正方向，（3）最小正角.）

特別地，當(dāng) 與 軸平行或重合時(shí)，規(guī)定傾斜角為0°.
由此定義，角的范圍如何？
0°≤α＜180°或0≤α＜π   如圖3

至此問題2已經(jīng)解決了，回顧一下是怎么解決的.

（三）直線的斜率

【問題3】
下面我們?cè)谕�一坐�?biāo)系中畫出過原點(diǎn)傾斜角分別是30°、45°、135°的直線，并試著寫出它們的直線方程.然后觀察思考：
直線的傾斜角在直線方程中是如何體現(xiàn)的？

學(xué)生：在練習(xí)本上畫出直線，寫出方程.
30° ß--à ＝

45° ß--à  ＝

135°ß--à ＝

（注：學(xué)生對(duì)于寫出傾斜角是45°、135°的直線方程不會(huì)困難，但對(duì)于傾斜角是30°可能有困難，此時(shí)可啟發(fā)學(xué)生借用三角函數(shù)中的30°角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)來解決.）

【演示動(dòng)畫】

觀察直線變化，傾斜角變化，直線方程中 系數(shù)變化的關(guān)系

(1)  直線變化→α變化→ 中的 系數(shù) 變化    （同時(shí)注意 α的變化）.

(2) 中的x系數(shù)k變化→直線變化→α變化    （同時(shí)注意 α的變化）.

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，歸納，猜想出傾斜角與 的系數(shù)的關(guān)系：傾斜角不同，方程中 的系數(shù)不同，而且這個(gè)系數(shù)正是傾斜角的正切！

【板書】

定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作 ，即 .

這樣我們定義了一個(gè)從“形”的方面刻畫直線相對(duì)于 軸（正方向）傾斜程度的量——傾斜角，現(xiàn)在我們又定義一個(gè)從“數(shù)”的方面刻畫直線相對(duì)于 軸（正方向）傾斜程度的量——斜率.

指出下列：

(1) ＝-     (2) ＝ tg60°    (3) ＝ tg(-30°)

學(xué)生思考后回答，師生一起訂正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(為什么不是-30°呢？)

畫圖，指出傾斜角和斜率.
結(jié)合圖3（也可以演示動(dòng)畫），觀察傾斜角變化時(shí)，斜率的變化情況.

注意：當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，斜率不存在.

α＝0°      ß--à    ＝0

0°＜α＜90° ß--à    ＞0

α＝90°     ß--à   不存在

90°＜α＜180°ß--à  ＜0

（四）直線過兩點(diǎn)斜率公式的推導(dǎo)

【問題4】

如果給定直線的傾斜角，我們當(dāng)然可以根據(jù)斜率的定義 ＝tgα求出直線的斜率；

如果給定直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，直線是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢？

即已知兩點(diǎn)P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)（其中x₁≠x₂），求直線P₁P₂的斜率.

思路分析：

首先由學(xué)生提出思路，教師啟發(fā)、引導(dǎo)：

運(yùn)用正切定義，解決問題.

(1)正切函數(shù)定義是什么？（終邊上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo).）

(2)角α是“標(biāo)準(zhǔn)位置”嗎？（不是.）

(3)如何把角α放在“標(biāo)準(zhǔn)位置”？（平移向量 ，使P₁與原點(diǎn)重合，得到新向量 .）

(4)P的坐標(biāo)是多少？（x₂-x₁，y₂-y₁）

(5)直線的斜率是多少？ ＝tgα= （x₁≠x₂）

(6)如果P₁ 和P₂的順序不同，結(jié)果還一樣嗎？（一樣）.

評(píng)價(jià)：注意公式中x₁≠x₂，即直線P₁ P₂不垂直x軸.因此當(dāng)直線P₁P₂不垂直x軸時(shí)，由已知直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得斜率，而不需要求出傾斜角.

【練習(xí)】

(1)直線的傾斜角為α，則直線的斜率為 α？

(2)任意直線有傾斜角，則任意直線都有斜率？

(3)直線 (-330°)的傾斜角和斜率分別是多少？

(4)求經(jīng)過兩點(diǎn) (0，0)、 (-1， ).

(5)課本第37頁(yè)練習(xí)第2、4題.

教師巡視，觀察學(xué)生情況，個(gè)別輔導(dǎo)，訂正答案（答案略）.

【總結(jié)】

教師引導(dǎo)：首先回顧前邊提出的問題是否都已解決.再看下邊的問題：

(1)直線傾斜角的概念要注意什么？

(2)直線的傾斜角與斜率是一一對(duì)應(yīng)嗎？

(3)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，如何求直線的斜率？斜率公式中腳標(biāo)1和2有順序嗎？

學(xué)生邊討論邊總結(jié)：

(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，當(dāng)α=90°時(shí)， α不存在.

(3) ＝ （ ），沒有.

【作業(yè) 】

1.課本第37頁(yè)習(xí)題7.1第3、4、5題.

2.思考題

（1）方程 是單位圓的方程嗎？

（2）你能說出過原點(diǎn)，傾斜角是45°的直線方程嗎？

（3）你能說出過原點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？

（4）你能說出過（1，1）點(diǎn)，斜率是2的直線方程嗎？

板書設(shè)計(jì)