直線的傾斜角和斜率（通用8篇）

直線的傾斜角和斜率 篇1

　　教學目標

　　（1）了解直線方程的概念.

　　（2）正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率.

　　（3）理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.

　　（4）通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關系的揭示，培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力.

　　（5）通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.

　　教學建議

　　1.教材分析

　　（1）知識結構

　　本節內容首先根據一次函數與其圖像——直線的關系導出直線方程的概念；其次為進一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進而建立直線斜率的概念，從而實現了直線的方向或者說直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數屬性的轉變；最后推導出經過兩點的直線的斜率公式.這些充分體現了解析幾何的思想方法.

　　（2）重點、難點分析

　　①本節的重點是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關系，以及討論直線與二次曲線的位置關系，直線的斜率都發揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學好這一章的關鍵.

　　②本節的難點是對斜率概念的理解.學生對于用直線的傾斜角來刻畫直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個問題卻并不容易接受.

　　2.教法建議

　　（1）本節課的教學任務有三大項：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學生思維也對應三個高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應的教學過程也有三個階段

　　①在教學中首先是創設問題情境，然后通過討論明確用角來刻畫直線的方向，如何定義這個角呢，學生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.

　　②本節的難點是對斜率概念的理解.學生認為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學生還會認為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問題，就要求教師幫助學生認識到在直線的方程中體現的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程（一次函數 的形式，下同）中x的系數恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫板設計：

　　(1)  α變化→直線變化→ 中的 系數 變化    （同時注意 的變化）.

　　(2)  中的 系數 變化→直線變化→α變化    （同時注意 的變化）.

　　運用上述正反兩種變化的動態演示充分揭示直線方程中 系數與傾斜角正切的內在關系，這對幫助學生理解斜率概念是極有好處的.

　　③在進行過兩點的斜率公式推導的教學中要注意與前后知識的聯系，課前要對平面向量，三角函數等有關內容作一定的復習準備.

　　④在學習直線方程的概念時要通過舉例清晰地指出兩個條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強化直線與相應方程的對應關系.為將來學習曲線方程做好準備.

　　（2）本節內容在教學中宜采用啟發引導法和討論法，設計為啟發、引導、探究、評價的教學模式.學生在積極思維的基礎上，進行充分的討論、爭辯、交流、和評價.傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項教學任務都是在討論、交流、評價中完成的.在此過程中學生的思維和能力得到充分的發展.教師的任務是創設問題情境，引發爭論，組織交流，參與評價.

　　教學設計示例

　　教學目標：

　　（1）了解直線方程的概念，正確理解直線傾斜角和斜率概念，

　　（2）理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.

　　（3）培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力.

　　（4）幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.

　　教學重點、難點：直線斜率的概念和公式

　　教學用具：計算機

　　教學方法：啟發引導法，討論法

　　教學過程：

　　（一）直線方程的概念

　　如圖1，對于一次函數 ，和它的圖像——直線 有下面關系：

　　（1）有序數對（0，1）滿足函數 ，則直線上就有一點A，它的坐標是（0，1）.

　　（2）反過來，直線上點B（1，3），則有序實數對（1，3）就滿足 . 

　　一般地，滿足函數式 的每一對 ， 的值，都是直線上的點的坐標（ ， ）；

　　反之，直線上每一點的坐標（ ， ）都滿足函數式 ，因此，一次函數 的圖象是一條直線，它是以滿足 的每一對x，y的值為坐標的點構成的.

　　從方程的角度看，函數 也可以看作是二元一次方程 ，這樣滿足一次函數 的每一對 ， 的值“變成了”二元一次方程 的解，使方程和直線建立了聯系.

　　定義：以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點，反過來，這條直線上的所有點坐標都是這個方程的解，這時，這個方程就叫做這條直線的方程，這條直線就叫做這個方程的直線.

　　以上定義改用集合表述： ， 的二元一次方程的解為坐標的集合，記作 .若（1） （2） ，則 .

　　問：你能用充要條件敘述嗎？

　　答：一條直線是一個方程的直線，或者說這個方程是這條直線的方程的充要條件是…….

　　（二）直線的傾斜角

　　【問題1】

　　請畫出以下三個方程所表示的直線，并觀察它們的異同.

　　； ；

　　過定點，方向不同.

　　如何確定一條直線？

　　兩點確定一條直線.

　　還有其他方法嗎？或者說如果只給出一點，要確定這條直線還應增加什么條件？

　　學生：思考、回憶、回答：這條直線的方向，或者說傾斜程度.

　　【導入  】

　　今天我們就共同來研究如何刻畫直線的方向.

　　【問題2】

　　在坐標系中的一條直線，我們用怎樣的角來刻畫直線的方向呢？討論之前我們可以設想這個角應該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問題，同時還應該是簡單的、自然的.

　　學生：展開討論.

　　學生討論過程中會有錯誤和不嚴謹之處，教師注意引導.

　　通過討論認為：應選擇α角來刻畫直線的方向.根據三角函數的知識，表明一個方向可以有無窮多個角，這里只需一個角即可（開始時可能有學生認為有四個角或兩個角），當然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.

　　【板書】

　　定義：一條直線l向上的方向與 軸的正方向所成的最小正角叫做直線 的傾斜角.

　　（教師強調三點：（1）直線向上的方向，（2） 軸的正方向，（3）最小正角.）

　　特別地，當 與 軸平行或重合時，規定傾斜角為0°.

　　由此定義，角的范圍如何？

　　0°≤α＜180°或0≤α＜π   如圖3

　　至此問題2已經解決了，回顧一下是怎么解決的.

　　（三）直線的斜率

　　【問題3】

　　下面我們在同一坐標系中畫出過原點傾斜角分別是30°、45°、135°的直線，并試著寫出它們的直線方程.然后觀察思考：

　　直線的傾斜角在直線方程中是如何體現的？

　　學生：在練習本上畫出直線，寫出方程.

　　30° ß--à ＝

　　45° ß--à  ＝

　　135°ß--à ＝

　　（注：學生對于寫出傾斜角是45°、135°的直線方程不會困難，但對于傾斜角是30°可能有困難，此時可啟發學生借用三角函數中的30°角終邊與單位圓的交點坐標來解決.）

　　【演示動畫】

　　觀察直線變化，傾斜角變化，直線方程中 系數變化的關系

　　(1)  直線變化→α變化→ 中的 系數 變化    （同時注意 α的變化）.

　　(2) 中的x系數k變化→直線變化→α變化    （同時注意 α的變化）.

　　教師引導學生觀察，歸納，猜想出傾斜角與 的系數的關系：傾斜角不同，方程中 的系數不同，而且這個系數正是傾斜角的正切！

　　【板書】

　　定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作 ，即 .

　　這樣我們定義了一個從“形”的方面刻畫直線相對于 軸（正方向）傾斜程度的量——傾斜角，現在我們又定義一個從“數”的方面刻畫直線相對于 軸（正方向）傾斜程度的量——斜率.

　　指出下列：

　　(1) ＝-     (2) ＝ tg60°    (3) ＝ tg(-30°)

　　學生思考后回答，師生一起訂正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(為什么不是-30°呢？)

　　畫圖，指出傾斜角和斜率.

　　結合圖3（也可以演示動畫），觀察傾斜角變化時，斜率的變化情況.

　　注意：當傾斜角為90°時，斜率不存在.

　　α＝0°      ß--à    ＝0

　　0°＜α＜90° ß--à    ＞0

　　α＝90°     ß--à   不存在

　　90°＜α＜180°ß--à  ＜0

　　（四）直線過兩點斜率公式的推導

　　【問題4】

　　如果給定直線的傾斜角，我們當然可以根據斜率的定義 ＝tgα求出直線的斜率；

　　如果給定直線上兩點坐標，直線是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢？

　　即已知兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直線P1P2的斜率.

　　思路分析：

　　首先由學生提出思路，教師啟發、引導：

　　運用正切定義，解決問題.

　　(1)正切函數定義是什么？（終邊上任一點的縱坐標比橫坐標.）

　　(2)角α是“標準位置”嗎？（不是.）

　　(3)如何把角α放在“標準位置”？（平移向量 ，使P1與原點重合，得到新向量 .）

　　(4)P的坐標是多少？（x2-x1，y2-y1）

　　(5)直線的斜率是多少？ ＝tgα= （x1≠x2）

　　(6)如果P1 和P2的順序不同，結果還一樣嗎？（一樣）.

　　評價：注意公式中x1≠x2，即直線P1 P2不垂直x軸.因此當直線P1P2不垂直x軸時，由已知直線上任意兩點的坐標可以求得斜率，而不需要求出傾斜角.

　　【練習】

　　(1)直線的傾斜角為α，則直線的斜率為 α？

　　(2)任意直線有傾斜角，則任意直線都有斜率？

　　(3)直線 (-330°)的傾斜角和斜率分別是多少？

　　(4)求經過兩點 (0，0)、 (-1， ).

　　(5)課本第37頁練習第2、4題.

　　教師巡視，觀察學生情況，個別輔導，訂正答案（答案略）.

　　【總結】

　　教師引導：首先回顧前邊提出的問題是否都已解決.再看下邊的問題：

　　(1)直線傾斜角的概念要注意什么？

　　(2)直線的傾斜角與斜率是一一對應嗎？

　　(3)已知兩點坐標，如何求直線的斜率？斜率公式中腳標1和2有順序嗎？

　　學生邊討論邊總結：

　　(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，當α=90°時， α不存在.

　　(3) ＝ （ ），沒有.

　　【作業 】

　　1.課本第37頁習題7.1第3、4、5題.

　　2.思考題

　　（1）方程 是單位圓的方程嗎？

　　（2）你能說出過原點，傾斜角是45°的直線方程嗎？

　　（3）你能說出過原點，斜率是2的直線方程嗎？

　　（4）你能說出過（1，1）點，斜率是2的直線方程嗎？

　　板書設計

　　7.1

　　一、直線方程

　　二、直線的傾斜角

　　三、直線的斜率

　　四、斜率公式

　　練習

　　小結

　　作業 

直線的傾斜角和斜率 篇2

　　教學目標

　　（1）了解直線方程的概念.

　　（2）正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率.

　　（3）理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.

　　（4）通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關系的揭示，培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力.

　　（5）通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.

　　教學建議

　　1.教材分析

　　（1）知識結構

　　本節內容首先根據一次函數與其圖像——直線的關系導出直線方程的概念；其次為進一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進而建立直線斜率的概念，從而實現了直線的方向或者說直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數屬性的轉變；最后推導出經過兩點的直線的斜率公式.這些充分體現了解析幾何的思想方法.

　　（2）重點、難點分析

　　①本節的重點是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關系，以及討論直線與二次曲線的位置關系，直線的斜率都發揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學好這一章的關鍵.

　　②本節的難點是對斜率概念的理解.學生對于用直線的傾斜角來刻畫直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個問題卻并不容易接受.

　　2.教法建議

　　（1）本節課的教學任務有三大項：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學生思維也對應三個高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應的教學過程也有三個階段

　　①在教學中首先是創設問題情境，然后通過討論明確用角來刻畫直線的方向，如何定義這個角呢，學生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.

　　②本節的難點是對斜率概念的理解.學生認為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學生還會認為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問題，就要求教師幫助學生認識到在直線的方程中體現的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程（一次函數 的形式，下同）中x的系數恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫板設計：

　　(1)  α變化→直線變化→ 中的 系數 變化    （同時注意 的變化）.

　　(2)  中的 系數 變化→直線變化→α變化    （同時注意 的變化）.

　　運用上述正反兩種變化的動態演示充分揭示直線方程中 系數與傾斜角正切的內在關系，這對幫助學生理解斜率概念是極有好處的.

　　③在進行過兩點的斜率公式推導的教學中要注意與前后知識的聯系，課前要對平面向量，三角函數等有關內容作一定的復習準備.

　　④在學習直線方程的概念時要通過舉例清晰地指出兩個條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強化直線與相應方程的對應關系.為將來學習曲線方程做好準備.

　　（2）本節內容在教學中宜采用啟發引導法和討論法，設計為啟發、引導、探究、評價的教學模式.學生在積極思維的基礎上，進行充分的討論、爭辯、交流、和評價.傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項教學任務都是在討論、交流、評價中完成的.在此過程中學生的思維和能力得到充分的發展.教師的任務是創設問題情境，引發爭論，組織交流，參與評價.

　　教學設計示例

　　教學目標：

　　（1）了解直線方程的概念，正確理解直線傾斜角和斜率概念，

　　（2）理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.

　　（3）培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力.

　　（4）幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.

　　教學重點、難點：直線斜率的概念和公式

　　教學用具：計算機

　　教學方法：啟發引導法，討論法

　　教學過程：

　　（一）直線方程的概念

　　如圖1，對于一次函數 ，和它的圖像——直線 有下面關系：

　　（1）有序數對（0，1）滿足函數 ，則直線上就有一點A，它的坐標是（0，1）.

　　（2）反過來，直線上點B（1，3），則有序實數對（1，3）就滿足 . 

　　一般地，滿足函數式 的每一對 ， 的值，都是直線上的點的坐標（ ， ）；

　　反之，直線上每一點的坐標（ ， ）都滿足函數式 ，因此，一次函數 的圖象是一條直線，它是以滿足 的每一對x，y的值為坐標的點構成的.

　　從方程的角度看，函數 也可以看作是二元一次方程 ，這樣滿足一次函數 的每一對 ， 的值“變成了”二元一次方程 的解，使方程和直線建立了聯系.

　　定義：以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點，反過來，這條直線上的所有點坐標都是這個方程的解，這時，這個方程就叫做這條直線的方程，這條直線就叫做這個方程的直線.

　　以上定義改用集合表述： ， 的二元一次方程的解為坐標的集合，記作 .若（1） （2） ，則 .

　　問：你能用充要條件敘述嗎？

　　答：一條直線是一個方程的直線，或者說這個方程是這條直線的方程的充要條件是…….

　　（二）直線的傾斜角

　　【問題1】

　　請畫出以下三個方程所表示的直線，并觀察它們的異同.

　　； ；

　　過定點，方向不同.

　　如何確定一條直線？

　　兩點確定一條直線.

　　還有其他方法嗎？或者說如果只給出一點，要確定這條直線還應增加什么條件？

　　學生：思考、回憶、回答：這條直線的方向，或者說傾斜程度.

　　【導入  】

　　今天我們就共同來研究如何刻畫直線的方向.

　　【問題2】

　　在坐標系中的一條直線，我們用怎樣的角來刻畫直線的方向呢？討論之前我們可以設想這個角應該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問題，同時還應該是簡單的、自然的.

　　學生：展開討論.

　　學生討論過程中會有錯誤和不嚴謹之處，教師注意引導.

　　通過討論認為：應選擇α角來刻畫直線的方向.根據三角函數的知識，表明一個方向可以有無窮多個角，這里只需一個角即可（開始時可能有學生認為有四個角或兩個角），當然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.

　　【板書】

　　定義：一條直線l向上的方向與 軸的正方向所成的最小正角叫做直線 的傾斜角.

　　（教師強調三點：（1）直線向上的方向，（2） 軸的正方向，（3）最小正角.）

　　特別地，當 與 軸平行或重合時，規定傾斜角為0°.

　　由此定義，角的范圍如何？

　　0°≤α＜180°或0≤α＜π   如圖3

　　至此問題2已經解決了，回顧一下是怎么解決的.

　　（三）直線的斜率

　　【問題3】

　　下面我們在同一坐標系中畫出過原點傾斜角分別是30°、45°、135°的直線，并試著寫出它們的直線方程.然后觀察思考：

　　直線的傾斜角在直線方程中是如何體現的？

　　學生：在練習本上畫出直線，寫出方程.

　　30° ß--à ＝

　　45° ß--à  ＝

　　135°ß--à ＝

　　（注：學生對于寫出傾斜角是45°、135°的直線方程不會困難，但對于傾斜角是30°可能有困難，此時可啟發學生借用三角函數中的30°角終邊與單位圓的交點坐標來解決.）

　　【演示動畫】

　　觀察直線變化，傾斜角變化，直線方程中 系數變化的關系

　　(1)  直線變化→α變化→ 中的 系數 變化    （同時注意 α的變化）.

　　(2) 中的x系數k變化→直線變化→α變化    （同時注意 α的變化）.

　　教師引導學生觀察，歸納，猜想出傾斜角與 的系數的關系：傾斜角不同，方程中 的系數不同，而且這個系數正是傾斜角的正切！

　　【板書】

　　定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作 ，即 .

　　這樣我們定義了一個從“形”的方面刻畫直線相對于 軸（正方向）傾斜程度的量——傾斜角，現在我們又定義一個從“數”的方面刻畫直線相對于 軸（正方向）傾斜程度的量——斜率.

　　指出下列：

　　(1) ＝-     (2) ＝ tg60°    (3) ＝ tg(-30°)

　　學生思考后回答，師生一起訂正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(為什么不是-30°呢？)

　　畫圖，指出傾斜角和斜率.

　　結合圖3（也可以演示動畫），觀察傾斜角變化時，斜率的變化情況.

　　注意：當傾斜角為90°時，斜率不存在.

　　α＝0°      ß--à    ＝0

　　0°＜α＜90° ß--à    ＞0

　　α＝90°     ß--à   不存在

　　90°＜α＜180°ß--à  ＜0

　　（四）直線過兩點斜率公式的推導

　　【問題4】

　　如果給定直線的傾斜角，我們當然可以根據斜率的定義 ＝tgα求出直線的斜率；

　　如果給定直線上兩點坐標，直線是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢？

　　即已知兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直線P1P2的斜率.

　　思路分析：

　　首先由學生提出思路，教師啟發、引導：

　　運用正切定義，解決問題.

　　(1)正切函數定義是什么？（終邊上任一點的縱坐標比橫坐標.）

　　(2)角α是“標準位置”嗎？（不是.）

　　(3)如何把角α放在“標準位置”？（平移向量 ，使P1與原點重合，得到新向量 .）

　　(4)P的坐標是多少？（x2-x1，y2-y1）

　　(5)直線的斜率是多少？ ＝tgα= （x1≠x2）

　　(6)如果P1 和P2的順序不同，結果還一樣嗎？（一樣）.

　　評價：注意公式中x1≠x2，即直線P1 P2不垂直x軸.因此當直線P1P2不垂直x軸時，由已知直線上任意兩點的坐標可以求得斜率，而不需要求出傾斜角.

　　【練習】

　　(1)直線的傾斜角為α，則直線的斜率為 α？

　　(2)任意直線有傾斜角，則任意直線都有斜率？

　　(3)直線 (-330°)的傾斜角和斜率分別是多少？

　　(4)求經過兩點 (0，0)、 (-1， ).

　　(5)課本第37頁練習第2、4題.

　　教師巡視，觀察學生情況，個別輔導，訂正答案（答案略）.

　　【總結】

　　教師引導：首先回顧前邊提出的問題是否都已解決.再看下邊的問題：

　　(1)直線傾斜角的概念要注意什么？

　　(2)直線的傾斜角與斜率是一一對應嗎？

　　(3)已知兩點坐標，如何求直線的斜率？斜率公式中腳標1和2有順序嗎？

　　學生邊討論邊總結：

　　(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，當α=90°時， α不存在.

　　(3) ＝ （ ），沒有.

　　【作業 】

　　1.課本第37頁習題7.1第3、4、5題.

　　2.思考題

　　（1）方程 是單位圓的方程嗎？

　　（2）你能說出過原點，傾斜角是45°的直線方程嗎？

　　（3）你能說出過原點，斜率是2的直線方程嗎？

　　（4）你能說出過（1，1）點，斜率是2的直線方程嗎？

　　板書設計

　　7.1

　　一、直線方程

　　二、直線的傾斜角

　　三、直線的斜率

　　四、斜率公式

　　練習

　　小結

　　作業 

直線的傾斜角和斜率 篇3

　　教學目標 

　　（1）了解直線方程的概念.

　　（2）正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率.

　　（3）理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.

　　（4）通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關系的揭示，培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力.

　　（5）通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.

　　教學建議

　　1.教材分析

　　（1）知識結構

　　本節內容首先根據一次函數與其圖像——直線的關系導出直線方程的概念；其次為進一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進而建立直線斜率的概念，從而實現了直線的方向或者說直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數屬性的轉變；最后推導出經過兩點的直線的斜率公式.這些充分體現了解析幾何的思想方法.

　　（2）重點、難點分析

　　①本節的重點是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關系，以及討論直線與二次曲線的位置關系，直線的斜率都發揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學好這一章的關鍵.

　　②本節的難點是對斜率概念的理解.學生對于用直線的傾斜角來刻畫直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個問題卻并不容易接受.

　　2.教法建議

　　（1）本節課的教學任務有三大項：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學生思維也對應三個高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應的教學過程 也有三個階段

　　①在教學中首先是創設問題情境，然后通過討論明確用角來刻畫直線的方向，如何定義這個角呢，學生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.

　　②本節的難點是對斜率概念的理解.學生認為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學生還會認為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問題，就要求教師幫助學生認識到在直線的方程中體現的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程（一次函數 的形式，下同）中x的系數恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫板設計：

　　(1)  α變化→直線變化→ 中的 系數 變化    （同時注意 的變化）.

　　(2)  中的 系數 變化→直線變化→α變化    （同時注意 的變化）.

　　運用上述正反兩種變化的動態演示充分揭示直線方程中 系數與傾斜角正切的內在關系，這對幫助學生理解斜率概念是極有好處的.

　　③在進行過兩點的斜率公式推導的教學中要注意與前后知識的聯系，課前要對平面向量，三角函數等有關內容作一定的復習準備.

　　④在學習直線方程的概念時要通過舉例清晰地指出兩個條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強化直線與相應方程的對應關系.為將來學習曲線方程做好準備.

　　（2）本節內容在教學中宜采用啟發引導法和討論法，設計為啟發、引導、探究、評價的教學模式.學生在積極思維的基礎上，進行充分的討論、爭辯、交流、和評價.傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項教學任務都是在討論、交流、評價中完成的.在此過程中學生的思維和能力得到充分的發展.教師的任務是創設問題情境，引發爭論，組織交流，參與評價.

　　教學設計示例

　　教學目標 ：

　　（1）了解直線方程的概念，正確理解直線傾斜角和斜率概念，

　　（2）理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.

　　（3）培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力.

　　（4）幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.

　　教學重點、難點：直線斜率的概念和公式

　　教學用具：計算機

　　教學方法：啟發引導法，討論法

　　教學過程 ：

　　（一）直線方程的概念

　　如圖1，對于一次函數 ，和它的圖像——直線 有下面關系：

　　（1）有序數對（0，1）滿足函數 ，則直線上就有一點A，它的坐標是（0，1）.

　　（2）反過來，直線上點B（1，3），則有序實數對（1，3）就滿足 . 

　　一般地，滿足函數式 的每一對 ， 的值，都是直線上的點的坐標（ ， ）；

　　反之，直線上每一點的坐標（ ， ）都滿足函數式 ，因此，一次函數 的圖象是一條直線，它是以滿足 的每一對x，y的值為坐標的點構成的.

　　從方程的角度看，函數 也可以看作是二元一次方程 ，這樣滿足一次函數 的每一對 ， 的值“變成了”二元一次方程 的解，使方程和直線建立了聯系.

　　定義：以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點，反過來，這條直線上的所有點坐標都是這個方程的解，這時，這個方程就叫做這條直線的方程，這條直線就叫做這個方程的直線.

　　以上定義改用集合表述： ， 的二元一次方程的解為坐標的集合，記作 .若（1） （2） ，則 .

　　問：你能用充要條件敘述嗎？

　　答：一條直線是一個方程的直線，或者說這個方程是這條直線的方程的充要條件是…….

　　（二）直線的傾斜角

　　【問題1】

　　請畫出以下三個方程所表示的直線，并觀察它們的異同.

　　； ；

　　過定點，方向不同.

　　如何確定一條直線？

　　兩點確定一條直線.

　　還有其他方法嗎？或者說如果只給出一點，要確定這條直線還應增加什么條件？

　　學生：思考、回憶、回答：這條直線的方向，或者說傾斜程度.

　　【導入  】

　　今天我們就共同來研究如何刻畫直線的方向.

　　【問題2】

　　在坐標系中的一條直線，我們用怎樣的角來刻畫直線的方向呢？討論之前我們可以設想這個角應該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問題，同時還應該是簡單的、自然的.

　　學生：展開討論.

　　學生討論過程中會有錯誤和不嚴謹之處，教師注意引導.

　　通過討論認為：應選擇α角來刻畫直線的方向.根據三角函數的知識，表明一個方向可以有無窮多個角，這里只需一個角即可（開始時可能有學生認為有四個角或兩個角），當然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.

　　【板書】

　　定義：一條直線l向上的方向與 軸的正方向所成的最小正角叫做直線 的傾斜角.

　　（教師強調三點：（1）直線向上的方向，（2） 軸的正方向，（3）最小正角.）

　　特別地，當 與 軸平行或重合時，規定傾斜角為0°.

　　由此定義，角的范圍如何？

　　0°≤α＜180°或0≤α＜π   如圖3

　　至此問題2已經解決了，回顧一下是怎么解決的.

　　（三）直線的斜率

　　【問題3】

　　下面我們在同一坐標系中畫出過原點傾斜角分別是30°、45°、135°的直線，并試著寫出它們的直線方程.然后觀察思考：

　　直線的傾斜角在直線方程中是如何體現的？

　　學生：在練習本上畫出直線，寫出方程.

　　30° ß--à ＝

　　45° ß--à  ＝

　　135°ß--à ＝

　　（注：學生對于寫出傾斜角是45°、135°的直線方程不會困難，但對于傾斜角是30°可能有困難，此時可啟發學生借用三角函數中的30°角終邊與單位圓的交點坐標來解決.）

　　【演示動畫】

　　觀察直線變化，傾斜角變化，直線方程中 系數變化的關系

　　(1)  直線變化→α變化→ 中的 系數 變化    （同時注意 α的變化）.

　　(2) 中的x系數k變化→直線變化→α變化    （同時注意 α的變化）.

　　教師引導學生觀察，歸納，猜想出傾斜角與 的系數的關系：傾斜角不同，方程中 的系數不同，而且這個系數正是傾斜角的正切！

　　【板書】

　　定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作 ，即 .

　　這樣我們定義了一個從“形”的方面刻畫直線相對于 軸（正方向）傾斜程度的量——傾斜角，現在我們又定義一個從“數”的方面刻畫直線相對于 軸（正方向）傾斜程度的量——斜率.

　　指出下列：

　　(1) ＝-     (2) ＝ tg60°    (3) ＝ tg(-30°)

　　學生思考后回答，師生一起訂正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(為什么不是-30°呢？)

　　畫圖，指出傾斜角和斜率.

　　結合圖3（也可以演示動畫），觀察傾斜角變化時，斜率的變化情況.

　　注意：當傾斜角為90°時，斜率不存在.

　　α＝0°      ß--à    ＝0

　　0°＜α＜90° ß--à    ＞0

　　α＝90°     ß--à   不存在

　　90°＜α＜180°ß--à  ＜0

　　（四）直線過兩點斜率公式的推導

　　【問題4】

　　如果給定直線的傾斜角，我們當然可以根據斜率的定義 ＝tgα求出直線的斜率；

　　如果給定直線上兩點坐標，直線是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢？

　　即已知兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直線P1P2的斜率.

　　思路分析：

　　首先由學生提出思路，教師啟發、引導：

　　運用正切定義，解決問題.

　　(1)正切函數定義是什么？（終邊上任一點的縱坐標比橫坐標.）

　　(2)角α是“標準位置”嗎？（不是.）

　　(3)如何把角α放在“標準位置”？（平移向量 ，使P1與原點重合，得到新向量 .）

　　(4)P的坐標是多少？（x2-x1，y2-y1）

　　(5)直線的斜率是多少？ ＝tgα= （x1≠x2）

　　(6)如果P1 和P2的順序不同，結果還一樣嗎？（一樣）.

　　評價：注意公式中x1≠x2，即直線P1 P2不垂直x軸.因此當直線P1P2不垂直x軸時，由已知直線上任意兩點的坐標可以求得斜率，而不需要求出傾斜角.

　　【練習】

　　(1)直線的傾斜角為α，則直線的斜率為 α？

　　(2)任意直線有傾斜角，則任意直線都有斜率？

　　(3)直線 (-330°)的傾斜角和斜率分別是多少？

　　(4)求經過兩點 (0，0)、 (-1， ).

　　(5)課本第37頁練習第2、4題.

　　教師巡視，觀察學生情況，個別輔導，訂正答案（答案略）.

　　【總結】

　　教師引導：首先回顧前邊提出的問題是否都已解決.再看下邊的問題：

　　(1)直線傾斜角的概念要注意什么？

　　(2)直線的傾斜角與斜率是一一對應嗎？

　　(3)已知兩點坐標，如何求直線的斜率？斜率公式中腳標1和2有順序嗎？

　　學生邊討論邊總結：

　　(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，當α=90°時， α不存在.

　　(3) ＝ （ ），沒有.

　　【作業 】

　　1.課本第37頁習題7.1第3、4、5題.

　　2.思考題

　　（1）方程 是單位圓的方程嗎？

　　（2）你能說出過原點，傾斜角是45°的直線方程嗎？

　　（3）你能說出過原點，斜率是2的直線方程嗎？

　　（4）你能說出過（1，1）點，斜率是2的直線方程嗎？

　　板書設計 

　　7.1

　　一、直線方程

　　二、直線的傾斜角

　　三、直線的斜率

　　四、斜率公式

　　練習

　　小結

　　作業 

直線的傾斜角和斜率 篇4

　　教學目標 

　　（1）了解直線方程的概念.

　　（2）正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率.

　　（3）理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.

　　（4）通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關系的揭示，培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力.

　　（5）通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.

　　教學建議

　　1.教材分析

　　（1）知識結構

　　本節內容首先根據一次函數與其圖像——直線的關系導出直線方程的概念；其次為進一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進而建立直線斜率的概念，從而實現了直線的方向或者說直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數屬性的轉變；最后推導出經過兩點的直線的斜率公式.這些充分體現了解析幾何的思想方法.

　　（2）重點、難點分析

　　①本節的重點是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關系，以及討論直線與二次曲線的位置關系，直線的斜率都發揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學好這一章的關鍵.

　　②本節的難點是對斜率概念的理解.學生對于用直線的傾斜角來刻畫直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個問題卻并不容易接受.

　　2.教法建議

　　（1）本節課的教學任務有三大項：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學生思維也對應三個高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應的教學過程 也有三個階段

　　①在教學中首先是創設問題情境，然后通過討論明確用角來刻畫直線的方向，如何定義這個角呢，學生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.

　　②本節的難點是對斜率概念的理解.學生認為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學生還會認為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問題，就要求教師幫助學生認識到在直線的方程中體現的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程（一次函數 的形式，下同）中x的系數恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫板設計：

　　(1)  α變化→直線變化→ 中的 系數 變化    （同時注意 的變化）.

　　(2)  中的 系數 變化→直線變化→α變化    （同時注意 的變化）.

　　運用上述正反兩種變化的動態演示充分揭示直線方程中 系數與傾斜角正切的內在關系，這對幫助學生理解斜率概念是極有好處的.

　　③在進行過兩點的斜率公式推導的教學中要注意與前后知識的聯系，課前要對平面向量，三角函數等有關內容作一定的復習準備.

　　④在學習直線方程的概念時要通過舉例清晰地指出兩個條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強化直線與相應方程的對應關系.為將來學習曲線方程做好準備.

　　（2）本節內容在教學中宜采用啟發引導法和討論法，設計為啟發、引導、探究、評價的教學模式.學生在積極思維的基礎上，進行充分的討論、爭辯、交流、和評價.傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項教學任務都是在討論、交流、評價中完成的.在此過程中學生的思維和能力得到充分的發展.教師的任務是創設問題情境，引發爭論，組織交流，參與評價.

　　教學設計示例

　　教學目標 ：

　　（1）了解直線方程的概念，正確理解直線傾斜角和斜率概念，

　　（2）理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.

　　（3）培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力.

　　（4）幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.

　　教學重點、難點：直線斜率的概念和公式

　　教學用具：計算機

　　教學方法：啟發引導法，討論法

　　教學過程 ：

　　（一）直線方程的概念

　　如圖1，對于一次函數 ，和它的圖像——直線 有下面關系：

　　（1）有序數對（0，1）滿足函數 ，則直線上就有一點A，它的坐標是（0，1）.

　　（2）反過來，直線上點B（1，3），則有序實數對（1，3）就滿足 . 

　　一般地，滿足函數式 的每一對 ， 的值，都是直線上的點的坐標（ ， ）；

　　反之，直線上每一點的坐標（ ， ）都滿足函數式 ，因此，一次函數 的圖象是一條直線，它是以滿足 的每一對x，y的值為坐標的點構成的.

　　從方程的角度看，函數 也可以看作是二元一次方程 ，這樣滿足一次函數 的每一對 ， 的值“變成了”二元一次方程 的解，使方程和直線建立了聯系.

　　定義：以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點，反過來，這條直線上的所有點坐標都是這個方程的解，這時，這個方程就叫做這條直線的方程，這條直線就叫做這個方程的直線.

　　以上定義改用集合表述： ， 的二元一次方程的解為坐標的集合，記作 .若（1） （2） ，則 .

　　問：你能用充要條件敘述嗎？

　　答：一條直線是一個方程的直線，或者說這個方程是這條直線的方程的充要條件是…….

　　（二）直線的傾斜角

　　【問題1】

　　請畫出以下三個方程所表示的直線，并觀察它們的異同.

　　； ；

　　過定點，方向不同.

　　如何確定一條直線？

　　兩點確定一條直線.

　　還有其他方法嗎？或者說如果只給出一點，要確定這條直線還應增加什么條件？

　　學生：思考、回憶、回答：這條直線的方向，或者說傾斜程度.

　　【導入  】

　　今天我們就共同來研究如何刻畫直線的方向.

　　【問題2】

　　在坐標系中的一條直線，我們用怎樣的角來刻畫直線的方向呢？討論之前我們可以設想這個角應該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問題，同時還應該是簡單的、自然的.

　　學生：展開討論.

　　學生討論過程中會有錯誤和不嚴謹之處，教師注意引導.

　　通過討論認為：應選擇α角來刻畫直線的方向.根據三角函數的知識，表明一個方向可以有無窮多個角，這里只需一個角即可（開始時可能有學生認為有四個角或兩個角），當然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.

　　【板書】

　　定義：一條直線l向上的方向與 軸的正方向所成的最小正角叫做直線 的傾斜角.

　　（教師強調三點：（1）直線向上的方向，（2） 軸的正方向，（3）最小正角.）

　　特別地，當 與 軸平行或重合時，規定傾斜角為0°.

　　由此定義，角的范圍如何？

　　0°≤α＜180°或0≤α＜π   如圖3

　　至此問題2已經解決了，回顧一下是怎么解決的.

　　（三）直線的斜率

　　【問題3】

　　下面我們在同一坐標系中畫出過原點傾斜角分別是30°、45°、135°的直線，并試著寫出它們的直線方程.然后觀察思考：

　　直線的傾斜角在直線方程中是如何體現的？

　　學生：在練習本上畫出直線，寫出方程.

　　30° ß--à ＝

　　45° ß--à  ＝

　　135°ß--à ＝

　　（注：學生對于寫出傾斜角是45°、135°的直線方程不會困難，但對于傾斜角是30°可能有困難，此時可啟發學生借用三角函數中的30°角終邊與單位圓的交點坐標來解決.）

　　【演示動畫】

　　觀察直線變化，傾斜角變化，直線方程中 系數變化的關系

　　(1)  直線變化→α變化→ 中的 系數 變化    （同時注意 α的變化）.

　　(2) 中的x系數k變化→直線變化→α變化    （同時注意 α的變化）.

　　教師引導學生觀察，歸納，猜想出傾斜角與 的系數的關系：傾斜角不同，方程中 的系數不同，而且這個系數正是傾斜角的正切！

　　【板書】

　　定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作 ，即 .

　　這樣我們定義了一個從“形”的方面刻畫直線相對于 軸（正方向）傾斜程度的量——傾斜角，現在我們又定義一個從“數”的方面刻畫直線相對于 軸（正方向）傾斜程度的量——斜率.

　　指出下列：

　　(1) ＝-     (2) ＝ tg60°    (3) ＝ tg(-30°)

　　學生思考后回答，師生一起訂正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(為什么不是-30°呢？)

　　畫圖，指出傾斜角和斜率.

　　結合圖3（也可以演示動畫），觀察傾斜角變化時，斜率的變化情況.

　　注意：當傾斜角為90°時，斜率不存在.

　　α＝0°      ß--à    ＝0

　　0°＜α＜90° ß--à    ＞0

　　α＝90°     ß--à   不存在

　　90°＜α＜180°ß--à  ＜0

　　（四）直線過兩點斜率公式的推導

　　【問題4】

　　如果給定直線的傾斜角，我們當然可以根據斜率的定義 ＝tgα求出直線的斜率；

　　如果給定直線上兩點坐標，直線是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢？

　　即已知兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直線P1P2的斜率.

　　思路分析：

　　首先由學生提出思路，教師啟發、引導：

　　運用正切定義，解決問題.

　　(1)正切函數定義是什么？（終邊上任一點的縱坐標比橫坐標.）

　　(2)角α是“標準位置”嗎？（不是.）

　　(3)如何把角α放在“標準位置”？（平移向量 ，使P1與原點重合，得到新向量 .）

　　(4)P的坐標是多少？（x2-x1，y2-y1）

　　(5)直線的斜率是多少？ ＝tgα= （x1≠x2）

　　(6)如果P1 和P2的順序不同，結果還一樣嗎？（一樣）.

　　評價：注意公式中x1≠x2，即直線P1 P2不垂直x軸.因此當直線P1P2不垂直x軸時，由已知直線上任意兩點的坐標可以求得斜率，而不需要求出傾斜角.

　　【練習】

　　(1)直線的傾斜角為α，則直線的斜率為 α？

　　(2)任意直線有傾斜角，則任意直線都有斜率？

　　(3)直線 (-330°)的傾斜角和斜率分別是多少？

　　(4)求經過兩點 (0，0)、 (-1， ).

　　(5)課本第37頁練習第2、4題.

　　教師巡視，觀察學生情況，個別輔導，訂正答案（答案略）.

　　【總結】

　　教師引導：首先回顧前邊提出的問題是否都已解決.再看下邊的問題：

　　(1)直線傾斜角的概念要注意什么？

　　(2)直線的傾斜角與斜率是一一對應嗎？

　　(3)已知兩點坐標，如何求直線的斜率？斜率公式中腳標1和2有順序嗎？

　　學生邊討論邊總結：

　　(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，當α=90°時， α不存在.

　　(3) ＝ （ ），沒有.

　　【作業 】

　　1.課本第37頁習題7.1第3、4、5題.

　　2.思考題

　　（1）方程 是單位圓的方程嗎？

　　（2）你能說出過原點，傾斜角是45°的直線方程嗎？

　　（3）你能說出過原點，斜率是2的直線方程嗎？

　　（4）你能說出過（1，1）點，斜率是2的直線方程嗎？

　　板書設計 

　　7.1

　　一、直線方程

　　二、直線的傾斜角

　　三、直線的斜率

　　四、斜率公式

　　練習

　　小結

　　作業 

直線的傾斜角和斜率 篇5

　　教學目標 

　　（1）了解直線方程的概念.

　　（2）正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率.

　　（3）理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.

　　（4）通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關系的揭示，培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力.

　　（5）通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.

　　教學建議

　　1.教材分析

　　（1）知識結構

　　本節內容首先根據一次函數與其圖像——直線的關系導出直線方程的概念；其次為進一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進而建立直線斜率的概念，從而實現了直線的方向或者說直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數屬性的轉變；最后推導出經過兩點的直線的斜率公式.這些充分體現了解析幾何的思想方法.

　　（2）重點、難點分析

　　①本節的重點是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關系，以及討論直線與二次曲線的位置關系，直線的斜率都發揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學好這一章的關鍵.

　　②本節的難點是對斜率概念的理解.學生對于用直線的傾斜角來刻畫直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個問題卻并不容易接受.

　　2.教法建議

　　（1）本節課的教學任務有三大項：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學生思維也對應三個高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應的教學過程 也有三個階段

　　①在教學中首先是創設問題情境，然后通過討論明確用角來刻畫直線的方向，如何定義這個角呢，學生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.

　　②本節的難點是對斜率概念的理解.學生認為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學生還會認為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問題，就要求教師幫助學生認識到在直線的方程中體現的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程（一次函數 的形式，下同）中x的系數恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫板設計：

　　(1)  α變化→直線變化→ 中的 系數 變化    （同時注意 的變化）.

　　(2)  中的 系數 變化→直線變化→α變化    （同時注意 的變化）.

　　運用上述正反兩種變化的動態演示充分揭示直線方程中 系數與傾斜角正切的內在關系，這對幫助學生理解斜率概念是極有好處的.

　　③在進行過兩點的斜率公式推導的教學中要注意與前后知識的聯系，課前要對平面向量，三角函數等有關內容作一定的復習準備.

　　④在學習直線方程的概念時要通過舉例清晰地指出兩個條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強化直線與相應方程的對應關系.為將來學習曲線方程做好準備.

　　（2）本節內容在教學中宜采用啟發引導法和討論法，設計為啟發、引導、探究、評價的教學模式.學生在積極思維的基礎上，進行充分的討論、爭辯、交流、和評價.傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項教學任務都是在討論、交流、評價中完成的.在此過程中學生的思維和能力得到充分的發展.教師的任務是創設問題情境，引發爭論，組織交流，參與評價.

　　教學設計示例

　　教學目標 ：

　　（1）了解直線方程的概念，正確理解直線傾斜角和斜率概念，

　　（2）理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.

　　（3）培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力.

　　（4）幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.

　　教學重點、難點：直線斜率的概念和公式

　　教學用具：計算機

　　教學方法：啟發引導法，討論法

　　教學過程 ：

　　（一）直線方程的概念

　　如圖1，對于一次函數 ，和它的圖像——直線 有下面關系：

　　（1）有序數對（0，1）滿足函數 ，則直線上就有一點A，它的坐標是（0，1）.

　　（2）反過來，直線上點B（1，3），則有序實數對（1，3）就滿足 . 

　　一般地，滿足函數式 的每一對 ， 的值，都是直線上的點的坐標（ ， ）；

　　反之，直線上每一點的坐標（ ， ）都滿足函數式 ，因此，一次函數 的圖象是一條直線，它是以滿足 的每一對x，y的值為坐標的點構成的.

　　從方程的角度看，函數 也可以看作是二元一次方程 ，這樣滿足一次函數 的每一對 ， 的值“變成了”二元一次方程 的解，使方程和直線建立了聯系.

　　定義：以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點，反過來，這條直線上的所有點坐標都是這個方程的解，這時，這個方程就叫做這條直線的方程，這條直線就叫做這個方程的直線.

　　以上定義改用集合表述： ， 的二元一次方程的解為坐標的集合，記作 .若（1） （2） ，則 .

　　問：你能用充要條件敘述嗎？

　　答：一條直線是一個方程的直線，或者說這個方程是這條直線的方程的充要條件是…….

　　（二）直線的傾斜角

　　【問題1】

　　請畫出以下三個方程所表示的直線，并觀察它們的異同.

　　； ；

　　過定點，方向不同.

　　如何確定一條直線？

　　兩點確定一條直線.

　　還有其他方法嗎？或者說如果只給出一點，要確定這條直線還應增加什么條件？

　　學生：思考、回憶、回答：這條直線的方向，或者說傾斜程度.

　　【導入  】

　　今天我們就共同來研究如何刻畫直線的方向.

　　【問題2】

　　在坐標系中的一條直線，我們用怎樣的角來刻畫直線的方向呢？討論之前我們可以設想這個角應該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問題，同時還應該是簡單的、自然的.

　　學生：展開討論.

　　學生討論過程中會有錯誤和不嚴謹之處，教師注意引導.

　　通過討論認為：應選擇α角來刻畫直線的方向.根據三角函數的知識，表明一個方向可以有無窮多個角，這里只需一個角即可（開始時可能有學生認為有四個角或兩個角），當然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.

　　【板書】

　　定義：一條直線l向上的方向與 軸的正方向所成的最小正角叫做直線 的傾斜角.

　　（教師強調三點：（1）直線向上的方向，（2） 軸的正方向，（3）最小正角.）

　　特別地，當 與 軸平行或重合時，規定傾斜角為0°.

　　由此定義，角的范圍如何？

　　0°≤α＜180°或0≤α＜π   如圖3

　　至此問題2已經解決了，回顧一下是怎么解決的.

　　（三）直線的斜率

　　【問題3】

　　下面我們在同一坐標系中畫出過原點傾斜角分別是30°、45°、135°的直線，并試著寫出它們的直線方程.然后觀察思考：

　　直線的傾斜角在直線方程中是如何體現的？

　　學生：在練習本上畫出直線，寫出方程.

　　30° ß--à ＝

　　45° ß--à  ＝

　　135°ß--à ＝

　　（注：學生對于寫出傾斜角是45°、135°的直線方程不會困難，但對于傾斜角是30°可能有困難，此時可啟發學生借用三角函數中的30°角終邊與單位圓的交點坐標來解決.）

　　【演示動畫】

　　觀察直線變化，傾斜角變化，直線方程中 系數變化的關系

　　(1)  直線變化→α變化→ 中的 系數 變化    （同時注意 α的變化）.

　　(2) 中的x系數k變化→直線變化→α變化    （同時注意 α的變化）.

　　教師引導學生觀察，歸納，猜想出傾斜角與 的系數的關系：傾斜角不同，方程中 的系數不同，而且這個系數正是傾斜角的正切！

　　【板書】

　　定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作 ，即 .

　　這樣我們定義了一個從“形”的方面刻畫直線相對于 軸（正方向）傾斜程度的量——傾斜角，現在我們又定義一個從“數”的方面刻畫直線相對于 軸（正方向）傾斜程度的量——斜率.

　　指出下列：

　　(1) ＝-     (2) ＝ tg60°    (3) ＝ tg(-30°)

　　學生思考后回答，師生一起訂正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(為什么不是-30°呢？)

　　畫圖，指出傾斜角和斜率.

　　結合圖3（也可以演示動畫），觀察傾斜角變化時，斜率的變化情況.

　　注意：當傾斜角為90°時，斜率不存在.

　　α＝0°      ß--à    ＝0

　　0°＜α＜90° ß--à    ＞0

　　α＝90°     ß--à   不存在

　　90°＜α＜180°ß--à  ＜0

　　（四）直線過兩點斜率公式的推導

　　【問題4】

　　如果給定直線的傾斜角，我們當然可以根據斜率的定義 ＝tgα求出直線的斜率；

　　如果給定直線上兩點坐標，直線是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢？

　　即已知兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直線P1P2的斜率.

　　思路分析：

　　首先由學生提出思路，教師啟發、引導：

　　運用正切定義，解決問題.

　　(1)正切函數定義是什么？（終邊上任一點的縱坐標比橫坐標.）

　　(2)角α是“標準位置”嗎？（不是.）

　　(3)如何把角α放在“標準位置”？（平移向量 ，使P1與原點重合，得到新向量 .）

　　(4)P的坐標是多少？（x2-x1，y2-y1）

　　(5)直線的斜率是多少？ ＝tgα= （x1≠x2）

　　(6)如果P1 和P2的順序不同，結果還一樣嗎？（一樣）.

　　評價：注意公式中x1≠x2，即直線P1 P2不垂直x軸.因此當直線P1P2不垂直x軸時，由已知直線上任意兩點的坐標可以求得斜率，而不需要求出傾斜角.

　　【練習】

　　(1)直線的傾斜角為α，則直線的斜率為 α？

　　(2)任意直線有傾斜角，則任意直線都有斜率？

　　(3)直線 (-330°)的傾斜角和斜率分別是多少？

　　(4)求經過兩點 (0，0)、 (-1， ).

　　(5)課本第37頁練習第2、4題.

　　教師巡視，觀察學生情況，個別輔導，訂正答案（答案略）.

　　【總結】

　　教師引導：首先回顧前邊提出的問題是否都已解決.再看下邊的問題：

　　(1)直線傾斜角的概念要注意什么？

　　(2)直線的傾斜角與斜率是一一對應嗎？

　　(3)已知兩點坐標，如何求直線的斜率？斜率公式中腳標1和2有順序嗎？

　　學生邊討論邊總結：

　　(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，當α=90°時， α不存在.

　　(3) ＝ （ ），沒有.

　　【作業 】

　　1.課本第37頁習題7.1第3、4、5題.

　　2.思考題

　　（1）方程 是單位圓的方程嗎？

　　（2）你能說出過原點，傾斜角是45°的直線方程嗎？

　　（3）你能說出過原點，斜率是2的直線方程嗎？

　　（4）你能說出過（1，1）點，斜率是2的直線方程嗎？

　　板書設計 

　　7.1

　　一、直線方程

　　二、直線的傾斜角

　　三、直線的斜率

　　四、斜率公式

　　練習

　　小結

　　作業 

直線的傾斜角和斜率 篇6

　　教學目標

　　(1)了解直線方程的概念.

　　(2)正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的,但不是每條直線都存在斜率.

　　(3)理解公式的推導過程,把握過兩點的直線的斜率公式.

　　(4)通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關系的揭示,培養學生觀察、探索能力,運用數學語言表達能力,數學交流與評價能力.

　　(5)通過斜率概念的建立和斜率公式的推導,幫助學生進一步理解數形結合思想,培養學生樹立辯證統一的觀點,培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.

　　教學建議

　　1.教材分析

　　(1)知識結構

　　本節內容首先根據一次函數與其圖像——直線的關系導出直線方程的概念;其次為進一步研究直線,建立了直線傾斜角的概念,進而建立直線斜率的概念,從而實現了直線的方向或者說直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數屬性的轉變;最后推導出經過兩點的直線的斜率公式.這些充分體現了解析幾何的思想方法.

　　(2)重點、難點分析

　　①本節的重點是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內容展開的主線,無論是建立直線的方程,還是研究兩條直線的位置關系,以及討論直線與二次曲線的位置關系,直線的斜率都發揮著重要作用.因此,正確理解斜率概念,熟練把握斜率公式是學好這一章的關鍵.

　　②本節的難點是對斜率概念的理解.學生對于用直線的傾斜角來刻畫直線的方向并不難接受,但是,為什么要定義直線的斜率,為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個問題卻并不輕易接受.

　　2.教法建議

　　(1)本節課的教學任務有三大項:傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學生思維也對應三個高潮:傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應的教學過程也有三個階段

　　①在教學中首先是創設問題情境,然后通過討論明確用角來刻畫直線的方向,如何定義這個角呢,學生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.

　　②本節的難點是對斜率概念的理解.學生認為傾斜角就可以刻畫直線的方向,而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的,而斜率卻不這樣.學生還會認為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數量化嗎.再有,為什么要用傾斜角的正切定義斜率,而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問題,就要求教師幫助學生熟悉到在直線的方程中體現的不是直線的傾斜角,而是傾斜角的正切,即直線方程(一次函數 的形式,下同)中x的系數恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學生更好的理解直線斜率的概念,可以借助幾何畫板設計:

　　(1) α變化→直線變化→ 中的 系數 變化 (同時注重 的變化).

　　(2) 中的 系數 變化→直線變化→α變化 (同時注重 的變化).

　　運用上述正反兩種變化的動態演示充分揭示直線方程中 系數與傾斜角正切的內在關系,這對幫助學生理解斜率概念是極有好處的.

　　③在進行過兩點的斜率公式推導的教學中要注重與前后知識的聯系,課前要對平面向量,三角函數等有關內容作一定的復習預備.

　　④在學習直線方程的概念時要通過舉例清楚地指出兩個條件,最好能用充要條件敘述直線方程的概念,強化直線與相應方程的對應關系.為將來學習曲線方程做好預備.

　　(2)本節內容在教學中宜采用啟發引導法和討論法,設計為啟發、引導、探究、評價的教學模式.學生在積極思維的基礎上,進行充分的討論、爭辯、交流、和評價.傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立,這三項教學任務都是在討論、交流、評價中完成的.在此過程中學生的思維和能力得到充分的發展.教師的任務是創設問題情境,引發爭論,組織交流,參與評價.

　　教學設計示例

　　直線的傾斜角和斜率

　　教學目標:

　　(1)了解直線方程的概念,正確理解直線傾斜角和斜率概念,

　　(2)理解公式的推導過程,把握過兩點的直線的斜率公式.

　　(3)培養學生觀察、探索能力,運用數學語言表達能力,數學交流與評價能力.

　　(4)幫助學生進一步理解數形結合思想,培養學生樹立辯證統一的觀點,培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.

　　教學重點、難點:直線斜率的概念和公式

　　教學用具:計算機

　　教學方法:啟發引導法,討論法

　　教學過程:

　　(一)直線方程的概念

　　如圖1,對于一次函數 ,和它的圖像——直線 有下面關系:

　　(1)有序數對(0,1)滿足函數 ,則直線上就有一點a,它的坐標是(0,1).

　　(2)反過來,直線上點b(1,3),則有序實數對(1,3)就滿足 .

　　一般地,滿足函數式 的每一對 , 的值,都是直線上的點的坐標( , );

　　反之,直線上每一點的坐標( , )都滿足函數式 ,因此,一次函數 的圖象是一條直線,它是以滿足 的每一對x,y的值為坐標的點構成的.

　　從方程的角度看,函數 也可以看作是二元一次方程 ,這樣滿足一次函數 的每一對 , 的值“變成了”二元一次方程 的解,使方程和直線建立了聯系.

　　定義:以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點,反過來,這條直線上的所有點坐標都是這個方程的解,這時,這個方程就叫做這條直線的方程,這條直線就叫做這個方程的直線.

　　以上定義改用集合表述: , 的二元一次方程的解為坐標的集合,記作 .若(1) (2) ,則 .

　　問:你能用充要條件敘述嗎?

　　答:一條直線是一個方程的直線,或者說這個方程是這條直線的方程的充要條件是…….

　　(二)直線的傾斜角

　　問題1

　　請畫出以下三個方程所表示的直線,并觀察它們的異同.

　　; ;

　　過定點,方向不同.

　　如何確定一條直線?

　　兩點確定一條直線.

　　還有其他方法嗎?或者說假如只給出一點,要確定這條直線還應增加什么條件?

　　學生:思考、回憶、回答:這條直線的方向,或者說傾斜程度.

　　導入

　　今天我們就共同來研究如何刻畫直線的方向.

　　問題2

　　在坐標系中的一條直線,我們用怎樣的角來刻畫直線的方向呢?討論之前我們可以設想這個角應該是怎樣的呢?它不僅能解決我們的問題,同時還應該是簡單的、自然的.

　　學生:展開討論.

　　學生討論過程中會有錯誤和不嚴謹之處,教師注重引導.

　　通過討論認為:應選擇α角來刻畫直線的方向.根據三角函數的知識,表明一個方向可以有無窮多個角,這里只需一個角即可(開始時可能有學生認為有四個角或兩個角),當然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.

　　板書

　　定義:一條直線l向上的方向與 軸的正方向所成的最小正角叫做直線 的傾斜角.

　　(教師強調三點:(1)直線向上的方向,(2) 軸的正方向,(3)最小正角.)

　　非凡地,當 與 軸平行或重合時,規定傾斜角為0°.

　　由此定義,角的范圍如何?

　　0°≤α<180°或0≤α<π 如圖3

　　至此問題2已經解決了,回顧一下是怎么解決的.

　　(三)直線的斜率

　　問題3

　　下面我們在同一坐標系中畫出過原點傾斜角分別是30°、45°、135°的直線,并試著寫出它們的直線方程.然后觀察思考:

　　直線的傾斜角在直線方程中是如何體現的?

　　學生:在練習本上畫出直線,寫出方程.

　　30° ?à =

　　45° ?à =

　　135°?à =

　　(注:學生對于寫出傾斜角是45°、135°的直線方程不會困難,但對于傾斜角是30°可能有困難,此時可啟發學生借用三角函數中的30°角終邊與單位圓的交點坐標來解決.)

　　演示動畫

　　觀察直線變化,傾斜角變化,直線方程中 系數變化的關系

　　(1) 直線變化→α變化→ 中的 系數 變化 (同時注重 α的變化).

　　(2) 中的x系數k變化→直線變化→α變化 (同時注重 α的變化).

　　教師引導學生觀察,歸納,猜想出傾斜角與 的系數的關系:傾斜角不同,方程中 的系數不同,而且這個系數正是傾斜角的正切!

　　板書

　　定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作 ,即 .

　　這樣我們定義了一個從“形”的方面刻畫直線相對于 軸(正方向)傾斜程度的量——傾斜角,現在我們又定義一個從“數”的方面刻畫直線相對于 軸(正方向)傾斜程度的量——斜率.

　　指出下列直線的傾斜角和斜率:

　　(1) = (2) = tg60° (3) = tg(30°)

　　學生思考后回答,師生一起訂正:(1)120°; (2)60°;(3)150°(為什么不是30°呢?)

　　畫圖,指出傾斜角和斜率.

　　結合圖3(也可以演示動畫),觀察傾斜角變化時,斜率的變化情況.

　　注重:當傾斜角為90°時,斜率不存在.

　　α=0° ?à =0

　　0°<α<90° ?à >0

　　α=90° ?à 不存在

　　90°<α<180°?à <0

　　(四)直線過兩點斜率公式的推導

　　問題4

　　假如給定直線的傾斜角,我們當然可以根據斜率的定義 =tgα求出直線的斜率;

　　假如給定直線上兩點坐標,直線是確定的,傾斜角也是確定的,斜率就是確定的,那么又怎么求出直線的斜率呢?

　　即已知兩點p1(x1,y1)、p2(x2,y2)(其中x1≠x2),求直線p1p2的斜率.

　　思路分析:

　　首先由學生提出思路,教師啟發、引導:

　　運用正切定義,解決問題.

　　(1)正切函數定義是什么?(終邊上任一點的縱坐標比橫坐標.)

　　(2)角α是“標準位置”嗎?(不是.)

　　(3)如何把角α放在“標準位置”?(平移向量 ,使p1與原點重合,得到新向量 .)

　　(4)p的坐標是多少?(x2x1,y2y1)

　　(5)直線的斜率是多少? =tgα= (x1≠x2)

　　(6)假如p1 和p2的順序不同,結果還一樣嗎?(一樣).

　　評價:注重公式中x1≠x2,即直線p1 p2不垂直x軸.因此當直線p1p2不垂直x軸時,由已知直線上任意兩點的坐標可以求得斜率,而不需要求出傾斜角.

　　練習

　　(1)直線的傾斜角為α,則直線的斜率為 α?

　　(2)任意直線有傾斜角,則任意直線都有斜率?

　　(3)直線 (330°)的傾斜角和斜率分別是多少?

　　(4)求經過兩點 (0,0)、 (1, )直線的傾斜角和斜率.

　　(5)課本第37頁練習第2、4題.

　　教師巡視,觀察學生情況,個別輔導,訂正答案(答案略).

　　總結

　　教師引導:首先回顧前邊提出的問題是否都已解決.再看下邊的問題:

　　(1)直線傾斜角的概念要注重什么?

　　(2)直線的傾斜角與斜率是一一對應嗎?

　　(3)已知兩點坐標,如何求直線的斜率?斜率公式中腳標1和2有順序嗎?

　　學生邊討論邊總結:

　　(1)向上的方向,正方向,最小,正角.(2)不是,當α=90°時, α不存在.

　　(3) = ( ),沒有.

　　作業

　　1.課本第37頁習題7.1第3、4、5題.

　　2.思考題

　　(1)方程 是單位圓的方程嗎?

　　(2)你能說出過原點,傾斜角是45°的直線方程嗎?

　　(3)你能說出過原點,斜率是2的直線方程嗎?

　　(4)你能說出過(1,1)點,斜率是2的直線方程嗎?

　　板書設計

　　7.1直線的傾斜角和斜率

　　一、直線方程

　　二、直線的傾斜角

　　三、直線的斜率

　　四、斜率公式

　　練習

　　小結

　　作業

直線的傾斜角和斜率 篇7

　　教學目標 

　　（1）了解直線方程的概念.

　　（2）正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率.

　　（3）理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.

　　（4）通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關系的揭示，培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力.

　　（5）通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.

　　教學建議

　　1.教材分析

　　（1）知識結構

　　本節內容首先根據一次函數與其圖像——直線的關系導出直線方程的概念；其次為進一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進而建立直線斜率的概念，從而實現了直線的方向或者說直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數屬性的轉變；最后推導出經過兩點的直線的斜率公式.這些充分體現了解析幾何的思想方法.

　　（2）重點、難點分析

　　①本節的重點是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關系，以及討論直線與二次曲線的位置關系，直線的斜率都發揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學好這一章的關鍵.

　　②本節的難點是對斜率概念的理解.學生對于用直線的傾斜角來刻畫直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個問題卻并不容易接受.

　　2.教法建議

　　（1）本節課的教學任務有三大項：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學生思維也對應三個高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應的教學過程 也有三個階段

　　①在教學中首先是創設問題情境，然后通過討論明確用角來刻畫直線的方向，如何定義這個角呢，學生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.

　　②本節的難點是對斜率概念的理解.學生認為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學生還會認為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問題，就要求教師幫助學生認識到在直線的方程中體現的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程（一次函數  的形式，下同）中x的系數恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫板設計：

　　(1)  α變化→直線變化→  中的 系數 變化    （同時注意  的變化）.

　　(2)   中的 系數 變化→直線變化→α變化    （同時注意  的變化）.

　　運用上述正反兩種變化的動態演示充分揭示直線方程中 系數與傾斜角正切的內在關系，這對幫助學生理解斜率概念是極有好處的.

　　③在進行過兩點的斜率公式推導的教學中要注意與前后知識的聯系，課前要對平面向量，三角函數等有關內容作一定的復習準備.

　　④在學習直線方程的概念時要通過舉例清晰地指出兩個條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強化直線與相應方程的對應關系.為將來學習曲線方程做好準備.

　　（2）本節內容在教學中宜采用啟發引導法和討論法，設計為啟發、引導、探究、評價的教學模式.學生在積極思維的基礎上，進行充分的討論、爭辯、交流、和評價.傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項教學任務都是在討論、交流、評價中完成的.在此過程中學生的思維和能力得到充分的發展.教師的任務是創設問題情境，引發爭論，組織交流，參與評價.

　　教學設計示例

　　直線的傾斜角和斜率

　　教學目標 ：

　　（1）了解直線方程的概念，正確理解直線傾斜角和斜率概念，

　　（2）理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.

　　（3）培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力.

　　（4）幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.

　　教學重點、難點：直線斜率的概念和公式

　　教學用具：計算機

　　教學方法：啟發引導法，討論法

　　教學過程 ：

　　（一）直線方程的概念

　　如圖1，對于一次函數  ，和它的圖像——直線 有下面關系：

　　（1）有序數對（0，1）滿足函數  ，則直線上就有一點A，它的坐標是（0，1）.

　　（2）反過來，直線上點B（1，3），則有序實數對（1，3）就滿足  . 

　　一般地，滿足函數式  的每一對 ， 的值，都是直線上的點的坐標（ ， ）；

　　反之，直線上每一點的坐標（  ，  ）都滿足函數式  ，因此，一次函數  的圖象是一條直線，它是以滿足  的每一對x，y的值為坐標的點構成的.

　　從方程的角度看，函數  也可以看作是二元一次方程  ，這樣滿足一次函數  的每一對 ， 的值“變成了”二元一次方程  的解，使方程和直線建立了聯系.

　　定義：以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點，反過來，這條直線上的所有點坐標都是這個方程的解，這時，這個方程就叫做這條直線的方程，這條直線就叫做這個方程的直線.

　　以上定義改用集合表述： ， 的二元一次方程的解為坐標的集合，記作 .若（1） （2） ，則 .

　　問：你能用充要條件敘述嗎？

　　答：一條直線是一個方程的直線，或者說這個方程是這條直線的方程的充要條件是…….

　　（二）直線的傾斜角

　　【問題1】

　　請畫出以下三個方程所表示的直線，并觀察它們的異同.

　　過定點，方向不同.

　　如何確定一條直線？

　　兩點確定一條直線.

　　還有其他方法嗎？或者說如果只給出一點，要確定這條直線還應增加什么條件？

　　學生：思考、回憶、回答：這條直線的方向，或者說傾斜程度.

　　【導入  】

　　今天我們就共同來研究如何刻畫直線的方向.

　　【問題2】

　　在坐標系中的一條直線，我們用怎樣的角來刻畫直線的方向呢？討論之前我們可以設想這個角應該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問題，同時還應該是簡單的、自然的.

　　學生：展開討論.

　　學生討論過程中會有錯誤和不嚴謹之處，教師注意引導.

　　通過討論認為：應選擇α角來刻畫直線的方向.根據三角函數的知識，表明一個方向可以有無窮多個角，這里只需一個角即可（開始時可能有學生認為有四個角或兩個角），當然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.

　　【板書】

　　定義：一條直線l向上的方向與 軸的正方向所成的最小正角叫做直線 的傾斜角.

　　（教師強調三點：（1）直線向上的方向，（2） 軸的正方向，（3）最小正角.）

　　特別地，當 與 軸平行或重合時，規定傾斜角為0°.

　　由此定義，角的范圍如何？

　　0°≤α＜180°或0≤α＜π   如圖3

　　至此問題2已經解決了，回顧一下是怎么解決的.

　　（三）直線的斜率

　　【問題3】

　　下面我們在同一坐標系中畫出過原點傾斜角分別是30°、45°、135°的直線，并試著寫出它們的直線方程.然后觀察思考：

　　直線的傾斜角在直線方程中是如何體現的？

　　學生：在練習本上畫出直線，寫出方程.

　　30° ß--à ＝ 

　　45° ß--à  ＝

　　135°ß--à ＝

　　（注：學生對于寫出傾斜角是45°、135°的直線方程不會困難，但對于傾斜角是30°可能有困難，此時可啟發學生借用三角函數中的30°角終邊與單位圓的交點坐標來解決.）

　　【演示動畫】

　　觀察直線變化，傾斜角變化，直線方程中 系數變化的關系

　　(1)  直線變化→α變化→  中的 系數 變化    （同時注意 α的變化）.

　　(2)  中的x系數k變化→直線變化→α變化    （同時注意 α的變化）.

　　教師引導學生觀察，歸納，猜想出傾斜角與 的系數的關系：傾斜角不同，方程中 的系數不同，而且這個系數正是傾斜角的正切！

　　【板書】

　　定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作 ，即  .

　　這樣我們定義了一個從“形”的方面刻畫直線相對于 軸（正方向）傾斜程度的量——傾斜角，現在我們又定義一個從“數”的方面刻畫直線相對于 軸（正方向）傾斜程度的量——斜率.

　　指出下列直線的傾斜角和斜率：

　　(2) ＝ tg60°    (3) ＝ tg(-30°)

　　學生思考后回答，師生一起訂正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(為什么不是-30°呢？)

　　畫圖，指出傾斜角和斜率.

　　結合圖3（也可以演示動畫），觀察傾斜角變化時，斜率的變化情況.

　　注意：當傾斜角為90°時，斜率不存在.

　　α＝0°      ß--à    ＝0

　　0°＜α＜90° ß--à    ＞0

　　α＝90°     ß--à   不存在

　　90°＜α＜180°ß--à  ＜0

　　（四）直線過兩點斜率公式的推導

　　【問題4】

　　如果給定直線的傾斜角，我們當然可以根據斜率的定義  ＝tgα求出直線的斜率；

　　如果給定直線上兩點坐標，直線是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢？

　　即已知兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直線P1P2的斜率.

　　思路分析：

　　首先由學生提出思路，教師啟發、引導：

　　運用正切定義，解決問題.

　　(1)正切函數定義是什么？（終邊上任一點的縱坐標比橫坐標.）

　　(2)角α是“標準位置”嗎？（不是.）

　　(3)如何把角α放在“標準位置”？（平移向量  ，使P1與原點重合，得到新向量  .）

　　(4)P的坐標是多少？（x2-x1，y2-y1）

　　(5)直線的斜率是多少？  ＝tgα=  （x1≠x2）

　　(6)如果P1 和P2的順序不同，結果還一樣嗎？（一樣）.

　　評價：注意公式中x1≠x2，即直線P1 P2不垂直x軸.因此當直線P1P2不垂直x軸時，由已知直線上任意兩點的坐標可以求得斜率，而不需要求出傾斜角.

　　【練習】

　　(1)直線的傾斜角為α，則直線的斜率為  α？

　　(2)任意直線有傾斜角，則任意直線都有斜率？

　　(3)直線   (-330°)的傾斜角和斜率分別是多少？

　　(4)求經過兩點  (0，0)、  (-1，  )直線的傾斜角和斜率.

　　(5)課本第37頁練習第2、4題.

　　教師巡視，觀察學生情況，個別輔導，訂正答案（答案略）.

　　【總結】

　　教師引導：首先回顧前邊提出的問題是否都已解決.再看下邊的問題：

　　(1)直線傾斜角的概念要注意什么？

　　(2)直線的傾斜角與斜率是一一對應嗎？

　　(3)已知兩點坐標，如何求直線的斜率？斜率公式中腳標1和2有順序嗎？

　　學生邊討論邊總結：

　　(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，當α=90°時， α不存在.

　　【作業 】

　　1.課本第37頁習題7.1第3、4、5題.

　　2.思考題

　　（1）方程  是單位圓的方程嗎？

　　（2）你能說出過原點，傾斜角是45°的直線方程嗎？

　　（3）你能說出過原點，斜率是2的直線方程嗎？

　　（4）你能說出過（1，1）點，斜率是2的直線方程嗎？

　　板書設計 

　　7.1直線的傾斜角和斜率

　　一、直線方程

　　二、直線的傾斜角

　　三、直線的斜率

　　四、斜率公式

　　練習

　　小結

　　作業 

直線的傾斜角和斜率 篇8

　　我說的課是高中第二冊（上）第七章直線和圓的方程第一大節直線的傾斜角和斜率的第一節課。

　　一、關于教學目標的確定

　　1、 教材的地位及作用

　　直線和圓的方程屬于解析幾何學的基礎知識，直線的方程是研究兩條直線位置關系的基礎，同時也是討論圓的方程及其它圓錐曲線方程的基礎。為進一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進而建立直線斜率的概念。而作為直線方程的一個簡單應用，介紹了簡單的線性規劃問題。故本節課是學好這一章內容的關鍵。

　　2、 教學目的的認識

　　依據教學大綱的目的和要求規定及新課程標準要求，并結合學生的認知基礎，我認為本節課的教學目標：

　　（1）知識目標：了解“直線的方程”和“方程的直線”的概念；理解直線的傾斜角和斜率的定義；掌握斜率公式，并會求直線的傾斜角和斜率。

　　（2）能力目標：通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關系的揭示，以提高學生分析、比較、概括、化歸的數學能力,使學生初步了解用代數方程研究幾何問題的思路，培養學生綜合運用知識解決問題的能力。

　　（3）情感目標：幫助學生進一步了解分類思想、數形結合思想，在教學中充分揭示“數”與“形”的內在聯系，體現數、形的統一美，激發學生學習數學的興趣，對學生進行對立統一的辯證唯物主義觀點的教育，培養學生勇于探索、勇于創新的精神。

　　二、重點、難點分析

　　1、本節的重點是直線的傾斜角和斜率概念，及斜率公式.直線的斜率是后繼內容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關系，以及討論直線與二次曲線的位置關系，直線的斜率都發揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學好這一章的關鍵。

　　2、本節的難點是對“直線的方程”和“方程的直線”的概念以及對斜率概念的理解.學生對于用直線的傾斜角來刻畫直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切這兩個問題卻并不容易接受。

　　三、教法、學法指導

　　1、學法輔導：

　　（1）學情介紹：

　　本課的教學對象是高二年學生，考慮到我校學生的數學基礎較好，思維較為活躍，并針對本節課的教學任務，在教學中我通過創設問題情境。

　　（2）本節課的教學任務有三大項：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式。學生思維也對應三個高潮：傾斜角如何定義？為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立？相應的教學過程也有三個階段：

　　①在教學中首先是創設問題情境，然后通過討論明確用角來刻畫直線的方向，如何定義這個角呢？學生在討論中逐漸明確傾斜角的概念。

　　②本節的難點是對斜率概念的理解與過兩點的直線的斜率公式的建立。學生認為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣。學生還會認為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數量化嗎？再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率？要解決這些問題，可引導學生聯想工程問題中的“坡度”問題，以及三角函數的定義。

　　（3）學生在學習過程中，要學會展開思維，教師的啟發、激勵，有利于思維的進行；問題情景的創設有利于思維的活躍。但教學是雙邊的活動，教師要注意觀察學生是否動起來，予以情緒調控，使學生有意識地開動腦筋，主動投入。

　　2、教法方法：

　　斯托利亞爾指出“數學教學是教學活動（思維活動）的教學，而不僅是數學活動的結果——數學知識的教學”。本節內容在教學中宜采用啟發式，設計為啟發、引導、探究、歸納、總結的教學模式。傾斜角如何定義？為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立？這三項教學任務都是在討論、交流、歸納中完成的。在此過程中學生的思維和能力得到充分的發展。教師的任務是創設問題情境，引發爭論，組織交流，歸納總結。把教學內容以問題的形式呈現給學生，以便引起學生進行反思，從而形成必要的認知沖突，最終達到建構新的認知結構。

　　四、教學手段

　　本節課，除使用常規的教學手段外，我還使用多媒體課件輔助教學。把教學設計的步驟及內容制成課件，利于突破重點、難點，還能節省時間，擴大教學內容，加快教學節奏，體現教改的新理念。

　　五、關于教學程序的設計

　　（一）知識導入階段

　　利用多媒體展示ssbezier變形曲線及笛卡兒簡介，目的是讓學生了解數學的發展史，及坐標法對數學發展起了巨大作用。

　　（二）知識探索階段

　　（創設問題情景，展現概念形成過程）

　　1、直線的方程與方程的直線的定義

　　【問題1】有了“一次函數的圖象”，為什么還要講“方程的直線”？

　　一次函數的圖象是一條直線，它能表示平面上的所有的直線？不能，因為一次函數的圖象，與坐標平面上的直線的對應，是一種不完美的對應。坐標平面上，有些直線不能用一次函數表示。（如x=2）那么該怎樣修補？

　　（方程的解 坐標 直線的點，直線 方程）

　　定義：以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點,反過來,這條直線上點的坐標都是這個方程的解,這時,這個方程就叫做這條直線的方程,這條直線叫做這個方程的直線。

　　2、直線傾斜角定義

　　【問題2】如何確定一條直線？

　　兩點確定一條直線.還有其他方法嗎？或者說如果只給出一點，要確定這條直線還應增加什么條件？

　　學生：思考，回憶，回答：這條直線的方向，或者說傾斜程度。

　　（動畫演示）展示直線的傾斜度的變化情況。

　　【問題3】在坐標系中的一條直線，我們用怎樣的角來刻畫直線的方向呢？

　　討論之前我們可以設想這個角應該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問題，同時還應該是簡單的、自然的。

　　學生：展開討論，學生討論過程中會有錯誤和不嚴謹之處，教師注意引導。

　　通過討論認為：應選擇α角來刻畫直線的方向.根據三角函數的知識，表明一個方向可以有無窮多個角，這里只需一個角即可（開始時可能有學生認為有四個角或兩個角），當然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念。

　　定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為 ，那么 就叫做直線 的傾斜角。

　　特別地，當 與x軸平行或重合時，規定傾斜角為0°。

　　由此定義，角的范圍如何？ 0°≤α＜180°或0≤α＜π 

　　（教師強調三點：（1）直線的方向向上（2） 軸的正方向，（3）最小正角）

　　3、 直線斜率的定義

　　用傾斜角刻畫直線的方向，乃是幾何問題，如何把直線方向量化？

　　【問題4】為什么要用傾斜角的正切定義斜率？而不用正弦、余弦或余切哪?

　　可聯想到工程問題中的“坡度”，及三角函數的定義。

　　定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。記作 ，即  。

　　（動畫演示揭示直線傾斜角與斜率的對應關系）強調 定義域與值域的對應關系，及函數的單調性。

　　4、 直線過兩點斜率公式的推導

　　【問題5】如果給定直線的傾斜角 ，我們當然可以根據斜率的定義 ＝tanα求出直線的斜率；如果給定直線上兩點坐標，直線是確定的，傾斜角也是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢？

　　即已知兩點p1(x1，y1)、p2(x2，y2)，求直線p1p2的斜率。

　　思路分析：首先由學生提出思路，教師啟發、引導，運用正切定義，解決問題。

　　； x1= x2？

　　說明：（1）公式適用范圍：注意公式中x1≠x2，即直線p1 p2不垂直x軸。因此當直線p1p2不垂直x軸時，由已知直線上任意兩點的坐標可以求得斜率，而不需要求出傾斜角。 

　　（2）公式與p1 和p2的順序無關，但要注意下標的對應關系。

　　（三）知識應用階段                                                            

　　我設計了二道例題例1是道斜率與傾斜角概念的辨析題，而例2是課本的例題已知直線的傾斜角求斜率，還設計兩道變式題，目的是培養學生的發散思維能力，討論傾斜角變化：銳角—鈍角—抽象角，對斜率的影響，加深同學對斜率與傾斜角對應關系的理解。

　　例1：關于直線的傾斜角和斜率，下列哪些說法是正確的：                            （1）任一條直線都有傾斜角，也都有斜率          （   ）                          （2）直線的傾斜角越大，它的斜率就越大；        （   ）                          （3）平行于x軸的直線的傾斜角是 ；     （   ）                          （4）兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等；    （   ）                          （5）直線斜率的范圍是(－∞，＋∞) ；           （   ）                          （6）直線的斜率為tan ,則直線的傾斜角為 ；    （   ）                        說明：①當直線和x軸平行或重合時，我們規定直線的傾斜角為0°；②直線傾斜角的取值范圍是[ ；③傾斜角是90°的直線沒有斜率.。④坐標平面內，每一條直線都有唯一的傾斜角，但不是每一條直線都有斜率。                                             例2： 如圖，直線 的傾斜角 ＝30°，直線 ⊥ ，求 、 的斜率。              分析：對于直線 的斜率，可通過計算 直接獲得，而直線 的斜率則需要先求出傾斜角 ，而根據平面幾何知識， ，然后再求 即可。

　　解： 的斜率 ＝tan＝tan30°＝ ，

　　∵ 的傾斜角 ＝90°＋30°＝120°，

　　∴ 的斜率 ＝tan120°＝tan（180°－60°）      

　　＝－tan60°＝ 。

　　評述：此題要求學生掌握已知直線的傾斜角求斜率，其中涉及到三角函數的誘導公式及特殊角正切值的確定。

　　【變式1】直線 的傾斜角 ＝150°，直線 ⊥ ，求 的斜率。

　　【變式2】已知直線 的傾斜角 ，直線 ⊥ ，求 的斜率及傾斜角。

　　（四）在學習小結階段：帶領學生對所學的知識和方法進行梳理，本節須掌握三個概念：直線方程、傾斜角和斜率；兩個關系：直線的方程與方程的直線、斜率與傾斜角；兩個問題：求傾斜角問題，求斜率問題。

　　（五）知識延伸拓展階段：                                                   在知識延伸拓展階段，編制了三道思考題，在于拓寬學生的視野，斜率是聯結數與形的紐帶。體現了分層教學的思想，達到因材施教的目的。

　　思考1：                思考2：已知兩點m(2，－3)、n(－3，－2)，直線l過點p(1，1)且與線段mn相交，求直線l的斜率k的取值范圍？直線l的傾斜角a的取值范圍？

　　思考3：已知

　　布置課后作業：必做作業題：p37頁  3、4

　　選做作業：三道思考題