角的概念的推廣（通用2篇）
角的概念的推廣 篇1
課題：角的概念推廣（第一課時(shí)）教學(xué)目的：1.掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解并掌握“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。2.掌握所有與α角終邊相同的角(包括α角)的表示方法。3.從“射線繞著其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成角”的過程，培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)審視事物，從而深刻理解推廣后的角的概念。教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握正角負(fù)角零角的定義，掌握終邊相同的角的表示方法。教學(xué)難點(diǎn) ：終邊相同的角的表示內(nèi)容分析：本節(jié)主要介紹推廣角的概念，引入正角、負(fù)角、零角的定義，象限角的概念，終邊相同的角的表示方法。樹立運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，理解靜是相對(duì)的，動(dòng)是絕對(duì)的，并由此深刻理解推廣后的角的概念。教學(xué)方法可以選為討論法，通過實(shí)際問題，使角的推廣變得更為必要，如螺絲扳手緊固螺絲、時(shí)針與分針、車輪的旋轉(zhuǎn)等等，都能形成角的概念，給學(xué)生以直觀的印象，形成正角、負(fù)角、零角的概念，突出角的概念的理解與掌握。通過具體問題，讓學(xué)生從不同角度作答，理解終邊相同的角的概念，并給以表示，從特殊到一般，歸納出終邊相同的角的表示方法，達(dá)到突破難點(diǎn)之目的。教學(xué)過程 ：一、復(fù)習(xí)引入：1.回憶：初中是如何定義角的？從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形。這種概念的優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀、容易理解，角的范圍是 ，但其僅從圖形的形狀來(lái)定義角，弊端在于“狹隘”。2.生活中很多實(shí)例會(huì)不在范圍 如：體操運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體 ，跳水運(yùn)動(dòng)員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體 經(jīng)過1小時(shí)時(shí)針、分針、秒針轉(zhuǎn)了多少度？這些例子不僅不在范圍 ，而且方向不同，有必要將角的概念推廣到任意角，用運(yùn)動(dòng)的思想來(lái)研究角的概念。二、講解新課： 1.⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角一條射線由原來(lái)的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角α.旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線OA叫做角α的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角α的終邊，射線的端點(diǎn)O叫做角α的頂點(diǎn).突出“旋轉(zhuǎn)” 注意：“頂點(diǎn)”“始邊”“終邊”⑵.“正角”與“負(fù)角”“零角”我們把按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，把按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角，“正角”與“負(fù)角”是由旋轉(zhuǎn)的方向決定的。特別地，當(dāng)一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)為這時(shí)形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角叫做零角.記法：角 或 可以簡(jiǎn)記成 。⑶意義用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地?cái)U(kuò)大了。1° 角有正負(fù)之分 如：a=210° b=-150° g=660°2° 角可以任意大 實(shí)例：體操動(dòng)作：旋轉(zhuǎn)2周（360°×2=720°） 3周（360°×3=1080°）3° 還有零角 一條射線，沒有旋轉(zhuǎn)角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負(fù)角和零角.要注意，正角和負(fù)角是表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量。2.“象限角”為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來(lái)討論角角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與 軸的正半軸重合，這樣一來(lái)，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限,我們稱其為界限角）下面由學(xué)生自己分別舉出終邊在一、二、三、四象限的角以及界限角(各舉兩例)例如：30°、390°、-330°是第一象限角，-195°、120°是第二象限角, 585°、1180°是第三象限角，300°、-60°是第四象限角。90°、0°、-180°都是界限角。3.終邊相同的角 ⑴觀察：390°，-330°角，它們的終邊都與30°角的終邊相同⑵探究：終邊相同的角都可以表示成一個(gè)0°到360°的角與 個(gè)周角的和： 390°=30°+ 360° -330°=30°-360° 30°=30°+0×360° 對(duì)于任意一個(gè)角，若其終邊與 相同，那么它們之間都相差360°的整數(shù)倍，則， ，， ，， 等它們的始邊和終邊都相同。⑶結(jié)論：所有與角 終邊相同的角連同a在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集合： （即：任何一個(gè)與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和。）⑷注意以下四點(diǎn)：(1) ； (2) a是任意角；(3) 與a之間是“+”號(hào)，如 -30°，應(yīng)看成 +(-30°)；(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍.三、講解范例：例1：寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并指出它們是哪個(gè)象限的角（1） （2） （3） （4） 解：（1）與 終邊相同的角的集合是 因?yàn)?是第一象限角，所以集合 中的角都是第一象限的角。 （2）與 終邊相同的角的集合是 因?yàn)?是第二象限角，所以集合 中的角都是第二象限的角。（3）與 終邊相同的角的集合是 因?yàn)?是第三象限角，所以集合 中的角都是第三象限的角。（4）與 終邊相同的角的集合是 因?yàn)?是第四象限角，所以集合 中的角都是第四象限的角。四、課堂練習(xí)：1.銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90°的角是銳角嗎？(答：銳角是第一象限角；第一象限角不一定是銳角；小于90°的角可能是零角或負(fù)角故它不一定是銳角) 2.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的正半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個(gè)象限的角？(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°.(答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角) 作圖時(shí)應(yīng)注意：頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的正半軸上（圖略）五、小結(jié)： 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正角、負(fù)角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限.本節(jié)課重點(diǎn)是學(xué)習(xí)終邊相同的角的表示法.嚴(yán)格區(qū)分“終邊相同”和“角相等”；“界限角”“象限角”； “小于90°的角”“第一象限角”和“銳角”的不同意義.六、課后作業(yè) ：1.下列命題中正確的是( )A.第一象限的角一定不是負(fù)角 B.第二象限角一定是鈍角C.第四象限角一定是負(fù)角 D.若β＝α＋k·360°（k∈Z），則α與β終邊相同2.下列角中,與 終邊相同的角是( )A. B. C. D. 3.如果 ，那么角 是( )A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角4.若角α與β終邊相同，則一定有( )A.α＋β＝180° B.α＋β＝0° C.α－β＝k·360°，k∈ZD.α＋β＝k·360°，k∈Z5.鐘表經(jīng)過4小時(shí)，時(shí)針與分針各轉(zhuǎn)了 (填度).6.在直角坐標(biāo)系中，作出下列各角,并判斷各為第幾象限角(或界限角).(1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440°參考答案：1.D 2.B 3.C 4.C 5. －120°－1440°6.(略)
角的概念的推廣 篇2
教學(xué)目標(biāo)
1.理解引入大于 角和負(fù)角的意義.
2.理解并掌握正、負(fù)、零角的定義.
3.掌握終邊相同角的表示法.
4.理解象限角的概念、意義及其表示方法.
重點(diǎn)難點(diǎn)
1.理解并掌握正、負(fù)、零角的定義.
2.掌握終邊相同角的表示法.
教學(xué)用具
直尺、投影儀
教學(xué)過程
1.設(shè)置情境
設(shè)置實(shí)例（1）用扳手?jǐn)Q螺母（課件）；（2）跳水運(yùn)動(dòng)員身體旋轉(zhuǎn)（視頻）.說明旋轉(zhuǎn)第二周、第三周……，則形成了更大范圍內(nèi)的角，這些角顯然超出了我們已有的認(rèn)識(shí)范圍。本節(jié)課將在已掌握 ～ 角的范圍基礎(chǔ)上，重新給出角的定義，并研究這些角的分類及記法.
2.探索研究
（1）正角、負(fù)角、零角概念
①一條射線由原來(lái)位置 ，繞著它的端點(diǎn) ，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)到 形成的角規(guī)定為正角，如圖中角 ；把按順時(shí)方向旋轉(zhuǎn)所形成的角規(guī)定為負(fù)角，如圖中的 ；射線沒作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們認(rèn)為它這時(shí)也形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角規(guī)定為零角，與初中所學(xué)角概念一樣， 、 ，點(diǎn) 分別叫該角的始邊、終邊、角頂點(diǎn).
②如果把角頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，角的始邊在 軸的正半軸上，這時(shí)，角的終邊落在第幾象限，就稱這個(gè)角是第幾象限角，特別地，如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就說該角不屬于任何象限，習(xí)慣上稱其為軸上角.
③我們作出 ， 及 三個(gè)角，易知，它們的終邊相同。還可以看出， ， 的終邊也是與 角終邊重合的，而且可以理解，與 角終邊相同的角，連同 在內(nèi)，可以構(gòu)成一個(gè)集合，記作 .一般地，我們把所有與角 終邊相同的角，連同角 在內(nèi)的一切角，記成 ， 或?qū)懗杉? 形式.
（2）例題分析
【例1】在 ～ 間，找出與列列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角（1） ；（2） ；（3） .
解：（1）∵
∴與 角終邊相同的角是 角，它是第三象限的角；
（2）∵
∴與 終邊相同的角是 ，它是第四象限的角；
（3）
所以與 角終邊相同的角是 ，它是第二象限角.
總結(jié)：草式寫在草稿紙上，正的角度除以 ，按通常除去進(jìn)行；負(fù)的角度除以 ，商是負(fù)數(shù)，它的絕對(duì)值應(yīng)比被除數(shù)為其相反數(shù)時(shí)相應(yīng)的商大1，以使余數(shù)為正值.
練習(xí)：（學(xué)生板演，可用投影給題）
（1）一角為 ，其終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為_______.
（2）集合 中，各角的終邊都在（ ）
A. 軸正半軸上，
B. 軸正半軸上，
C. 軸或 軸上，
D. 軸正半軸或 軸正半軸上
解答：（1） （2）C
【例2】寫出與下列各角終邊相同的角的集合 ，并把 中適合不等式 的元素 寫出來(lái)：
（1） ；（2） ；（3） .
解：（1）
中適合 的元素是
（2）
滿足條件的元素是
（3）
中適合元素是
說明：與角 終邊相同的角，連同 在內(nèi)可記為 ， 這里
（1） ； （2） 是任意角；
（3） 與 之間是“＋”連接，如 應(yīng)看做 ；
（4）終邊相同角不一定相等，但相等的角終邊必相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們彼此相差 的整數(shù)倍；
（5）檢查兩角 ， 終邊是否相同，只要看 是否為整數(shù).
練習(xí)：（學(xué)生口答：用投影給出題）
（1）請(qǐng)用集合表示下列各角.
① ～ 間的角 ②第一象限角 ③銳角 ④小于 角.
（2）分別寫出：
①終邊落在 軸負(fù)半軸上的角的集合；
②終邊落在 軸上的角的集合；
③終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合；
④終邊落在四象限角平分線上的角的集合.
解答（1）① ；
② ；
③ ；④
（2）① ；
② ；
③ ；
④ .
說明：第一象限角未必是銳角，小于 的角不一定是銳角， ～ 間的角，根據(jù)課本約定它包括 ，但不包含 .
【例3】用集合表示：
（1）第三象限角的集合.
（2）終邊落在 軸右側(cè)的角的集合.
解：（1）在 ～ 中，第三象限角范圍為 ，而與每個(gè) 角終邊相同的角可記為 ， ，故該范圍中每個(gè)角適合 ， ，故第三象限角集合為 .
（2）在 ～ 中， 軸右側(cè)的角可記為 ，同樣把該范圍“旋轉(zhuǎn)” 后，得 ， ，故 軸右側(cè)角的集合為 .
說明：一個(gè)角按順、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) （ ）后與原來(lái)角終邊重合，同樣一個(gè)“區(qū)間”內(nèi)的角，按順逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) （ ）角后，所得“區(qū)間”仍與原區(qū)間重疊.
3.練習(xí)反饋
（1）與 的終邊相同且絕對(duì)值最小的角是______________.
（2）若角 與角 的終邊重合，則 與 的關(guān)系是___________，若角 與角 的終邊在一條直線上，則 與 的關(guān)系是____________.
（3）若 是第四象限角，則 是（ ）.
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
答案：（1） ；
（2） ， ， ；
（3）C
4.總結(jié)提煉
判斷一個(gè)角 是第幾象限角，只要把 改寫成 ， ，那么 在第幾象限， 就是第幾象限角，若角 與角 適合關(guān)系： ， ，則 、 終邊相同；若角 與 適合關(guān)系： ， ，則 、 終邊互為反向延長(zhǎng)線.判斷一個(gè)角所有象限或不同角之間的終邊關(guān)系，可首先把它們化為： ， 這種模式（ ），然后只要考查 的相關(guān)問題即可.另外，數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)都是學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的重要思想方法.
課時(shí)作業(yè)
1.在 到 范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同角，并指出它們是哪個(gè)象限角
（1） （2） （3） （4）
2.寫出終邊在 軸上的角的集合（用 ～ 的角表示）
3.寫出與 終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式 的元素 寫出來(lái).
4.時(shí)針走過3小時(shí)20分，則分鐘所轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)為______________，時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過的角的度數(shù)為______________.
5.寫出終邊在直線 上的角的集合，并給出集合中介于 和 之間的角.
6.角 是 ～ 中的一個(gè)角，若角 與 角有相同始邊，且又有相同終邊，則角 .
參考答案：
1.（1） （2） （3） （4）
2.
3. ， 或
4. ，
5. ， 或
6.