復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

教學(xué)目標 

（1）掌握，如虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的實部與虛部、兩復(fù)數(shù)相等、復(fù)平面、實軸、虛軸、共軛復(fù)數(shù)、共軛虛數(shù)的概念。
（2）正確對復(fù)數(shù)進行分類，掌握數(shù)集之間的從屬關(guān)系；
（3）理解復(fù)數(shù)的幾何意義，初步掌握復(fù)數(shù)集c和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合之間的一一對應(yīng)關(guān)系。
（4）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練學(xué)生條理的邏輯思維能力.

教學(xué)建議

（一）教材分析

1、知識結(jié)構(gòu)

本節(jié)首先介紹了，然后指出復(fù)數(shù)相等的充要條件，接著介紹了有關(guān)復(fù)數(shù)的幾何表示，最后指出了有關(guān)共軛復(fù)數(shù)的概念.

2、重點、難點分析

（1）正確復(fù)數(shù)的實部與虛部

對于復(fù)數(shù) ，實部是 ，虛部是 .注意在說復(fù)數(shù) 時，一定有 ，否則，不能說實部是 ，虛部是 ,復(fù)數(shù)的實部和虛部都是實數(shù)。

說明：對于復(fù)數(shù)的定義，特別要抓住 這一標準形式以及 是實數(shù)這一概念，這對于解有關(guān)復(fù)數(shù)的問題將有很大的幫助。

（2）正確地對復(fù)數(shù)進行分類，弄清數(shù)集之間的關(guān)系

分類要求不重復(fù)、不遺漏，同一級分類標準要統(tǒng)一。根據(jù)上述原則，復(fù)數(shù)集的分類如下：

注意分清復(fù)數(shù)分類中的界限：

①設(shè) ，則 為實數(shù)

② 為虛數(shù)

③ 且 。

④ 為純虛數(shù) 且

（3）不能亂用復(fù)數(shù)相等的條件解題.用復(fù)數(shù)相等的條件要注意：

①化為復(fù)數(shù)的標準形式

       ②實部、虛部中的字母為實數(shù)，即

（4）在講復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有點所成的集合一一對應(yīng)時，要注意：

①任何一個復(fù)數(shù) 都可以由一個有序?qū)崝?shù)對( )唯一確定.這就是說，復(fù)數(shù)的實質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對.一些書上就是把實數(shù)對( )叫做復(fù)數(shù)的.

②復(fù)數(shù) 用復(fù)平面內(nèi)的點z( )表示.復(fù)平面內(nèi)的點z的坐標是( )，而不是( )，也就是說，復(fù)平面內(nèi)的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是 .由于 =0＋1· ，所以用復(fù)平面內(nèi)的點(0，1)表示 時，這點與原點的距離是1，等于縱軸上的單位長度.這就是說，當我們把縱軸上的點(0，1)標上虛數(shù) 時，不能以為這一點到原點的距離就是虛數(shù)單位 ，或者 就是縱軸的單位長度.

③當 時，對任何 ， 是純虛數(shù)，所以縱軸上的點( )( )都是表示純虛數(shù).但當 時， 是實數(shù).所以，縱軸去掉原點后稱為虛軸.

由此可見，復(fù)平面(也叫高斯平面)與一般的坐標平面(也叫笛卡兒平面)的區(qū)別就是復(fù)平面的虛軸不包括原點，而一般坐標平面的原點是橫、縱坐標軸的公共點.

④復(fù)數(shù)z=a＋bi中的z，書寫時小寫，復(fù)平面內(nèi)點z(a，b)中的z，書寫時大寫.要學(xué)生注意.

（5）關(guān)于共軛復(fù)數(shù)的概念

設(shè) ，則 ，即 與 的實部相等，虛部互為相反數(shù)（不能認為 與 或 是共軛復(fù)數(shù)）.

教師可以提一下當 時的特殊情況，即實軸上的點關(guān)于實軸本身對稱，例如：5和－5也是互為共軛復(fù)數(shù).當 時， 與 互為共軛虛數(shù).可見，共軛虛數(shù)是共軛復(fù)數(shù)的特殊情行.

（6）復(fù)數(shù)能否比較大小

教材最后指出：“兩個復(fù)數(shù)，如果不全是實數(shù)，就不能比較它們的大小”，要注意：

①根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等地定義，可知在 兩式中，只要有一個不成立，那么 .兩個復(fù)數(shù)，如果不全是實數(shù)，只有相等與不等關(guān)系，而不能比較它們的大小.

②命題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指：“不論怎樣定義兩個復(fù)數(shù)間的一個關(guān)系‘<’，都不能使這關(guān)系同時滿足實數(shù)集中大小關(guān)系地四條性質(zhì)”：

(i)對于任意兩個實數(shù)a， b來說，a＜b， a=b， b＜a這三種情形有且僅有一種成立；

(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc.(不必向?qū)W生講解)

（二）教法建議

1.要注意知識的連續(xù)性：復(fù)數(shù) 是二維數(shù)，其幾何意義是一個點 ，因而注意與平面解析幾何的聯(lián)系.

2.注意數(shù)形結(jié)合的數(shù)形思想：由于復(fù)數(shù)集與復(fù)平面上的點的集合建立了一一對應(yīng)關(guān)系，所以用“形”來解決“數(shù)”就成為可能，在本節(jié)要注意復(fù)數(shù)的幾何意義的講解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

3.注意分層次的教學(xué)：教材中最后對于“兩個復(fù)數(shù)，如果不全是實數(shù)就不能本節(jié)它們的大小”沒有證明，如果有學(xué)生提出來了，在課堂上不要給全體學(xué)生證明，可以在課下給學(xué)有余力的學(xué)生進行解答.

教學(xué)目標 

1.了解復(fù)數(shù)的實部，虛部；

2.掌握復(fù)數(shù)相等的意義；

3.了解并掌握共軛復(fù)數(shù)，及在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù).

教學(xué)重點

復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)相等的充要條件.

教學(xué)難點 

用復(fù)平面內(nèi)的點表示復(fù)數(shù)m.

教學(xué)用具：直尺

課時安排：1課時

教學(xué)過程 ：

一、復(fù)習(xí)提問：

1.復(fù)數(shù)的定義。

2.虛數(shù)單位。

二、講授新課

1.復(fù)數(shù)的實部和虛部：

復(fù)數(shù) 中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)的實部和虛部。

2.復(fù)數(shù)相等

如果兩個復(fù)數(shù) 與 的實部與虛部分別相等，就說這兩個復(fù)數(shù)相等。

即： 的充要條件是 且 。

例如：   的充要條件是 且 。

例1： 已知   其中 ，求x與y.

解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的意義，得方程組：

∴

例2：m是什么實數(shù)時，復(fù)數(shù) ,

(1)    是實數(shù)，(2)是虛數(shù)，（3）是純虛數(shù).

解：

(1) ∵ 時，z是實數(shù),

       ∴ ,或 .

(2)    ∵ 時，z是虛數(shù),

 ∴ ，且

(3)    ∵ 且 時，

z是純虛數(shù). ∴

3.用復(fù)平面（高斯平面）內(nèi)的點表示復(fù)數(shù)

復(fù)平面的定義

建立了直角坐標系表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面.

復(fù)數(shù) 可用點 來表示.（如圖）其中x軸叫實軸，y軸 除去原點的部分叫虛軸，表示實數(shù)的點都在實軸上，表示純虛數(shù)的點都在虛軸上。原點只在實軸x上，不在虛軸上.

4.復(fù)數(shù)的幾何意義：

復(fù)數(shù)集c和復(fù)平面所有的點的集合是一一對應(yīng)的.

5.共軛復(fù)數(shù)

（1）當兩個復(fù)數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。（虛部不為零也叫做互為共軛復(fù)數(shù)）

（2）復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用 表示.若 ，則： ；

（3）實數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身，純虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它的相反數(shù).

（4）復(fù)平面內(nèi)表示兩個共軛復(fù)數(shù)的點z與 關(guān)于實軸對稱.

三、練習(xí)   1,2,3,4.

四、小結(jié)：

1.在理解時應(yīng)注意：

（1）明確什么是復(fù)數(shù)的實部與虛部；

（2）弄清實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)分別對實部與虛部的要求；

（3）弄清復(fù)平面與復(fù)數(shù)的幾何意義；

（4）兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)就不能比較大小。

2.復(fù)數(shù)集與復(fù)平面上的點注意事項：

（1）復(fù)數(shù) 中的z，書寫時小寫，復(fù)平面內(nèi)點z(a，b)中的z，書寫時大寫。

（2）復(fù)平面內(nèi)的點z的坐標是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是說，復(fù)平面內(nèi)的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是i。

（3）表示實數(shù)的點都在實軸上，表示純虛數(shù)的點都在虛軸上。

（4）復(fù)數(shù)集c和復(fù)平面內(nèi)所有的點組成的集合一一對應(yīng)：

五、作業(yè)    1,2,3,4,

六、板書設(shè)計 ：