第十八章 “勾股定理”簡介

課程教材研究所 薛 彬 　　本章主要內容是勾股定理及其逆定理。首先讓學生通過觀察得出直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的結論并加以證明，從而得到勾股定理，然后運用勾股定理解決問題。在此基礎上，引入勾股定理的逆定理，并結合此項內容介紹逆命題、逆定理的概念。 　　本章教學時間約需8課時，具體安排如下： 　　18.1　勾股定理　　　                                       4 課時 　　18.2　勾股定理的逆定理　　                           3課時 　　數學活動 　　小　結                     　　　　                               1課時  　　一、教科書內容和課程學習目標 　　本章知識結構框圖： 　　 　　直角三角形是一種特殊的三角形，它有許多重要的性質，如兩個銳角互余，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性質，而且是一條非常重要的性質。 　　勾股定理是幾何中幾個最重要的定理之一，它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數量關系，它可以解決許多直角三角形中的計算問題，是解直角三角形的主要依據之一，在生產生活實際中用途很大。它不僅在數學中，而且在其他自然科學中也被廣泛地應用。 　　目前世界上許多科學家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等。據說我國著名數學家華羅庚曾建議，發射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會識別這種“語言”的。這個事實可以說明勾股定理的重大意義，發現勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。 　　在第一節中，教科書讓學生通過觀察計算一些直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積與以斜邊為邊長的正方形的面積的關系，發現兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積，從而發現勾股定理。 　　勾股定理的證明方法很多，教科書正文中介紹的是一種面積證法。其中的依據是圖形經過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變。在教科書中，圖18.1－3（1）中的圖形經過割補拼接后得到圖18.1－3（3）中的圖形。由此就證明了勾股定理。通過推理證實命題1的正確性后，教科書順勢指出什么是定理。 　　由勾股定理可知，已知兩條直角邊的長a,b，就可以求出斜邊c的長。由勾股定理可得或，由此可知，已知斜邊與一條直角邊的長，就可以求出另一條直角邊的長。也就是說，在直角三角形中，已知兩條邊的長，就可以求出第三條邊的長。教科書相應安排了三個探究欄目，讓學生運用勾股定理解決問題。 　　在第二節中，教科書讓學生畫出一些兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形，可以發現畫出的三角形是直角三角形。從而猜想如果三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。這個猜想可以利用全等三角形證明，得到勾股定理的逆定理。 　　勾股定理的逆定理給出了判定一個三角形是直角三角形的方法。教科書安排了兩個例題，讓學生學會運用這種方法。這種方法與前面學過的一些判定方法不同，它通過代數運算“算”出來。實際上利用計算證明幾何問題學生已經見過，計算在幾何里也是很重要的。從這個意義上講，勾股定理的逆定理的學習，對開闊學生眼界，進一步體會數學中的各種方法有很大的意義。 　　幾何中有許多互逆的命題，互逆的定理，它們從正反兩個方面揭示了圖形的特征性質，所以互逆命題和互逆定理是幾何中的重要概念。學生已見過一些互逆命題（定理），例如：“兩直線平行，內錯角相等”與“內錯角相等，兩直線平行”；“全等三角形的對應邊相等”與“對應邊相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命題。勾股定理與勾股定理的逆定理也是互逆的命題，而且這兩個命題的題設和結論都比較簡單。因此，教科書在前面已有感性認識的基礎上，在第二節中，結合勾股定理的逆定理的內容的展開，穿插介紹了逆命題、逆定理的概念，并舉例說明原命題成立其逆命題不一定成立。為鞏固這些內容，相應配備了一些練習與習題。 　　本章學習目標如下： 　　1.  體驗勾股定理的探索過程，會運用勾股定理解決簡單問題； 　　2.  會運用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 　　3.通過具體的例子，了解定理的含義，了解逆命題、逆定理的概念，知道原命題成立其逆命題不一定成立。