第十八章 “勾股定理”簡介
二、本章編寫特點 （一）讓學生體驗勾股定理的探索和運用過程 勾股定理的發現從傳說故事講起，從故事中可以發現等腰直角三角形有這樣的性質：以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積。再看一些其他直角三角形，發現也有上述性質。因而猜想所有直角三角形都有這個性質，即如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么 （教科書把這個猜想記作命題1，把下節“如果三角形的三邊長滿足，那么這個三角形是直角三角形”記作命題2，便于引出互逆命題）。 教科書讓學生用勾股定理探究三個問題。探究1是木板進門問題。按照已知數據，木板橫著、豎著都不能進門，只能斜著試試。由此想到求長方形門框的對角線的長，而這個問題可以用勾股定理解決。探究2是梯子滑動問題：梯子頂端滑動一段距離，梯子的底端是否也滑動相同的距離。這個問題可以轉化為已知斜邊與一條直角邊的長求另一條直角邊的長的問題，這也可以用勾股定理解決。 探究3是在數軸上畫出表示的點。分以下四步引導學生： （1）將在數軸上畫出表示的點的問題轉化為畫出長為的線段的問題。 （2）由長為的線段是直角邊都為1的直角三角形的斜邊，聯想到長為的線段能否是直角邊為正整數的直角三角形的斜邊。 （3）通過嘗試發現，長為的線段是直角邊為2,3的直角三角形的斜邊。 （4）畫出長為的線段，從而在數軸上畫出表示的點。 （二）結合具體例子介紹抽象概念 在本章中，結合勾股定理、勾股定理的逆定理介紹了定理、逆命題、逆定理的內容。 在勾股定理一節中，先讓學生通過觀察得出命題1，然后通過面積變形證明命題1。由此說明，經過證明被確認正確的命題叫做定理。 在勾股定理的逆定理一節中，從古埃及人畫直角的方法談起，然后讓學生畫一些三角形（已知三邊，并且兩邊的平方和等于第三邊的平方），可以發現畫出的三角形是直角三角形。因而猜想如果三角形的三邊長滿足，那么這個三角形是直角三角形，即教科書中的命題2。把命題2的條件、結論與上節命題1的條件、結論作比較，引出逆命題的概念。接著探究證明命題2的思路。用三角形全等證明命題2后，順勢引出逆定理的概念。 命題1，命題2屬于原命題成立，逆命題也成立的情況。為了防止學生由此誤以為原命題成立，逆命題一定成立，教科書特別舉例說明有的原命題成立，逆命題不成立。 （三）注重介紹數學文化 我國古代的學者們對勾股定理的研究有許多重要成就，不僅在很久以前獨立地發現了勾股定理，而且使用了許多巧妙的方法證明了它，尤其在勾股定理的應用方面，對其他國家的影響很大，這些都是我國人民對人類的重要貢獻。 本章介紹了我國古代的有關研究成果。在引言中介紹我國古算書《周髀算經》的記載“如果勾是三、股是四、那么弦是五”。有很多方法可以證明勾股定理。教科書為了弘揚我國古代數學成就，介紹了我國古人趙爽的證法。首先介紹趙爽弦圖，然后介紹趙爽利用弦圖證明命題1的基本思路。“趙爽弦圖”表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數學的驕傲。正因為此，這個圖案被選為2002年在北京召開的世界數學家大會的會徽。還在習題中安排我國古代數學著作《九章算術》中的問題，展現我國古人在勾股定理應用研究方面的成果。 本章也介紹了國外的有關研究成果。如勾股定理的發現是從與畢達哥拉斯有關傳說故事引入的。又如勾股定理的逆定理從古埃及人畫直角的方法引入。再如介紹古希臘哲學家柏拉圖關于勾股數的結論。