數(shù)學(xué)教案－立方根

一、教學(xué)目標(biāo) 

1.了解立方根和開立方的概念；

2.會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的立方根，掌握開立方運(yùn)算；

3.培養(yǎng)學(xué)生用類比的思想求立方根的運(yùn)算能力；

4.由立方與立方根的教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想；

5.通過(guò)立方根符號(hào)的引入體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：立方根的概念與性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn) ：會(huì)求某些數(shù)的立方根.

三、教學(xué)方法

啟發(fā)式，講練結(jié)合

四、教學(xué)手段

幻燈片.

五、教學(xué)過(guò)程 

(一)復(fù)習(xí)提問

請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，平方根我們是如何定義的？平方根有哪些性質(zhì)？

在同學(xué)們回答后，啟發(fā)學(xué)生是否可試著給數(shù)的立方根下個(gè)定義.

1.立方根的概念：

如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根.(也稱數(shù)a的三次方根)

用數(shù)學(xué)式表示為：

若x³=a，則x叫做a的立方根，或稱x叫做a的三次方根.

2.立方根的表示方法：

類似于平方根德表示方法，數(shù)a的立方根我們用符號(hào) 來(lái)表示.讀作“三次根號(hào)下a”，其中a叫做被開方數(shù)，3叫做根指數(shù)，注意，在前面我們學(xué)習(xí)平方根的表示方法說(shuō)過(guò)當(dāng)根指數(shù)為2時(shí)可以省略不寫，現(xiàn)在是立方根了，這個(gè)根指數(shù)3是絕對(duì)不可省的，否則就會(huì)與平方根混淆了，例如 表示125的立方根，而 則表示125的算術(shù)平方根.

練習(xí)：用根號(hào)表示下列各數(shù)的立方根：

3.開立方概念：

求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.

4.開立方運(yùn)算與立方運(yùn)算互為逆運(yùn)算.

因此，我們可以根據(jù)立方運(yùn)算來(lái)求一些數(shù)的立方根.

例1. 求下列各數(shù)的立方根：

解：(1)∵(-2)³=-8，

(2)∵2³=8，

(4)∵  (0.6)³=0.216，

(5)∵0³=0，

下面我們思考這樣一個(gè)問題：一個(gè)正數(shù)有幾個(gè)平方根？負(fù)數(shù)有沒有平方根？一個(gè)正數(shù)有幾個(gè)立方根？負(fù)數(shù)有沒有立方根？請(qǐng)學(xué)生來(lái)回答這個(gè)問題.由前面剛剛做過(guò)的題我們不難看出像8、0.126、103、 這樣的正數(shù)，有一個(gè)正的立方根；像-8、 、 這樣的負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；0的立方根是0.由此我們得了立方根的性質(zhì).

5.立方根的性質(zhì)：

(1)正數(shù)有一個(gè)正的立方根.

(2)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根.

(3)0的立方根是0.

這里我們不妨與平方根的性質(zhì)做個(gè)比較，平方根中，正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，正數(shù)只有一個(gè)正的立方根；在平方根中負(fù)數(shù)是沒有平方根的，而負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；平方根與立方根唯一相同之處是0的平方根，立方根都是它本身.
例2.求下列各式的值：

解：(1)∵3³=27，

(2)∵ (-3)³=-27，

(5)∵  (10²)³=106，

(6)∵  (10³)³=10⁹，

例3. 解方程：

(1)x³=0.125；(2)3(x-4)³-1536=0.

解：(1)x³=0.125

x=0.5.

(2)3(x-4)³-1536=0(此題可由學(xué)生先做，教師糾正錯(cuò)誤)

3(x-4)³=1536

(x-4)³=512

x-4=8

x=12.

盡管我們學(xué)習(xí)了立方根，而我們也只能由立方根的定義求解x³=a(a為常數(shù))這一類型的

簡(jiǎn)單的三次方程，所以像第(2)小題，我們要把(x-4)看成一個(gè)整體，依然轉(zhuǎn)化成為x³=a的形式，再由立方根定義去解.

填空練習(xí)：

(1)1的平方根是____；立方根為____；算術(shù)平方根為____.

(2)平方根是它本身的數(shù)是____.

(3)立方根是其本身的數(shù)是____.

(4)算術(shù)平方根是其本身的數(shù)是________.

(5) 的立方根為________.

(6) 的平方根為________.

(7) 的立方根為________ .

(8)一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是a，那么與這個(gè)自然數(shù)相鄰的下一個(gè)自然數(shù)的平方根是____________；立方根是____________.

解：(1)±1；1；1.

(2)0.(此題學(xué)生容易把1也算進(jìn)去，注意糾正他們的錯(cuò)誤.)

(3)±1和0.(由此題，再?gòu)?fù)習(xí)一道立方根的性質(zhì).)

(4)0，1.(此題有學(xué)生可能會(huì)忘掉0.)

(5)-2（此題學(xué)生易得出-4的答案，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將 翻譯為-8，在求立方根，也有學(xué)生將 看成 得到 ，講解時(shí)注意）

(6) （此題首先讓學(xué)生把 計(jì)算出來(lái)，再求平方根，而且平方根有兩個(gè)）

(7)-2.

(8) ， （此題引導(dǎo)學(xué)生先根據(jù)算術(shù)平方根來(lái)表示被開方數(shù)為a²，再表示相鄰的下一個(gè)自然數(shù)為a²+1，注意表示其平方根時(shí)有兩個(gè)值.）

六、總結(jié)

今天我們主要學(xué)習(xí)了立方根的概念和性質(zhì)，一定要與平方根的概念和性質(zhì)相對(duì)比去理解.平方根與立方根是今后我們學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)用到的兩個(gè)非常重要的概念，希望同學(xué)們能夠熟練地掌握它，尤其是它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.

七、作業(yè) 

教材p.141練習(xí)1、2、4.

八、板書設(shè)計(jì) 

探究活動(dòng)

立方根近似值的求法

當(dāng)立方根是一位整數(shù)時(shí)，很容易求出這個(gè)立方根；但當(dāng)立方根是兩位或兩位以上的整數(shù)時(shí)，也能容易地求出嗎？例如求140608的立方根，怎樣求容易？

下面就介紹它的巧妙求法.

先用前三位數(shù)140來(lái)確定立方根的十位數(shù).因?yàn)?³＜140＜6³，所以十位數(shù)是5，而不是6.再用最后一位數(shù)8來(lái)確定立方根的個(gè)位數(shù).因?yàn)?³＝8，所以個(gè)位數(shù)是2.就是說(shuō)，140608的立方根是52.確定立方根的個(gè)位數(shù)時(shí)要注意下面規(guī)律：我們知道：1³＝1，4³＝64，5³＝125，6³＝216，9³＝729，就是說(shuō)當(dāng)被開方數(shù)的末位數(shù)是1、4、5、6、9時(shí)，立方根的個(gè)位數(shù)就等于它本身(1、4、5、6、9)；

因?yàn)?³＝8，8³＝512，就是說(shuō)當(dāng)被開方數(shù)的末位數(shù)是8和2時(shí)，立方根的個(gè)位數(shù)就分別是2和8，叫做2與8互換原則；同樣還有3與7互換原則(被開方數(shù)的末位數(shù)分別是3和7，立方根的個(gè)位數(shù)就分別是7和3).

一般地，如果10³＜a＜100³，且a是能開盡立方的數(shù)，那么就能用這種方法求a的立方根.請(qǐng)用這種方法求下列各數(shù)的立方根：

21952，50653，79507，287496，970299.