排列、組合、二項式定理-基本原理

    第一步從a村到b村有3種走法,第二步從b村到c村有2種走法,共有n=3×2=6種不同走法.
    題2中的合數是4,6,8,9,10這五個,其中6既含有因數2,也含有因數3;10既含有因數2,也含有因數5.題中的分析是錯誤的.
    從a村到c村總時數不超過12時的走法共有5種.題2中從a村走北路到b村后再到c村,只有南路這一種走法.
    (此時給出題1和題2的目的是為了引導學生找出應用兩個基本原理的注重事項,這樣安排,不但可以使學生對兩個基本原理的理解更深刻,而且還可以培養學生的學習能力)
    進行分類時,要求各類辦法彼此之間是相互排斥的,不論哪一類辦法中的哪一種方法,都能單獨完成這件事.只有滿足這個條件,才能直接用加法原理,否則不可以.
    假如完成一件事需要分成幾個步驟,各步驟都不可缺少,需要依次完成所有步驟才能完成這件事,而各步要求相互獨立,即相對于前一步的每一種方法,下一步都有m種不同的方法,那么計算完成這件事的方法數時,就可以直接應用乘法原理.
    也就是說:類類互斥,步步獨立.
    (在學生對問題的分析不是很清楚時,教師及時地歸納小結,能使學生在應用兩個基本原理時,思路進一步清楚和明確,不再簡單地認為什么樣的分類都可以直接用加法,只要分步而不管是否相互聯系就用乘法.從而深入理解兩個基本原理中分類、分步的真正含義和實質)
    (三)應用舉例
    現在我們已經有了兩個基本原理,我們可以用它們來解決一些簡單問題了.
    例1 書架上放有3本不同的數學書,5本不同的語文書,6本不同的英語書.
    (1)若從這些書中任取一本,有多少種不同的取法?
    (2)若從這些書中,取數學書、語文書、英語書各一本,有多少種不同的取法?
    (3)若從這些書中取不同的科目的書兩本,有多少種不同的取法?
    (讓學生思考,要求依據兩個基本原理寫出這3個問題的答案及理由,教師巡視指導,并適時口述解法)
    (1)從書架上任取一本書,可以有3類辦法:第一類辦法是從3本不同數學書中任取1本,有3種方法;第二類辦法是從5本不同的語文書中任取1本,有5種方法;第三類辦法是從6本不同的英語書中任取一本,有6種方法.根據加法原理,得到的取法種數是
    n=m1+m2+m3=3+5+6=14.故從書架上任取一本書的不同取法有14種.
    (2)從書架上任取數學書、語文書、英語書各1本,需要分成三個步驟完成,第一步取1本數學書,有3種方法;第二步取1本語文書,有5種方法;第三步取1本英語書,有6種方法.根據乘法原理,得到不同的取法種數是n=m1×m2×m3=3×5×6=90.故,從書架上取數學書、語文書、英語書各1本,有90種不同的方法.
    (3)從書架上任取不同科目的書兩本,可以有3類辦法:第一類辦法是數學書、語文書各取1本,需要分兩個步驟,有3×5種方法;第二類辦法是數學書、英語書各取1本,需要分兩個步驟,有3×6種方法;第三類辦法是語文書、英語書各取1本,有5×6種方法.一共得到不同的取法種數是n=3×5+3×6+5×6=63.即,從書架任取不同科目的書兩本的不同取法有63種.