高二數學《圓錐曲線最值問題的求解》集體備課
一 、定義法（最短路徑）
對于求距離和的問題，要結合圓錐曲線自身的特點，巧妙地利用定義，解決距離的最值.
例1：已知拋物線 ，定點a(3,1)，f 是拋物線的焦點，在拋物線上求一點 p,使|ap|+|pf|取最小值，并求的最小值。:
分析：利用拋物線的定義把到點p到拋物線準線的距離轉化成點p到焦點的距離，在利用三角形的知識求最小值. 由點a引準線的垂線，垂足q，則 |ap|+|pf|=|ap|+|pq|, 即為最小值。
o
f(1,0) x
a(3,1)
y
q p
解： 如圖， , 焦點f(1,0) 。 由點a引準線x= -1的垂線 ，垂足q，則 |ap|+|pf|=|ap|+|pq|, 即為最小值. .
由 , 得為所求點.
若另取一點 ， 顯然 。
[點悟]：解此類最值問題時，首先注意圓錐曲線定義的轉化應用，其次是平面幾何知識的應用，例如兩點之間的線段最短，三角形中的三邊之間的不等關系，點與直線上的點的連線的中垂線段最短等.
二 、參數法
利用橢圓、雙曲線參數方程轉化為三角函數問題，或利用直線、拋物線參數方程轉化為函數問題求解。
例2、已知橢圓 ，直線l： , 橢圓上有一動點p, 求p到直到直線的最小距離.
分析：寫出橢圓參數方程 ，設切點為 ，然后代入點到直線的距離公式，結合三角函數的最值判斷距離的最值.
解： 由題意可設動點的坐標為，
則點p到直線l的距離為
[點悟] 利用圓錐曲線參數方程轉化為求三角函數的最值問題，再利用三角函數的有界性得出結果。
三 、二次函數法
將所求問題轉化為二次函數最值問題，再利用配方法或均值不等式或判別式等方法求解.
分析：求出橢圓的焦點，代入所求的表達式中，整理得出函數的表達式，再利用函數方法求解。
解：易知 ，所以 設
因為 ，所以x=0, 即點p為短軸的端點時， 有最小值 -2.
當
[點悟] 把所求的最值表示為函數，再尋求函數在給定區間上的最值，但要注意函數的定義域。
四 、數形結合
在求圓錐曲線最值問題中，如果用代數方法求解比較復雜，可考慮用幾何知識求解，，利用平面幾何知識求解，蘊涵了數形結合的思想。