高二數學《圓錐曲線最值問題的求解》集體備課
例4:若實數 .
分析:看似是函數求最值,如果做起來實在是不容易,如果考慮到x,y的幾何意義,那么問題就簡單的多了
解
則 ,
即 表示中心在
頂點坐標
的最大值
即是求表示橢圓上的點到c(-1,0)的距離的平方的最大值減1
所以
[點悟] :在解決求值問題時,應先從幾何直觀圖形出發,根據圖形的幾何性質洞察最值出現的位置,再從代數運算入手,最終求的最值.
五、不等式法
列出最值關系式,利用均值不等式“等號成立”的條件求解。
例5 拋物線y2=4x的頂點為o,點a的坐標為(5,0),傾斜角為的直線l與線段oa相交(不經過點o或點a)且交拋物線于m、n兩點,求△amn面積最大時直線l的方程,并求△amn的最大面積
分析 直線與圓錐曲線相交,一個重要的問題就是有關弦長的問題 本例主要涉及弦長公式、三角形的面積公式、不等式法求最值、函數與方程的思想 涉及弦長問題,應熟練地利用韋達定理設而不求計算弦長,涉及垂直關系往往也是利用韋達定理,設而不求簡化運算.
解:由題意,可設l的方程為y=x+m,其中-5<m<0
由方程組 ,消去y,得x2+(2m-4)x+m2=0 ①
∵直線l與拋物線有兩個不同交點m、n,
∴方程①的判別式δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0,
解得m<1,又-5<m<0,∴m的范圍為(-5,0)
設m(x1,y1),n(x2,y2)則x1+x2=4-2m,x1·x2=m2,
∴|mn|=4
點a到直線l的距離為d=
∴s△=2(5+m) ,從而s△2=4(1-m)(5+m)2
=2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2( )3=128
∴s△≤8 ,當且僅當2-2m=5+m,即m=-1時取等號
故直線l的方程為y=x-1,△amn的最大面積為8