不等式的性質(zhì)2
第二課時(shí)教學(xué)目標(biāo)
1.理解同向不等式,異向不等式概念;
2.把握并會(huì)證實(shí)定理1,2,3;
3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據(jù),定理3是移項(xiàng)法則的依據(jù);
4.初步理解證實(shí)不等式的邏輯推理方法.
教學(xué)重點(diǎn):定理1,2,3的證實(shí)的證實(shí)思路和推導(dǎo)過程
教學(xué)難點(diǎn):理解證實(shí)不等式的邏輯推理方法
教學(xué)方法:引導(dǎo)式
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí)回顧
上一節(jié)課,我們一起學(xué)習(xí)了比較兩實(shí)數(shù)大小的方法,主要根據(jù)的是實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則,而這也是推證不等式性質(zhì)的主要依據(jù),因此,我們來作一下回顧:
這一節(jié)課,我們將利用比較實(shí)數(shù)的方法, 來推證不等式的性質(zhì).
二、講授新課
在證實(shí)不等式的性質(zhì)之前,我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念.
1.同向不等式:兩個(gè)不等號(hào)方向相同的不等式,例如: 是同向不等式.
異向不等式:兩個(gè)不等號(hào)方向相反的不等式.例如: 是異向不等式.
2.不等式的性質(zhì):
定理1:若 ,則
定理1說明,把不等式的左邊和右邊交換,所得不等式與原不等式異向.在證實(shí)時(shí),既要證實(shí)充分性,也要證實(shí)必要性.
證實(shí):∵ ,
∴
由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù),得
說明:定理1的后半部分可引導(dǎo)學(xué)生仿照前半部分推證,注重向?qū)W生強(qiáng)調(diào)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則的應(yīng)用.
定理2:若 ,且 ,則 .
證實(shí):∵
∴
根據(jù)兩個(gè)正數(shù)的和仍是正數(shù),得
∴ 說明:此定理證實(shí)的主要依據(jù)是實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù).
定理3:若 ,則
定理3說明,不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù),所得不等式與原不等式同向.
證實(shí):∵
∴
說明:(1)定理3的證實(shí)相當(dāng)于比較 與 的大小,采用的是求差比較法;
(2)不等式中任何一項(xiàng)改變符號(hào)后,可以把它從一邊移到另一邊,理由是:根據(jù)定理3可得出:若 ,則 即 .
定理3推論:若 .
證實(shí):∵ ,
∴ ①
∵
∴ ②
由①、②得
說明:(1)推論的證實(shí)連續(xù)兩次運(yùn)用定理3然后由定理2證出;
(2)這一推論可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式兩邊分別相加,即:兩個(gè)或者更多個(gè)同向不等式兩邊分別相加,所得不等式與原不等式同向;
(3)兩個(gè)同向不等式的兩邊分別相減時(shí),就不能作出一般的結(jié)論;
(4)定理3的逆命題也成立.(可讓學(xué)生自證)
三、課堂練習(xí)
1.證實(shí)定理1后半部分;
2.證實(shí)定理3的逆定理.