不等式的性質3
探究活動能得到什么結論
題目 已知 且 ,你能夠推出什么結論?
分析與解:由條件推出結論,我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴大,對已知變量作運算,運用不等式的性質,或者跳出不等式去考慮一般的數學表達式。
思路一:改變 的范圍,可得:
1. 且 ;
2. 且 ;
思路二:由已知變量作運算,可得:
3. 且 ;
4. 且 ;
5. 且 ;
6. 且 ;
7. 且 ;
思路三:考慮含有 的數學表達式具有的性質,可得:
8. (其中 為實常數)是三次方程;
9. (其中 為常數)的圖象不可能表示直線。
說明 從已知信息能夠推出什么結論?這是我們經常需要思考的問題,這里給出的都是必要非充分條件,讀者可以考慮是否能夠寫出充要條件;另外,運用推出關系的傳遞性,在推出結論的基礎上進一步進行推理,還可得出很多結果,請讀者考慮.
探究關系式是否成立的問題
題目 當 成立時,關系式 是否成立?若成立,加以證實;若不成立,說明理由。
解:因為 ,所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 或
所以 或
所以 或
所以 不可能成立。
說明:像本例這樣的探索題,題目的結論是“兩可”(即兩種可能性)情形,而我們知道,說明結論不成立可像例1那樣舉一個反例就可以了。不過像本例的執果索因的分析,不僅說明結論不成立,而且得出 , 必須同時大于1或同時小于1的結論。
探討增加什么條件使命題成立
例 適當增加條件,使下列命題各命題成立:
(1)若 ,則 ;
(2)若 ,則 ;
(3)若 , ,則 ;
(4)若 ,則
思路分析:本例為條件型開放題,需要依據不等式的性質,尋找使結論成立時所缺少的一個條件。
解:(1)
(2) 。當 時,
當 時,
(3)
(4)
引申發散對命題(3),能否增加條件 ,或 , ,使其成立?請闡述你的理由。