9.1.2 不等式的性質（精選16篇）

9.1.2 不等式的性質 篇1

　　第二課時

　　教學目標 

　　1.理解同向不等式，異向不等式概念；

　　2.掌握并會證明定理1，2，3；

　　3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據，定理3是移項法則的依據；

　　4.初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

　　教學重點：定理1，2，3的證明的證明思路和推導過程

　　教學難點 ：理解證明不等式的邏輯推理方法

　　教學方法：引導式

　　教學過程 

　　一、復習回顧

　　上一節課,我們一起學習了比較兩實數大小的方法,主要根據的是實數運算的符號法則,而這也是推證不等式性質的主要依據,因此，我們來作一下回顧：

　　這一節課，我們將利用比較實數的方法， 來推證不等式的性質.

　　二、講授新課

　　在證明不等式的性質之前,我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念.

　　1.同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式，例如： 是同向不等式.

　　異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式.例如： 是異向不等式.

　　2.不等式的性質：

　　定理1：若 ，則

　　定理1說明，把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向.在證明時，既要證明充分性，也要證明必要性.

　　證明：∵ ，

　　∴

　　由正數的相反數是負數，得

　　說明：定理1的后半部分可引導學生仿照前半部分推證，注意向學生強調實數運算的符號法則的應用.

　　定理2：若 ，且 ，則 .

　　證明：∵

　　∴

　　根據兩個正數的和仍是正數，得

　　∴ 說明：此定理證明的主要依據是實數運算的符號法則及兩正數之和仍是正數.

　　定理3：若 ，則

　　定理3說明，不等式的兩邊都加上同一個實數，所得不等式與原不等式同向.

　　證明：∵

　　∴

　　說明：（1）定理3的證明相當于比較 與 的大小，采用的是求差比較法；

　　（2）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊，理由是：根據定理3可得出：若 ，則 即 .

　　定理3推論：若 .

　　證明:∵ ,

　　∴      ①

　　∵

　　∴       ②

　　由①、②得

　　說明：（1）推論的證明連續兩次運用定理3然后由定理2證出；

　　（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；

　　（3）兩個同向不等式的兩邊分別相減時，就不能作出一般的結論；

　　（4）定理3的逆命題也成立.（可讓學生自證）

　　三、課堂練習

　　1.證明定理1后半部分；

　　2.證明定理3的逆定理.

　　說明：本節主要目的是掌握定理1，2，3的證明思路與推證過程，練習穿插在定理的證明過程中進行.

　　課堂小結

　　通過本節學習，要求大家熟悉定理1，2，3的證明思路，并掌握其推導過程，初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

　　課后作業 

　　1.求證：若

　　2.證明：若

　　板書設計 

　　§6.1.2  不等式的性質

　　1.同向不等式          3.定理2     4.定理3      5.定理3

　　異向不等式          證明          證明         推論

　　2.定理1 證明           說明          說明         證明

　　第三課時

　　教學目標 

　　1.熟練掌握定理1，2，3的應用；

　　2.掌握并會證明定理4及其推論1，2；

　　3.掌握反證法證明定理5.

　　教學重點：定理4，5的證明.

　　教學難點 ：定理4的應用.

　　教學方法：引導式

　　教學過程 ：

　　一、復習回顧

　　上一節課，我們一起學習了不等式的三個性質，即定理1，2，3，并初步認識了證明不等式的邏輯推理方法，首先，讓我們來回顧一下三個定理的基本內容.

　　（學生回答）

　　好，我們這一節課將繼續推論定理4、5及其推論，并進一步熟悉不等式性質的應用.

　　二、講授新課

　　定理4：若

　　若

　　證明：

　　根據同號相乘得正，異號相乘得負，得

　　當

　　說明：（1）證明過程中的關鍵步驟是根據“同號相乘得正，異號相乘得負”來完成的；

　　（2）定理4證明在一個不等式兩端乘以同一個正數，不等號方向不變；乘以同一個負數，不等號方向改變.

　　推論1：若

　　證明：

　　①

　　又

　　∴     ②

　　由①、②可得 .

　　說明：（1）上述證明是兩次運用定理4，再用定理2證出的；

　　（2）所有的字母都表示正數，如果僅有 ，就推不出 的結論.

　　（3）這一推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘.這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向.

　　推論2：若

　　說明：（1）推論2是推論1的特殊情形；

　　（2）應強調學生注意n∈N 的條件.

　　定理5：若

　　我們用反證法來證明定理5，因為反面有兩種情形，即 ，所以不能僅僅否定了 ，就“歸謬”了事，而必須進行“窮舉”.

　　說明：假定 不大于 ，這有兩種情況：或者 ，或者 .

　　由推論2和定理1，當 時，有 ；

　　當 時，顯然有

　　這些都同已知條件 矛盾

　　所以 .

　　接下來，我們通過具體的例題來熟悉不等式性質的應用.

　　例2    已知

　　證明：由

　　例3  已知

　　證明：∵

　　兩邊同乘以正數

　　說明：通過例3，例4的學習，使學生初步接觸不等式的證明，為以后學習不等式的證明打下基礎.在應用定理4時，應注意題目條件，即在一個等式兩端乘以同一個數時，其正負將影響結論.接下來，我們通過練習來進一步熟悉不等式性質的應用.

　　三、課堂練習

　　課本P7練習1，2，3.

　　課堂小結

　　通過本節學習，大家要掌握不等式性質的應用及反證法證明思路，為以后不等式的證明打下一定的基礎.

　　課后作業 

　　課本習題6.1 4，5.

　　板書設計 

　　§6.1.3  不等式的性質

　　定理4      推論1         定理5          例3     學生

　　內容                     內容        

　　證明        推論2         證明          例4       練習

　　探究活動

　　能得到什么結論

　　題目 已知 且 ，你能夠推出什么結論？

　　分析與解：由條件推出結論，我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴大，對已知變量作運算，運用不等式的性質，或者跳出不等式去考慮一般的數學表達式。

　　思路一：改變 的范圍，可得：

　　1. 且 ；

　　2. 且 ；

　　思路二：由已知變量作運算，可得：

　　3. 且 ；

　　4. 且 ；

　　5. 且 ；

　　6. 且 ；

　　7. 且 ；

　　思路三：考慮含有 的數學表達式具有的性質，可得：

　　8. （其中 為實常數）是三次方程；

　　9. （其中 為常數）的圖象不可能表示直線。

　　說明 從已知信息能夠推出什么結論？這是我們經常需要思考的問題，這里給出的都是必要非充分條件，讀者可以考慮是否能夠寫出充要條件；另外，運用推出關系的傳遞性，在推出結論的基礎上進一步進行推理，還可得出很多結果，請讀者考慮.

　　探究關系式是否成立的問題

　　題目  當 成立時，關系式 是否成立？若成立，加以證明；若不成立，說明理由。

　　解：因為 ，所以 ，所以 ，

　　所以 ，

　　所以 或

　　所以 或

　　所以 或

　　所以 不可能成立。

　　說明：像本例這樣的探索題，題目的結論是“兩可”（即兩種可能性）情形，而我們知道，說明結論不成立可像例1那樣舉一個反例就可以了。不過像本例的執果索因的分析，不僅說明結論不成立，而且得出 ， 必須同時大于1或同時小于1的結論。

　　探討增加什么條件使命題成立

　　例 適當增加條件，使下列命題各命題成立：

　　（1）若 ，則 ；

　　（2）若 ，則 ；

　　（3）若 ， ，則 ；

　　（4）若 ，則

　　思路分析：本例為條件型開放題，需要依據不等式的性質，尋找使結論成立時所缺少的一個條件。

　　解：（1）

　　（2） 。當 時，

　　當 時，

　　（3）

　　（4）

　　引申發散 對命題（3），能否增加條件 ，或 ， ，使其成立？請闡述你的理由。

9.1.2 不等式的性質 篇2

　　第二課時

　　教學目標

　　1.理解同向不等式,異向不等式概念;

　　2.把握并會證實定理1,2,3;

　　3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據,定理3是移項法則的依據;

　　4.初步理解證實不等式的邏輯推理方法.

　　教學重點:定理1,2,3的證實的證實思路和推導過程

　　教學難點:理解證實不等式的邏輯推理方法

　　教學方法:引導式

　　教學過程

　　一、復習回顧

　　上一節課,我們一起學習了比較兩實數大小的方法,主要根據的是實數運算的符號法則,而這也是推證不等式性質的主要依據,因此,我們來作一下回顧:

　　這一節課,我們將利用比較實數的方法, 來推證不等式的性質.

　　二、講授新課

　　在證實不等式的性質之前,我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念.

　　1.同向不等式:兩個不等號方向相同的不等式,例如: 是同向不等式.

　　異向不等式:兩個不等號方向相反的不等式.例如: 是異向不等式.

　　2.不等式的性質:

　　定理1:若 ,則

　　定理1說明,把不等式的左邊和右邊交換,所得不等式與原不等式異向.在證實時,既要證實充分性,也要證實必要性.

　　證實:∵ ,

　　∴

　　由正數的相反數是負數,得

　　說明:定理1的后半部分可引導學生仿照前半部分推證,注重向學生強調實數運算的符號法則的應用.

　　定理2:若 ,且 ,則 .

　　證實:∵

　　∴

　　根據兩個正數的和仍是正數,得

　　∴ 說明:此定理證實的主要依據是實數運算的符號法則及兩正數之和仍是正數.

　　定理3:若 ,則

　　定理3說明,不等式的兩邊都加上同一個實數,所得不等式與原不等式同向.

　　證實:∵

　　∴

　　說明:(1)定理3的證實相當于比較 與 的大小,采用的是求差比較法;

　　(2)不等式中任何一項改變符號后,可以把它從一邊移到另一邊,理由是:根據定理3可得出:若 ,則 即 .

　　定理3推論:若 .

　　證實:∵ ,

　　∴ ①

　　∵

　　∴ ②

　　由①、②得

　　說明:(1)推論的證實連續兩次運用定理3然后由定理2證出;

　　(2)這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加,即:兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加,所得不等式與原不等式同向;

　　(3)兩個同向不等式的兩邊分別相減時,就不能作出一般的結論;

　　(4)定理3的逆命題也成立.(可讓學生自證)

　　三、課堂練習

　　1.證實定理1后半部分;

　　2.證實定理3的逆定理.

　　說明:本節主要目的是把握定理1,2,3的證實思路與推證過程,練習穿插在定理的證實過程中進行.

　　課堂小結

　　通過本節學習,要求大家熟悉定理1,2,3的證實思路,并把握其推導過程,初步理解證實不等式的邏輯推理方法.

　　課后作業

　　1.求證:若

　　2.證實:若

　　板書設計

　　§6.1.2 不等式的性質

　　1.同向不等式 3.定理2 4.定理3 5.定理3

　　異向不等式 證實 證實 推論

　　2.定理1 證實 說明 說明 證實

　　第三課時

　　教學目標

　　1.熟練把握定理1,2,3的應用;

　　2.把握并會證實定理4及其推論1,2;

　　3.把握反證法證實定理 5.

　　教學重點:定理4,5的證實.

　　教學難點:定理4的應用.

　　教學方法:引導式

　　教學過程:

　　一、復習回顧

　　上一節課,我們一起學習了不等式的三個性質,即定理1,2,3,并初步熟悉了證實不等式的邏輯推理方法,首先,讓我們往返顧一下三個定理的基本內容.

　　(學生回答)

　　好,我們這一節課將繼續推論定理4、5及其推論,并進一步熟悉不等式性質的應用.

　　二、講授新課

　　定理4:若

　　若

　　證實:

　　根據同號相乘得正,異號相乘得負,得

　　當

　　說明:(1)證實過程中的關鍵步驟是根據“同號相乘得正,異號相乘得負”來完成的;

　　(2)定理4證實在一個不等式兩端乘以同一個正數,不等號方向不變;乘以同一個負數,不等號方向改變.

　　推論1:若

　　證實:

　　①

　　又

　　∴ ②

　　由①、②可得 .

　　說明:(1)上述證實是兩次運用定理4,再用定理2證出的;

　　(2)所有的字母都表示正數,假如僅有 ,就推不出 的結論.

　　(3)這一推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘.這就是說,兩個或者更多個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘,所得不等式與原不等式同向.

　　推論2:若

　　說明:(1)推論2是推論1的非凡情形;

　　(2)應強調學生注重n∈n 的條件.

　　定理5:若

　　我們用反證法來證實定理5,因為反面有兩種情形,即 ,所以不能僅僅否定了 ,就“歸謬”了事,而必須進行“窮舉”.

　　說明:假定 不大于 ,這有兩種情況:或者 ,或者 .

　　由推論2和定理1,當 時,有 ;

　　當 時,顯然有

　　這些都同已知條件 矛盾

　　所以 .

　　接下來,我們通過具體的例題來熟悉不等式性質的應用.

　　例2 已知

　　證實:由

　　例3 已知

　　證實:∵

　　兩邊同乘以正數

　　說明:通過例3,例4的學習,使學生初步接觸不等式的證實,為以后學習不等式的證實打下基礎.在應用定理4時,應注重題目條件,即在一個等式兩端乘以同一個數時,其正負將影響結論.接下來,我們通過練習來進一步熟悉不等式性質的應用.

　　三、課堂練習

　　課本p7練習1,2,3.

　　課堂小結

　　通過本節學習,大家要把握不等式性質的應用及反證法證實思路,為以后不等式的證實打下一定的基礎.

　　課后作業

　　課本習題6.1 4,5.

　　板書設計

　　§6.1.3 不等式的性質

　　定理4 推論1 定理5 例3 學生

　　內容 內容

　　證實 推論2 證實 例4 練習

　　探究活動

　　能得到什么結論

　　題目 已知 且 ,你能夠推出什么結論?

　　分析與解:由條件推出結論,我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴大,對已知變量作運算,運用不等式的性質,或者跳出不等式去考慮一般的數學表達式。

　　思路一:改變 的范圍,可得:

　　1. 且 ;

　　2. 且 ;

　　思路二:由已知變量作運算,可得:

　　3. 且 ;

　　4. 且 ;

　　5. 且 ;

　　6. 且 ;

　　7. 且 ;

　　思路三:考慮含有 的數學表達式具有的性質,可得:

　　8. (其中 為實常數)是三次方程;

　　9. (其中 為常數)的圖象不可能表示直線。

　　說明 從已知信息能夠推出什么結論?這是我們經常需要思考的問題,這里給出的都是必要非充分條件,讀者可以考慮是否能夠寫出充要條件;另外,運用推出關系的傳遞性,在推出結論的基礎上進一步進行推理,還可得出很多結果,請讀者考慮.

　　探究關系式是否成立的問題

　　題目 當 成立時,關系式 是否成立?若成立,加以證實;若不成立,說明理由。

　　解:因為 ,所以 ,所以 ,

　　所以 ,

　　所以 或

　　所以 或

　　所以 或

　　所以 不可能成立。

　　說明:像本例這樣的探索題,題目的結論是“兩可”(即兩種可能性)情形,而我們知道,說明結論不成立可像例1那樣舉一個反例就可以了。不過像本例的執果索因的分析,不僅說明結論不成立,而且得出 , 必須同時大于1或同時小于1的結論。

　　探討增加什么條件使命題成立

　　例 適當增加條件,使下列命題各命題成立:

　　(1)若 ,則 ;

　　(2)若 ,則 ;

　　(3)若 , ,則 ;

　　(4)若 ,則

　　思路分析:本例為條件型開放題,需要依據不等式的性質,尋找使結論成立時所缺少的一個條件。

　　解:(1)

　　(2) 。當 時,

　　當 時,

　　(3)

　　(4)

　　引申發散對命題(3),能否增加條件 ,或 , ,使其成立?請闡述你的理由。

9.1.2 不等式的性質 篇3

　　9.1.2 不等式的性質（3）

　　教學目標 1、使學生熟練掌握一元一次不等式的解法，初步認識一元一次不等式的應用價值；

　　2、對比一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法，讓學生感知不等式和方程的不同作用與內在聯系，體會其中滲透的類比思想；

　　3、讓學生在分組活動和班級交流的過程中，積累數學活動的經驗并感受成功的喜悅，從而增強學習數學的自信心。   

　　教學難點 熟練并準確地解一元一次不等式。   

　　知識重點 熟練并準確地解一元一次不等式。   

　　教學過程（師生活動） 設計理念   

　　提出問題 某地慶典活動需燃放某種禮花彈.為確保人身安全，要求燃放者在點燃導火索后于燃放前轉移到10米以外的地方.已知導火索的燃燒速度為0.02 m/s,人離開的速度是4 m/s，導火索的長x(m)應滿足怎樣的關系式？

　　你會運用已學知識解這個不等式嗎？請你說說解這個不等式的過程. 以學生身邊的事例為背景，突出不等式與現實的聯系，這個問題為契機引入新課，可以激發學生的學習興趣。   

　　探究新知 1、在學生充分發表意見的基礎上，師生共同歸納出這個不等式的解法.教師規范地板書解的過程.

　　2、例題.

　　解下列不等式，并在數軸上表示解集：

　　（1） x ≤ 50    (2)-4x < 3

　　(3) 7－3x≤10    （4）2x-3 < 3x＋1

　　分組活動.先獨立思考，然后請4名學生上來板演，其余同學組內相互交流，作出記錄，最后各組選派代表發言，點評板演情況.教師作總結講評并示范解題格式.

　　3、教師提問：從以上的求解過程中，你比較出它與解方程有什么異同？

　　讓學生展開充分討論，體會不等式和方程的內在聯系與不同之處。 不同層次的學生經過嘗試會有不同的收獲.一些學生能獨

　　立解決；還有一些學生雖不能解答，但在老師的引導下也能受到啟發，這比單純的教師講解更能調動學習的積極性.另外，由學生自己來糾錯，可培養他們的批

　　判性思維和語言表達能力.

　　比較不等式與解方程的異同中滲透著類比思想.    

　　鞏固新知 1、解下列不等式，并在數軸上表示解集：

　　（1）       （2）－8x < 10

　　2、用不等式表示下列語句并寫出解集：

　　（1）x的3倍大于或等于1；  （2）y的 的差不大于－2.    

　　解決問題 測量一棵樹的樹圍（樹干的周長）可以計算它的樹齡一般規定以樹干離地面1.5 m的地方作為測量部位.某樹栽種時的樹圍為5 cm,以后樹圍每年增加約3 cm.這棵樹至少生一長多少年，其樹圍才能超過2.4 m? 讓學生在解決問題的過程中深刻感悟數學來源于實踐，又服務于實踐，以培養他們的數學應用意識。   

　　總結歸納 圍繞以下幾個問題：

　　1、這節課的主要內容是什么？

　　2、通過學習，我取得了哪些收獲？

　　3、還有哪些問題需要注意？

　　讓學生自己歸納，教師僅做必要的補充和點撥. 讓學生自己歸納小結，給學生創造自我評價和自我表現的機會，以達到激發興趣、鞏固知識的目的。   

　　小結與作業    

　　布置作業 1、必做題：教科書第134~135頁習題9.1第6題（3）（4）第10題。

　　2、選做題：教科書第135頁習題9、12題.    

　　本課教育評注（課堂設計理念，實際教學效果及改進設想）   

　　通過創設與學生實際生活密切聯系的向題情境，并由學生根據自己掌握的知識與經驗列出不等式，探究它的解法，可以激發學生的學習動力，喚起他們的求知欲望，促使學生動腦、動手、動口，積極參與教學的整個過程，在教師的指導下，主動地、生動活潑地、富有個性地學習.

　　新課程理念要求教師向學生提供充分的從事數學活動的機會.本課教學過程中貫穿了“嘗試—引導—示范—歸納—練習—點評”等一系列環節，旨在改變學生的學習方式，將被動的、接受式的學習方式轉變為動手實踐、自主探索和合作交流等方式.教師的組織者、引導者與合作者的角色在這節課中得到了充分的演繹. 教師要尊重學生的個體差異，滿足多樣化學習的需求.對學習確實有困難的學生，要及時給予關心和幫助，鼓勵他們主動參與數學學習活動，嘗試著用自己的方式去解決問題，勇于發表自己的觀點.除了演好組織者、引導者的角色外，教師還應爭當“伯樂”和“雷鋒”，多給學生以贊許、鼓勵、關愛和幫助，讓他們在積極愉悅的氛圍中努力學習. 

9.1.2 不等式的性質 篇4

　　教學目標

　　1.理解不等式的性質,把握不等式各個性質的條件和結論之間的邏輯關系,并把握它們的證實方法以及功能、運用;

　　2.把握兩個實數比較大小的一般方法;

　　3.通過不等式性質證實的學習,提高學生邏輯推論的能力;

　　4.提高本節內容的學習,;培養學生條理思維的習慣和認真嚴謹的學習態度;

　　教學建議

　　1.教材分析

　　(1)知識結構

　　本節首先通過數形結合,給出了比較實數大小的方法,在這個基礎上,給出了不等式的性質,一共講了五個定理和三個推論,并給出了嚴格的證實。

　　知識結構圖

　　(2)重點、難點分析

　　在“不等式的性質”一節中,聯系了實數和數軸的對應關系、比較實數大小的方法,復習了初中學過的不等式的基本性質。

　　不等式的性質是穿越本章內容的一條主線,無論是算術平均數與幾何平均數的定理的證實及其應用,不等式的證實和解一些簡單的不等式,無不以不等式的性質作為基礎。

　　本節的重點是比較兩個實數的大小,不等式的五個定理和三個推論;難點是不等式的性質成立的條件及其它的應用。

　　①比較實數的大小

　　教材運用數形結合的觀點,從實數與數軸上的點一一對應出發, 與初中學過的知識“在數軸上表示的兩個數,右邊的數總比左邊的數大”利用數軸可以比較數的大小。

　　指出比較兩實數大小的方法是求差比較法:

　　比較兩個實數a與b的大小,歸結為判定它們的差a-b的符號,而這又必然歸結到實數運算的符號法則.

　　比較兩個代數式的大小,實際上是比較它們的值的大小,而這又歸結為判定它們的差的符號.

　　②理清不等式的幾個性質的關系

　　教材中的不等式共5個定理3個推論,是從證實過程安排順序的.從這幾個性質的分類來說,可以分為三類:

　　(ⅰ)不等式的理論性質: (對稱性)

　　(傳遞性)

　　(ⅱ)一個不等式的性質:

　　(n∈n,n>1)

　　(n∈n,n>1)

　　(ⅲ)兩個不等式的性質:

　　2.教法建議

　　本節課的核心是培養學生的變形技能,練習學生的推理能力.為今后證實不等式、解不等式的學習奠定技能上和理論上的基礎.

　　授課方法可以采取講授與問答相結合的方式.通過問答形式不斷地給學生設置疑問(即:設疑);對教學難點,再由講授形式解決疑問.(即:解疑).主要思路是:教師設疑→學生討論→教師啟發→解疑.

　　教學過程可分為:發現定理、定理證實、定理應用,采用由形象思維到抽象思維的過渡,發現定理、證實定理.采用類比聯想,變形轉化,應用定理或應用定理的證實思路;解決一些較簡單的證實題.

　　第一課時

　　教學目標

　　1.把握實數的運算性質與大小順序間關系;

　　2.把握求差法比較兩實數或代數式大小;

　　3.強調數形結合思想.

　　教學重點

　　比較兩實數大小

　　教學難點

　　理解實數運算的符號法則

　　教學方法

　　啟發式

　　教學過程

　　一、復習回顧

　　我們知道,實數與數軸上的點是一一對應的,在數軸上不同的兩點中,右邊的點表示的實數比左邊的點表示的實數大.例如,在右圖中,點a表示實數 ,點b表示實數 ,點a在點b右邊,那么 .

　　我們再看右圖, 表示 減去 所得的差是一個大于0的數即正數.一般地:

　　若 ,則 是正數;逆命題也正確 .

　　類似地,若,則 是負數;若 ,則 .它們的逆命題都正確.

　　這就是說:(打出幻燈片1)

　　由此可見,要比較兩個實數的大小,只要考察它們的差就可以了,這也是我們這節課將要學習的主要內容.

　　二、講授新課

　　1. 比較兩實數大小的方法——求差比較法

　　比較兩個實數 與 的大小,歸結為判定它們的差 的符號,而這又必然歸結到實數運算的符號法則.

　　比較兩個代數式的大小,實際上是比較它們的值的大小,而這又歸結為判定它們的差的符號.

　　接下來,我們通過具體的例題來熟悉求差比較法.

　　2. 例題講解

　　例1 比較 與 的大小.

　　分析:此題屬于兩代數式比較大小,實際上是比較它們的值的大小,可以作差,然后展開,合并同類項之后,判定差值正負,并根據實數運算的符號法則來得出兩個代數式的大小.

　　解:

　　∴

　　例2 已知,比較( 與 的大小.

　　分析:此題與例1基本類似,也屬于兩個代數式比較大小,但是其中的x有一定的限制,應該在對差值正負判定時引起注重,對于限制條件的應用經常被學生所忽略.

　　由 得 ,從而

　　請同學們想一想,在例2中,假如沒有 這個條件,那么比較的結果如何?

　　(學生回答:若沒有 這一條件,則 ,從而 大于或等于 )

　　為了使大家進一步把握求差比較法,我們來進行下面的練習.

　　三、課堂練習

　　1.比較 的大小.

　　2.假如 ,比較 的大小.

　　3.已知,比較 與 的大小.

　　要求:學生板演練習,老師講評,并強調學生注重加限制條件的題目.

　　課堂小結

　　通過本節學習,大家要明確實數運算的符號法則, 把握求差比較法來比較兩實數或代數式的大小.

　　課后作業

　　習題6.1 1,2,3.

　　板書設計

　　§6.1.1 不等式的性質

　　1.求差比較法 例1 學生

　　……

　　例2 板演

9.1.2 不等式的性質 篇5

　　教學目標 

　　1.理解不等式的性質，掌握不等式各個性質的條件和結論之間的邏輯關系，并掌握它們的證明方法以及功能、運用；

　　2.掌握兩個實數比較大小的一般方法；

　　3.通過不等式性質證明的學習，提高學生邏輯推論的能力；

　　4.提高本節內容的學習，；培養學生條理思維的習慣和認真嚴謹的學習態度；

　　教學建議

　　1.教材分析

　　（1）知識結構

　　本節首先通過數形結合，給出了比較實數大小的方法，在這個基礎上，給出了不等式的性質，一共講了五個定理和三個推論，并給出了嚴格的證明。

　　知識結構圖

　　（2）重點、難點分析

　　在“不等式的性質”一節中，聯系了實數和數軸的對應關系、比較實數大小的方法，復習了初中學過的不等式的基本性質。

　　不等式的性質是穿越本章內容的一條主線，無論是算術平均數與幾何平均數的定理的證明及其應用，不等式的證明和解一些簡單的不等式，無不以不等式的性質作為基礎。

　　本節的重點是比較兩個實數的大小，不等式的五個定理和三個推論；難點是不等式的性質成立的條件及其它的應用。

　　①比較實數的大小

　　教材運用數形結合的觀點，從實數與數軸上的點一一對應出發， 與初中學過的知識“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大”利用數軸可以比較數的大小。

　　指出比較兩實數大小的方法是求差比較法：

　　比較兩個實數a與b的大小，歸結為判斷它們的差a－b的符號，而這又必然歸結到實數運算的符號法則.

　　比較兩個代數式的大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結為判斷它們的差的符號.

　　②理清不等式的幾個性質的關系

　　教材中的不等式共5個定理3個推論，是從證明過程安排順序的.從這幾個性質的分類來說，可以分為三類：

　　（Ⅰ）不等式的理論性質： （對稱性）

　　（傳遞性）

　　（Ⅱ）一個不等式的性質：

　　(n∈N，n＞1)

　　(n∈N，n＞1)

　　（Ⅲ）兩個不等式的性質：

　　2.教法建議

　　本節課的核心是培養學生的變形技能，訓練學生的推理能力.為今后證明不等式、解不等式的學習奠定技能上和理論上的基礎.

　　授課方法可以采取講授與問答相結合的方式.通過問答形式不斷地給學生設置疑問（即：設疑）；對教學難點 ，再由講授形式解決疑問.（即：解疑）.主要思路是：教師設疑→學生討論→教師啟發→解疑.

　　教學過程 可分為：發現定理、定理證明、定理應用，采用由形象思維到抽象思維的過渡，發現定理、證明定理.采用類比聯想，變形轉化，應用定理或應用定理的證明思路；解決一些較簡單的證明題.

　　第一課時

　　教學目標 

　　1.掌握實數的運算性質與大小順序間關系；

　　2.掌握求差法比較兩實數或代數式大小；

　　3.強調數形結合思想.

　　教學重點

　　比較兩實數大小

　　教學難點  

　　理解實數運算的符號法則

　　教學方法

　　啟發式

　　教學過程 

　　一、復習回顧

　　我們知道，實數與數軸上的點是一一對應的，在數軸上不同的兩點中，右邊的點表示的實數比左邊的點表示的實數大.例如，在右圖中，點A表示實數 ，點B表示實數 ,點A在點B右邊，那么 .

　　我們再看右圖， 表示 減去 所得的差是一個大于0的數即正數.一般地：

　　若 ，則 是正數；逆命題也正確.

　　類似地，若，則 是負數；若 ，則 .它們的逆命題都正確.

　　這就是說：（打出幻燈片1）

　　由此可見，要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差就可以了，這也是我們這節課將要學習的主要內容.

　　二、講授新課

　　1.  比較兩實數大小的方法——求差比較法

　　比較兩個實數 與 的大小，歸結為判斷它們的差 的符號，而這又必然歸結到實數運算的符號法則.

　　比較兩個代數式的大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結為判斷它們的差的符號.

　　接下來，我們通過具體的例題來熟悉求差比較法.

　　2.  例題講解

　　例1  比較 與 的大小.

　　分析：此題屬于兩代數式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項之后，判斷差值正負，并根據實數運算的符號法則來得出兩個代數式的大小.

　　解：

　　∴

　　例2  已知,比較（ 與 的大小.

　　分析：此題與例1基本類似，也屬于兩個代數式比較大小，但是其中的x有一定的限制，應該在對差值正負判斷時引起注意，對于限制條件的應用經常被學生所忽略.

　　由 得 ，從而

　　請同學們想一想，在例2中，如果沒有 這個條件，那么比較的結果如何？

　　（學生回答：若沒有 這一條件，則 ，從而 大于或等于 ）

　　為了使大家進一步掌握求差比較法，我們來進行下面的練習.

　　三、課堂練習

　　1.比較 的大小.

　　2.如果 ，比較 的大小.

　　3.已知,比較 與 的大小.

　　要求：學生板演練習，老師講評，并強調學生注意加限制條件的題目.

　　課堂小結

　　通過本節學習，大家要明確實數運算的符號法則， 掌握求差比較法來比較兩實數或代數式的大小.

　　課后作業 

　　習題6.1  1，2，3.

　　板書設計 

　　§6.1.1  不等式的性質

　　1.求差比較法   例1   學生

　　…… 

　　例2    板演

　　…… 

9.1.2 不等式的性質 篇6

　　教學目標 

　　1.理解不等式的性質，掌握不等式各個性質的條件和結論之間的邏輯關系，并掌握它們的證明方法以及功能、運用；

　　2.掌握兩個實數比較大小的一般方法；

　　3.通過不等式性質證明的學習，提高學生邏輯推論的能力；

　　4.提高本節內容的學習，；培養學生條理思維的習慣和認真嚴謹的學習態度；

　　教學建議

　　1.教材分析

　　（1）知識結構

　　本節首先通過數形結合，給出了比較實數大小的方法，在這個基礎上，給出了不等式的性質，一共講了五個定理和三個推論，并給出了嚴格的證明。

　　知識結構圖

　　（2）重點、難點分析

　　在“不等式的性質”一節中，聯系了實數和數軸的對應關系、比較實數大小的方法，復習了初中學過的不等式的基本性質。

　　不等式的性質是穿越本章內容的一條主線，無論是算術平均數與幾何平均數的定理的證明及其應用，不等式的證明和解一些簡單的不等式，無不以不等式的性質作為基礎。

　　本節的重點是比較兩個實數的大小，不等式的五個定理和三個推論；難點是不等式的性質成立的條件及其它的應用。

　　①比較實數的大小

　　教材運用數形結合的觀點，從實數與數軸上的點一一對應出發， 與初中學過的知識“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大”利用數軸可以比較數的大小。

　　指出比較兩實數大小的方法是求差比較法：

　　比較兩個實數a與b的大小，歸結為判斷它們的差a－b的符號，而這又必然歸結到實數運算的符號法則.

　　比較兩個代數式的大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結為判斷它們的差的符號.

　　②理清不等式的幾個性質的關系

　　教材中的不等式共5個定理3個推論，是從證明過程安排順序的.從這幾個性質的分類來說，可以分為三類：

　　（Ⅰ）不等式的理論性質： （對稱性）

　　（傳遞性）

　　（Ⅱ）一個不等式的性質：

　　(n∈N，n＞1)

　　(n∈N，n＞1)

　　（Ⅲ）兩個不等式的性質：

　　2.教法建議

　　本節課的核心是培養學生的變形技能，訓練學生的推理能力.為今后證明不等式、解不等式的學習奠定技能上和理論上的基礎.

　　授課方法可以采取講授與問答相結合的方式.通過問答形式不斷地給學生設置疑問（即：設疑）；對教學難點 ，再由講授形式解決疑問.（即：解疑）.主要思路是：教師設疑→學生討論→教師啟發→解疑.

　　教學過程 可分為：發現定理、定理證明、定理應用，采用由形象思維到抽象思維的過渡，發現定理、證明定理.采用類比聯想，變形轉化，應用定理或應用定理的證明思路；解決一些較簡單的證明題.

　　第一課時

　　教學目標 

　　1.掌握實數的運算性質與大小順序間關系；

　　2.掌握求差法比較兩實數或代數式大小；

　　3.強調數形結合思想.

　　教學重點

　　比較兩實數大小

　　教學難點  

　　理解實數運算的符號法則

　　教學方法

　　啟發式

　　教學過程 

　　一、復習回顧

　　我們知道，實數與數軸上的點是一一對應的，在數軸上不同的兩點中，右邊的點表示的實數比左邊的點表示的實數大.例如，在右圖中，點A表示實數 ，點B表示實數 ,點A在點B右邊，那么 .

　　我們再看右圖， 表示 減去 所得的差是一個大于0的數即正數.一般地：

　　若 ，則 是正數；逆命題也正確.

　　類似地，若，則 是負數；若 ，則 .它們的逆命題都正確.

　　這就是說：（打出幻燈片1）

　　由此可見，要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差就可以了，這也是我們這節課將要學習的主要內容.

　　二、講授新課

　　1.  比較兩實數大小的方法——求差比較法

　　比較兩個實數 與 的大小，歸結為判斷它們的差 的符號，而這又必然歸結到實數運算的符號法則.

　　比較兩個代數式的大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結為判斷它們的差的符號.

　　接下來，我們通過具體的例題來熟悉求差比較法.

　　2.  例題講解

　　例1  比較 與 的大小.

　　分析：此題屬于兩代數式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項之后，判斷差值正負，并根據實數運算的符號法則來得出兩個代數式的大小.

　　解：

　　∴

　　例2  已知,比較（ 與 的大小.

　　分析：此題與例1基本類似，也屬于兩個代數式比較大小，但是其中的x有一定的限制，應該在對差值正負判斷時引起注意，對于限制條件的應用經常被學生所忽略.

　　由 得 ，從而

　　請同學們想一想，在例2中，如果沒有 這個條件，那么比較的結果如何？

　　（學生回答：若沒有 這一條件，則 ，從而 大于或等于 ）

　　為了使大家進一步掌握求差比較法，我們來進行下面的練習.

　　三、課堂練習

　　1.比較 的大小.

　　2.如果 ，比較 的大小.

　　3.已知,比較 與 的大小.

　　要求：學生板演練習，老師講評，并強調學生注意加限制條件的題目.

　　課堂小結

　　通過本節學習，大家要明確實數運算的符號法則， 掌握求差比較法來比較兩實數或代數式的大小.

　　課后作業 

　　習題6.1  1，2，3.

　　板書設計 

　　§6.1.1  不等式的性質

　　1.求差比較法   例1   學生

　　…… 

　　例2    板演

　　…… 

9.1.2 不等式的性質 篇7

　　探究活動

　　能得到什么結論

　　題目 已知 且 ，你能夠推出什么結論？

　　分析與解：由條件推出結論，我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴大，對已知變量作運算，運用不等式的性質，或者跳出不等式去考慮一般的數學表達式。

　　思路一：改變 的范圍，可得：

　　1. 且 ；

　　2. 且 ；

　　思路二：由已知變量作運算，可得：

　　3. 且 ；

　　4. 且 ；

　　5. 且 ；

　　6. 且 ；

　　7. 且 ；

　　思路三：考慮含有 的數學表達式具有的性質，可得：

　　8. （其中 為實常數）是三次方程；

　　9. （其中 為常數）的圖象不可能表示直線。

　　說明 從已知信息能夠推出什么結論？這是我們經常需要思考的問題，這里給出的都是必要非充分條件，讀者可以考慮是否能夠寫出充要條件；另外，運用推出關系的傳遞性，在推出結論的基礎上進一步進行推理，還可得出很多結果，請讀者考慮.

　　探究關系式是否成立的問題

　　題目  當 成立時，關系式 是否成立？若成立，加以證明；若不成立，說明理由。

　　解：因為 ，所以 ，所以 ，

　　所以 ，

　　所以 或

　　所以 或

　　所以 或

　　所以 不可能成立。

　　說明：像本例這樣的探索題，題目的結論是“兩可”（即兩種可能性）情形，而我們知道，說明結論不成立可像例1那樣舉一個反例就可以了。不過像本例的執果索因的分析，不僅說明結論不成立，而且得出 ， 必須同時大于1或同時小于1的結論。

　　探討增加什么條件使命題成立

　　例 適當增加條件，使下列命題各命題成立：

　　（1）若 ，則 ；

　　（2）若 ，則 ；

　　（3）若 ， ，則 ；

　　（4）若 ，則

　　思路分析：本例為條件型開放題，需要依據不等式的性質，尋找使結論成立時所缺少的一個條件。

　　解：（1）

　　（2） 。當 時，

　　當 時，

　　（3）

　　（4）

　　引申發散 對命題（3），能否增加條件 ，或 ， ，使其成立？請闡述你的理由。

9.1.2 不等式的性質 篇8

　　第二課時

　　教學目標

　　1.理解同向不等式，異向不等式概念；

　　2.掌握并會證明定理1，2，3；

　　3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據，定理3是移項法則的依據；

　　4.初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

　　教學重點：定理1，2，3的證明的證明思路和推導過程

　　教學難點：理解證明不等式的邏輯推理方法

　　教學方法：引導式

　　教學過程

　　一、復習回顧

　　上一節課,我們一起學習了比較兩實數大小的方法,主要根據的是實數運算的符號法則,而這也是推證不等式性質的主要依據,因此，我們來作一下回顧：

　　這一節課，我們將利用比較實數的方法， 來推證不等式的性質.

　　二、講授新課

　　在證明不等式的性質之前,我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念.

　　1.同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式，例如： 是同向不等式.

　　異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式.例如： 是異向不等式.

　　2.不等式的性質：

　　定理1：若 ，則

　　定理1說明，把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向.在證明時，既要證明充分性，也要證明必要性.

　　證明：∵ ，

　　∴

　　由正數的相反數是負數，得

　　說明：定理1的后半部分可引導學生仿照前半部分推證，注意向學生強調實數運算的符號法則的應用.

　　定理2：若 ，且 ，則 .

　　證明：∵

　　∴

　　根據兩個正數的和仍是正數，得

　　∴ 說明：此定理證明的主要依據是實數運算的符號法則及兩正數之和仍是正數.

　　定理3：若 ，則

　　定理3說明，不等式的兩邊都加上同一個實數，所得不等式與原不等式同向.

　　證明：∵

　　∴

　　說明：（1）定理3的證明相當于比較 與 的大小，采用的是求差比較法；

　　（2）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊，理由是：根據定理3可得出：若 ，則 即 .

　　定理3推論：若 .

　　證明:∵ ,

　　∴      ①

　　∵

　　∴       ②

　　由①、②得

　　說明：（1）推論的證明連續兩次運用定理3然后由定理2證出；

　　（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；

　　（3）兩個同向不等式的兩邊分別相減時，就不能作出一般的結論；

　　（4）定理3的逆命題也成立.（可讓學生自證）

　　三、課堂練習

　　1.證明定理1后半部分；

　　2.證明定理3的逆定理.

　　說明：本節主要目的是掌握定理1，2，3的證明思路與推證過程，練習穿插在定理的證明過程中進行.

　　課堂小結

　　通過本節學習，要求大家熟悉定理1，2，3的證明思路，并掌握其推導過程，初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

　　課后作業 

　　1.求證：若

　　2.證明：若

　　板書設計

　　§6.1.2  不等式的性質

　　1.同向不等式          3.定理2     4.定理3      5.定理3

　　異向不等式          證明          證明         推論

　　2.定理1 證明           說明          說明         證明

　　第三課時

　　教學目標

　　1.熟練掌握定理1，2，3的應用；

　　2.掌握并會證明定理4及其推論1，2；

　　3.掌握反證法證明定理5.

　　教學重點：定理4，5的證明.

　　教學難點：定理4的應用.

　　教學方法：引導式

　　教學過程：

　　一、復習回顧

　　上一節課，我們一起學習了不等式的三個性質，即定理1，2，3，并初步認識了證明不等式的邏輯推理方法，首先，讓我們來回顧一下三個定理的基本內容.

　　（學生回答）

　　好，我們這一節課將繼續推論定理4、5及其推論，并進一步熟悉不等式性質的應用.

　　二、講授新課

　　定理4：若

　　若

　　證明：

　　根據同號相乘得正，異號相乘得負，得

　　當

　　說明：（1）證明過程中的關鍵步驟是根據“同號相乘得正，異號相乘得負”來完成的；

　　（2）定理4證明在一個不等式兩端乘以同一個正數，不等號方向不變；乘以同一個負數，不等號方向改變.

　　推論1：若

　　證明：

　　①

　　又

　　∴     ②

　　由①、②可得 .

　　說明：（1）上述證明是兩次運用定理4，再用定理2證出的；

　　（2）所有的字母都表示正數，如果僅有 ，就推不出 的結論.

　　（3）這一推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘.這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向.

　　推論2：若

　　說明：（1）推論2是推論1的特殊情形；

　　（2）應強調學生注意n∈N 的條件.

　　定理5：若

　　我們用反證法來證明定理5，因為反面有兩種情形，即 ，所以不能僅僅否定了 ，就“歸謬”了事，而必須進行“窮舉”.

　　說明：假定 不大于 ，這有兩種情況：或者 ，或者 .

　　由推論2和定理1，當 時，有 ；

　　當 時，顯然有

　　這些都同已知條件 矛盾

　　所以 .

　　接下來，我們通過具體的例題來熟悉不等式性質的應用.

　　例2    已知

　　證明：由

　　例3  已知

　　證明：∵

　　兩邊同乘以正數

　　說明：通過例3，例4的學習，使學生初步接觸不等式的證明，為以后學習不等式的證明打下基礎.在應用定理4時，應注意題目條件，即在一個等式兩端乘以同一個數時，其正負將影響結論.接下來，我們通過練習來進一步熟悉不等式性質的應用.

　　三、課堂練習

　　課本P7練習1，2，3.

　　課堂小結

　　通過本節學習，大家要掌握不等式性質的應用及反證法證明思路，為以后不等式的證明打下一定的基礎.

　　課后作業 

　　課本習題6.1 4，5.

　　板書設計

　　§6.1.3  不等式的性質

　　定理4      推論1         定理5          例3     學生

　　內容                     內容        

　　證明        推論2         證明          例4       練習

9.1.2 不等式的性質 篇9

　　第二課時

　　教學目標

　　1.理解同向不等式，異向不等式概念；

　　2.掌握并會證明定理1，2，3；

　　3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據，定理3是移項法則的依據；

　　4.初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

　　教學重點：定理1，2，3的證明的證明思路和推導過程

　　教學難點：理解證明不等式的邏輯推理方法

　　教學方法：引導式

　　教學過程

　　一、復習回顧

　　上一節課,我們一起學習了比較兩實數大小的方法,主要根據的是實數運算的符號法則,而這也是推證不等式性質的主要依據,因此，我們來作一下回顧：

　　這一節課，我們將利用比較實數的方法， 來推證不等式的性質.

　　二、講授新課

　　在證明不等式的性質之前,我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念.

　　1.同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式，例如： 是同向不等式.

　　異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式.例如： 是異向不等式.

　　2.不等式的性質：

　　定理1：若 ，則

　　定理1說明，把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向.在證明時，既要證明充分性，也要證明必要性.

　　證明：∵ ，

　　∴

　　由正數的相反數是負數，得

　　說明：定理1的后半部分可引導學生仿照前半部分推證，注意向學生強調實數運算的符號法則的應用.

　　定理2：若 ，且 ，則 .

　　證明：∵

　　∴

　　根據兩個正數的和仍是正數，得

　　∴ 說明：此定理證明的主要依據是實數運算的符號法則及兩正數之和仍是正數.

　　定理3：若 ，則

　　定理3說明，不等式的兩邊都加上同一個實數，所得不等式與原不等式同向.

　　證明：∵

　　∴

　　說明：（1）定理3的證明相當于比較 與 的大小，采用的是求差比較法；

　　（2）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊，理由是：根據定理3可得出：若 ，則 即 .

　　定理3推論：若 .

　　證明:∵ ,

　　∴      ①

　　∵

　　∴       ②

　　由①、②得

　　說明：（1）推論的證明連續兩次運用定理3然后由定理2證出；

　　（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；

　　（3）兩個同向不等式的兩邊分別相減時，就不能作出一般的結論；

　　（4）定理3的逆命題也成立.（可讓學生自證）

　　三、課堂練習

　　1.證明定理1后半部分；

　　2.證明定理3的逆定理.

　　說明：本節主要目的是掌握定理1，2，3的證明思路與推證過程，練習穿插在定理的證明過程中進行.

　　課堂小結

　　通過本節學習，要求大家熟悉定理1，2，3的證明思路，并掌握其推導過程，初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

　　課后作業 

　　1.求證：若

　　2.證明：若

　　板書設計

　　§6.1.2  不等式的性質

　　1.同向不等式          3.定理2     4.定理3      5.定理3

　　異向不等式          證明          證明         推論

　　2.定理1 證明           說明          說明         證明

　　第三課時

　　教學目標

　　1.熟練掌握定理1，2，3的應用；

　　2.掌握并會證明定理4及其推論1，2；

　　3.掌握反證法證明定理5.

　　教學重點：定理4，5的證明.

　　教學難點：定理4的應用.

　　教學方法：引導式

　　教學過程：

　　一、復習回顧

　　上一節課，我們一起學習了不等式的三個性質，即定理1，2，3，并初步認識了證明不等式的邏輯推理方法，首先，讓我們來回顧一下三個定理的基本內容.

　　（學生回答）

　　好，我們這一節課將繼續推論定理4、5及其推論，并進一步熟悉不等式性質的應用.

　　二、講授新課

　　定理4：若

　　若

　　證明：

　　根據同號相乘得正，異號相乘得負，得

　　當

　　說明：（1）證明過程中的關鍵步驟是根據“同號相乘得正，異號相乘得負”來完成的；

　　（2）定理4證明在一個不等式兩端乘以同一個正數，不等號方向不變；乘以同一個負數，不等號方向改變.

　　推論1：若

　　證明：

　　①

　　又

　　∴     ②

　　由①、②可得 .

　　說明：（1）上述證明是兩次運用定理4，再用定理2證出的；

　　（2）所有的字母都表示正數，如果僅有 ，就推不出 的結論.

　　（3）這一推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘.這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向.

　　推論2：若

　　說明：（1）推論2是推論1的特殊情形；

　　（2）應強調學生注意n∈N 的條件.

　　定理5：若

　　我們用反證法來證明定理5，因為反面有兩種情形，即 ，所以不能僅僅否定了 ，就“歸謬”了事，而必須進行“窮舉”.

　　說明：假定 不大于 ，這有兩種情況：或者 ，或者 .

　　由推論2和定理1，當 時，有 ；

　　當 時，顯然有

　　這些都同已知條件 矛盾

　　所以 .

　　接下來，我們通過具體的例題來熟悉不等式性質的應用.

　　例2    已知

　　證明：由

　　例3  已知

　　證明：∵

　　兩邊同乘以正數

　　說明：通過例3，例4的學習，使學生初步接觸不等式的證明，為以后學習不等式的證明打下基礎.在應用定理4時，應注意題目條件，即在一個等式兩端乘以同一個數時，其正負將影響結論.接下來，我們通過練習來進一步熟悉不等式性質的應用.

　　三、課堂練習

　　課本P7練習1，2，3.

　　課堂小結

　　通過本節學習，大家要掌握不等式性質的應用及反證法證明思路，為以后不等式的證明打下一定的基礎.

　　課后作業 

　　課本習題6.1 4，5.

　　板書設計

　　§6.1.3  不等式的性質

　　定理4      推論1         定理5          例3     學生

　　內容                     內容        

　　證明        推論2         證明          例4       練習

　　探究活動

　　能得到什么結論

　　題目 已知 且 ，你能夠推出什么結論？

　　分析與解：由條件推出結論，我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴大，對已知變量作運算，運用不等式的性質，或者跳出不等式去考慮一般的數學表達式。

　　思路一：改變 的范圍，可得：

　　1. 且 ；

　　2. 且 ；

　　思路二：由已知變量作運算，可得：

　　3. 且 ；

　　4. 且 ；

　　5. 且 ；

　　6. 且 ；

　　7. 且 ；

　　思路三：考慮含有 的數學表達式具有的性質，可得：

　　8. （其中 為實常數）是三次方程；

　　9. （其中 為常數）的圖象不可能表示直線。

　　說明 從已知信息能夠推出什么結論？這是我們經常需要思考的問題，這里給出的都是必要非充分條件，讀者可以考慮是否能夠寫出充要條件；另外，運用推出關系的傳遞性，在推出結論的基礎上進一步進行推理，還可得出很多結果，請讀者考慮.

　　探究關系式是否成立的問題

　　題目  當 成立時，關系式 是否成立？若成立，加以證明；若不成立，說明理由。

　　解：因為 ，所以 ，所以 ，

　　所以 ，

　　所以 或

　　所以 或

　　所以 或

　　所以 不可能成立。

　　說明：像本例這樣的探索題，題目的結論是“兩可”（即兩種可能性）情形，而我們知道，說明結論不成立可像例1那樣舉一個反例就可以了。不過像本例的執果索因的分析，不僅說明結論不成立，而且得出 ， 必須同時大于1或同時小于1的結論。

　　探討增加什么條件使命題成立

　　例 適當增加條件，使下列命題各命題成立：

　　（1）若 ，則 ；

　　（2）若 ，則 ；

　　（3）若 ， ，則 ；

　　（4）若 ，則

　　思路分析：本例為條件型開放題，需要依據不等式的性質，尋找使結論成立時所缺少的一個條件。

　　解：（1）

　　（2） 。當 時，

　　當 時，

　　（3）

　　（4）

　　引申發散 對命題（3），能否增加條件 ，或 ， ，使其成立？請闡述你的理由。

9.1.2 不等式的性質 篇10

　　9.1.2 不等式的性質（1）

　　教學目標 1、經歷通過類比、猜測、驗證發現不等式性質的探索過程，掌握不等式的性質；

　　2、初步體會不等式與等式的異同；

　　3、通過創設問題情境和實驗探究活動，積極引導學生參與數學活動，提高學習數學的興趣，增進學習數學的信心，體會在解決問題的過程中與他人交流合作的重要性.   

　　教學難點 正確運用不等式的性質。   

　　知識重點 理解并掌握不等式的性質。   

　　教學過程（師生活動） 設計理念   

　　提出問題 教師出示天平，并請學生仔細觀察老師的操作過程，回答下列問題：

　　1、天平被調整到什么狀態？

　　2、給不平衡的天平兩邊同時加人相同質量的砝碼，天平會有什么變化？

　　3、不平衡的天平兩邊同時拿掉相同質量的砝碼，天平會有什么變化？

　　4、如果對不平衡的天平兩邊砝碼的質量同時擴大相同的倍數，天平會平衡嗎？縮小相同的倍數呢？ 通過天平演示，結合自己的觀察和思考，讓學生感受生活中的不等關系。   

　　探究新知 1、用“＞”或“＜”填空.

　　（1）－1 < 3   －1＋2   3＋2  －1－3   3－3

　　(2) 5 >3  5＋a   3+a 5－a   3－a

　　(3) 6 > 2 6×5 2×5 6×（－5）2×（－5）

　　(4) －2 < 3（－2）×6   3×6

　　（－2）×（－6）   3×（一6）

　　（5）－4 ＞－6  （－4）÷2（－6）÷2

　　（－4）十（－2）    （－6）十（－2）

　　2、從以上練習中，你發現了什么？請你再用幾個例子試一試，還有類似的結論嗎？請把你的發現告訴同學們并與他們交流.

　　3、讓學生充分發表“發現”，師生共同歸納得出：

　　不等式性質1：不等式兩邊都加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變.

　　不等式性質2：不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變.

　　不等式性質3：不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

　　4、你能說出不等式性質與等式性質的相同之處與不同

　　之處嗎？ 通過動手、動口、動腦，引導學生運用類比、歸納的數學思想去探究問題，在品嘗成功的喜悅中激發出學數學的興趣。

　　滲透類比思想。   

　　探究新知 4、 下列哪些是不5、 等式x＋3 > 6的解？哪些不6、 是？

　　－4，－2. 5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12

　　2、直接想出不等式的解集，并在數軸上表示出來：

　　（1）x＋3 > 6（2）2x < 8（3）x－2 > 0    

　　鞏固新知 1、 判斷

　　（1）∵a < b ∴ a－b < b－b

　　（2）∵a < b ∴ 

　　（3）∵a < b ∴ －2a < －2b

　　（4）∵－2a > 0 ∴ a > 0

　　（5）∵－a < 0 ∴ a < 3

　　2、 填空

　　（1）∵ 2a > 3a ∴ a是    數

　　（2）∵    ∴ a是    數

　　（3）∵ax < a且 x > 1 ∴ a是    數

　　3、 根據下列已知條件，4、 說出a與b的不5、 等關系，6、 并說明是根據不7、 等式哪一條性質。

　　（1）a－3 > b－3        （2） 

　　（3）－4a > －4b 設置這幾個練習，既可以培養學生獨立思考的能力，又可強化對概念的理解，使學生真正認識不等式的性質。   

　　總結歸納 

　　在學生自己總結的基礎上，教師應強調兩點：

　　1、等式性質與不等式性質的不同之處；

　　2、在運用“不等式性質3"時應注意的問題.   學生通過總結，可以幫助自

　　己從整體上把握本節課所學知

　　識，培養良好的學習習慣，也為

　　下節課學好解不等式打下基礎。   

　　小結與作業    

　　布置作業 1、必做題：教科書第134頁習題9.1第4、5題

　　2、選做題：教科書第134頁習題9. 1第7題.

　　3、備選題：    

　　本課教育評注（課堂設計理念，實際教學效果及改進設想）   

　　本節課設計旨在讓學生經歷通過實驗、猜測、驗證，發現不等式性質的探索過程.用類比和實驗探究法作為主要方法貫穿整個課堂教學之中，并以多媒體作為輔助教學手段.讓學生充分進行討論交流，在自主探索和合作學習中掌握不等式的性質.這樣就能有效地突破本節課的難點，為學生今后的學習打下堅實的基礎.

　　教學過程中貫穿了一條“創設情境，引出新知—實驗討論，得出性質—探究辨析，突破難點—運用性質，解決問題”的線索，使學生真正成為學習的主人.在師生交流合作中營造互動的氛圍，讓學生積極主動地參與教學的整個過程，使他們的學習態度、情感意志和個性品質等都得到不同程度的提高.

　　為了突破教學難點，讓學生能熟練準確地運用“不等式性質3"，本課設計了多樣化的練習以鞏固所學知識.在學生回答、板演、討論的過程中，課堂氣氛被激活，教學難點被突破，使學生在輕松愉快的氛圍中扎實地掌握性質并靈活運用.同時，學習伙伴之間進行了思維的碰撞和溝通. 

9.1.2 不等式的性質 篇11

　　課    題：不等式的性質（1）

　　教學目的：

　　1 了解不等式的實際應用及不等式的重要地位和作用；

　　2 掌握實數的運算性質與大小順序之間的關系，學會比較兩個代數式的大小.

　　教學重點：比較兩實數大小.

　　教學難點：差值比較法：作差→變形→判斷差值的符號 ��

　　授課類型：新授課

　　課時安排：1課時

　　教    具：多媒體、實物投影儀

　　教學過程：

　　一、引入：

　　人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結構，事與事成因與結果的不同等等都表現出不等的關系，這表明現實世界中的量，不等是普遍的、絕對的，而相等則是局部的、相對的 研究不等關系，反映在數學上就是證明不等式與解不等式 實數的差的正負與實數的大小的比較有著密切關系，這種關系是本章內容的基礎，也是證明不等式與解不等式的主要依據 因此，本節課我們有必要來研究探討實數的運算性質與大小順序之間的關系

　　生活中為什么糖水中加的糖越多越甜呢?

　　轉化為數學問題：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，則糖水更甜了，為什么?

　　分析：起初的糖水濃度為 ，加入m克糖 后的糖水濃度為 ，只要證 > 即可 怎么證呢?引人課題

　　二、講解新課：

　　1.不等式的定義：用不等號連接兩個解析式所得的式子，叫做不等式.

　　說明：（1）不等號的種類：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠.

　　（2）解析式是指：代數式和超越式（包括指數式、對數式和三角式等）

　　（3）不等式研究的范圍是實數集r.

　　2.判斷兩個實數大小的充要條件

　　對于任意兩個實數a、b，在a＞b，a= b，a＜b三種關系中有且僅有一種成立.判斷兩個實數大小的充要條件是：

　　由此可見，要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差的符號就可以了，這好比站在同一水平面上的兩個人，只要看一下他們的差距，就可以判斷他們的高矮了.

　　三、講解范例：

　　例1比較(a＋3)（a－5）與（a＋2）（a－4）的大小

　　分析：此題屬于兩代數式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項之后，判斷差值正負(注意是指差的符號，至于差的值究竟是多少，在這里無關緊要) 并根據實數運算的符號法則來得出兩個代數式的大小  把比較兩個實數大小的問題轉化為實數運算符號問題

　　本題知識點：整式乘法，去括號法則，合并同類項

　　解：由題意可知：

　　（a＋3）（a－5）－（a＋2）（a－4）

　　＝（a2－2a－15）－（a2－2a－8）

　　＝－7＜0

　　∴（a＋3）（a－5）＜（a＋2）（a－4）

　　例2已知x≠0，比較（x2＋1）2與x4＋x2＋1的大小

　　分析：此題與例1基本類似，也屬于兩個代數式比較大小，但是其中的x有一定的限制，應該在對差值正負判斷時引起注意，對于限制條件的應用經常被學生所忽略

　　本題知識點：乘法公式，去括號法則，合并同類項 ��

　　解：由題意可知：

　　（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）

　　＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1）

　　＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1

　　＝x2

　　∵x≠0  ∴x2＞0��

　　∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0��

　　∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1

　　例2引伸：在例2中，如果沒有x≠0這個條件，那么兩式的大小關系如何?

　　在例2中，如果沒有x≠0這個條件，那么意味著x可以全取實數，在解決問題時，應分x＝0和x≠0兩種情況進行討論，即：

　　當x＝0時，（x2＋1）2＝x4＋x2＋1

　　當x≠0時，（x2＋1）2＞x4＋x2＋1

　　此題意在培養學生分類討論的數學思想，提醒學生在解決含字母代數式問題時，不要忘記代數式中字母的取值范圍，一般情況下，取值范圍是實數集的可以省略不寫

　　得出結論：例1，例2是用作差比較法來比較兩個實數的大小，其一般步驟是：作差--變形--判斷符號 這樣把兩個數的大小問題轉化為判斷它們差的符號問題，至于差本身是多少，在此無關緊要 ��

　　例3已知a>b>0，m>0，試比較 與 的大小

　　解：

　　∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0

　　∴ ∴ > 

　　從而揭示"糖水加糖甜更甜"的數學內涵

　　例4  比較a4-b4與4a3(a-b)的大小.

　　解： a4-b4 - 4a3(a-b)

　　=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)

　　= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)

　　＝(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]

　　= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)

　　=- (a-b)2  (當且僅當d＝b時取等號)

　　∴a4-b4 4a3(a-b)

　　說明："變形"是解題的關鍵，是最重一步 因式分解、配方、湊成若干個平方和等是"變形"的常用方法

　　例5  已知x>y，且y≠0，比較 與1的大小

　　解：

　　∵x>y，∴x-y>0

　　當y<0時， <0，即 <1

　　當y>0時， >0，即 >1

　　說明：變形的目的是為了判定符號，此題定號時，要根據字母取值范圍，進行分類討論

　　四、課堂練習：

　　1 在以下各題的橫線處適當的不等號：

　　(1)（ ＋ ）2     6＋2 ；

　　（2）（ － ）2      （ －1）2；

　　（3）         ；

　　(4)當a＞b＞0時，log a        log b

　　答案：(1)＜    （2）＜    （3）＜    （4）＜

　　2 選擇題

　　若a＜0，－1＜b＜0，則有(    )

　　a a＞ab＞ab2     b ab2＞ab＞a    c ab＞a＞ab2    d ab＞ab2＞a

　　分析：利用作差比較法判斷a，ab，ab2的大小即可

　　∵a＜0，－1＜b＜0

　　∴ab＞0，b－1＜0，1－b＞0，0＜b2＜1，1－b2＞0

　　∴ab－a＝a（b－1）＞0 ab＞a

　　ab－ab2＝ab（1－b）＞0 ab＞ab2

　　a－ab2＝a（1－b2）＜0 a＜ab2

　　故ab＞ab2＞a

　　答案：d

　　3 比較大小：

　　(1)（x＋5）（x＋7）與（x＋6）2；

　　(2)log  與log 

　　解：(1)（x＋5）（x＋7）－（x＋6)2

　　＝（x2＋12x＋35）－（x2＋12x＋36）

　　＝－1＜0

　　∴（x＋5）（x＋7）＜（x＋6）2

　　(2)解法一：(作差法)

　　log  －log ＝

　　＝ ＞0

　　∴log  ＞log

　　解法二：(中介法，常以"－1，0，1"作中介)

　　∵函數y＝log x和y＝log x在（0，＋∞）上是減函數且 ＞

　　∴log  ＞log  ＝1，log  ＜log  ＝1

　　∴log  ＞log  

　　4 如果x＞0，比較（ －1）2與（ ＋1）2的大小

　　解：（ －1）2－（ ＋1）2

　　＝［（ －1）＋（ ＋1）］［（ －1）－（ ＋1）

　　或［（x－2 ＋1）－（x＋2 ＋1）］＝－4

　　∵x＞0  ∴ ＞0  ∴－4 ＜0

　　∴（ －1）2＜（ ＋1）2

　　5 已知a≠0，比較（a2＋ a＋1）（a2－2 a＋1）與（a2＋a＋1）·（a2－a＋1）的大小

　　解：（a2＋ a＋1）（a2－ a＋1）－（a2＋a＋1）（a2－a＋1）

　　＝［（a2＋1）2－（ a）2］－［（a2＋1）2－a2］＝－a2

　　∵a≠0，∴a2＞0  ∴－a2＜0

　　故（a2＋ a＋1）（a2－ a＋1）＜（a2＋a＋1）（a2－a＋1）

　　五、小結 ：本節學習了實數的運算性質與大小順序之間的關系，并以此關系為依據，研究了如何比較兩個實數的大小，其具體解題步驟可歸納為：

　　第一步：作差并化簡，其目標應是n個因式之積或完全平方式或常數的形式

　　第二步：判斷差值與零的大小關系，必要時須進行討論

　　第三步：得出結論

　　在某些特殊情況下(如兩數均為正，且作商后易于化簡)還可考慮運用作商法比較大小 它與作差法的區別在于第二步，作商法是判斷商值與1的大小關系

　　六、課后作業：

　　��1.已知 ，比較 與 的大小

　　解：          =……=    ∴ ≥

　　2.比較2sin 與sin2 的大小(0< <2 )

　　解： 2sin  sin2 =2sin (1 cos )

　　當  (0, )時2sin (1 cos )≥0      2sin ≥sin2

　　當  ( ,2 )時2sin (1 cos )<0      2sin <sin2

　　3.設 且 ， ，比較 與 的大小

　　解：      ∴

　　當 時 ≤ ；當 時 ≥

　　4.設 且 ，比較 與 的大小

　　解： 

　　當 時    ∴ >

　　當 時    ∴ >

　　∴總有 >

　　七、板書設計（略）

　　八、課后記：

9.1.2 不等式的性質 篇12

　　教學目標 

　　1.理解不等式的性質，掌握不等式各個性質的條件和結論之間的邏輯關系，并掌握它們的證明方法以及功能、運用；

　　2.掌握兩個實數比較大小的一般方法；

　　3.通過不等式性質證明的學習，提高學生邏輯推論的能力；

　　4.提高本節內容的學習，；培養學生條理思維的習慣和認真嚴謹的學習態度；

　　教學建議

　　1.教材分析

　　（1）知識結構

　　本節首先通過數形結合，給出了比較實數大小的方法，在這個基礎上，給出了不等式的性質，一共講了五個定理和三個推論，并給出了嚴格的證明。

　　知識結構圖

　　（2）重點、難點分析

　　在“不等式的性質”一節中，聯系了實數和數軸的對應關系、比較實數大小的方法，復習了初中學過的不等式的基本性質。

　　不等式的性質是穿越本章內容的一條主線，無論是算術平均數與幾何平均數的定理的證明及其應用，不等式的證明和解一些簡單的不等式，無不以不等式的性質作為基礎。

　　本節的重點是比較兩個實數的大小，不等式的五個定理和三個推論；難點是不等式的性質成立的條件及其它的應用。

　　①比較實數的大小

　　教材運用數形結合的觀點，從實數與數軸上的點一一對應出發， 與初中學過的知識“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大”利用數軸可以比較數的大小。

　　指出比較兩實數大小的方法是求差比較法：

　　比較兩個實數a與b的大小，歸結為判斷它們的差a－b的符號，而這又必然歸結到實數運算的符號法則.

　　比較兩個代數式的大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結為判斷它們的差的符號.

　　②理清不等式的幾個性質的關系

　　教材中的不等式共5個定理3個推論，是從證明過程安排順序的.從這幾個性質的分類來說，可以分為三類：

　　（Ⅰ）不等式的理論性質： （對稱性）

　　（傳遞性）

　　（Ⅱ）一個不等式的性質：

　　(n∈N，n＞1)

　　(n∈N，n＞1)

　　（Ⅲ）兩個不等式的性質：

　　2.教法建議

　　本節課的核心是培養學生的變形技能，訓練學生的推理能力.為今后證明不等式、解不等式的學習奠定技能上和理論上的基礎.

　　授課方法可以采取講授與問答相結合的方式.通過問答形式不斷地給學生設置疑問（即：設疑）；對教學難點 ，再由講授形式解決疑問.（即：解疑）.主要思路是：教師設疑→學生討論→教師啟發→解疑.

　　教學過程 可分為：發現定理、定理證明、定理應用，采用由形象思維到抽象思維的過渡，發現定理、證明定理.采用類比聯想，變形轉化，應用定理或應用定理的證明思路；解決一些較簡單的證明題.

　　第一課時

　　教學目標 

　　1.掌握實數的運算性質與大小順序間關系；

　　2.掌握求差法比較兩實數或代數式大小；

　　3.強調數形結合思想.

　　教學重點

　　比較兩實數大小

　　教學難點  

　　理解實數運算的符號法則

　　教學方法

　　啟發式

　　教學過程 

　　一、復習回顧

　　我們知道，實數與數軸上的點是一一對應的，在數軸上不同的兩點中，右邊的點表示的實數比左邊的點表示的實數大.例如，在右圖中，點A表示實數 ，點B表示實數 ,點A在點B右邊，那么 .

　　我們再看右圖， 表示 減去 所得的差是一個大于0的數即正數.一般地：

　　若 ，則 是正數；逆命題也正確.

　　類似地，若，則 是負數；若 ，則 .它們的逆命題都正確.

　　這就是說：（打出幻燈片1）

　　由此可見，要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差就可以了，這也是我們這節課將要學習的主要內容.

　　二、講授新課

　　1.  比較兩實數大小的方法——求差比較法

　　比較兩個實數 與 的大小，歸結為判斷它們的差 的符號，而這又必然歸結到實數運算的符號法則.

　　比較兩個代數式的大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結為判斷它們的差的符號.

　　接下來，我們通過具體的例題來熟悉求差比較法.

　　2.  例題講解

　　例1  比較 與 的大小.

　　分析：此題屬于兩代數式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項之后，判斷差值正負，并根據實數運算的符號法則來得出兩個代數式的大小.

　　解：

　　∴

　　例2  已知,比較（ 與 的大小.

　　分析：此題與例1基本類似，也屬于兩個代數式比較大小，但是其中的x有一定的限制，應該在對差值正負判斷時引起注意，對于限制條件的應用經常被學生所忽略.

　　由 得 ，從而

　　請同學們想一想，在例2中，如果沒有 這個條件，那么比較的結果如何？

　　（學生回答：若沒有 這一條件，則 ，從而 大于或等于 ）

　　為了使大家進一步掌握求差比較法，我們來進行下面的練習.

　　三、課堂練習

　　1.比較 的大小.

　　2.如果 ，比較 的大小.

　　3.已知,比較 與 的大小.

　　要求：學生板演練習，老師講評，并強調學生注意加限制條件的題目.

　　課堂小結

　　通過本節學習，大家要明確實數運算的符號法則， 掌握求差比較法來比較兩實數或代數式的大小.

　　課后作業 

　　習題6.1  1，2，3.

　　板書設計 

　　§6.1.1  不等式的性質

　　1.求差比較法   例1   學生

　　…… 

　　例2    板演

　　…… 

9.1.2 不等式的性質 篇13

　　第二課時

　　教學目標

　　1.理解同向不等式，異向不等式概念；

　　2.掌握并會證明定理1，2，3；

　　3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據，定理3是移項法則的依據；

　　4.初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

　　教學重點：定理1，2，3的證明的證明思路和推導過程

　　教學難點：理解證明不等式的邏輯推理方法

　　教學方法：引導式

　　教學過程

　　一、復習回顧

　　上一節課,我們一起學習了比較兩實數大小的方法,主要根據的是實數運算的符號法則,而這也是推證不等式性質的主要依據,因此，我們來作一下回顧：

　　這一節課，我們將利用比較實數的方法， 來推證不等式的性質.

　　二、講授新課

　　在證明不等式的性質之前,我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念.

　　1.同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式，例如： 是同向不等式.

　　異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式.例如： 是異向不等式.

　　2.不等式的性質：

　　定理1：若 ，則

　　定理1說明，把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向.在證明時，既要證明充分性，也要證明必要性.

　　證明：∵ ，

　　∴

　　由正數的相反數是負數，得

　　說明：定理1的后半部分可引導學生仿照前半部分推證，注意向學生強調實數運算的符號法則的應用.

　　定理2：若 ，且 ，則 .

　　證明：∵

　　∴

　　根據兩個正數的和仍是正數，得

　　∴ 說明：此定理證明的主要依據是實數運算的符號法則及兩正數之和仍是正數.

　　定理3：若 ，則

　　定理3說明，不等式的兩邊都加上同一個實數，所得不等式與原不等式同向.

　　證明：∵

　　∴

　　說明：（1）定理3的證明相當于比較 與 的大小，采用的是求差比較法；

　　（2）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊，理由是：根據定理3可得出：若 ，則 即 .

　　定理3推論：若 .

　　證明:∵ ,

　　∴      ①

　　∵

　　∴       ②

　　由①、②得

　　說明：（1）推論的證明連續兩次運用定理3然后由定理2證出；

　　（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；

　　（3）兩個同向不等式的兩邊分別相減時，就不能作出一般的結論；

　　（4）定理3的逆命題也成立.（可讓學生自證）

　　三、課堂練習

　　1.證明定理1后半部分；

　　2.證明定理3的逆定理.

　　說明：本節主要目的是掌握定理1，2，3的證明思路與推證過程，練習穿插在定理的證明過程中進行.

　　課堂小結

　　通過本節學習，要求大家熟悉定理1，2，3的證明思路，并掌握其推導過程，初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

　　課后作業 

　　1.求證：若

　　2.證明：若

　　板書設計

　　§6.1.2  不等式的性質

　　1.同向不等式          3.定理2     4.定理3      5.定理3

　　異向不等式          證明          證明         推論

　　2.定理1 證明           說明          說明         證明

　　第三課時

　　教學目標

　　1.熟練掌握定理1，2，3的應用；

　　2.掌握并會證明定理4及其推論1，2；

　　3.掌握反證法證明定理5.

　　教學重點：定理4，5的證明.

　　教學難點：定理4的應用.

　　教學方法：引導式

　　教學過程：

　　一、復習回顧

　　上一節課，我們一起學習了不等式的三個性質，即定理1，2，3，并初步認識了證明不等式的邏輯推理方法，首先，讓我們來回顧一下三個定理的基本內容.

　　（學生回答）

　　好，我們這一節課將繼續推論定理4、5及其推論，并進一步熟悉不等式性質的應用.

　　二、講授新課

　　定理4：若

　　若

　　證明：

　　根據同號相乘得正，異號相乘得負，得

　　當

　　說明：（1）證明過程中的關鍵步驟是根據“同號相乘得正，異號相乘得負”來完成的；

　　（2）定理4證明在一個不等式兩端乘以同一個正數，不等號方向不變；乘以同一個負數，不等號方向改變.

　　推論1：若

　　證明：

　　①

　　又

　　∴     ②

　　由①、②可得 .

　　說明：（1）上述證明是兩次運用定理4，再用定理2證出的；

　　（2）所有的字母都表示正數，如果僅有 ，就推不出 的結論.

　　（3）這一推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘.這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向.

　　推論2：若

　　說明：（1）推論2是推論1的特殊情形；

　　（2）應強調學生注意n∈N 的條件.

　　定理5：若

　　我們用反證法來證明定理5，因為反面有兩種情形，即 ，所以不能僅僅否定了 ，就“歸謬”了事，而必須進行“窮舉”.

　　說明：假定 不大于 ，這有兩種情況：或者 ，或者 .

　　由推論2和定理1，當 時，有 ；

　　當 時，顯然有

　　這些都同已知條件 矛盾

　　所以 .

　　接下來，我們通過具體的例題來熟悉不等式性質的應用.

　　例2    已知

　　證明：由

　　例3  已知

　　證明：∵

　　兩邊同乘以正數

　　說明：通過例3，例4的學習，使學生初步接觸不等式的證明，為以后學習不等式的證明打下基礎.在應用定理4時，應注意題目條件，即在一個等式兩端乘以同一個數時，其正負將影響結論.接下來，我們通過練習來進一步熟悉不等式性質的應用.

　　三、課堂練習

　　課本P7練習1，2，3.

　　課堂小結

　　通過本節學習，大家要掌握不等式性質的應用及反證法證明思路，為以后不等式的證明打下一定的基礎.

　　課后作業 

　　課本習題6.1 4，5.

　　板書設計

　　§6.1.3  不等式的性質

　　定理4      推論1         定理5          例3     學生

　　內容                     內容        

　　證明        推論2         證明          例4       練習

9.1.2 不等式的性質 篇14

　　教學目標

　　1.理解不等式的性質，掌握不等式各個性質的條件和結論之間的邏輯關系，并掌握它們的證明方法以及功能、運用；

　　2.掌握兩個實數比較大小的一般方法；

　　3.通過不等式性質證明的學習，提高學生邏輯推論的能力；

　　4.提高本節內容的學習，；培養學生條理思維的習慣和認真嚴謹的學習態度；

　　教學建議

　　1.教材分析

　　（1）知識結構

　　本節首先通過數形結合，給出了比較實數大小的方法，在這個基礎上，給出了不等式的性質，一共講了五個定理和三個推論，并給出了嚴格的證明。

　　知識結構圖

　　（2）重點、難點分析

　　在“不等式的性質”一節中，聯系了實數和數軸的對應關系、比較實數大小的方法，復習了初中學過的不等式的基本性質。

　　不等式的性質是穿越本章內容的一條主線，無論是算術平均數與幾何平均數的定理的證明及其應用，不等式的證明和解一些簡單的不等式，無不以不等式的性質作為基礎。

　　本節的重點是比較兩個實數的大小，不等式的五個定理和三個推論；難點是不等式的性質成立的條件及其它的應用。

　　①比較實數的大小

　　教材運用數形結合的觀點，從實數與數軸上的點一一對應出發， 與初中學過的知識“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大”利用數軸可以比較數的大小。

　　指出比較兩實數大小的方法是求差比較法：

　　比較兩個實數a與b的大小，歸結為判斷它們的差a－b的符號，而這又必然歸結到實數運算的符號法則.

　　比較兩個代數式的大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結為判斷它們的差的符號.

　　②理清不等式的幾個性質的關系

　　教材中的不等式共5個定理3個推論，是從證明過程安排順序的.從這幾個性質的分類來說，可以分為三類：

　　（Ⅰ）不等式的理論性質： （對稱性）

　　（傳遞性）

　　（Ⅱ）一個不等式的性質：

　　(n∈N，n＞1)

　　(n∈N，n＞1)

　　（Ⅲ）兩個不等式的性質：

　　2.教法建議

　　本節課的核心是培養學生的變形技能，訓練學生的推理能力.為今后證明不等式、解不等式的學習奠定技能上和理論上的基礎.

　　授課方法可以采取講授與問答相結合的方式.通過問答形式不斷地給學生設置疑問（即：設疑）；對教學難點，再由講授形式解決疑問.（即：解疑）.主要思路是：教師設疑→學生討論→教師啟發→解疑.

　　教學過程可分為：發現定理、定理證明、定理應用，采用由形象思維到抽象思維的過渡，發現定理、證明定理.采用類比聯想，變形轉化，應用定理或應用定理的證明思路；解決一些較簡單的證明題.

　　第一課時

　　教學目標

　　1.掌握實數的運算性質與大小順序間關系；

　　2.掌握求差法比較兩實數或代數式大小；

　　3.強調數形結合思想.

　　教學重點

　　比較兩實數大小

　　教學難點 

　　理解實數運算的符號法則

　　教學方法

　　啟發式

　　教學過程

　　一、復習回顧

　　我們知道，實數與數軸上的點是一一對應的，在數軸上不同的兩點中，右邊的點表示的實數比左邊的點表示的實數大.例如，在右圖中，點A表示實數 ，點B表示實數 ,點A在點B右邊，那么 .

　　我們再看右圖， 表示 減去 所得的差是一個大于0的數即正數.一般地：

　　若 ，則 是正數；逆命題也正確.

　　類似地，若，則 是負數；若 ，則 .它們的逆命題都正確.

　　這就是說：（打出幻燈片1）

　　由此可見，要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差就可以了，這也是我們這節課將要學習的主要內容.

　　二、講授新課

　　1.  比較兩實數大小的方法——求差比較法

　　比較兩個實數 與 的大小，歸結為判斷它們的差 的符號，而這又必然歸結到實數運算的符號法則.

　　比較兩個代數式的大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結為判斷它們的差的符號.

　　接下來，我們通過具體的例題來熟悉求差比較法.

　　2.  例題講解

　　例1  比較 與 的大小.

　　分析：此題屬于兩代數式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項之后，判斷差值正負，并根據實數運算的符號法則來得出兩個代數式的大小.

　　解：

　　∴

　　例2  已知,比較（ 與 的大小.

　　分析：此題與例1基本類似，也屬于兩個代數式比較大小，但是其中的x有一定的限制，應該在對差值正負判斷時引起注意，對于限制條件的應用經常被學生所忽略.

　　由 得 ，從而

　　請同學們想一想，在例2中，如果沒有 這個條件，那么比較的結果如何？

　　（學生回答：若沒有 這一條件，則 ，從而 大于或等于 ）

　　為了使大家進一步掌握求差比較法，我們來進行下面的練習.

　　三、課堂練習

　　1.比較 的大小.

　　2.如果 ，比較 的大小.

　　3.已知,比較 與 的大小.

　　要求：學生板演練習，老師講評，并強調學生注意加限制條件的題目.

　　課堂小結

　　通過本節學習，大家要明確實數運算的符號法則， 掌握求差比較法來比較兩實數或代數式的大小.

　　課后作業 

　　習題6.1  1，2，3.

　　板書設計

　　§6.1.1  不等式的性質

　　1.求差比較法   例1   學生

　　…… 

　　例2    板演

　　…… 

9.1.2 不等式的性質 篇15

　　探究活動

　　能得到什么結論

　　題目 已知 且 ,你能夠推出什么結論?

　　分析與解:由條件推出結論,我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴大,對已知變量作運算,運用不等式的性質,或者跳出不等式去考慮一般的數學表達式。

　　思路一:改變 的范圍,可得:

　　1. 且 ;

　　2. 且 ;

　　思路二:由已知變量作運算,可得:

　　3. 且 ;

　　4. 且 ;

　　5. 且 ;

　　6. 且 ;

　　7. 且 ;

　　思路三:考慮含有 的數學表達式具有的性質,可得:

　　8. (其中 為實常數)是三次方程;

　　9. (其中 為常數)的圖象不可能表示直線。

　　說明 從已知信息能夠推出什么結論?這是我們經常需要思考的問題,這里給出的都是必要非充分條件,讀者可以考慮是否能夠寫出充要條件;另外,運用推出關系的傳遞性,在推出結論的基礎上進一步進行推理,還可得出很多結果,請讀者考慮.

　　探究關系式是否成立的問題

　　題目 當 成立時,關系式 是否成立?若成立,加以證實;若不成立,說明理由。

　　解:因為 ,所以 ,所以 ,

　　所以 ,

　　所以 或

　　所以 或

　　所以 或

　　所以 不可能成立。

　　說明:像本例這樣的探索題,題目的結論是“兩可”(即兩種可能性)情形,而我們知道,說明結論不成立可像例1那樣舉一個反例就可以了。不過像本例的執果索因的分析,不僅說明結論不成立,而且得出 , 必須同時大于1或同時小于1的結論。

　　探討增加什么條件使命題成立

　　例 適當增加條件,使下列命題各命題成立:

　　(1)若 ,則 ;

　　(2)若 ,則 ;

　　(3)若 , ,則 ;

　　(4)若 ,則

　　思路分析:本例為條件型開放題,需要依據不等式的性質,尋找使結論成立時所缺少的一個條件。

　　解:(1)

　　(2) 。當 時,

　　當 時,

　　(3)

　　(4)

　　引申發散對命題(3),能否增加條件 ,或 , ,使其成立?請闡述你的理由。

9.1.2 不等式的性質 篇16

　　第二課時

　　教學目標 

　　1.理解同向不等式，異向不等式概念；

　　2.掌握并會證明定理1，2，3；

　　3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據，定理3是移項法則的依據；

　　4.初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

　　教學重點：定理1，2，3的證明的證明思路和推導過程

　　教學難點 ：理解證明不等式的邏輯推理方法

　　教學方法：引導式

　　教學過程 

　　一、復習回顧

　　上一節課,我們一起學習了比較兩實數大小的方法,主要根據的是實數運算的符號法則,而這也是推證不等式性質的主要依據,因此，我們來作一下回顧：

　　這一節課，我們將利用比較實數的方法， 來推證不等式的性質.

　　二、講授新課

　　在證明不等式的性質之前,我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念.

　　1.同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式，例如： 是同向不等式.

　　異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式.例如： 是異向不等式.

　　2.不等式的性質：

　　定理1：若 ，則

　　定理1說明，把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向.在證明時，既要證明充分性，也要證明必要性.

　　證明：∵ ，

　　∴

　　由正數的相反數是負數，得

　　說明：定理1的后半部分可引導學生仿照前半部分推證，注意向學生強調實數運算的符號法則的應用.

　　定理2：若 ，且 ，則 .

　　證明：∵

　　∴

　　根據兩個正數的和仍是正數，得

　　∴ 說明：此定理證明的主要依據是實數運算的符號法則及兩正數之和仍是正數.

　　定理3：若 ，則

　　定理3說明，不等式的兩邊都加上同一個實數，所得不等式與原不等式同向.

　　證明：∵

　　∴

　　說明：（1）定理3的證明相當于比較 與 的大小，采用的是求差比較法；

　　（2）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊，理由是：根據定理3可得出：若 ，則 即 .

　　定理3推論：若 .

　　證明:∵ ,

　　∴      ①

　　∵

　　∴       ②

　　由①、②得

　　說明：（1）推論的證明連續兩次運用定理3然后由定理2證出；

　　（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；

　　（3）兩個同向不等式的兩邊分別相減時，就不能作出一般的結論；

　　（4）定理3的逆命題也成立.（可讓學生自證）

　　三、課堂練習

　　1.證明定理1后半部分；

　　2.證明定理3的逆定理.

　　說明：本節主要目的是掌握定理1，2，3的證明思路與推證過程，練習穿插在定理的證明過程中進行.

　　課堂小結

　　通過本節學習，要求大家熟悉定理1，2，3的證明思路，并掌握其推導過程，初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

　　課后作業 

　　1.求證：若

　　2.證明：若

　　板書設計 

　　§6.1.2  不等式的性質

　　1.同向不等式          3.定理2     4.定理3      5.定理3

　　異向不等式          證明          證明         推論

　　2.定理1 證明           說明          說明         證明

　　第三課時

　　教學目標 

　　1.熟練掌握定理1，2，3的應用；

　　2.掌握并會證明定理4及其推論1，2；

　　3.掌握反證法證明定理5.

　　教學重點：定理4，5的證明.

　　教學難點 ：定理4的應用.

　　教學方法：引導式

　　教學過程 ：

　　一、復習回顧

　　上一節課，我們一起學習了不等式的三個性質，即定理1，2，3，并初步認識了證明不等式的邏輯推理方法，首先，讓我們來回顧一下三個定理的基本內容.

　　（學生回答）

　　好，我們這一節課將繼續推論定理4、5及其推論，并進一步熟悉不等式性質的應用.

　　二、講授新課

　　定理4：若

　　若

　　證明：

　　根據同號相乘得正，異號相乘得負，得

　　當

　　說明：（1）證明過程中的關鍵步驟是根據“同號相乘得正，異號相乘得負”來完成的；

　　（2）定理4證明在一個不等式兩端乘以同一個正數，不等號方向不變；乘以同一個負數，不等號方向改變.

　　推論1：若

　　證明：

　　①

　　又

　　∴     ②

　　由①、②可得 .

　　說明：（1）上述證明是兩次運用定理4，再用定理2證出的；

　　（2）所有的字母都表示正數，如果僅有 ，就推不出 的結論.

　　（3）這一推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘.這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向.

　　推論2：若

　　說明：（1）推論2是推論1的特殊情形；

　　（2）應強調學生注意n∈N 的條件.

　　定理5：若

　　我們用反證法來證明定理5，因為反面有兩種情形，即 ，所以不能僅僅否定了 ，就“歸謬”了事，而必須進行“窮舉”.

　　說明：假定 不大于 ，這有兩種情況：或者 ，或者 .

　　由推論2和定理1，當 時，有 ；

　　當 時，顯然有

　　這些都同已知條件 矛盾

　　所以 .

　　接下來，我們通過具體的例題來熟悉不等式性質的應用.

　　例2    已知

　　證明：由

　　例3  已知

　　證明：∵

　　兩邊同乘以正數

　　說明：通過例3，例4的學習，使學生初步接觸不等式的證明，為以后學習不等式的證明打下基礎.在應用定理4時，應注意題目條件，即在一個等式兩端乘以同一個數時，其正負將影響結論.接下來，我們通過練習來進一步熟悉不等式性質的應用.

　　三、課堂練習

　　課本P7練習1，2，3.

　　課堂小結

　　通過本節學習，大家要掌握不等式性質的應用及反證法證明思路，為以后不等式的證明打下一定的基礎.

　　課后作業 

　　課本習題6.1 4，5.

　　板書設計 

　　§6.1.3  不等式的性質

　　定理4      推論1         定理5          例3     學生

　　內容                     內容        

　　證明        推論2         證明          例4       練習

　　探究活動

　　能得到什么結論

　　題目 已知 且 ，你能夠推出什么結論？

　　分析與解：由條件推出結論，我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴大，對已知變量作運算，運用不等式的性質，或者跳出不等式去考慮一般的數學表達式。

　　思路一：改變 的范圍，可得：

　　1. 且 ；

　　2. 且 ；

　　思路二：由已知變量作運算，可得：

　　3. 且 ；

　　4. 且 ；

　　5. 且 ；

　　6. 且 ；

　　7. 且 ；

　　思路三：考慮含有 的數學表達式具有的性質，可得：

　　8. （其中 為實常數）是三次方程；

　　9. （其中 為常數）的圖象不可能表示直線。

　　說明 從已知信息能夠推出什么結論？這是我們經常需要思考的問題，這里給出的都是必要非充分條件，讀者可以考慮是否能夠寫出充要條件；另外，運用推出關系的傳遞性，在推出結論的基礎上進一步進行推理，還可得出很多結果，請讀者考慮.

　　探究關系式是否成立的問題

　　題目  當 成立時，關系式 是否成立？若成立，加以證明；若不成立，說明理由。

　　解：因為 ，所以 ，所以 ，

　　所以 ，

　　所以 或

　　所以 或

　　所以 或

　　所以 不可能成立。

　　說明：像本例這樣的探索題，題目的結論是“兩可”（即兩種可能性）情形，而我們知道，說明結論不成立可像例1那樣舉一個反例就可以了。不過像本例的執果索因的分析，不僅說明結論不成立，而且得出 ， 必須同時大于1或同時小于1的結論。

　　探討增加什么條件使命題成立

　　例 適當增加條件，使下列命題各命題成立：

　　（1）若 ，則 ；

　　（2）若 ，則 ；

　　（3）若 ， ，則 ；

　　（4）若 ，則

　　思路分析：本例為條件型開放題，需要依據不等式的性質，尋找使結論成立時所缺少的一個條件。

　　解：（1）

　　（2） 。當 時，

　　當 時，

　　（3）

　　（4）

　　引申發散 對命題（3），能否增加條件 ，或 ， ，使其成立？請闡述你的理由。