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9.1.2 不等式的性質

發(fā)布時間:2022-12-06

9.1.2 不等式的性質(通用12篇)

9.1.2 不等式的性質 篇1

  第二課時

  教學目標 

  1.理解同向不等式,異向不等式概念;

  2.掌握并會證明定理1,2,3;

  3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據(jù),定理3是移項法則的依據(jù);

  4.初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

  教學重點:定理1,2,3的證明的證明思路和推導過程

  教學難點 :理解證明不等式的邏輯推理方法

  教學方法:引導式

  教學過程 

  一、復習回顧

  上一節(jié)課,我們一起學習了比較兩實數(shù)大小的方法,主要根據(jù)的是實數(shù)運算的符號法則,而這也是推證不等式性質的主要依據(jù),因此,我們來作一下回顧:

  這一節(jié)課,我們將利用比較實數(shù)的方法, 來推證不等式的性質.

  二、講授新課

  在證明不等式的性質之前,我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念.

  1.同向不等式:兩個不等號方向相同的不等式,例如: 是同向不等式.

  異向不等式:兩個不等號方向相反的不等式.例如: 是異向不等式.

  2.不等式的性質:

  定理1:若 ,則

  定理1說明,把不等式的左邊和右邊交換,所得不等式與原不等式異向.在證明時,既要證明充分性,也要證明必要性.

  證明:∵ ,

  ∴

  由正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù),得

  說明:定理1的后半部分可引導學生仿照前半部分推證,注意向學生強調實數(shù)運算的符號法則的應用.

  定理2:若 ,且 ,則 .

  證明:∵

  ∴

  根據(jù)兩個正數(shù)的和仍是正數(shù),得

  ∴ 說明:此定理證明的主要依據(jù)是實數(shù)運算的符號法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù).

  定理3:若 ,則

  定理3說明,不等式的兩邊都加上同一個實數(shù),所得不等式與原不等式同向.

  證明:∵

  ∴

  說明:(1)定理3的證明相當于比較 與 的大小,采用的是求差比較法;

  (2)不等式中任何一項改變符號后,可以把它從一邊移到另一邊,理由是:根據(jù)定理3可得出:若 ,則 即 .

  定理3推論:若 .

  證明:∵ ,

  ∴      ①

  ∵

  ∴       ②

  由①、②得

  說明:(1)推論的證明連續(xù)兩次運用定理3然后由定理2證出;

  (2)這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加,即:兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加,所得不等式與原不等式同向;

  (3)兩個同向不等式的兩邊分別相減時,就不能作出一般的結論;

  (4)定理3的逆命題也成立.(可讓學生自證)

  三、課堂練習

  1.證明定理1后半部分;

  2.證明定理3的逆定理.

  說明:本節(jié)主要目的是掌握定理1,2,3的證明思路與推證過程,練習穿插在定理的證明過程中進行.

  課堂小結

  通過本節(jié)學習,要求大家熟悉定理1,2,3的證明思路,并掌握其推導過程,初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

  課后作業(yè) 

  1.求證:若

  2.證明:若

  板書設計 

  §6.1.2  不等式的性質

  1.同向不等式          3.定理2     4.定理3      5.定理3

  異向不等式          證明          證明         推論

  2.定理1 證明           說明          說明         證明

  第三課時

  教學目標 

  1.熟練掌握定理1,2,3的應用;

  2.掌握并會證明定理4及其推論1,2;

  3.掌握反證法證明定理5.

  教學重點:定理4,5的證明.

  教學難點 :定理4的應用.

  教學方法:引導式

  教學過程 

  一、復習回顧

  上一節(jié)課,我們一起學習了不等式的三個性質,即定理1,2,3,并初步認識了證明不等式的邏輯推理方法,首先,讓我們來回顧一下三個定理的基本內容.

  (學生回答)

  好,我們這一節(jié)課將繼續(xù)推論定理4、5及其推論,并進一步熟悉不等式性質的應用.

  二、講授新課

  定理4:若

  若

  證明:

  根據(jù)同號相乘得正,異號相乘得負,得

  當

  說明:(1)證明過程中的關鍵步驟是根據(jù)“同號相乘得正,異號相乘得負”來完成的;

  (2)定理4證明在一個不等式兩端乘以同一個正數(shù),不等號方向不變;乘以同一個負數(shù),不等號方向改變.

  推論1:若

  證明:

  ①

  又

  ∴     ②

  由①、②可得 .

  說明:(1)上述證明是兩次運用定理4,再用定理2證出的;

  (2)所有的字母都表示正數(shù),如果僅有 ,就推不出 的結論.

  (3)這一推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘.這就是說,兩個或者更多個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘,所得不等式與原不等式同向.

  推論2:若

  說明:(1)推論2是推論1的特殊情形;

  (2)應強調學生注意n∈N 的條件.

  定理5:若

  我們用反證法來證明定理5,因為反面有兩種情形,即 ,所以不能僅僅否定了 ,就“歸謬”了事,而必須進行“窮舉”.

  說明:假定 不大于 ,這有兩種情況:或者 ,或者 .

  由推論2和定理1,當 時,有 ;

  當 時,顯然有

  這些都同已知條件 矛盾

  所以 .

  接下來,我們通過具體的例題來熟悉不等式性質的應用.

  例2    已知

  證明:由

  例3  已知

  證明:∵

  兩邊同乘以正數(shù)

  說明:通過例3,例4的學習,使學生初步接觸不等式的證明,為以后學習不等式的證明打下基礎.在應用定理4時,應注意題目條件,即在一個等式兩端乘以同一個數(shù)時,其正負將影響結論.接下來,我們通過練習來進一步熟悉不等式性質的應用.

  三、課堂練習

  課本P7練習1,2,3.

  課堂小結

  通過本節(jié)學習,大家要掌握不等式性質的應用及反證法證明思路,為以后不等式的證明打下一定的基礎.

  課后作業(yè) 

  課本習題6.1 4,5.

  板書設計 

  §6.1.3  不等式的性質

  定理4      推論1         定理5          例3     學生

  內容                     內容        

  證明        推論2         證明          例4       練習

9.1.2 不等式的性質 篇2

  探究活動

  能得到什么結論

  題目 已知 且 ,你能夠推出什么結論?

  分析與解:由條件推出結論,我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴大,對已知變量作運算,運用不等式的性質,或者跳出不等式去考慮一般的數(shù)學表達式。

  思路一:改變 的范圍,可得:

  1. 且 ;

  2. 且 ;

  思路二:由已知變量作運算,可得:

  3. 且 ;

  4. 且 ;

  5. 且 ;

  6. 且 ;

  7. 且 ;

  思路三:考慮含有 的數(shù)學表達式具有的性質,可得:

  8. (其中 為實常數(shù))是三次方程;

  9. (其中 為常數(shù))的圖象不可能表示直線。

  說明 從已知信息能夠推出什么結論?這是我們經(jīng)常需要思考的問題,這里給出的都是必要非充分條件,讀者可以考慮是否能夠寫出充要條件;另外,運用推出關系的傳遞性,在推出結論的基礎上進一步進行推理,還可得出很多結果,請讀者考慮.

  探究關系式是否成立的問題

  題目 當 成立時,關系式 是否成立?若成立,加以證實;若不成立,說明理由。

  解:因為 ,所以 ,所以 ,

  所以 ,

  所以 或

  所以 或

  所以 或

  所以 不可能成立。

  說明:像本例這樣的探索題,題目的結論是“兩可”(即兩種可能性)情形,而我們知道,說明結論不成立可像例1那樣舉一個反例就可以了。不過像本例的執(zhí)果索因的分析,不僅說明結論不成立,而且得出 , 必須同時大于1或同時小于1的結論。

  探討增加什么條件使命題成立

  例 適當增加條件,使下列命題各命題成立:

  (1)若 ,則 ;

  (2)若 ,則 ;

  (3)若 , ,則 ;

  (4)若 ,則

  思路分析:本例為條件型開放題,需要依據(jù)不等式的性質,尋找使結論成立時所缺少的一個條件。

  解:(1)

  (2) 。當 時,

  當 時,

  (3)

  (4)

  引申發(fā)散對命題(3),能否增加條件 ,或 , ,使其成立?請闡述你的理由。

9.1.2 不等式的性質 篇3

  教學目標 

  1.理解不等式的性質,掌握不等式各個性質的條件和結論之間的邏輯關系,并掌握它們的證明方法以及功能、運用;

  2.掌握兩個實數(shù)比較大小的一般方法;

  3.通過不等式性質證明的學習,提高學生邏輯推論的能力;

  4.提高本節(jié)內容的學習,;培養(yǎng)學生條理思維的習慣和認真嚴謹?shù)?strong>學習態(tài)度;

  教學建議

  1.教材分析

  (1)知識結構

  本節(jié)首先通過數(shù)形結合,給出了比較實數(shù)大小的方法,在這個基礎上,給出了不等式的性質,一共講了五個定理和三個推論,并給出了嚴格的證明。

  知識結構圖

  (2)重點、難點分析

  在“不等式的性質”一節(jié)中,聯(lián)系了實數(shù)和數(shù)軸的對應關系、比較實數(shù)大小的方法,復習了初中學過的不等式的基本性質。

  不等式的性質是穿越本章內容的一條主線,無論是算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的證明及其應用,不等式的證明和解一些簡單的不等式,無不以不等式的性質作為基礎。

  本節(jié)的重點是比較兩個實數(shù)的大小,不等式的五個定理和三個推論;難點是不等式的性質成立的條件及其它的應用。

  ①比較實數(shù)的大小

  教材運用數(shù)形結合的觀點,從實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應出發(fā), 與初中學過的知識“在數(shù)軸上表示的兩個數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”利用數(shù)軸可以比較數(shù)的大小。

  指出比較兩實數(shù)大小的方法是求差比較法:

  比較兩個實數(shù)a與b的大小,歸結為判斷它們的差a-b的符號,而這又必然歸結到實數(shù)運算的符號法則.

  比較兩個代數(shù)式的大小,實際上是比較它們的值的大小,而這又歸結為判斷它們的差的符號.

  ②理清不等式的幾個性質的關系

  教材中的不等式共5個定理3個推論,是從證明過程安排順序的.從這幾個性質的分類來說,可以分為三類:

  (Ⅰ)不等式的理論性質: (對稱性)

  (傳遞性)

  (Ⅱ)一個不等式的性質:

  (n∈N,n>1)

  (n∈N,n>1)

  (Ⅲ)兩個不等式的性質:

  2.教法建議

  本節(jié)課的核心是培養(yǎng)學生的變形技能,訓練學生的推理能力.為今后證明不等式、解不等式的學習奠定技能上和理論上的基礎.

  授課方法可以采取講授與問答相結合的方式.通過問答形式不斷地給學生設置疑問(即:設疑);對教學難點 ,再由講授形式解決疑問.(即:解疑).主要思路是:教師設疑→學生討論→教師啟發(fā)→解疑.

  教學過程 可分為:發(fā)現(xiàn)定理、定理證明、定理應用,采用由形象思維到抽象思維的過渡,發(fā)現(xiàn)定理、證明定理.采用類比聯(lián)想,變形轉化,應用定理或應用定理的證明思路;解決一些較簡單的證明題.

  第一課時

  教學目標 

  1.掌握實數(shù)的運算性質與大小順序間關系;

  2.掌握求差法比較兩實數(shù)或代數(shù)式大小;

  3.強調數(shù)形結合思想.

  教學重點

  比較兩實數(shù)大小

  教學難點  

  理解實數(shù)運算的符號法則

  教學方法

  啟發(fā)式

  教學過程 

  一、復習回顧

  我們知道,實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的,在數(shù)軸上不同的兩點中,右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大.例如,在右圖中,點A表示實數(shù) ,點B表示實數(shù) ,點A在點B右邊,那么 .

  我們再看右圖, 表示 減去 所得的差是一個大于0的數(shù)即正數(shù).一般地:

  若 ,則 是正數(shù);逆命題也正確.

  類似地,若,則 是負數(shù);若 ,則 .它們的逆命題都正確.

  這就是說:(打出幻燈片1)

  由此可見,要比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差就可以了,這也是我們這節(jié)課將要學習的主要內容.

  二、講授新課

  1.  比較兩實數(shù)大小的方法——求差比較法

  比較兩個實數(shù) 與 的大小,歸結為判斷它們的差 的符號,而這又必然歸結到實數(shù)運算的符號法則.

  比較兩個代數(shù)式的大小,實際上是比較它們的值的大小,而這又歸結為判斷它們的差的符號.

  接下來,我們通過具體的例題來熟悉求差比較法.

  2.  例題講解

  例1  比較 與 的大小.

  分析:此題屬于兩代數(shù)式比較大小,實際上是比較它們的值的大小,可以作差,然后展開,合并同類項之后,判斷差值正負,并根據(jù)實數(shù)運算的符號法則來得出兩個代數(shù)式的大小.

  解:

  ∴

  例2  已知,比較( 與 的大小.

  分析:此題與例1基本類似,也屬于兩個代數(shù)式比較大小,但是其中的x有一定的限制,應該在對差值正負判斷時引起注意,對于限制條件的應用經(jīng)常被學生所忽略.

  由 得 ,從而

  請同學們想一想,在例2中,如果沒有 這個條件,那么比較的結果如何?

  (學生回答:若沒有 這一條件,則 ,從而 大于或等于 )

  為了使大家進一步掌握求差比較法,我們來進行下面的練習.

  三、課堂練習

  1.比較 的大小.

  2.如果 ,比較 的大小.

  3.已知,比較 與 的大小.

  要求:學生板演練習,老師講評,并強調學生注意加限制條件的題目.

  課堂小結

  通過本節(jié)學習,大家要明確實數(shù)運算的符號法則, 掌握求差比較法來比較兩實數(shù)或代數(shù)式的大小.

  課后作業(yè) 

  習題6.1  1,2,3.

  板書設計 

  §6.1.1  不等式的性質

  1.求差比較法   例1   學生

  …… 

  例2    板演

  …… 

9.1.2 不等式的性質 篇4

  教學目標 

  1.理解不等式的性質,掌握不等式各個性質的條件和結論之間的邏輯關系,并掌握它們的證明方法以及功能、運用;

  2.掌握兩個實數(shù)比較大小的一般方法;

  3.通過不等式性質證明的學習,提高學生邏輯推論的能力;

  4.提高本節(jié)內容的學習,;培養(yǎng)學生條理思維的習慣和認真嚴謹?shù)?strong>學習態(tài)度;

  教學建議

  1.教材分析

  (1)知識結構

  本節(jié)首先通過數(shù)形結合,給出了比較實數(shù)大小的方法,在這個基礎上,給出了不等式的性質,一共講了五個定理和三個推論,并給出了嚴格的證明。

  知識結構圖

  (2)重點、難點分析

  在“不等式的性質”一節(jié)中,聯(lián)系了實數(shù)和數(shù)軸的對應關系、比較實數(shù)大小的方法,復習了初中學過的不等式的基本性質。

  不等式的性質是穿越本章內容的一條主線,無論是算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的證明及其應用,不等式的證明和解一些簡單的不等式,無不以不等式的性質作為基礎。

  本節(jié)的重點是比較兩個實數(shù)的大小,不等式的五個定理和三個推論;難點是不等式的性質成立的條件及其它的應用。

  ①比較實數(shù)的大小

  教材運用數(shù)形結合的觀點,從實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應出發(fā), 與初中學過的知識“在數(shù)軸上表示的兩個數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”利用數(shù)軸可以比較數(shù)的大小。

  指出比較兩實數(shù)大小的方法是求差比較法:

  比較兩個實數(shù)a與b的大小,歸結為判斷它們的差a-b的符號,而這又必然歸結到實數(shù)運算的符號法則.

  比較兩個代數(shù)式的大小,實際上是比較它們的值的大小,而這又歸結為判斷它們的差的符號.

  ②理清不等式的幾個性質的關系

  教材中的不等式共5個定理3個推論,是從證明過程安排順序的.從這幾個性質的分類來說,可以分為三類:

  (Ⅰ)不等式的理論性質: (對稱性)

  (傳遞性)

  (Ⅱ)一個不等式的性質:

  (n∈N,n>1)

  (n∈N,n>1)

  (Ⅲ)兩個不等式的性質:

  2.教法建議

  本節(jié)課的核心是培養(yǎng)學生的變形技能,訓練學生的推理能力.為今后證明不等式、解不等式的學習奠定技能上和理論上的基礎.

  授課方法可以采取講授與問答相結合的方式.通過問答形式不斷地給學生設置疑問(即:設疑);對教學難點 ,再由講授形式解決疑問.(即:解疑).主要思路是:教師設疑→學生討論→教師啟發(fā)→解疑.

  教學過程 可分為:發(fā)現(xiàn)定理、定理證明、定理應用,采用由形象思維到抽象思維的過渡,發(fā)現(xiàn)定理、證明定理.采用類比聯(lián)想,變形轉化,應用定理或應用定理的證明思路;解決一些較簡單的證明題.

  第一課時

  教學目標 

  1.掌握實數(shù)的運算性質與大小順序間關系;

  2.掌握求差法比較兩實數(shù)或代數(shù)式大小;

  3.強調數(shù)形結合思想.

  教學重點

  比較兩實數(shù)大小

  教學難點  

  理解實數(shù)運算的符號法則

  教學方法

  啟發(fā)式

  教學過程 

  一、復習回顧

  我們知道,實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的,在數(shù)軸上不同的兩點中,右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大.例如,在右圖中,點A表示實數(shù) ,點B表示實數(shù) ,點A在點B右邊,那么 .

  我們再看右圖, 表示 減去 所得的差是一個大于0的數(shù)即正數(shù).一般地:

  若 ,則 是正數(shù);逆命題也正確.

  類似地,若,則 是負數(shù);若 ,則 .它們的逆命題都正確.

  這就是說:(打出幻燈片1)

  由此可見,要比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差就可以了,這也是我們這節(jié)課將要學習的主要內容.

  二、講授新課

  1.  比較兩實數(shù)大小的方法——求差比較法

  比較兩個實數(shù) 與 的大小,歸結為判斷它們的差 的符號,而這又必然歸結到實數(shù)運算的符號法則.

  比較兩個代數(shù)式的大小,實際上是比較它們的值的大小,而這又歸結為判斷它們的差的符號.

  接下來,我們通過具體的例題來熟悉求差比較法.

  2.  例題講解

  例1  比較 與 的大小.

  分析:此題屬于兩代數(shù)式比較大小,實際上是比較它們的值的大小,可以作差,然后展開,合并同類項之后,判斷差值正負,并根據(jù)實數(shù)運算的符號法則來得出兩個代數(shù)式的大小.

  解:

  ∴

  例2  已知,比較( 與 的大小.

  分析:此題與例1基本類似,也屬于兩個代數(shù)式比較大小,但是其中的x有一定的限制,應該在對差值正負判斷時引起注意,對于限制條件的應用經(jīng)常被學生所忽略.

  由 得 ,從而

  請同學們想一想,在例2中,如果沒有 這個條件,那么比較的結果如何?

  (學生回答:若沒有 這一條件,則 ,從而 大于或等于 )

  為了使大家進一步掌握求差比較法,我們來進行下面的練習.

  三、課堂練習

  1.比較 的大小.

  2.如果 ,比較 的大小.

  3.已知,比較 與 的大小.

  要求:學生板演練習,老師講評,并強調學生注意加限制條件的題目.

  課堂小結

  通過本節(jié)學習,大家要明確實數(shù)運算的符號法則, 掌握求差比較法來比較兩實數(shù)或代數(shù)式的大小.

  課后作業(yè) 

  習題6.1  1,2,3.

  板書設計 

  §6.1.1  不等式的性質

  1.求差比較法   例1   學生

  …… 

  例2    板演

  …… 

9.1.2 不等式的性質 篇5

  教學目標

  1.理解不等式的性質,掌握不等式各個性質的條件和結論之間的邏輯關系,并掌握它們的證明方法以及功能、運用;

  2.掌握兩個實數(shù)比較大小的一般方法;

  3.通過不等式性質證明的學習,提高學生邏輯推論的能力;

  4.提高本節(jié)內容的學習,;培養(yǎng)學生條理思維的習慣和認真嚴謹?shù)膶W習態(tài)度;

  教學建議

  1.教材分析

  (1)知識結構

  本節(jié)首先通過數(shù)形結合,給出了比較實數(shù)大小的方法,在這個基礎上,給出了不等式的性質,一共講了五個定理和三個推論,并給出了嚴格的證明。

  知識結構圖

  (2)重點、難點分析

  在“不等式的性質”一節(jié)中,聯(lián)系了實數(shù)和數(shù)軸的對應關系、比較實數(shù)大小的方法,復習了初中學過的不等式的基本性質。

  不等式的性質是穿越本章內容的一條主線,無論是算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的證明及其應用,不等式的證明和解一些簡單的不等式,無不以不等式的性質作為基礎。

  本節(jié)的重點是比較兩個實數(shù)的大小,不等式的五個定理和三個推論;難點是不等式的性質成立的條件及其它的應用。

  ①比較實數(shù)的大小

  教材運用數(shù)形結合的觀點,從實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應出發(fā), 與初中學過的知識“在數(shù)軸上表示的兩個數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”利用數(shù)軸可以比較數(shù)的大小。

  指出比較兩實數(shù)大小的方法是求差比較法:

  比較兩個實數(shù)a與b的大小,歸結為判斷它們的差a-b的符號,而這又必然歸結到實數(shù)運算的符號法則.

  比較兩個代數(shù)式的大小,實際上是比較它們的值的大小,而這又歸結為判斷它們的差的符號.

  ②理清不等式的幾個性質的關系

  教材中的不等式共5個定理3個推論,是從證明過程安排順序的.從這幾個性質的分類來說,可以分為三類:

  (Ⅰ)不等式的理論性質: (對稱性)

  (傳遞性)

  (Ⅱ)一個不等式的性質:

  (n∈N,n>1)

  (n∈N,n>1)

  (Ⅲ)兩個不等式的性質:

  2.教法建議

  本節(jié)課的核心是培養(yǎng)學生的變形技能,訓練學生的推理能力.為今后證明不等式、解不等式的學習奠定技能上和理論上的基礎.

  授課方法可以采取講授與問答相結合的方式.通過問答形式不斷地給學生設置疑問(即:設疑);對教學難點,再由講授形式解決疑問.(即:解疑).主要思路是:教師設疑→學生討論→教師啟發(fā)→解疑.

  教學過程可分為:發(fā)現(xiàn)定理、定理證明、定理應用,采用由形象思維到抽象思維的過渡,發(fā)現(xiàn)定理、證明定理.采用類比聯(lián)想,變形轉化,應用定理或應用定理的證明思路;解決一些較簡單的證明題.

  第一課時

  教學目標

  1.掌握實數(shù)的運算性質與大小順序間關系;

  2.掌握求差法比較兩實數(shù)或代數(shù)式大小;

  3.強調數(shù)形結合思想.

  教學重點

  比較兩實數(shù)大小

  教學難點 

  理解實數(shù)運算的符號法則

  教學方法

  啟發(fā)式

  教學過程

  一、復習回顧

  我們知道,實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的,在數(shù)軸上不同的兩點中,右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大.例如,在右圖中,點A表示實數(shù) ,點B表示實數(shù) ,點A在點B右邊,那么 .

  我們再看右圖, 表示 減去 所得的差是一個大于0的數(shù)即正數(shù).一般地:

  若 ,則 是正數(shù);逆命題也正確.

  類似地,若,則 是負數(shù);若 ,則 .它們的逆命題都正確.

  這就是說:(打出幻燈片1)

  由此可見,要比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差就可以了,這也是我們這節(jié)課將要學習的主要內容.

  二、講授新課

  1.  比較兩實數(shù)大小的方法——求差比較法

  比較兩個實數(shù) 與 的大小,歸結為判斷它們的差 的符號,而這又必然歸結到實數(shù)運算的符號法則.

  比較兩個代數(shù)式的大小,實際上是比較它們的值的大小,而這又歸結為判斷它們的差的符號.

  接下來,我們通過具體的例題來熟悉求差比較法.

  2.  例題講解

  例1  比較 與 的大小.

  分析:此題屬于兩代數(shù)式比較大小,實際上是比較它們的值的大小,可以作差,然后展開,合并同類項之后,判斷差值正負,并根據(jù)實數(shù)運算的符號法則來得出兩個代數(shù)式的大小.

  解:

  ∴

  例2  已知,比較( 與 的大小.

  分析:此題與例1基本類似,也屬于兩個代數(shù)式比較大小,但是其中的x有一定的限制,應該在對差值正負判斷時引起注意,對于限制條件的應用經(jīng)常被學生所忽略.

  由 得 ,從而

  請同學們想一想,在例2中,如果沒有 這個條件,那么比較的結果如何?

  (學生回答:若沒有 這一條件,則 ,從而 大于或等于 )

  為了使大家進一步掌握求差比較法,我們來進行下面的練習.

  三、課堂練習

  1.比較 的大小.

  2.如果 ,比較 的大小.

  3.已知,比較 與 的大小.

  要求:學生板演練習,老師講評,并強調學生注意加限制條件的題目.

  課堂小結

  通過本節(jié)學習,大家要明確實數(shù)運算的符號法則, 掌握求差比較法來比較兩實數(shù)或代數(shù)式的大小.

  課后作業(yè) 

  習題6.1  1,2,3.

  板書設計

  §6.1.1  不等式的性質

  1.求差比較法   例1   學生

  …… 

  例2    板演

  …… 

9.1.2 不等式的性質 篇6

  教學目標

  1.理解不等式的性質,掌握不等式各個性質的條件和結論之間的邏輯關系,并掌握它們的證明方法以及功能、運用;

  2.掌握兩個實數(shù)比較大小的一般方法;

  3.通過不等式性質證明的學習,提高學生邏輯推論的能力;

  4.提高本節(jié)內容的學習,;培養(yǎng)學生條理思維的習慣和認真嚴謹?shù)膶W習態(tài)度;

  教學建議

  1.教材分析

  (1)知識結構

  本節(jié)首先通過數(shù)形結合,給出了比較實數(shù)大小的方法,在這個基礎上,給出了不等式的性質,一共講了五個定理和三個推論,并給出了嚴格的證明。

  知識結構圖

  (2)重點、難點分析

  在“不等式的性質”一節(jié)中,聯(lián)系了實數(shù)和數(shù)軸的對應關系、比較實數(shù)大小的方法,復習了初中學過的不等式的基本性質。

  不等式的性質是穿越本章內容的一條主線,無論是算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的證明及其應用,不等式的證明和解一些簡單的不等式,無不以不等式的性質作為基礎。

  本節(jié)的重點是比較兩個實數(shù)的大小,不等式的五個定理和三個推論;難點是不等式的性質成立的條件及其它的應用。

  ①比較實數(shù)的大小

  教材運用數(shù)形結合的觀點,從實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應出發(fā), 與初中學過的知識“在數(shù)軸上表示的兩個數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”利用數(shù)軸可以比較數(shù)的大小。

  指出比較兩實數(shù)大小的方法是求差比較法:

  比較兩個實數(shù)a與b的大小,歸結為判斷它們的差a-b的符號,而這又必然歸結到實數(shù)運算的符號法則.

  比較兩個代數(shù)式的大小,實際上是比較它們的值的大小,而這又歸結為判斷它們的差的符號.

  ②理清不等式的幾個性質的關系

  教材中的不等式共5個定理3個推論,是從證明過程安排順序的.從這幾個性質的分類來說,可以分為三類:

  (Ⅰ)不等式的理論性質: (對稱性)

  (傳遞性)

  (Ⅱ)一個不等式的性質:

  (n∈N,n>1)

  (n∈N,n>1)

  (Ⅲ)兩個不等式的性質:

  2.教法建議

  本節(jié)課的核心是培養(yǎng)學生的變形技能,訓練學生的推理能力.為今后證明不等式、解不等式的學習奠定技能上和理論上的基礎.

  授課方法可以采取講授與問答相結合的方式.通過問答形式不斷地給學生設置疑問(即:設疑);對教學難點,再由講授形式解決疑問.(即:解疑).主要思路是:教師設疑→學生討論→教師啟發(fā)→解疑.

  教學過程可分為:發(fā)現(xiàn)定理、定理證明、定理應用,采用由形象思維到抽象思維的過渡,發(fā)現(xiàn)定理、證明定理.采用類比聯(lián)想,變形轉化,應用定理或應用定理的證明思路;解決一些較簡單的證明題.

  第一課時

  教學目標

  1.掌握實數(shù)的運算性質與大小順序間關系;

  2.掌握求差法比較兩實數(shù)或代數(shù)式大小;

  3.強調數(shù)形結合思想.

  教學重點

  比較兩實數(shù)大小

  教學難點 

  理解實數(shù)運算的符號法則

  教學方法

  啟發(fā)式

  教學過程

  一、復習回顧

  我們知道,實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的,在數(shù)軸上不同的兩點中,右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大.例如,在右圖中,點A表示實數(shù) ,點B表示實數(shù) ,點A在點B右邊,那么 .

  我們再看右圖, 表示 減去 所得的差是一個大于0的數(shù)即正數(shù).一般地:

  若 ,則 是正數(shù);逆命題也正確.

  類似地,若,則 是負數(shù);若 ,則 .它們的逆命題都正確.

  這就是說:(打出幻燈片1)

  由此可見,要比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差就可以了,這也是我們這節(jié)課將要學習的主要內容.

  二、講授新課

  1.  比較兩實數(shù)大小的方法——求差比較法

  比較兩個實數(shù) 與 的大小,歸結為判斷它們的差 的符號,而這又必然歸結到實數(shù)運算的符號法則.

  比較兩個代數(shù)式的大小,實際上是比較它們的值的大小,而這又歸結為判斷它們的差的符號.

  接下來,我們通過具體的例題來熟悉求差比較法.

  2.  例題講解

  例1  比較 與 的大小.

  分析:此題屬于兩代數(shù)式比較大小,實際上是比較它們的值的大小,可以作差,然后展開,合并同類項之后,判斷差值正負,并根據(jù)實數(shù)運算的符號法則來得出兩個代數(shù)式的大小.

  解:

  ∴

  例2  已知,比較( 與 的大小.

  分析:此題與例1基本類似,也屬于兩個代數(shù)式比較大小,但是其中的x有一定的限制,應該在對差值正負判斷時引起注意,對于限制條件的應用經(jīng)常被學生所忽略.

  由 得 ,從而

  請同學們想一想,在例2中,如果沒有 這個條件,那么比較的結果如何?

  (學生回答:若沒有 這一條件,則 ,從而 大于或等于 )

  為了使大家進一步掌握求差比較法,我們來進行下面的練習.

  三、課堂練習

  1.比較 的大小.

  2.如果 ,比較 的大小.

  3.已知,比較 與 的大小.

  要求:學生板演練習,老師講評,并強調學生注意加限制條件的題目.

  課堂小結

  通過本節(jié)學習,大家要明確實數(shù)運算的符號法則, 掌握求差比較法來比較兩實數(shù)或代數(shù)式的大小.

  課后作業(yè) 

  習題6.1  1,2,3.

  板書設計

  §6.1.1  不等式的性質

  1.求差比較法   例1   學生

  …… 

  例2    板演

  …… 

9.1.2 不等式的性質 篇7

  教學目標

  1.理解不等式的性質,把握不等式各個性質的條件和結論之間的邏輯關系,并把握它們的證實方法以及功能、運用;

  2.把握兩個實數(shù)比較大小的一般方法;

  3.通過不等式性質證實的學習,提高學生邏輯推論的能力;

  4.提高本節(jié)內容的學習,;培養(yǎng)學生條理思維的習慣和認真嚴謹?shù)膶W習態(tài)度;

  教學建議

  1.教材分析

  (1)知識結構

  本節(jié)首先通過數(shù)形結合,給出了比較實數(shù)大小的方法,在這個基礎上,給出了不等式的性質,一共講了五個定理和三個推論,并給出了嚴格的證實。

  知識結構圖

  (2)重點、難點分析

  在“不等式的性質”一節(jié)中,聯(lián)系了實數(shù)和數(shù)軸的對應關系、比較實數(shù)大小的方法,復習了初中學過的不等式的基本性質。

  不等式的性質是穿越本章內容的一條主線,無論是算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的證實及其應用,不等式的證實和解一些簡單的不等式,無不以不等式的性質作為基礎。

  本節(jié)的重點是比較兩個實數(shù)的大小,不等式的五個定理和三個推論;難點是不等式的性質成立的條件及其它的應用。

  ①比較實數(shù)的大小

  教材運用數(shù)形結合的觀點,從實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應出發(fā), 與初中學過的知識“在數(shù)軸上表示的兩個數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”利用數(shù)軸可以比較數(shù)的大小。

  指出比較兩實數(shù)大小的方法是求差比較法:

  比較兩個實數(shù)a與b的大小,歸結為判定它們的差a-b的符號,而這又必然歸結到實數(shù)運算的符號法則.

  比較兩個代數(shù)式的大小,實際上是比較它們的值的大小,而這又歸結為判定它們的差的符號.

  ②理清不等式的幾個性質的關系

  教材中的不等式共5個定理3個推論,是從證實過程安排順序的.從這幾個性質的分類來說,可以分為三類:

  (ⅰ)不等式的理論性質: (對稱性)

  (傳遞性)

  (ⅱ)一個不等式的性質:

  (n∈n,n>1)

  (n∈n,n>1)

  (ⅲ)兩個不等式的性質:

  2.教法建議

  本節(jié)課的核心是培養(yǎng)學生的變形技能,練習學生的推理能力.為今后證實不等式、解不等式的學習奠定技能上和理論上的基礎.

  授課方法可以采取講授與問答相結合的方式.通過問答形式不斷地給學生設置疑問(即:設疑);對教學難點,再由講授形式解決疑問.(即:解疑).主要思路是:教師設疑→學生討論→教師啟發(fā)→解疑.

  教學過程可分為:發(fā)現(xiàn)定理、定理證實、定理應用,采用由形象思維到抽象思維的過渡,發(fā)現(xiàn)定理、證實定理.采用類比聯(lián)想,變形轉化,應用定理或應用定理的證實思路;解決一些較簡單的證實題.

  第一課時

  教學目標

  1.把握實數(shù)的運算性質與大小順序間關系;

  2.把握求差法比較兩實數(shù)或代數(shù)式大小;

  3.強調數(shù)形結合思想.

  教學重點

  比較兩實數(shù)大小

  教學難點

  理解實數(shù)運算的符號法則

  教學方法

  啟發(fā)式

  教學過程

  一、復習回顧

  我們知道,實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的,在數(shù)軸上不同的兩點中,右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大.例如,在右圖中,點a表示實數(shù) ,點b表示實數(shù) ,點a在點b右邊,那么 .

  我們再看右圖, 表示 減去 所得的差是一個大于0的數(shù)即正數(shù).一般地:

  若 ,則 是正數(shù);逆命題也正確 .

  類似地,若,則 是負數(shù);若 ,則 .它們的逆命題都正確.

  這就是說:(打出幻燈片1)

  由此可見,要比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差就可以了,這也是我們這節(jié)課將要學習的主要內容.

  二、講授新課

  1. 比較兩實數(shù)大小的方法——求差比較法

  比較兩個實數(shù) 與 的大小,歸結為判定它們的差 的符號,而這又必然歸結到實數(shù)運算的符號法則.

  比較兩個代數(shù)式的大小,實際上是比較它們的值的大小,而這又歸結為判定它們的差的符號.

  接下來,我們通過具體的例題來熟悉求差比較法.

  2. 例題講解

  例1 比較 與 的大小.

  分析:此題屬于兩代數(shù)式比較大小,實際上是比較它們的值的大小,可以作差,然后展開,合并同類項之后,判定差值正負,并根據(jù)實數(shù)運算的符號法則來得出兩個代數(shù)式的大小.

  解:

  ∴

  例2 已知,比較( 與 的大小.

  分析:此題與例1基本類似,也屬于兩個代數(shù)式比較大小,但是其中的x有一定的限制,應該在對差值正負判定時引起注重,對于限制條件的應用經(jīng)常被學生所忽略.

  由 得 ,從而

  請同學們想一想,在例2中,假如沒有 這個條件,那么比較的結果如何?

  (學生回答:若沒有 這一條件,則 ,從而 大于或等于 )

  為了使大家進一步把握求差比較法,我們來進行下面的練習.

  三、課堂練習

  1.比較 的大小.

  2.假如 ,比較 的大小.

  3.已知,比較 與 的大小.

  要求:學生板演練習,老師講評,并強調學生注重加限制條件的題目.

  課堂小結

  通過本節(jié)學習,大家要明確實數(shù)運算的符號法則, 把握求差比較法來比較兩實數(shù)或代數(shù)式的大小.

  課后作業(yè)

  習題6.1 1,2,3.

  板書設計

  §6.1.1 不等式的性質

  1.求差比較法 例1 學生

  ……

  例2 板演

9.1.2 不等式的性質 篇8

  課    題:不等式的性質(1)

  教學目的:

  1 了解不等式的實際應用及不等式的重要地位和作用;

  2 掌握實數(shù)的運算性質與大小順序之間的關系,學會比較兩個代數(shù)式的大小.

  教學重點:比較兩實數(shù)大小.

  教學難點:差值比較法:作差→變形→判斷差值的符號 

  授課類型:新授課

  課時安排:1課時

  教    具:多媒體、實物投影儀

  教學過程:

  一、引入:

  人與人的年齡大小、高矮胖瘦,物與物的形狀結構,事與事成因與結果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關系,這表明現(xiàn)實世界中的量,不等是普遍的、絕對的,而相等則是局部的、相對的 研究不等關系,反映在數(shù)學上就是證明不等式與解不等式 實數(shù)的差的正負與實數(shù)的大小的比較有著密切關系,這種關系是本章內容的基礎,也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù) 因此,本節(jié)課我們有必要來研究探討實數(shù)的運算性質與大小順序之間的關系

  生活中為什么糖水中加的糖越多越甜呢?

  轉化為數(shù)學問題:a克糖水中含有b克糖(a>b>0),若再加m(m>0)克糖,則糖水更甜了,為什么?

  分析:起初的糖水濃度為 ,加入m克糖 后的糖水濃度為 ,只要證 > 即可 怎么證呢?引人課題

  二、講解新課:

  1.不等式的定義:用不等號連接兩個解析式所得的式子,叫做不等式.

  說明:(1)不等號的種類:>、<、≥(≮)、≤(≯)、≠.

  (2)解析式是指:代數(shù)式和超越式(包括指數(shù)式、對數(shù)式和三角式等)

  (3)不等式研究的范圍是實數(shù)集r.

  2.判斷兩個實數(shù)大小的充要條件

  對于任意兩個實數(shù)a、b,在a>b,a= b,a<b三種關系中有且僅有一種成立.判斷兩個實數(shù)大小的充要條件是:

  由此可見,要比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差的符號就可以了,這好比站在同一水平面上的兩個人,只要看一下他們的差距,就可以判斷他們的高矮了.

  三、講解范例:

  例1比較(a+3)(a-5)與(a+2)(a-4)的大小

  分析:此題屬于兩代數(shù)式比較大小,實際上是比較它們的值的大小,可以作差,然后展開,合并同類項之后,判斷差值正負(注意是指差的符號,至于差的值究竟是多少,在這里無關緊要) 并根據(jù)實數(shù)運算的符號法則來得出兩個代數(shù)式的大小  把比較兩個實數(shù)大小的問題轉化為實數(shù)運算符號問題

  本題知識點:整式乘法,去括號法則,合并同類項

  解:由題意可知:

  (a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)

  =(a2-2a-15)-(a2-2a-8)

  =-7<0

  ∴(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4)

  例2已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小

  分析:此題與例1基本類似,也屬于兩個代數(shù)式比較大小,但是其中的x有一定的限制,應該在對差值正負判斷時引起注意,對于限制條件的應用經(jīng)常被學生所忽略

  本題知識點:乘法公式,去括號法則,合并同類項 

  解:由題意可知:

  (x2+1)2-(x4+x2+1)

  =(x4+2x2+1)-(x4+x2+1)

  =x4+2x2+1-x4-x2-1

  =x2

  ∵x≠0  ∴x2>0

  ∴(x2+1)2-(x4+x2+1)>0

  ∴(x2+1)2>x4+x2+1

  例2引伸:在例2中,如果沒有x≠0這個條件,那么兩式的大小關系如何?

  在例2中,如果沒有x≠0這個條件,那么意味著x可以全取實數(shù),在解決問題時,應分x=0和x≠0兩種情況進行討論,即:

  當x=0時,(x2+1)2=x4+x2+1

  當x≠0時,(x2+1)2>x4+x2+1

  此題意在培養(yǎng)學生分類討論的數(shù)學思想,提醒學生在解決含字母代數(shù)式問題時,不要忘記代數(shù)式中字母的取值范圍,一般情況下,取值范圍是實數(shù)集的可以省略不寫

  得出結論:例1,例2是用作差比較法來比較兩個實數(shù)的大小,其一般步驟是:作差--變形--判斷符號 這樣把兩個數(shù)的大小問題轉化為判斷它們差的符號問題,至于差本身是多少,在此無關緊要 

  例3已知a>b>0,m>0,試比較 與 的大小

  解:

  ∵a>b>0,m>0,∴a-b>0,a+m>0

  ∴ ∴ > 

  從而揭示"糖水加糖甜更甜"的數(shù)學內涵

  例4  比較a4-b4與4a3(a-b)的大小.

  解: a4-b4 - 4a3(a-b)

  =(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)

  = (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)

  =(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]

  = - (a-b)2(3a3+2ab+b2)

  =- (a-b)2  (當且僅當d=b時取等號)

  ∴a4-b4 4a3(a-b)

  說明:"變形"是解題的關鍵,是最重一步 因式分解、配方、湊成若干個平方和等是"變形"的常用方法

  例5  已知x>y,且y≠0,比較 與1的大小

  解:

  ∵x>y,∴x-y>0

  當y<0時, <0,即 <1

  當y>0時, >0,即 >1

  說明:變形的目的是為了判定符號,此題定號時,要根據(jù)字母取值范圍,進行分類討論

  四、課堂練習:

  1 在以下各題的橫線處適當?shù)牟坏忍枺?/p>

  (1)( + )2     6+2 ;

  (2)( - )2      ( -1)2;

  (3)         ;

  (4)當a>b>0時,log a        log b

  答案:(1)<    (2)<    (3)<    (4)<

  2 選擇題

  若a<0,-1<b<0,則有(    )

  a a>ab>ab2     b ab2>ab>a    c ab>a>ab2    d ab>ab2>a

  分析:利用作差比較法判斷a,ab,ab2的大小即可

  ∵a<0,-1<b<0

  ∴ab>0,b-1<0,1-b>0,0<b2<1,1-b2>0

  ∴ab-a=a(b-1)>0 ab>a

  ab-ab2=ab(1-b)>0 ab>ab2

  a-ab2=a(1-b2)<0 a<ab2

  故ab>ab2>a

  答案:d

  3 比較大小:

  (1)(x+5)(x+7)與(x+6)2;

  (2)log  與log 

  解:(1)(x+5)(x+7)-(x+6)2

  =(x2+12x+35)-(x2+12x+36)

  =-1<0

  ∴(x+5)(x+7)<(x+6)2

  (2)解法一:(作差法)

  log  -log =

  = >0

  ∴l(xiāng)og  >log

  解法二:(中介法,常以"-1,0,1"作中介)

  ∵函數(shù)y=log x和y=log x在(0,+∞)上是減函數(shù)且 >

  ∴l(xiāng)og  >log  =1,log  <log  =1

  ∴l(xiāng)og  >log  

  4 如果x>0,比較( -1)2與( +1)2的大小

  解:( -1)2-( +1)2

  =[( -1)+( +1)][( -1)-( +1)

  或[(x-2 +1)-(x+2 +1)]=-4

  ∵x>0  ∴ >0  ∴-4 <0

  ∴( -1)2<( +1)2

  5 已知a≠0,比較(a2+ a+1)(a2-2 a+1)與(a2+a+1)·(a2-a+1)的大小

  解:(a2+ a+1)(a2- a+1)-(a2+a+1)(a2-a+1)

  =[(a2+1)2-( a)2]-[(a2+1)2-a2]=-a2

  ∵a≠0,∴a2>0  ∴-a2<0

  故(a2+ a+1)(a2- a+1)<(a2+a+1)(a2-a+1)

  五、小結 :本節(jié)學習了實數(shù)的運算性質與大小順序之間的關系,并以此關系為依據(jù),研究了如何比較兩個實數(shù)的大小,其具體解題步驟可歸納為:

  第一步:作差并化簡,其目標應是n個因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式

  第二步:判斷差值與零的大小關系,必要時須進行討論

  第三步:得出結論

  在某些特殊情況下(如兩數(shù)均為正,且作商后易于化簡)還可考慮運用作商法比較大小 它與作差法的區(qū)別在于第二步,作商法是判斷商值與1的大小關系

  六、課后作業(yè):

  1.已知 ,比較 與 的大小

  解:          =……=    ∴ ≥

  2.比較2sin 與sin2 的大小(0< <2 )

  解: 2sin  sin2 =2sin (1 cos )

  當  (0, )時2sin (1 cos )≥0      2sin ≥sin2

  當  ( ,2 )時2sin (1 cos )<0      2sin <sin2

  3.設 且 , ,比較 與 的大小

  解:      ∴

  當 時 ≤ ;當 時 ≥

  4.設 且 ,比較 與 的大小

  解: 

  當 時    ∴ >

  當 時    ∴ >

  ∴總有 >

  七、板書設計(略)

  八、課后記:

9.1.2 不等式的性質 篇9

  第二課時

  教學目標 

  1.理解同向不等式,異向不等式概念;

  2.掌握并會證明定理1,2,3;

  3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據(jù),定理3是移項法則的依據(jù);

  4.初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

  教學重點:定理1,2,3的證明的證明思路和推導過程

  教學難點 :理解證明不等式的邏輯推理方法

  教學方法:引導式

  教學過程 

  一、復習回顧

  上一節(jié)課,我們一起學習了比較兩實數(shù)大小的方法,主要根據(jù)的是實數(shù)運算的符號法則,而這也是推證不等式性質的主要依據(jù),因此,我們來作一下回顧:

  這一節(jié)課,我們將利用比較實數(shù)的方法, 來推證不等式的性質.

  二、講授新課

  在證明不等式的性質之前,我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念.

  1.同向不等式:兩個不等號方向相同的不等式,例如: 是同向不等式.

  異向不等式:兩個不等號方向相反的不等式.例如: 是異向不等式.

  2.不等式的性質:

  定理1:若 ,則

  定理1說明,把不等式的左邊和右邊交換,所得不等式與原不等式異向.在證明時,既要證明充分性,也要證明必要性.

  證明:∵ ,

  ∴

  由正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù),得

  說明:定理1的后半部分可引導學生仿照前半部分推證,注意向學生強調實數(shù)運算的符號法則的應用.

  定理2:若 ,且 ,則 .

  證明:∵

  ∴

  根據(jù)兩個正數(shù)的和仍是正數(shù),得

  ∴ 說明:此定理證明的主要依據(jù)是實數(shù)運算的符號法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù).

  定理3:若 ,則

  定理3說明,不等式的兩邊都加上同一個實數(shù),所得不等式與原不等式同向.

  證明:∵

  ∴

  說明:(1)定理3的證明相當于比較 與 的大小,采用的是求差比較法;

  (2)不等式中任何一項改變符號后,可以把它從一邊移到另一邊,理由是:根據(jù)定理3可得出:若 ,則 即 .

  定理3推論:若 .

  證明:∵ ,

  ∴      ①

  ∵

  ∴       ②

  由①、②得

  說明:(1)推論的證明連續(xù)兩次運用定理3然后由定理2證出;

  (2)這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加,即:兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加,所得不等式與原不等式同向;

  (3)兩個同向不等式的兩邊分別相減時,就不能作出一般的結論;

  (4)定理3的逆命題也成立.(可讓學生自證)

  三、課堂練習

  1.證明定理1后半部分;

  2.證明定理3的逆定理.

  說明:本節(jié)主要目的是掌握定理1,2,3的證明思路與推證過程,練習穿插在定理的證明過程中進行.

  課堂小結

  通過本節(jié)學習,要求大家熟悉定理1,2,3的證明思路,并掌握其推導過程,初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

  課后作業(yè) 

  1.求證:若

  2.證明:若

  板書設計 

  §6.1.2  不等式的性質

  1.同向不等式          3.定理2     4.定理3      5.定理3

  異向不等式          證明          證明         推論

  2.定理1 證明           說明          說明         證明

  第三課時

  教學目標 

  1.熟練掌握定理1,2,3的應用;

  2.掌握并會證明定理4及其推論1,2;

  3.掌握反證法證明定理5.

  教學重點:定理4,5的證明.

  教學難點 :定理4的應用.

  教學方法:引導式

  教學過程 

  一、復習回顧

  上一節(jié)課,我們一起學習了不等式的三個性質,即定理1,2,3,并初步認識了證明不等式的邏輯推理方法,首先,讓我們來回顧一下三個定理的基本內容.

  (學生回答)

  好,我們這一節(jié)課將繼續(xù)推論定理4、5及其推論,并進一步熟悉不等式性質的應用.

  二、講授新課

  定理4:若

  若

  證明:

  根據(jù)同號相乘得正,異號相乘得負,得

  當

  說明:(1)證明過程中的關鍵步驟是根據(jù)“同號相乘得正,異號相乘得負”來完成的;

  (2)定理4證明在一個不等式兩端乘以同一個正數(shù),不等號方向不變;乘以同一個負數(shù),不等號方向改變.

  推論1:若

  證明:

  ①

  又

  ∴     ②

  由①、②可得 .

  說明:(1)上述證明是兩次運用定理4,再用定理2證出的;

  (2)所有的字母都表示正數(shù),如果僅有 ,就推不出 的結論.

  (3)這一推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘.這就是說,兩個或者更多個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘,所得不等式與原不等式同向.

  推論2:若

  說明:(1)推論2是推論1的特殊情形;

  (2)應強調學生注意n∈N 的條件.

  定理5:若

  我們用反證法來證明定理5,因為反面有兩種情形,即 ,所以不能僅僅否定了 ,就“歸謬”了事,而必須進行“窮舉”.

  說明:假定 不大于 ,這有兩種情況:或者 ,或者 .

  由推論2和定理1,當 時,有 ;

  當 時,顯然有

  這些都同已知條件 矛盾

  所以 .

  接下來,我們通過具體的例題來熟悉不等式性質的應用.

  例2    已知

  證明:由

  例3  已知

  證明:∵

  兩邊同乘以正數(shù)

  說明:通過例3,例4的學習,使學生初步接觸不等式的證明,為以后學習不等式的證明打下基礎.在應用定理4時,應注意題目條件,即在一個等式兩端乘以同一個數(shù)時,其正負將影響結論.接下來,我們通過練習來進一步熟悉不等式性質的應用.

  三、課堂練習

  課本P7練習1,2,3.

  課堂小結

  通過本節(jié)學習,大家要掌握不等式性質的應用及反證法證明思路,為以后不等式的證明打下一定的基礎.

  課后作業(yè) 

  課本習題6.1 4,5.

  板書設計 

  §6.1.3  不等式的性質

  定理4      推論1         定理5          例3     學生

  內容                     內容        

  證明        推論2         證明          例4       練習

  探究活動

  能得到什么結論

  題目 已知 且 ,你能夠推出什么結論?

  分析與解:由條件推出結論,我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴大,對已知變量作運算,運用不等式的性質,或者跳出不等式去考慮一般的數(shù)學表達式。

  思路一:改變 的范圍,可得:

  1. 且 ;

  2. 且 ;

  思路二:由已知變量作運算,可得:

  3. 且 ;

  4. 且 ;

  5. 且 ;

  6. 且 ;

  7. 且 ;

  思路三:考慮含有 的數(shù)學表達式具有的性質,可得:

  8. (其中 為實常數(shù))是三次方程;

  9. (其中 為常數(shù))的圖象不可能表示直線。

  說明 從已知信息能夠推出什么結論?這是我們經(jīng)常需要思考的問題,這里給出的都是必要非充分條件,讀者可以考慮是否能夠寫出充要條件;另外,運用推出關系的傳遞性,在推出結論的基礎上進一步進行推理,還可得出很多結果,請讀者考慮.

  探究關系式是否成立的問題

  題目  當 成立時,關系式 是否成立?若成立,加以證明;若不成立,說明理由。

  解:因為 ,所以 ,所以 ,

  所以 ,

  所以 或

  所以 或

  所以 或

  所以 不可能成立。

  說明:像本例這樣的探索題,題目的結論是“兩可”(即兩種可能性)情形,而我們知道,說明結論不成立可像例1那樣舉一個反例就可以了。不過像本例的執(zhí)果索因的分析,不僅說明結論不成立,而且得出 , 必須同時大于1或同時小于1的結論。

  探討增加什么條件使命題成立

  例 適當增加條件,使下列命題各命題成立:

  (1)若 ,則 ;

  (2)若 ,則 ;

  (3)若 , ,則 ;

  (4)若 ,則

  思路分析:本例為條件型開放題,需要依據(jù)不等式的性質,尋找使結論成立時所缺少的一個條件。

  解:(1)

  (2) 。當 時,

  當 時,

  (3)

  (4)

  引申發(fā)散 對命題(3),能否增加條件 ,或 , ,使其成立?請闡述你的理由。

9.1.2 不等式的性質 篇10

  9.1.2 不等式的性質(1)

  教學目標 1、經(jīng)歷通過類比、猜測、驗證發(fā)現(xiàn)不等式性質的探索過程,掌握不等式的性質;

  2、初步體會不等式與等式的異同;

  3、通過創(chuàng)設問題情境和實驗探究活動,積極引導學生參與數(shù)學活動,提高學習數(shù)學的興趣,增進學習數(shù)學的信心,體會在解決問題的過程中與他人交流合作的重要性.   

  教學難點 正確運用不等式的性質。   

  知識重點 理解并掌握不等式的性質。   

  教學過程(師生活動) 設計理念   

  提出問題 教師出示天平,并請學生仔細觀察老師的操作過程,回答下列問題:

  1、天平被調整到什么狀態(tài)?

  2、給不平衡的天平兩邊同時加人相同質量的砝碼,天平會有什么變化?

  3、不平衡的天平兩邊同時拿掉相同質量的砝碼,天平會有什么變化?

  4、如果對不平衡的天平兩邊砝碼的質量同時擴大相同的倍數(shù),天平會平衡嗎?縮小相同的倍數(shù)呢? 通過天平演示,結合自己的觀察和思考,讓學生感受生活中的不等關系。   

  探究新知 1、用“>”或“<”填空.

  (1)-1 < 3   -1+2   3+2  -1-3   3-3

  (2) 5 >3  5+a   3+a 5-a   3-a

  (3) 6 > 2 6×5 2×5 6×(-5)2×(-5)

  (4) -2 < 3(-2)×6   3×6

  (-2)×(-6)   3×(一6)

  (5)-4 >-6  (-4)÷2(-6)÷2

  (-4)十(-2)    (-6)十(-2)

  2、從以上練習中,你發(fā)現(xiàn)了什么?請你再用幾個例子試一試,還有類似的結論嗎?請把你的發(fā)現(xiàn)告訴同學們并與他們交流.

  3、讓學生充分發(fā)表“發(fā)現(xiàn)”,師生共同歸納得出:

  不等式性質1:不等式兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.

  不等式性質2:不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變.

  不等式性質3:不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.

  4、你能說出不等式性質與等式性質的相同之處與不同

  之處嗎? 通過動手、動口、動腦,引導學生運用類比、歸納的數(shù)學思想去探究問題,在品嘗成功的喜悅中激發(fā)出學數(shù)學的興趣。

  滲透類比思想。   

  探究新知 4、 下列哪些是不5、 等式x+3 > 6的解?哪些不6、 是?

  -4,-2. 5,0,1,2.5,3,3.2,4.8,8,12

  2、直接想出不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出來:

  (1)x+3 > 6(2)2x < 8(3)x-2 > 0    

  鞏固新知 1、 判斷

  (1)∵a < b ∴ a-b < b-b

  (2)∵a < b ∴ 

  (3)∵a < b ∴ -2a < -2b

  (4)∵-2a > 0 ∴ a > 0

  (5)∵-a < 0 ∴ a < 3

  2、 填空

  (1)∵ 2a > 3a ∴ a是    數(shù)

  (2)∵    ∴ a是    數(shù)

  (3)∵ax < a且 x > 1 ∴ a是    數(shù)

  3、 根據(jù)下列已知條件,4、 說出a與b的不5、 等關系,6、 并說明是根據(jù)不7、 等式哪一條性質。

  (1)a-3 > b-3        (2) 

  (3)-4a > -4b 設置這幾個練習,既可以培養(yǎng)學生獨立思考的能力,又可強化對概念的理解,使學生真正認識不等式的性質。   

  總結歸納 

  在學生自己總結的基礎上,教師應強調兩點:

  1、等式性質與不等式性質的不同之處;

  2、在運用“不等式性質3"時應注意的問題.   學生通過總結,可以幫助自

  己從整體上把握本節(jié)課所學知

  識,培養(yǎng)良好的學習習慣,也為

  下節(jié)課學好解不等式打下基礎。   

  小結與作業(yè)    

  布置作業(yè) 1、必做題:教科書第134頁習題9.1第4、5題

  2、選做題:教科書第134頁習題9. 1第7題.

  3、備選題:    

  本課教育評注(課堂設計理念,實際教學效果及改進設想)   

  本節(jié)課設計旨在讓學生經(jīng)歷通過實驗、猜測、驗證,發(fā)現(xiàn)不等式性質的探索過程.用類比和實驗探究法作為主要方法貫穿整個課堂教學之中,并以多媒體作為輔助教學手段.讓學生充分進行討論交流,在自主探索和合作學習中掌握不等式的性質.這樣就能有效地突破本節(jié)課的難點,為學生今后的學習打下堅實的基礎.

  教學過程中貫穿了一條“創(chuàng)設情境,引出新知—實驗討論,得出性質—探究辨析,突破難點—運用性質,解決問題”的線索,使學生真正成為學習的主人.在師生交流合作中營造互動的氛圍,讓學生積極主動地參與教學的整個過程,使他們的學習態(tài)度、情感意志和個性品質等都得到不同程度的提高.

  為了突破教學難點,讓學生能熟練準確地運用“不等式性質3",本課設計了多樣化的練習以鞏固所學知識.在學生回答、板演、討論的過程中,課堂氣氛被激活,教學難點被突破,使學生在輕松愉快的氛圍中扎實地掌握性質并靈活運用.同時,學習伙伴之間進行了思維的碰撞和溝通. 

9.1.2 不等式的性質 篇11

  第二課時

  教學目標 

  1.理解同向不等式,異向不等式概念;

  2.掌握并會證明定理1,2,3;

  3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據(jù),定理3是移項法則的依據(jù);

  4.初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

  教學重點:定理1,2,3的證明的證明思路和推導過程

  教學難點 :理解證明不等式的邏輯推理方法

  教學方法:引導式

  教學過程 

  一、復習回顧

  上一節(jié)課,我們一起學習了比較兩實數(shù)大小的方法,主要根據(jù)的是實數(shù)運算的符號法則,而這也是推證不等式性質的主要依據(jù),因此,我們來作一下回顧:

  這一節(jié)課,我們將利用比較實數(shù)的方法, 來推證不等式的性質.

  二、講授新課

  在證明不等式的性質之前,我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念.

  1.同向不等式:兩個不等號方向相同的不等式,例如: 是同向不等式.

  異向不等式:兩個不等號方向相反的不等式.例如: 是異向不等式.

  2.不等式的性質:

  定理1:若 ,則

  定理1說明,把不等式的左邊和右邊交換,所得不等式與原不等式異向.在證明時,既要證明充分性,也要證明必要性.

  證明:∵ ,

  ∴

  由正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù),得

  說明:定理1的后半部分可引導學生仿照前半部分推證,注意向學生強調實數(shù)運算的符號法則的應用.

  定理2:若 ,且 ,則 .

  證明:∵

  ∴

  根據(jù)兩個正數(shù)的和仍是正數(shù),得

  ∴ 說明:此定理證明的主要依據(jù)是實數(shù)運算的符號法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù).

  定理3:若 ,則

  定理3說明,不等式的兩邊都加上同一個實數(shù),所得不等式與原不等式同向.

  證明:∵

  ∴

  說明:(1)定理3的證明相當于比較 與 的大小,采用的是求差比較法;

  (2)不等式中任何一項改變符號后,可以把它從一邊移到另一邊,理由是:根據(jù)定理3可得出:若 ,則 即 .

  定理3推論:若 .

  證明:∵ ,

  ∴      ①

  ∵

  ∴       ②

  由①、②得

  說明:(1)推論的證明連續(xù)兩次運用定理3然后由定理2證出;

  (2)這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加,即:兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加,所得不等式與原不等式同向;

  (3)兩個同向不等式的兩邊分別相減時,就不能作出一般的結論;

  (4)定理3的逆命題也成立.(可讓學生自證)

  三、課堂練習

  1.證明定理1后半部分;

  2.證明定理3的逆定理.

  說明:本節(jié)主要目的是掌握定理1,2,3的證明思路與推證過程,練習穿插在定理的證明過程中進行.

  課堂小結

  通過本節(jié)學習,要求大家熟悉定理1,2,3的證明思路,并掌握其推導過程,初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

  課后作業(yè) 

  1.求證:若

  2.證明:若

  板書設計 

  §6.1.2  不等式的性質

  1.同向不等式          3.定理2     4.定理3      5.定理3

  異向不等式          證明          證明         推論

  2.定理1 證明           說明          說明         證明

  第三課時

  教學目標 

  1.熟練掌握定理1,2,3的應用;

  2.掌握并會證明定理4及其推論1,2;

  3.掌握反證法證明定理5.

  教學重點:定理4,5的證明.

  教學難點 :定理4的應用.

  教學方法:引導式

  教學過程 

  一、復習回顧

  上一節(jié)課,我們一起學習了不等式的三個性質,即定理1,2,3,并初步認識了證明不等式的邏輯推理方法,首先,讓我們來回顧一下三個定理的基本內容.

  (學生回答)

  好,我們這一節(jié)課將繼續(xù)推論定理4、5及其推論,并進一步熟悉不等式性質的應用.

  二、講授新課

  定理4:若

  若

  證明:

  根據(jù)同號相乘得正,異號相乘得負,得

  當

  說明:(1)證明過程中的關鍵步驟是根據(jù)“同號相乘得正,異號相乘得負”來完成的;

  (2)定理4證明在一個不等式兩端乘以同一個正數(shù),不等號方向不變;乘以同一個負數(shù),不等號方向改變.

  推論1:若

  證明:

  ①

  又

  ∴     ②

  由①、②可得 .

  說明:(1)上述證明是兩次運用定理4,再用定理2證出的;

  (2)所有的字母都表示正數(shù),如果僅有 ,就推不出 的結論.

  (3)這一推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘.這就是說,兩個或者更多個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘,所得不等式與原不等式同向.

  推論2:若

  說明:(1)推論2是推論1的特殊情形;

  (2)應強調學生注意n∈N 的條件.

  定理5:若

  我們用反證法來證明定理5,因為反面有兩種情形,即 ,所以不能僅僅否定了 ,就“歸謬”了事,而必須進行“窮舉”.

  說明:假定 不大于 ,這有兩種情況:或者 ,或者 .

  由推論2和定理1,當 時,有 ;

  當 時,顯然有

  這些都同已知條件 矛盾

  所以 .

  接下來,我們通過具體的例題來熟悉不等式性質的應用.

  例2    已知

  證明:由

  例3  已知

  證明:∵

  兩邊同乘以正數(shù)

  說明:通過例3,例4的學習,使學生初步接觸不等式的證明,為以后學習不等式的證明打下基礎.在應用定理4時,應注意題目條件,即在一個等式兩端乘以同一個數(shù)時,其正負將影響結論.接下來,我們通過練習來進一步熟悉不等式性質的應用.

  三、課堂練習

  課本P7練習1,2,3.

  課堂小結

  通過本節(jié)學習,大家要掌握不等式性質的應用及反證法證明思路,為以后不等式的證明打下一定的基礎.

  課后作業(yè) 

  課本習題6.1 4,5.

  板書設計 

  §6.1.3  不等式的性質

  定理4      推論1         定理5          例3     學生

  內容                     內容        

  證明        推論2         證明          例4       練習

  探究活動

  能得到什么結論

  題目 已知 且 ,你能夠推出什么結論?

  分析與解:由條件推出結論,我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴大,對已知變量作運算,運用不等式的性質,或者跳出不等式去考慮一般的數(shù)學表達式。

  思路一:改變 的范圍,可得:

  1. 且 ;

  2. 且 ;

  思路二:由已知變量作運算,可得:

  3. 且 ;

  4. 且 ;

  5. 且 ;

  6. 且 ;

  7. 且 ;

  思路三:考慮含有 的數(shù)學表達式具有的性質,可得:

  8. (其中 為實常數(shù))是三次方程;

  9. (其中 為常數(shù))的圖象不可能表示直線。

  說明 從已知信息能夠推出什么結論?這是我們經(jīng)常需要思考的問題,這里給出的都是必要非充分條件,讀者可以考慮是否能夠寫出充要條件;另外,運用推出關系的傳遞性,在推出結論的基礎上進一步進行推理,還可得出很多結果,請讀者考慮.

  探究關系式是否成立的問題

  題目  當 成立時,關系式 是否成立?若成立,加以證明;若不成立,說明理由。

  解:因為 ,所以 ,所以 ,

  所以 ,

  所以 或

  所以 或

  所以 或

  所以 不可能成立。

  說明:像本例這樣的探索題,題目的結論是“兩可”(即兩種可能性)情形,而我們知道,說明結論不成立可像例1那樣舉一個反例就可以了。不過像本例的執(zhí)果索因的分析,不僅說明結論不成立,而且得出 , 必須同時大于1或同時小于1的結論。

  探討增加什么條件使命題成立

  例 適當增加條件,使下列命題各命題成立:

  (1)若 ,則 ;

  (2)若 ,則 ;

  (3)若 , ,則 ;

  (4)若 ,則

  思路分析:本例為條件型開放題,需要依據(jù)不等式的性質,尋找使結論成立時所缺少的一個條件。

  解:(1)

  (2) 。當 時,

  當 時,

  (3)

  (4)

  引申發(fā)散 對命題(3),能否增加條件 ,或 , ,使其成立?請闡述你的理由。

9.1.2 不等式的性質 篇12

  教學目標 

  1.理解不等式的性質,掌握不等式各個性質的條件和結論之間的邏輯關系,并掌握它們的證明方法以及功能、運用;

  2.掌握兩個實數(shù)比較大小的一般方法;

  3.通過不等式性質證明的學習,提高學生邏輯推論的能力;

  4.提高本節(jié)內容的學習,;培養(yǎng)學生條理思維的習慣和認真嚴謹?shù)?strong>學習態(tài)度;

  教學建議

  1.教材分析

  (1)知識結構

  本節(jié)首先通過數(shù)形結合,給出了比較實數(shù)大小的方法,在這個基礎上,給出了不等式的性質,一共講了五個定理和三個推論,并給出了嚴格的證明。

  知識結構圖

  (2)重點、難點分析

  在“不等式的性質”一節(jié)中,聯(lián)系了實數(shù)和數(shù)軸的對應關系、比較實數(shù)大小的方法,復習了初中學過的不等式的基本性質。

  不等式的性質是穿越本章內容的一條主線,無論是算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的證明及其應用,不等式的證明和解一些簡單的不等式,無不以不等式的性質作為基礎。

  本節(jié)的重點是比較兩個實數(shù)的大小,不等式的五個定理和三個推論;難點是不等式的性質成立的條件及其它的應用。

  ①比較實數(shù)的大小

  教材運用數(shù)形結合的觀點,從實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應出發(fā), 與初中學過的知識“在數(shù)軸上表示的兩個數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”利用數(shù)軸可以比較數(shù)的大小。

  指出比較兩實數(shù)大小的方法是求差比較法:

  比較兩個實數(shù)a與b的大小,歸結為判斷它們的差a-b的符號,而這又必然歸結到實數(shù)運算的符號法則.

  比較兩個代數(shù)式的大小,實際上是比較它們的值的大小,而這又歸結為判斷它們的差的符號.

  ②理清不等式的幾個性質的關系

  教材中的不等式共5個定理3個推論,是從證明過程安排順序的.從這幾個性質的分類來說,可以分為三類:

  (Ⅰ)不等式的理論性質: (對稱性)

  (傳遞性)

  (Ⅱ)一個不等式的性質:

  (n∈N,n>1)

  (n∈N,n>1)

  (Ⅲ)兩個不等式的性質:

  2.教法建議

  本節(jié)課的核心是培養(yǎng)學生的變形技能,訓練學生的推理能力.為今后證明不等式、解不等式的學習奠定技能上和理論上的基礎.

  授課方法可以采取講授與問答相結合的方式.通過問答形式不斷地給學生設置疑問(即:設疑);對教學難點 ,再由講授形式解決疑問.(即:解疑).主要思路是:教師設疑→學生討論→教師啟發(fā)→解疑.

  教學過程 可分為:發(fā)現(xiàn)定理、定理證明、定理應用,采用由形象思維到抽象思維的過渡,發(fā)現(xiàn)定理、證明定理.采用類比聯(lián)想,變形轉化,應用定理或應用定理的證明思路;解決一些較簡單的證明題.

  第一課時

  教學目標 

  1.掌握實數(shù)的運算性質與大小順序間關系;

  2.掌握求差法比較兩實數(shù)或代數(shù)式大小;

  3.強調數(shù)形結合思想.

  教學重點

  比較兩實數(shù)大小

  教學難點  

  理解實數(shù)運算的符號法則

  教學方法

  啟發(fā)式

  教學過程 

  一、復習回顧

  我們知道,實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的,在數(shù)軸上不同的兩點中,右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大.例如,在右圖中,點A表示實數(shù) ,點B表示實數(shù) ,點A在點B右邊,那么 .

  我們再看右圖, 表示 減去 所得的差是一個大于0的數(shù)即正數(shù).一般地:

  若 ,則 是正數(shù);逆命題也正確.

  類似地,若,則 是負數(shù);若 ,則 .它們的逆命題都正確.

  這就是說:(打出幻燈片1)

  由此可見,要比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差就可以了,這也是我們這節(jié)課將要學習的主要內容.

  二、講授新課

  1.  比較兩實數(shù)大小的方法——求差比較法

  比較兩個實數(shù) 與 的大小,歸結為判斷它們的差 的符號,而這又必然歸結到實數(shù)運算的符號法則.

  比較兩個代數(shù)式的大小,實際上是比較它們的值的大小,而這又歸結為判斷它們的差的符號.

  接下來,我們通過具體的例題來熟悉求差比較法.

  2.  例題講解

  例1  比較 與 的大小.

  分析:此題屬于兩代數(shù)式比較大小,實際上是比較它們的值的大小,可以作差,然后展開,合并同類項之后,判斷差值正負,并根據(jù)實數(shù)運算的符號法則來得出兩個代數(shù)式的大小.

  解:

  ∴

  例2  已知,比較( 與 的大小.

  分析:此題與例1基本類似,也屬于兩個代數(shù)式比較大小,但是其中的x有一定的限制,應該在對差值正負判斷時引起注意,對于限制條件的應用經(jīng)常被學生所忽略.

  由 得 ,從而

  請同學們想一想,在例2中,如果沒有 這個條件,那么比較的結果如何?

  (學生回答:若沒有 這一條件,則 ,從而 大于或等于 )

  為了使大家進一步掌握求差比較法,我們來進行下面的練習.

  三、課堂練習

  1.比較 的大小.

  2.如果 ,比較 的大小.

  3.已知,比較 與 的大小.

  要求:學生板演練習,老師講評,并強調學生注意加限制條件的題目.

  課堂小結

  通過本節(jié)學習,大家要明確實數(shù)運算的符號法則, 掌握求差比較法來比較兩實數(shù)或代數(shù)式的大小.

  課后作業(yè) 

  習題6.1  1,2,3.

  板書設計 

  §6.1.1  不等式的性質

  1.求差比較法   例1   學生

  …… 

  例2    板演

  …… 

9.1.2 不等式的性質(通用12篇) 相關內容:
  • 不等式的性質1

    教學目標 1.理解不等式的性質,把握不等式各個性質的條件和結論之間的邏輯關系,并把握它們的證實方法以及功能、運用; 2.把握兩個實數(shù)比較大小的一般方法; 3.通過不等式性質證實的學習,提高學生邏輯推論的能力; 4.提高本節(jié)內容的學習,;培養(yǎng)...

  • 不等式的性質

    課 題:不等式的性質(1)教學目的:1 了解不等式的實際應用及不等式的重要地位和作用;2 掌握實數(shù)的運算性質與大小順序之間的關系,學會比較兩個代數(shù)式的大小.教學重點:比較兩實數(shù)大小. 教學難點:差值比較法:作差→變形→判斷差值的符...

  • 不等式的性質3

    探究活動 能得到什么結論 題目 已知 且 ,你能夠推出什么結論? 分析與解:由條件推出結論,我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴大,對已知變量作運算,運用不等式的性質,或者跳出不等式去考慮一般的數(shù)學表達式。...

  • 不等式的性質(2)

    課 題:不等式的性質(2)教學目的:1 理解同向不等式,異向不等式概念;2 理解不等式的性質定理1—3及其證明;3 理解證明不等式的邏輯推理方法.4 通過對不等式性質定理的掌握,培養(yǎng)學生靈活應變的解題能力和思考問題嚴謹周密的習慣 教學...

  • 9.1.2 不等式的性質(3)

    9.1.2 不等式的性質(3)教學目標1、使學生熟練掌握一元一次不等式的解法,初步認識一元一次不等式的應用價值;2、對比一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法,讓學生感知不等式和方程的不同作用與內在聯(lián)系,體會其中滲透的類比思想;...

  • 不等式的性質2

    第二課時教學目標 1.理解同向不等式,異向不等式概念; 2.掌握并會證明定理1,2,3; 3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據(jù),定理3是移項法則的依據(jù); 4.初步理解證明不等式的邏輯推理方法.教學重點:定理1,2,3的證明的證明思路...

  • 不等式的性質1

    教學目標 1.理解不等式的性質,掌握不等式各個性質的條件和結論之間的邏輯關系,并掌握它們的證明方法以及功能、運用; 2.掌握兩個實數(shù)比較大小的一般方法; 3.通過不等式性質證明的學習,提高學生邏輯推論的能力; 4.提高本節(jié)內容的學習...

  • 不等式的性質1

    教學目標 1.理解不等式的性質,掌握不等式各個性質的條件和結論之間的邏輯關系,并掌握它們的證明方法以及功能、運用; 2.掌握兩個實數(shù)比較大小的一般方法; 3.通過不等式性質證明的學習,提高學生邏輯推論的能力; 4.提高本節(jié)內容的學習...

  • 不等式的性質2

    第二課時教學目標 1.理解同向不等式,異向不等式概念; 2.掌握并會證明定理1,2,3; 3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據(jù),定理3是移項法則的依據(jù); 4.初步理解證明不等式的邏輯推理方法.教學重點:定理1,2,3的證明的證明思路...

  • 不等式的性質(三)

    探究活動能得到什么結論題目 已知 且 ,你能夠推出什么結論? 分析與解:由條件推出結論,我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴大,對已知變量作運算,運用不等式的性質,或者跳出不等式去考慮一般的數(shù)學表達式。...

  • 不等式的性質(二)

    第二課時教學目標 1.理解同向不等式,異向不等式概念; 2.掌握并會證明定理1,2,3; 3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據(jù),定理3是移項法則的依據(jù); 4.初步理解證明不等式的邏輯推理方法.教學重點:定理1,2,3的證明的證明思路...

  • 不等式的性質(一)

    教學目標 1.理解不等式的性質,掌握不等式各個性質的條件和結論之間的邏輯關系,并掌握它們的證明方法以及功能、運用; 2.掌握兩個實數(shù)比較大小的一般方法; 3.通過不等式性質證明的學習,提高學生邏輯推論的能力; 4.提高本節(jié)內容的學習...

  • 不等式的性質(三)

    探究活動能得到什么結論題目 已知 且 ,你能夠推出什么結論? 分析與解:由條件推出結論,我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴大,對已知變量作運算,運用不等式的性質,或者跳出不等式去考慮一般的數(shù)學表達式。...

  • 不等式的性質(二)

    第二課時教學目標 1.理解同向不等式,異向不等式概念; 2.掌握并會證明定理1,2,3; 3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據(jù),定理3是移項法則的依據(jù); 4.初步理解證明不等式的邏輯推理方法.教學重點:定理1,2,3的證明的證明思路...

  • 不等式的性質(一)

    教學目標 1.理解不等式的性質,掌握不等式各個性質的條件和結論之間的邏輯關系,并掌握它們的證明方法以及功能、運用; 2.掌握兩個實數(shù)比較大小的一般方法; 3.通過不等式性質證明的學習,提高學生邏輯推論的能力; 4.提高本節(jié)內容的學習...

  • 七年級數(shù)學教案
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