不等式的性質(zhì)2
第二課時
教學(xué)目標(biāo)
1.理解同向不等式，異向不等式概念；
2.掌握并會證明定理1，2，3；
3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據(jù)，定理3是移項法則的依據(jù)；
4.初步理解證明不等式的邏輯推理方法.
教學(xué)重點：定理1，2，3的證明的證明思路和推導(dǎo)過程
教學(xué)難點 ：理解證明不等式的邏輯推理方法
教學(xué)方法：引導(dǎo)式
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí)回顧
上一節(jié)課,我們一起學(xué)習(xí)了比較兩實數(shù)大小的方法,主要根據(jù)的是實數(shù)運(yùn)算的符號法則,而這也是推證不等式性質(zhì)的主要依據(jù),因此，我們來作一下回顧：
這一節(jié)課，我們將利用比較實數(shù)的方法， 來推證不等式的性質(zhì).
二、講授新課
在證明不等式的性質(zhì)之前,我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念.
1.同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式，例如： 是同向不等式.
異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式.例如： 是異向不等式.
2.不等式的性質(zhì)：
定理1：若 ，則
定理1說明，把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向.在證明時，既要證明充分性，也要證明必要性.
證明：∵ ，
∴
由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，得
說明：定理1的后半部分可引導(dǎo)學(xué)生仿照前半部分推證，注意向?qū)W生強(qiáng)調(diào)實數(shù)運(yùn)算的符號法則的應(yīng)用.
定理2：若 ，且 ，則 .
證明：∵
∴
根據(jù)兩個正數(shù)的和仍是正數(shù)，得
∴ 說明：此定理證明的主要依據(jù)是實數(shù)運(yùn)算的符號法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù).
定理3：若 ，則
定理3說明，不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向.
證明：∵
∴
說明：（1）定理3的證明相當(dāng)于比較 與 的大小，采用的是求差比較法；
（2）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊，理由是：根據(jù)定理3可得出：若 ，則 即 .
定理3推論：若 .
證明:∵ ,
∴ ①
∵
∴ ②
由①、②得
說明：（1）推論的證明連續(xù)兩次運(yùn)用定理3然后由定理2證出；
（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；
（3）兩個同向不等式的兩邊分別相減時，就不能作出一般的結(jié)論；
（4）定理3的逆命題也成立.（可讓學(xué)生自證）
三、課堂練習(xí)
1.證明定理1后半部分；
2.證明定理3的逆定理.
說明：本節(jié)主要目的是掌握定理1，2，3的證明思路與推證過程，練習(xí)穿插在定理的證明過程中進(jìn)行.
課堂小結(jié)
通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家熟悉定理1，2，3的證明思路，并掌握其推導(dǎo)過程，初步理解證明不等式的邏輯推理方法.
課后作業(yè)
1.求證：若
2.證明：若
板書設(shè)計
§6.1.2 不等式的性質(zhì)
1.同向不等式 3.定理2 4.定理3 5.定理3
異向不等式 證明 證明 推論
2.定理1 證明 說明 說明 證明
第三課時
教學(xué)目標(biāo)
1.熟練掌握定理1，2，3的應(yīng)用；
2.掌握并會證明定理4及其推論1，2；
3.掌握反證法證明定理5.
教學(xué)重點：定理4，5的證明.
教學(xué)難點 ：定理4的應(yīng)用.
教學(xué)方法：引導(dǎo)式
教學(xué)過程 ：
一、復(fù)習(xí)回顧
上一節(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了不等式的三個性質(zhì)，即定理1，2，3，并初步認(rèn)識了證明不等式的邏輯推理方法，首先，讓我們來回顧一下三個定理的基本內(nèi)容.
（學(xué)生回答）
好，我們這一節(jié)課將繼續(xù)推論定理4、5及其推論，并進(jìn)一步熟悉不等式性質(zhì)的應(yīng)用.
二、講授新課
定理4：若
若
證明：
根據(jù)同號相乘得正，異號相乘得負(fù)，得
當(dāng)
說明：（1）證明過程中的關(guān)鍵步驟是根據(jù)“同號相乘得正，異號相乘得負(fù)”來完成的；
（2）定理4證明在一個不等式兩端乘以同一個正數(shù)，不等號方向不變；乘以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變.
推論1：若
證明：
①
又
∴ ②
由①、②可得 .
說明：（1）上述證明是兩次運(yùn)用定理4，再用定理2證出的；
（2）所有的字母都表示正數(shù)，如果僅有 ，就推不出 的結(jié)論.
（3）這一推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘.這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向.
推論2：若
說明：（1）推論2是推論1的特殊情形；
（2）應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意n∈N 的條件.
定理5：若
我們用反證法來證明定理5，因為反面有兩種情形，即 ，所以不能僅僅否定了 ，就“歸謬”了事，而必須進(jìn)行“窮舉”.
說明：假定 不大于 ，這有兩種情況：或者 ，或者 .
由推論2和定理1，當(dāng) 時，有 ；
當(dāng) 時，顯然有
這些都同已知條件 矛盾
所以 .
接下來，我們通過具體的例題來熟悉不等式性質(zhì)的應(yīng)用.
例2 已知
證明：由
例3 已知
證明：∵
兩邊同乘以正數(shù)
說明：通過例3，例4的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步接觸不等式的證明，為以后學(xué)習(xí)不等式的證明打下基礎(chǔ).在應(yīng)用定理4時，應(yīng)注意題目條件，即在一個等式兩端乘以同一個數(shù)時，其正負(fù)將影響結(jié)論.接下來，我們通過練習(xí)來進(jìn)一步熟悉不等式性質(zhì)的應(yīng)用.
三、課堂練習(xí)
課本P7練習(xí)1，2，3.
課堂小結(jié)
通過本節(jié)學(xué)習(xí)，大家要掌握不等式性質(zhì)的應(yīng)用及反證法證明思路，為以后不等式的證明打下一定的基礎(chǔ).
課后作業(yè)
課本習(xí)題6.1 4，5.
板書設(shè)計
§6.1.3 不等式的性質(zhì)
定理4 推論1 定理5 例3 學(xué)生
內(nèi)容 內(nèi)容
證明 推論2 證明 例4 練習(xí)
探究活動
能得到什么結(jié)論
題目 已知 且 ，你能夠推出什么結(jié)論？
分析與解：由條件推出結(jié)論，我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴(kuò)大，對已知變量作運(yùn)算，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，或者跳出不等式去考慮一般的數(shù)學(xué)表達(dá)式。
思路一：改變 的范圍，可得：
1. 且 ；
2. 且 ；
思路二：由已知變量作運(yùn)算，可得：
3. 且 ；
4. 且 ；
5. 且 ；
6. 且 ；
7. 且 ；
思路三：考慮含有 的數(shù)學(xué)表達(dá)式具有的性質(zhì)，可得：
8. （其中 為實常數(shù)）是三次方程；
9. （其中 為常數(shù)）的圖象不可能表示直線。
說明 從已知信息能夠推出什么結(jié)論？這是我們經(jīng)常需要思考的問題，這里給出的都是必要非充分條件，讀者可以考慮是否能夠?qū)懗龀湟獥l件；另外，運(yùn)用推出關(guān)系的傳遞性，在推出結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)一步進(jìn)行推理，還可得出很多結(jié)果，請讀者考慮.
探究關(guān)系式是否成立的問題
題目 當(dāng) 成立時，關(guān)系式 是否成立？若成立，加以證明；若不成立，說明理由。
解：因為 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 或
所以 或
所以 或
所以 不可能成立。
說明：像本例這樣的探索題，題目的結(jié)論是“兩可”（即兩種可能性）情形，而我們知道，說明結(jié)論不成立可像例1那樣舉一個反例就可以了。不過像本例的執(zhí)果索因的分析，不僅說明結(jié)論不成立，而且得出 ， 必須同時大于1或同時小于1的結(jié)論。
探討增加什么條件使命題成立
例 適當(dāng)增加條件，使下列命題各命題成立：
（1）若 ，則 ；
（2）若 ，則 ；
（3）若 ， ，則 ；
（4）若 ，則
思路分析：本例為條件型開放題，需要依據(jù)不等式的性質(zhì)，尋找使結(jié)論成立時所缺少的一個條件。
解：（1）
（2） 。當(dāng) 時，
當(dāng) 時，
（3）
（4）
引申發(fā)散 對命題（3），能否增加條件 ，或 ， ，使其成立？請闡述你的理由。