點到直線的距離教案2

教學目標:
1.讓學生理解點到直線距離公式的推導和掌握點到直線距離公式及其應用,會用點到直線距離求兩平行線間的距離.
2.培養學生觀察、思考、分析、歸納等數學能力,數形結合、化歸(或轉化)、特殊到一般的數學思想方法以及數學應用意識.
3.讓學生了解和感受探索問題的方法,以及用聯系的觀點看問題.在探索問題的過程中體驗成功的喜悅.
教學重點:點到直線距離公式及其應用.
教學難點:點到直線距離公式的推導.
教學方法:啟發式講解法、討論法.
教學工具:電腦多媒體.
教學過程:
一、提出問題
多媒體顯示實際的例子:
某電信局計劃年底解決本地區最后一個小區的電話通信問題.經過測量,若按照部門內部設計好的坐標圖(即以電信局為原點),得知這個小區的坐標為p(-1,5),離它最近的只有一條線路通過,其方程為2x y 10=0.要完成這項任務,至少需要多長的電纜線?
這個實際問題要解決,要轉化成什么樣的
數學問題?學生得出就是求點到直線的距離.教師提出這堂課我們就來學習點到直線的距離,并板書寫課題:點到直線的距離.
二、解決問題
多媒體顯示:已知點p(x0,y0),直線 :ax by c=0,求點p到直線 的距離.
怎樣求點到直線距離呢?學生應該很快能回答出,做垂線找垂足q,求線段pq的長度.怎樣用點的坐標和直線方程求和表示點到直線距離呢?
教師提示在解決問題時先可以考慮特殊情況,再考慮一般情況.學生提出平行于x軸和y軸的特殊情況.顯示圖形:
板書:
如何求 ?
學生思考回答下列想法:
思路一:過 作 于 點,根據點斜式寫出直線 方程,由 與 聯立方程組解得 點坐標,然后利用兩點距離公式求得.
教師評價:此方法思路自然,但是運算繁瑣.并多媒體展示求解過程.
解:直線 : ,即
由 ,
說明:本過程只展示,不在課堂推導.
教師提問:能否用其它方法,不求點q的坐標,求線段pq的長度?
學生思考:放在三角形---特殊三角形---直角三角形中.
教師提問:如何構造三角形?第三個頂點選在什么位置?
學生思考:可能在直線 與x軸的交點m或與y軸交點n,或過p點做x,y軸的平行線與直線 的交點r、s.
教師根據學生提出的點的位置作分析,求解過程的繁與簡,最后決定方法.下列是學生可能提到的情況:
思路二:在直角△pqm,或直角△pqn中,求邊長與角(角與直線到直線角有關),用余弦值.
思路三:在直角△pqr,或直角△pqs中,求邊長與角(角與直線傾斜角有關,但分情況),用余弦值.
思路四:在直角△prs中,求線段pr、ps、rs,利用等面積法(不涉及角和分情況),求得線段pq長.
學生練習求解思路四.教師巡視,根據學生情況演示過程.
解:設 , , ,
, ; ,
由 ,
而
說明:如果學生沒有想到思路二、三,教師提示做課后思考作業題目.
教師提問:①上式是由條件下 得出,對 成立嗎?
②點p在直線 上成立嗎?
③公式結構特點是什么?用公式時直線方程是什么形式?
由此推導出點p(x0,y0)到直線 :ax by c=0距離公式:
教師繼續引導學生思考,不構造三角形可以求嗎?(在前面學習的向量知識中,有向量的模.由于在證明兩直線垂直時已經用到向量知識,且也提出過直線的法向量的概念.)能否用向量知識求解呢?