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點到直線的距離

點到直線的距離

教學目標:

  (1)讓學生理解點到直線距離公式的推導,掌握點到直線距離公式及其應用,會用點到直線距離求兩平行線間的距離;

  (2)培養學生觀察、思考、分析、歸納等數學能力,數形結合、轉化(或化歸)、等數學思想、特殊與一般的方法以及數學應用意識與能力;

  (3)引導學生用聯系與轉化的觀點看問題,了解和感受探索問題的方式方法,在探索問題的過程中獲得成功的體驗.

  教學重點:點到直線距離公式及其應用.

  教學難點:發現點到直線距離公式的推導方法.

  教學方法:問題解決法、討論法.

  教學工具:計算機多媒體、實物投影儀.

  教學過程:

  一、創設情景提出問題

  多媒體顯示實際的例子:

某電信局計劃年底解決本地區最后一個小區p的電話通信問題.離它最近的只有一條線路通過,要完成這項任務,至少需要多長的電纜?

經過測量,若按照部門內部設計好的坐標圖(即以電信局為原點),得知這個小區的坐標為p(-1,5),離它最近線路其方程為2x+y+10=0.

                

  這個實際問題要解決,要轉化成什么樣的數學問題?學生得出就是求點到直線的距離.教師提出這堂課我們就來學習點到直線的距離,并板書寫課題:點到直線的距離.

  二、自主探索推導公式

多媒體顯示:已知點p(x0,y0),直線:ax+by+c=0,求點p到直線的距離.怎樣求點到直線距離呢?學生思考,做垂線找垂足q,求線段pq的長度.怎樣用點的坐標和直線方程求和表示點到直線距離呢?

教師提示在解決問題時先可以考慮特殊情況,再考慮一般情況.學生提出平行于x軸和y軸的特殊情況.學生解決.

        

板書:

如何求?

學生思考回答下列想法:

思路一:過作于點,根據點斜式寫出直線方程,由與聯立方程組解得點坐標,然后利用兩點距離公式求得.

        

教師評價:此方法思路自然.

  教師繼續提出問題:

  (1)求線段長度可以構造圖形嗎? (2)什么圖形?如何構造?

  (3)第三個頂點在什么位置?    (4)特殊情況與一般情況有聯系嗎?

  學生探討得到:構造三角形,把線段放在直角三角形中.第三個頂點在什么位置?可能在直線與x軸的交點m或與y軸交點n,或過p點做x,y軸的平行線與直線的交點r、s.

               

教師根據學生提出的方案,收集思路.

思路二:在直角△pqm,或直角△pqn中,求邊長與角(角與直線到直線角有關),用余弦值.

思路三:在直角△pqr,或直角△pqs中,求邊長與角(角與直線傾斜角有關,但分情況),用余弦值.

思路四:在直角△prs中,求線段pr、ps、rs,利用等面積法(不涉及角和分情況),求得線段pq長.

  學生分組練習,教師巡視,根據學生情況演示探索過程.

  (思路一)解:直線:,即

    由,

   
       

      

     

(思路四)解:設,,,

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