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多項(xiàng)式的乘法

多項(xiàng)式的乘法

教學(xué)建議

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是利用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab熟練地計(jì)算.難點(diǎn)是理解并掌握公式.本節(jié)內(nèi)容是進(jìn)一步學(xué)習(xí)乘法公式及后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ).

1.多項(xiàng)式乘法法則,是多次運(yùn)用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則得到的.計(jì)算 時(shí),先把 看成一個(gè)單項(xiàng)式, 是一個(gè)多項(xiàng)式,運(yùn)用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則,得到

然后再次運(yùn)用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則,得到:

2.含有一個(gè)相同字母的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘,得到的積是同一字母的二次三項(xiàng)式,它的二次項(xiàng)由兩個(gè)因式中的一次項(xiàng)相乘得到;積的一次項(xiàng)是由兩個(gè)因式中的常數(shù)基分別乘以兩個(gè)因式中的一次項(xiàng)后,合并同類項(xiàng)得到;積的常數(shù)項(xiàng)等于兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的積.如果因式中一次項(xiàng)的系數(shù)都是1,那么積的二次項(xiàng)系數(shù)也是1,積的一次項(xiàng)系數(shù)等于兩個(gè)因式中的常數(shù)項(xiàng)的和,這就是說,如果用 、 分別表示一個(gè)含有系數(shù)是1的相同字母的兩個(gè)一次二項(xiàng)式中的常數(shù)項(xiàng),則有

3.在進(jìn)行兩個(gè)多項(xiàng)式相乘、直接寫出結(jié)果時(shí),注意不要“漏項(xiàng)”.檢查的辦法是:兩個(gè)多項(xiàng)式相乘,在沒有合并同類項(xiàng)之前,積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)是這兩個(gè)多基同甘共苦的積.如 積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)是 ,即六項(xiàng):

當(dāng)然,如有同類項(xiàng)則應(yīng)合并,得出最簡結(jié)果.

4.運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則時(shí),必須做到不重不漏,為此,相乘時(shí),要按一定的順序進(jìn)行.例如, ,可先用第一個(gè)多項(xiàng)式中的第一項(xiàng)“ ”分別與第二個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘,再用第一個(gè)多項(xiàng)式中的第二項(xiàng)“ ”分別與第二個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘,然后把所得的積相加,即 .

5.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)之前,積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.

6.注意確定積中每一項(xiàng)的符號(hào),多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都包含它前面的符號(hào),“同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù)”.

三、教法建議

教學(xué)時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):

(1)要防止兩個(gè)多項(xiàng)式相乘,直接寫出結(jié)果時(shí)“漏項(xiàng)”.檢查的辦法是:兩個(gè)多項(xiàng)式相乘,在沒有合并同類項(xiàng)之前,積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)是這兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積.如 ,

積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)是 ,即四項(xiàng) 當(dāng)然,如有同類項(xiàng),則應(yīng)合并同類項(xiàng),得出最簡結(jié)果.

(2)要不失時(shí)機(jī)地指出:多項(xiàng)式是單項(xiàng)式的和,每一項(xiàng)都包括前面的符號(hào),在計(jì)算時(shí)一定要注意確定積中各項(xiàng)的符號(hào).

(3)例2的第(1)小題是乘法的平方差公式,例2的第(2)小題是兩數(shù)和的完全平方公式.實(shí)際上任何乘法公式都是直接用多項(xiàng)式乘法計(jì)算出來的.然后,我們把這種特殊形式的乘法連同它的結(jié)果作為公式.這里只是為后面學(xué)習(xí)乘法公式作準(zhǔn)備,不必提它們是乘法公式,分散學(xué)生的注意力.當(dāng)然,在講解這個(gè)1題時(shí),要講清它們?cè)诤喜⑼愴?xiàng)前的項(xiàng)數(shù).

(4)例3是另一種形式的,要講清楚兩個(gè)因式的特點(diǎn),積與兩個(gè)因式的關(guān)系.總之,要講清楚這種特殊形式的兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的規(guī)律,使學(xué)生在計(jì)算這種類型的題目時(shí),能夠迅速地求得結(jié)果.如對(duì)于練習(xí)第1題中的

等等,能夠直接寫出結(jié)果.

 

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

一、教學(xué)目標(biāo) 

1.理解和掌握單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則及其推導(dǎo)過程.

2.熟練運(yùn)用法則進(jìn)行單項(xiàng)式與計(jì)算.

3.通過用文字概括法則,提高學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力.

4.通過反饋練習(xí),培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

5.滲透公式恒等變形的和諧美、簡潔美.

二、學(xué)法引導(dǎo)

1.教學(xué)方法:討論法、講練結(jié)合法.

2.學(xué)生學(xué)法:本節(jié)主要學(xué)習(xí)了法則和一個(gè)特殊的二項(xiàng)式乘法公式,在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意分析和比較這一法則和公式的關(guān)系,事實(shí)上它們是一般與特殊的關(guān)系.當(dāng)遇到多項(xiàng)式乘法時(shí),首先要看它是不是 的形式,若是則可以用公式直接寫出結(jié)果,若不是再應(yīng)用法則計(jì)算.

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法

(一)重點(diǎn)

多項(xiàng)式乘法法則.

(二)難點(diǎn)

利用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則推導(dǎo)本節(jié)法則.

(三)解決辦法

在用面積法推導(dǎo)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則過程中,應(yīng)讓學(xué)生充分理解多項(xiàng)式乘法法則的幾何意義,這樣既便于學(xué)生理解記憶公式,又能讓學(xué)生在解題過程中準(zhǔn)確地使用.

四、課時(shí)安排

一課時(shí).

五、教具學(xué)具準(zhǔn)備

投影儀或電腦、自制膠片、長方形演示紙板.

六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.設(shè)計(jì)一組練習(xí),以檢查學(xué)生單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的掌握情況.

2.嘗試從多角度理解多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法:

(1)把 看成一單項(xiàng)式時(shí),

.

(2)把 看成一單項(xiàng)式時(shí),

.

(3)利用面積法 

3.在理解上述過程的基礎(chǔ)之上,引導(dǎo)學(xué)生歸納并指出多項(xiàng)式乘法的規(guī)律.

4.通過舉例,教師的示范,學(xué)生的嘗試練習(xí),不斷鞏固新學(xué)的知識(shí).對(duì)于遇到的特殊二項(xiàng)式相乘可利用特殊的公式加以解決,并注意一般與特殊的關(guān)系.

七、教學(xué)步驟 

(一)明確目標(biāo)

本節(jié)課將學(xué)習(xí)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法則及其特殊形式的公式的應(yīng)用.

(二)整體感知

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的相乘關(guān)鍵在于展開式中的四項(xiàng)是如何得到的,這里教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察、品味法則的規(guī)律性,實(shí)質(zhì)就在于讓一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)遍乘既不能漏又不能重復(fù).對(duì)特殊的多項(xiàng)式相乘可運(yùn)用特殊的辦法去處理

(三)教學(xué)過程 

1.創(chuàng)設(shè)情境,復(fù)習(xí)導(dǎo)入  

(1)回憶單項(xiàng)式與法則.

(2)計(jì)算:

① ②

③ ④

學(xué)生活動(dòng):學(xué)生在練習(xí)本上完成,然后回答結(jié)果.

【教法說明】多項(xiàng)式乘法是以單項(xiàng)式乘法和單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘為基礎(chǔ)的,通過復(fù)習(xí)引起學(xué)生回憶,為本節(jié)學(xué)習(xí)提供鋪墊和思想基礎(chǔ).

2.探索新知,講授新課

今天,我們?cè)谝郧皩W(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí).

就是形如 的計(jì)算.

這里 都表示單項(xiàng)式,因此 表示多項(xiàng)式相乘,那么如何對(duì) 進(jìn)行計(jì)算呢?若把 看成一個(gè)單項(xiàng)式,能否利用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則計(jì)算呢?請(qǐng)同桌同學(xué)互相討論,并試著進(jìn)行計(jì)算.

學(xué)生活動(dòng):同桌討論,并試著計(jì)算(教師適當(dāng)引導(dǎo)),學(xué)生回答結(jié)論.

【教法說明】多項(xiàng)式乘法法則,是兩次運(yùn)用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則得到的.這里的關(guān)鍵在于讓學(xué)生理解,將 看成一個(gè)單項(xiàng)式,然后運(yùn)用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則進(jìn)行計(jì)算,讓學(xué)生討論并試著計(jì)算,目的是培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,鼓勵(lì)學(xué)生積極探索知識(shí)、善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律、主動(dòng)參與學(xué)習(xí).

3.總結(jié)規(guī)律,揭示法則

對(duì)于 的計(jì)算過程可以表示為:

教師引導(dǎo)學(xué)生用文字表述多項(xiàng)式乘法法則:

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,先用一個(gè)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加.

如計(jì)算 : 看成公式中的 ;-1看成公式中的 ; 看成公式中的 ;3看成公式中的 .運(yùn)用法則 中的每一項(xiàng)分別去乘 中的每一項(xiàng),計(jì)算可得: .

學(xué)生活動(dòng):在教師引導(dǎo)下細(xì)心觀察、品味法則.

【教法說明】借助算式圖,指出 的得出過程,實(shí)質(zhì)就是用一個(gè)多項(xiàng)式的“每一項(xiàng)”乘另一個(gè)多項(xiàng)式的“每一項(xiàng)”,再把所得積相加的過程.可以達(dá)到兩個(gè)目的:一是直觀揭示法則,有利于學(xué)生理解;二是防止學(xué)生出現(xiàn)運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算時(shí)“漏項(xiàng)”的錯(cuò)誤,強(qiáng)調(diào)法則,加深理解,同時(shí)明確多項(xiàng)式是單項(xiàng)式的和,每一項(xiàng)都包括前面的符號(hào).

這個(gè)法則還可利用一個(gè)圖形明顯地表示出來.

(1)這個(gè)長方形的面積用代數(shù)式表示為_____________.

(2)Ⅰ的面積為________;Ⅱ的面積為________;Ⅲ的面積為________;Ⅳ的面積為_______.

結(jié)論:即 .

學(xué)生活動(dòng):隨著教師的演示,邊思考,邊回答問題.

【教法說明】利用圖形的直觀性,使學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握這一法則,滲透數(shù)形結(jié)合的思想,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析圖形的能力.

4.運(yùn)用知識(shí),嘗試解題

例1  計(jì)算:

(1) (2)

(3)

解:(1)原式

(2)原式

(3)原式

【教法說明】例1的目的是熟悉、理解法則.完成例1時(shí),要求學(xué)生緊扣法則,按法則的文字?jǐn)l(fā)“一步步”解題,注意最后要合并同類項(xiàng).讓學(xué)生參與例題的解答,旨在強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí),使其主動(dòng)思考.

例2  計(jì)算:

(1) (2)

學(xué)生活動(dòng):在教師引導(dǎo)下,說出解題過程.

解:(1)原式

(2)原式

【教法說明】例2的兩個(gè)小題是后面要講到的乘法公式,但目前仍按多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算,無需說明它們是乘法公式,此題的目的在于為后面的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.

5.強(qiáng)化訓(xùn)練,鞏固知識(shí)

(1)計(jì)算:

① ②

③ ④

⑤ ⑥

(2)計(jì)算:

① ②

③ ④

⑤ ⑥

⑦ ⑧

學(xué)生活動(dòng):學(xué)生在練習(xí)本上完成.

【教法說明】本組練習(xí)的目的是:①使學(xué)生進(jìn)一步理解法則,熟練運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算.②訓(xùn)練學(xué)生計(jì)算的準(zhǔn)確性,培養(yǎng)計(jì)算能力.③對(duì)乘法公式先有一個(gè)模糊印象,為以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

(四)總結(jié)、擴(kuò)展

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法法則,請(qǐng)同學(xué)們回答問題:

1.敘述多項(xiàng)式乘法法則.

2.談?wù)勥@節(jié)課你的學(xué)習(xí)體會(huì).

學(xué)生活動(dòng):學(xué)生分別回答上述問題.

【教法說明】通過讓學(xué)生自己談學(xué)習(xí)體會(huì),既可以達(dá)到總結(jié)歸納本節(jié)知識(shí)的目的,形成完整印象,又可以提高學(xué)生的總結(jié)概括能力.

八、布置作業(yè) 

P120  A組 1.(1)(3)(5)(7),2.(2)(3),3.(1)(3)(8).

參考答案

1.(1)原式

(3)原式

(5)原式

(7)原式

2.(2)原式

(3)原式

3.(1)原式

(3)原式

(8)原式

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    教學(xué)建議 一、知識(shí)結(jié)構(gòu) 二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析 本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是掌握單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則.難點(diǎn)是正確、迅速地進(jìn)行單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算.本節(jié)知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘法,以及乘法公式等后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)。...

  • 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

    教學(xué)建議 一、知識(shí)結(jié)構(gòu) 二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析 本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是掌握的法則.難點(diǎn)是正確、迅速地進(jìn)行的計(jì)算.本節(jié)知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘法,以及乘法公式等后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)。...

  • 七年級(jí)數(shù)學(xué)教案
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