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對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用 教案 —— 初中數(shù)學(xué)第一冊(cè)教案

對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用 教案 —— 初中數(shù)學(xué)第一冊(cè)教案


對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用 教案
 
教學(xué)目標(biāo) :①掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

②應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以解決:對(duì)數(shù)的大小比較,求復(fù)

合函數(shù)的定義域、值 域及單調(diào)性。

③ 注重函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等思想的滲透,提高

解題能力。

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用。

教學(xué)過(guò)程 設(shè)計(jì):

⒈復(fù)習(xí)提問(wèn):對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及性質(zhì)。

⒉開(kāi)始正課

1 比較數(shù)的大小

例 1 比較下列各組數(shù)的大小。

⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)

⑵log0.50.6 ,logЛ0.5 ,lnЛ

師:請(qǐng)同學(xué)們觀察一下⑴中這兩個(gè)對(duì)數(shù)有何特征?

生:這兩個(gè)對(duì)數(shù)底相等。

師:那么對(duì)于兩個(gè)底相等的對(duì)數(shù)如何比大。

生:可構(gòu)造一個(gè)以a為底的對(duì)數(shù)函數(shù),用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比大小。

師:對(duì),請(qǐng)敘述一下這道題的解題過(guò)程。

生:對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底的大小:當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=logax單

調(diào)遞減,所以loga5.1>loga5.9 ;當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax單調(diào)遞

增,所以loga5.1<loga5.9。

板書(shū):

解:Ⅰ)當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是減函數(shù),

∵5.1<5.9 ∴l(xiāng)oga5.1>loga5.9

Ⅱ)當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是增函數(shù),

∵5.1<5.9 ∴l(xiāng)oga5.1<loga5.9

師:請(qǐng)同學(xué)們觀察一下⑵中這三個(gè)對(duì)數(shù)有何特征?

生:這三個(gè)對(duì)數(shù)底、真數(shù)都不相等。

師:那么對(duì)于這三個(gè)對(duì)數(shù)如何比大小?

生:找“中間量”, log0.50.6>0,lnЛ>0,logЛ0.5<0;lnЛ>1,

log0.50.6<1,所以logЛ0.5< log0.50.6< lnЛ。

板書(shū):略。

師:比較對(duì)數(shù)值的大小常用方法:①構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù),直接利用對(duì)數(shù)函

數(shù) 的單調(diào)性比大小,②借用“中間量”間接比大小,③利用對(duì)數(shù)

函數(shù)圖象的位置關(guān)系來(lái)比大小。

2 函數(shù)的定義域, 值 域及單調(diào)性。

例 2 ⑴求函數(shù)y=的定義域。

⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)

師:如何來(lái)求⑴中函數(shù)的定義域?(提示:求函數(shù)的定義域,就是要

使函數(shù)有意義。若函數(shù)中含有分母,分母不為零;有偶次根式,

被開(kāi)方式大于或等于零;若函數(shù)中有對(duì)數(shù)的形式,則真數(shù)大于

零,如果函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)以上幾種情況,就要全部考慮進(jìn)去,求

它們共同作用的結(jié)果。)

生:分母2x-1≠0且偶次根式的被開(kāi)方式log0.8x-1≥0,且真數(shù)x>0。

板書(shū):

解:∵ 2x-1≠0 x≠0.5

log0.8x-1≥0 , x≤0.8

x>0 x>0

∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕

師:接下來(lái)我們一起來(lái)解這個(gè)不等式。

分析:要解這個(gè)不等式,首先要使這個(gè)不等式有意義,即真數(shù)大于零,

再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解。

師:請(qǐng)你寫(xiě)一下這道題的解題過(guò)程。

生:<板書(shū)>

解: x2+2x-3>0 x<-3 或 x>1

(3x+3)>0 , x>-1

x2+2x-3<(3x+3) -2<x<3

不等式的解為:1<x<3

例 3 求下列函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間。

⑴y=log0.5(x- x2)

⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)

師:求例3中函數(shù)的的值域和單調(diào)區(qū)間要用及復(fù)合函數(shù)的思想方法。

下面請(qǐng)同學(xué)們來(lái)解⑴。

生:此函數(shù)可看作是由y=log0.5u, u=x- x2復(fù)合而成。

板書(shū):

解:⑴∵u=x- x2>0, ∴0<x<1

u=x- x2=-(x-0.5)2+0.25, ∴0<u≤0.25

∴y=log0.5u≥log0.50.25=2

∴y≥2

x x(0,0.5] x[0.5,1)

u=x- x2

 y=log0.5u

y=log0.5(x- x2)

函數(shù)y=log0.5(x- x2)的單調(diào)遞減區(qū)間(0,0.5],單調(diào)遞 增區(qū)間[0.5,1)

注:研究任何函數(shù)的性質(zhì)時(shí),都應(yīng)該首先保證這個(gè)函數(shù)有意義,否則

函數(shù)都不存在,性質(zhì)就無(wú)從談起。

師:在⑴的基礎(chǔ)上,我們一起來(lái)解⑵。請(qǐng)同學(xué)們觀察一下⑴與⑵有什

么區(qū)別?

生:⑴的底數(shù)是常值,⑵的底數(shù)是字母。

師:那么⑵如何來(lái)解?

生:只要對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論,做法與⑴類(lèi)似。

板書(shū):略。

⒊小結(jié)

這堂課主要講解如何應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決一些問(wèn)題,希望能

通過(guò)這堂課使同學(xué)們對(duì)等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等思想加以應(yīng)用,提高解題能力。

⒋作業(yè) 

⑴解不等式

①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1),(a為常數(shù))

⑵已知函數(shù)y=loga(x2-2x),(a>0,a≠1)

①求它的單調(diào)區(qū)間;②當(dāng)0<a<1時(shí),分別在各單調(diào)區(qū)間上求它的反函數(shù)。

⑶已知函數(shù)y=loga (a>0, b>0, 且 a≠1)

①求它的定義域;②討論它的奇偶性; ③討論它的單調(diào)性。

⑷已知函數(shù)y=loga(ax-1) (a>0,a≠1),

①求它的定義域;②當(dāng)x為何值時(shí),函數(shù)值大于1;③討論它的

單調(diào)性。

5.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

這節(jié)課是安排為習(xí)題課,主要利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決一些問(wèn)題,整個(gè)一堂課分兩個(gè)部分:一 .比較數(shù)的大小,想通過(guò)這一部分的練習(xí),

培養(yǎng)同學(xué)們構(gòu)造函數(shù)的思想和分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合的思想。二.函數(shù)的定義域, 值 域及單調(diào)性,想通過(guò)這一部分的練習(xí),能使同學(xué)們重視求函數(shù)的定義域。因?yàn)閷W(xué)生在求函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間時(shí),往往不考慮函數(shù)的定義域,并且這種錯(cuò)誤很頑固,不易糾正。因此,力求學(xué)生做到想法正確,步驟清晰。為了調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,突出學(xué)生是課堂的主體,便把例題分了層次,由易到難,力求做到每題都能由學(xué)生獨(dú)立完成。但是,每一道題的解題過(guò)程,老師都應(yīng)該給以板書(shū),這樣既讓學(xué)生有了獲取新知識(shí)的快樂(lè),又不必為了解題格式的不熟悉而煩惱。每一題講完后,由教師簡(jiǎn)明扼要地小結(jié),以使好學(xué)生掌握地更完善,較差的學(xué)生也能夠跟上。

對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用 教案
 
教學(xué)目標(biāo) :①掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

②應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以解決:對(duì)數(shù)的大小比較,求復(fù)

合函數(shù)的定義域、值 域及單調(diào)性。

③ 注重函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等思想的滲透,提高

解題能力。

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用。

教學(xué)過(guò)程 設(shè)計(jì):

⒈復(fù)習(xí)提問(wèn):對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及性質(zhì)。

⒉開(kāi)始正課

1 比較數(shù)的大小

例 1 比較下列各組數(shù)的大小。

⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)

⑵log0.50.6 ,logЛ0.5 ,lnЛ

師:請(qǐng)同學(xué)們觀察一下⑴中這兩個(gè)對(duì)數(shù)有何特征?

生:這兩個(gè)對(duì)數(shù)底相等。

師:那么對(duì)于兩個(gè)底相等的對(duì)數(shù)如何比大?

生:可構(gòu)造一個(gè)以a為底的對(duì)數(shù)函數(shù),用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比大小。

師:對(duì),請(qǐng)敘述一下這道題的解題過(guò)程。

生:對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底的大。寒(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=logax單

調(diào)遞減,所以loga5.1>loga5.9 ;當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax單調(diào)遞

增,所以loga5.1<loga5.9。

板書(shū):

解:Ⅰ)當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是減函數(shù),

∵5.1<5.9 ∴l(xiāng)oga5.1>loga5.9

Ⅱ)當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是增函數(shù),

∵5.1<5.9 ∴l(xiāng)oga5.1<loga5.9

師:請(qǐng)同學(xué)們觀察一下⑵中這三個(gè)對(duì)數(shù)有何特征?

生:這三個(gè)對(duì)數(shù)底、真數(shù)都不相等。

師:那么對(duì)于這三個(gè)對(duì)數(shù)如何比大?

生:找“中間量”, log0.50.6>0,lnЛ>0,logЛ0.5<0;lnЛ>1,

log0.50.6<1,所以logЛ0.5< log0.50.6< lnЛ。

板書(shū):略。

師:比較對(duì)數(shù)值的大小常用方法:①構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù),直接利用對(duì)數(shù)函

數(shù) 的單調(diào)性比大小,②借用“中間量”間接比大小,③利用對(duì)數(shù)

函數(shù)圖象的位置關(guān)系來(lái)比大小。

2 函數(shù)的定義域, 值 域及單調(diào)性。

例 2 ⑴求函數(shù)y=的定義域。

⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)

師:如何來(lái)求⑴中函數(shù)的定義域?(提示:求函數(shù)的定義域,就是要

使函數(shù)有意義。若函數(shù)中含有分母,分母不為零;有偶次根式,

被開(kāi)方式大于或等于零;若函數(shù)中有對(duì)數(shù)的形式,則真數(shù)大于

零,如果函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)以上幾種情況,就要全部考慮進(jìn)去,求

它們共同作用的結(jié)果。)

生:分母2x-1≠0且偶次根式的被開(kāi)方式log0.8x-1≥0,且真數(shù)x>0。

板書(shū):

解:∵ 2x-1≠0 x≠0.5

log0.8x-1≥0 , x≤0.8

x>0 x>0

∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕

師:接下來(lái)我們一起來(lái)解這個(gè)不等式。

分析:要解這個(gè)不等式,首先要使這個(gè)不等式有意義,即真數(shù)大于零,

再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解。

師:請(qǐng)你寫(xiě)一下這道題的解題過(guò)程。

生:<板書(shū)>

解: x2+2x-3>0 x<-3 或 x>1

(3x+3)>0 , x>-1

x2+2x-3<(3x+3) -2<x<3

不等式的解為:1<x<3

例 3 求下列函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間。

⑴y=log0.5(x- x2)

⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)

師:求例3中函數(shù)的的值域和單調(diào)區(qū)間要用及復(fù)合函數(shù)的思想方法。

下面請(qǐng)同學(xué)們來(lái)解⑴。

生:此函數(shù)可看作是由y=log0.5u, u=x- x2復(fù)合而成。

板書(shū):

解:⑴∵u=x- x2>0, ∴0<x<1

u=x- x2=-(x-0.5)2+0.25, ∴0<u≤0.25

∴y=log0.5u≥log0.50.25=2

∴y≥2

x x(0,0.5] x[0.5,1)

u=x- x2

 y=log0.5u

y=log0.5(x- x2)

函數(shù)y=log0.5(x- x2)的單調(diào)遞減區(qū)間(0,0.5],單調(diào)遞 增區(qū)間[0.5,1)

注:研究任何函數(shù)的性質(zhì)時(shí),都應(yīng)該首先保證這個(gè)函數(shù)有意義,否則

函數(shù)都不存在,性質(zhì)就無(wú)從談起。

師:在⑴的基礎(chǔ)上,我們一起來(lái)解⑵。請(qǐng)同學(xué)們觀察一下⑴與⑵有什

么區(qū)別?

生:⑴的底數(shù)是常值,⑵的底數(shù)是字母。

師:那么⑵如何來(lái)解?

生:只要對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論,做法與⑴類(lèi)似。

板書(shū):略。

⒊小結(jié)

這堂課主要講解如何應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決一些問(wèn)題,希望能

通過(guò)這堂課使同學(xué)們對(duì)等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等思想加以應(yīng)用,提高解題能力。

⒋作業(yè) 

⑴解不等式

①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1),(a為常數(shù))

⑵已知函數(shù)y=loga(x2-2x),(a>0,a≠1)

①求它的單調(diào)區(qū)間;②當(dāng)0<a<1時(shí),分別在各單調(diào)區(qū)間上求它的反函數(shù)。

⑶已知函數(shù)y=loga (a>0, b>0, 且 a≠1)

①求它的定義域;②討論它的奇偶性; ③討論它的單調(diào)性。

⑷已知函數(shù)y=loga(ax-1) (a>0,a≠1),

①求它的定義域;②當(dāng)x為何值時(shí),函數(shù)值大于1;③討論它的

單調(diào)性。

5.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

這節(jié)課是安排為習(xí)題課,主要利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決一些問(wèn)題,整個(gè)一堂課分兩個(gè)部分:一 .比較數(shù)的大小,想通過(guò)這一部分的練習(xí),

培養(yǎng)同學(xué)們構(gòu)造函數(shù)的思想和分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合的思想。二.函數(shù)的定義域, 值 域及單調(diào)性,想通過(guò)這一部分的練習(xí),能使同學(xué)們重視求函數(shù)的定義域。因?yàn)閷W(xué)生在求函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間時(shí),往往不考慮函數(shù)的定義域,并且這種錯(cuò)誤很頑固,不易糾正。因此,力求學(xué)生做到想法正確,步驟清晰。為了調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,突出學(xué)生是課堂的主體,便把例題分了層次,由易到難,力求做到每題都能由學(xué)生獨(dú)立完成。但是,每一道題的解題過(guò)程,老師都應(yīng)該給以板書(shū),這樣既讓學(xué)生有了獲取新知識(shí)的快樂(lè),又不必為了解題格式的不熟悉而煩惱。每一題講完后,由教師簡(jiǎn)明扼要地小結(jié),以使好學(xué)生掌握地更完善,較差的學(xué)生也能夠跟上。

對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用 教案 —— 初中數(shù)學(xué)第一冊(cè)教案 相關(guān)內(nèi)容:
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    教學(xué)目標(biāo):①掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。 ②應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以解決:對(duì)數(shù)的大小比較,求復(fù) 合函數(shù)的定義域、值 域及單調(diào)性。 ③ 注重函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等思想的滲透,提高 解題能力。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用。...

  • 一次函數(shù)的應(yīng)用(精選2篇)

    課題 一次函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容:知識(shí)與技能:鞏固所學(xué)的一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì).能夠用一次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.過(guò)程與方法:掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般方法.情感態(tài)度與價(jià)值觀:繼續(xù)滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)...

  • 初中數(shù)學(xué)《反比例函數(shù)的應(yīng)用》說(shuō)課稿范文(精選2篇)

    一.說(shuō)教材《反比例函數(shù)的應(yīng)用》是蘇科版八年級(jí)下冊(cè)第九章第三節(jié)的課題,是在前面學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)上的一節(jié)應(yīng)用課。這一節(jié)的內(nèi)容符合新課程理念,課程要面向生活世界和社會(huì)實(shí)踐。...

  • 初中數(shù)學(xué)《反比例函數(shù)的應(yīng)用》說(shuō)課稿范文

    一.說(shuō)教材《反比例函數(shù)的應(yīng)用》是蘇科版八年級(jí)下冊(cè)第九章第三節(jié)的課題,是在前面學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)上的一節(jié)應(yīng)用課。這一節(jié)的內(nèi)容符合新課程理念,課程要面向生活世界和社會(huì)實(shí)踐。...

  • 初中數(shù)學(xué)《反比例函數(shù)的應(yīng)用》說(shuō)課稿范文

    一.說(shuō)教材《反比例函數(shù)的應(yīng)用》是蘇科版八年級(jí)下冊(cè)第九章第三節(jié)的課題,是在前面學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)上的一節(jié)應(yīng)用課。這一節(jié)的內(nèi)容符合新課程理念,課程要面向生活世界和社會(huì)實(shí)踐。...

  • 一次函數(shù)的應(yīng)用

    課題 一次函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容:知識(shí)與技能:鞏固所學(xué)的一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì).能夠用一次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.過(guò)程與方法:掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般方法.情感態(tài)度與價(jià)值觀:繼續(xù)滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)...

  • 九年級(jí)上冊(cè)《二次函數(shù)的應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案

    第 49 課時(shí) 6.4二次函數(shù)的應(yīng)用(1)一、自主嘗試預(yù)習(xí)課本p25—26頁(yè),嘗試解決下列問(wèn)題:?jiǎn)栴}1:某種糧大戶(hù)去年種植優(yōu)質(zhì)水稻360畝,今年計(jì)劃多承租100—150畝稻田.預(yù)計(jì)原360畝稻田今年每畝可收益440元,新增稻田x今年每畝的收益為元.試問(wèn):...

  • 二次函數(shù)的應(yīng)用第二課時(shí) 教案

    2.4二次函數(shù)的應(yīng)用(2) 教學(xué)目標(biāo): 1、繼續(xù)經(jīng)歷利用二次函數(shù)解決實(shí)際最值問(wèn)題的過(guò)程。 2、會(huì)綜合運(yùn)用二次函數(shù)和其他數(shù)學(xué)知識(shí)解決如有關(guān)距離等函數(shù)最值問(wèn)題。 3、發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力,體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系和數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。...

  • 一次函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)反思

    本節(jié)課的設(shè)計(jì),力求體現(xiàn)新課程改革的理念,結(jié)合學(xué)生自主探究的時(shí)間,為學(xué)生營(yíng)造寬松、和諧的氛圍,讓學(xué)生學(xué)得更主動(dòng)、更輕松,力求在探索知識(shí)的過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新能力,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。...

  • 初中數(shù)學(xué)軸對(duì)稱(chēng)教案(精選3篇)

    教學(xué)目標(biāo):1、聯(lián)系生活中的具體物體,通過(guò)觀察和動(dòng)手操作,使學(xué)生初步體會(huì)生活中的對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象,認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱(chēng)圖形的.一些基本特征。2、使學(xué)生能根據(jù)自己對(duì)軸對(duì)稱(chēng)圖形的初步認(rèn)識(shí),在一組實(shí)物圖案和平面圖形中識(shí)別出軸對(duì)稱(chēng)圖形,能用一些方法做出...

  • 初中數(shù)學(xué)北師大教案(通用2篇)

    一、教材分析同底數(shù)冪的乘法是北師大版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)(下)第一章整式的乘除第一節(jié)的內(nèi)容。在此之前,學(xué)生已經(jīng)掌握了用字母表示數(shù)的技能,會(huì)判斷同類(lèi)項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng),同時(shí)在學(xué)習(xí)了有理數(shù)乘方運(yùn)算后,知道了求n個(gè)相同數(shù)a的積的運(yùn)算叫做乘...

  • 七年級(jí)數(shù)學(xué)教案
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