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最簡二次根式

最簡二次根式


教學(xué)建議

1.教材分析

本節(jié)是在前兩節(jié)的基礎(chǔ)上,從實(shí)際運(yùn)算的客觀需要出發(fā),引出的概念,然后通過一組例題介紹了化簡二次根式的方法.本小節(jié)內(nèi)容比較少(求學(xué)生了解的概念并掌握化簡二次根式的方法),但是本節(jié)知識在全章中卻起著承上啟下的重要樞紐作用,二次根式性質(zhì)的應(yīng)用、二次根式的化簡以及二次根式的運(yùn)算都需要來聯(lián)接.

(1)知識結(jié)構(gòu)

 

(2)重難點(diǎn)分析

①本節(jié)的重點(diǎn)  Ⅰ.概念

Ⅱ.利用二次根式的性質(zhì)把二次根式化簡為.

重點(diǎn)分析 本章的主要內(nèi)容是二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算,但自始至終圍繞著二次根式的化簡和運(yùn)算.二次根式化簡的最終目標(biāo)就是;而二次根式的運(yùn)算則是合并同類二次根式,怎樣判定同類二次根式,是在化簡為的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.因此本節(jié)以二次根式的概念和二次根式的性質(zhì)為基礎(chǔ),內(nèi)容雖然簡單,在本章中卻起著穿針引線的作用,教師在教學(xué)中應(yīng)給于極度重視,不可因?yàn)閮?nèi)容簡單而采取弱化處理;同時初二學(xué)生代數(shù)成績的分化一般是由本節(jié)開始的,分化的根本原因就是對概念理解不夠深刻,遇到相關(guān)問題不知怎樣操作,具體操作到哪一步.

②本節(jié)的難點(diǎn)是化簡二次根式的方法與技巧.

難點(diǎn)分析 化簡二次根式,實(shí)際上是二次根式性質(zhì)的綜合運(yùn)用.化簡二次根式的過程,一般按以下步驟:把根號下的帶分?jǐn)?shù)或絕對值大于1的小數(shù)化成假分?jǐn)?shù),把絕對值小于1的小數(shù)化成分?jǐn)?shù);被開方數(shù)是多項(xiàng)式的要因式分解;使被開放數(shù)不含分母;將被開方數(shù)中能開的盡方的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替后移到根號外面;化去分母中的根號;約分.所以對初學(xué)者來說,這一過程容易出現(xiàn)符號和計(jì)算出錯的問題.熟練掌握化簡二次根式的方法與技巧,能夠進(jìn)一步開拓學(xué)生的解題思路,提高學(xué)生的解題能力.

③重難點(diǎn)的解決辦法是對于這一概念,并不要求學(xué)生能否背出定義,關(guān)鍵是遇到實(shí)際式子能夠加以判斷.因此建議在教學(xué)過程 中對概念本身采取弱化處理,讓學(xué)生在反復(fù)練習(xí)中熟悉這個概念;同時教學(xué)中應(yīng)充分對概念理解后應(yīng)用具體的實(shí)例歸納總結(jié)出把一個二次根式化為的方法,在觀察對比中引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)具體解決問題的方法技巧.

另外,化簡運(yùn)算在本節(jié)既是重點(diǎn)也是難點(diǎn),學(xué)生在簡潔性和準(zhǔn)確性上都容易出現(xiàn)問題,因此建議在教學(xué)過程 中多要求學(xué)生觀察二次根式的特點(diǎn)――根據(jù)其特點(diǎn)分析運(yùn)用哪條性質(zhì)、哪種方法來解答,培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和觀察能力――多要求學(xué)生注意每步運(yùn)算的根據(jù),培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)習(xí)慣.

2.教法建議

素質(zhì)教育和新的教改精神的根本是增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和學(xué)生的參與意識,使每一個學(xué)生想學(xué)、愛學(xué)、會學(xué)。因此教師設(shè)計(jì)教學(xué)時要充分考慮到學(xué)生心理特點(diǎn)和思維特點(diǎn),充分發(fā)揮情感因素,使學(xué)生完全參與到整個教學(xué)中來。

⑴在復(fù)習(xí)引入時要注意每個學(xué)生的反映,對預(yù)備知識掌握比較好的學(xué)生要用適當(dāng)?shù)姆绞浇o于表揚(yáng),掌握差一些的學(xué)生要給予鼓勵和適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo),使每一個學(xué)生愉快的進(jìn)入下一個環(huán)節(jié)。

⑵學(xué)生自主學(xué)習(xí)時段,教師要注意學(xué)生的反饋情況,根據(jù)學(xué)生的反饋情況和學(xué)生的層次采取適當(dāng)?shù)姆绞綄π枰獛椭膶W(xué)生給予幫助,中上等的學(xué)生可以啟發(fā),中等的學(xué)生可以與他探討,偏后的學(xué)生可以幫他分析.

 

一.教學(xué)目標(biāo) 

1.了解的意義,并能作出準(zhǔn)確判斷.

2.能熟練地把二次根式化為.

3.了解把二次根式化為在實(shí)際問題中的應(yīng)用.

4.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行二次根式化簡的能力,提高運(yùn)算能力.

5.通過多種方法化簡二次根式,滲透事物間相互聯(lián)系的辯證觀點(diǎn).

6.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

.重點(diǎn)難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn) 會把二次根式化簡為

2.教學(xué)難點(diǎn)  準(zhǔn)確運(yùn)用化二次根式為的方法

三.教學(xué)方法

程序式教學(xué)

四.課時安排

2課時

五.教學(xué)過程 

1.復(fù)習(xí)引入

教師準(zhǔn)備本節(jié)內(nèi)容需要的二次根式的性質(zhì)和與性質(zhì)相關(guān)例題、練習(xí)題以及引入材料.

【預(yù)備資料】

⑴.二次根式的性質(zhì)

⑵.二次根式性質(zhì)例題

⑶.二次根式性質(zhì)練習(xí)題

【引入材料】

看下面的問題:

已知: =1.732,如何求出 的近似值?

解法1:

解法2:

比較兩種解法,解法1很繁,解法2較簡便,比例說明,將二次根式化簡,有時會帶來方便.

2.概念講解與鞏固

滿足下列條件的二次根式,叫做:

(1)    被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式;

(2)    被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

如: 都不是,因?yàn)楸婚_方數(shù)的因數(shù)(或系數(shù))為分?jǐn)?shù)或因式為分式,不符合條件(1),條件(1)實(shí)際上就是要求被開方數(shù)的分母中不帶根號.

又如 也不是,因?yàn)楸婚_方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)或因式,不滿足條件(2).注意條件(2)是對被開方數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)或分解成因式后而言的,如 .

判斷一個二次根式是不是的方法,就是逐個檢查定義中的兩個條件是否同時滿足,同時滿足兩個條件的就是,否則就不是.

【概念理解學(xué)習(xí)材料1】

例1 下列二次根式中哪些是?哪些不是?為什么?

分析:判斷一個二次根式是不是的方法,就是逐個檢查定義中的兩個條件是否同時滿足,同時滿足兩個條件的就是,否則就不是.

解:有 ,因?yàn)?P> 被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)9,所以它不是.

說明:判斷一個二次根式是否為主要方法是根據(jù)的定義進(jìn)行,或直觀地觀察被開方數(shù)的每一個因數(shù)(或因式)的指數(shù)都小于根指數(shù)2,且被開方數(shù)中不含有分母,被開方數(shù)是多項(xiàng)式時要先因式分解后再觀察。

【概念理解鞏固材料1】

正選練習(xí)題1

判斷下列各式是否是?

備選選練習(xí)題1

判斷下列各式是否是?

【概念理解學(xué)習(xí)材料2】

例2判斷下列各式是否是?

分析:(1) 顯然滿足的兩個條件.

(2) 或

解:只有 ,因?yàn)?P> 或

說明:應(yīng)該分母里沒根式,根式里沒分母(或小數(shù)).

【概念理解鞏固材料2】

正選練習(xí)題2

判斷下列各式是否是?

備選選練習(xí)題2

判斷下列各式是否是?

【概念理解學(xué)習(xí)材料3】

例3判斷下列各式是否是?

分析:應(yīng)該分母里沒根式,根式里沒分母(或小數(shù))來進(jìn)行判斷發(fā)現(xiàn) 和 是,而 不是,因?yàn)?P>

在根據(jù)定義知 也不是,因?yàn)?P>

解:有 和 ,因?yàn)?P> ,

.

【概念理解鞏固材料3】

正選練習(xí)題3

判斷下列各式是否是?

備選選練習(xí)題3

判斷下列各式是否是?

題目可根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況選擇2-3道.

【概念理解學(xué)習(xí)材料4】

例4判斷下列各式是否是?

分析:被開方數(shù)是多項(xiàng)式的要先分解因式再進(jìn)行觀察判斷.

(1) 不能分解因式, 顯然滿足的兩個條件.

(2)

解:只有 ,因?yàn)?P> .

說明:被開方數(shù)比較復(fù)雜時,應(yīng)先進(jìn)行因式分解再觀察.

【概念理解鞏固材料4】

正選練習(xí)題4

判斷下列各式是否是?

備選選練習(xí)題4

判斷下列各式是否是?

題目可根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況選擇2-3道.

3.化簡二次根式為方法學(xué)習(xí)與鞏固

學(xué)生閱讀教師預(yù)備的材料,理解后自主完成教師準(zhǔn)備的正選練習(xí)題,每完成一套與教師交流一次,在教師的指示下繼續(xù)進(jìn)行.教師要及時了解學(xué)生對二次根式化簡的反饋情況,如果掌握比較理想,則要求進(jìn)入下一步操作,否則應(yīng)與學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)溝通,如需要可從備選練習(xí)題選擇鞏固.

【化簡方法學(xué)習(xí)材料1】

例1把下列二次根式化為

分析:本例題中的2道題都是基礎(chǔ)題,只要將被開方數(shù)中能開的盡方的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替后移到根號外面即可.

解:

【化簡方法鞏固材料1】

正選練習(xí)題1

化簡

備選練習(xí)題1

化簡

題目可由教師根據(jù)學(xué)生情況準(zhǔn)備.

【化簡方法學(xué)習(xí)材料2】

例2 把下列二次根式化為

分析:本例題中的2道題被開方數(shù)都是多項(xiàng)式,應(yīng)先進(jìn)行因式分解.

解:

說明:被開方數(shù)中能開的盡方的因數(shù)或因式的算術(shù)平方根移到根號外面后要注意符號問題.

在化簡二次根式時,要防止出現(xiàn)如下的錯誤:

等等.

化簡二次根式的步驟是:

(1) 把被開方數(shù)(或式)化成積的形式,即分解因式.

(2) 化去根號內(nèi)的分母,即分母有理化.

(3) 將根號內(nèi)能開得盡方的因數(shù)(式)開出來.

【化簡方法鞏固材料2】

正選練習(xí)題2

化簡

備選練習(xí)題2

化簡

題目可由教師根據(jù)學(xué)生情況準(zhǔn)備.

【化簡方法學(xué)習(xí)材料3】

例3把下列二次根式化為

分析:被開方式比較復(fù)雜時,要先對被開方式進(jìn)行處理。

解:

說明:運(yùn)算中要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性和合理性.

【化簡方法鞏固材料3】

正選練習(xí)題3

化簡

備選練習(xí)題3

化簡

題目可由教師根據(jù)學(xué)生情況準(zhǔn)備.

4.小結(jié)

⑴概念

⑵二次根式的化簡

化簡二次根式的過程,一般按以下步驟:把根號下的帶分?jǐn)?shù)或絕對值大于1的小數(shù)化成假分?jǐn)?shù),把絕對值小于1的小數(shù)化成分?jǐn)?shù);被開方數(shù)是多項(xiàng)式的要因式分解;使被開放數(shù)不含分母;將被開方數(shù)中能開的盡方的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替后移到根號外面;化去分母中的根號;約分.

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