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軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形

1、知識(shí)目標(biāo):

(1)使學(xué)生理解軸對(duì)稱的概念;

(2)了解軸對(duì)稱的性質(zhì)及其應(yīng)用;

(3)知道軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的區(qū)別.

2、能力目標(biāo):

(1)通過的學(xué)習(xí),提高學(xué)生的觀察辨析圖形的能力和畫圖能力;

(2)通過實(shí)際問題的練習(xí),提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

3、情感目標(biāo):

(1)通過自主學(xué)習(xí)的發(fā)展體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的感受;

(2)通過軸對(duì)稱圖形的學(xué)習(xí),體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的美,感受數(shù)學(xué)中的美.

教學(xué)重點(diǎn):的概念,軸對(duì)稱的性質(zhì)及判定

教學(xué)難點(diǎn):區(qū)分的概念

教學(xué)用具:直尺,微機(jī)

教學(xué)方法:觀察實(shí)驗(yàn)

教學(xué)過程

1、概念:(閱讀教材,回答問題)

(1)對(duì)稱軸

(2)軸對(duì)稱

(3)軸對(duì)稱圖形

學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn),說明上述概念.最后總結(jié)軸對(duì)稱及軸對(duì)稱圖形這兩個(gè)概念的區(qū)別:

軸對(duì)稱涉及兩個(gè)圖形,是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系.軸對(duì)稱圖形只是針對(duì)一個(gè)圖形而言.

都有對(duì)稱軸,如果把軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體,那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形;如果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩部分,那么這兩個(gè)圖形就關(guān)于這條直線對(duì)稱.

2、定理的獲得

(投影):觀察軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是否為全等形

定理1:關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

由此得出:

定理2:如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱,那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.

啟發(fā)學(xué)生,寫出此定理的逆命題,并判斷是否為真命題?由此得到:

逆定理:如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.

學(xué)生繼續(xù)觀察得到

定理3:兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱,如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交,那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.

說明:上述定理2可以看成是軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)定理,逆定理則是判定定理.

上述問題的獲得,都是由定理1引發(fā)、變換、延伸得到的.教師應(yīng)充分抓住這次機(jī)會(huì),培養(yǎng)學(xué)生變式問題的研究.

2、常見的軸對(duì)稱圖形

圖形

對(duì)稱軸

點(diǎn)A

過點(diǎn)A的任意直線

直線m

直線m,m的垂線

線段AB

直線AB,線段AB的中垂線

角平分線所在的直線

等腰三角形

底邊上的中線

3、應(yīng)用

例1 如圖,已知:△ABC,直線MN,求作△A1B1C1,使△A1B1C1與△ABC關(guān)于MN對(duì)稱.

分析:按照軸對(duì)稱的概念,只要分別過A、B、C向直線MN作垂線,并將垂線段延長(zhǎng)一倍即可得到點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn),連結(jié)所得到的這三個(gè)點(diǎn).

作法:(1)作AD⊥MN于D,延長(zhǎng)AD至A1使A1D=AD,

得點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A1

(2)同法作點(diǎn)B、C關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B1、C1

(3)順次連結(jié)A1、B1、C1

∴△A1B1C1即為所求


例2 如圖,牧童在A處放牛,其家在B處,A、B到河岸的距離分別為AC、BD,

且AC=BD,若A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500cm.問:

(1)牧童從A處牧牛牽到河邊飲水后再回家,試問在何處飲水,所走路程最短?

(2)最短路程是多少?

解:?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化為已知直線CD和CD同側(cè)兩點(diǎn)A、B,

在CD上作一點(diǎn)M,使AM+BM最小,

先作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A1

再連結(jié)A1B,交CD于點(diǎn)M,

則點(diǎn)M為所求的點(diǎn).

證明:(1)在CD上任取一點(diǎn)M1,連結(jié)A1 M1、A M1

B M1、AM

∵直線CD是A、A1的對(duì)稱軸,M、M1在CD上

∴AM=A1M,AM1=A1M1

∴AM+BM=AM1+BM=A1B

在△A1 M1B中

∵A1 M1+BM1>AM+BN即AM+BM最小

(2)由(1)可得AM=AM1,A1C=AC=BD

∴△A1CM≌△BDM

∴A1M=BM,CM=DM

即M為CD中點(diǎn),且A1B=2AM

∵AM=500m

∴最簡(jiǎn)路程A1B=AM+BM=2AM=1000m

例3 已知:如圖,△ABC是等邊三角形,延長(zhǎng)BC至D,延長(zhǎng)BA到E,使AE=BD,連結(jié)CE、DE

求證:CE=DE

證明:延長(zhǎng)BD至F,使DF=BC,連結(jié)EF

∵AE=BD, △ABC為等邊三角形

∴BF=BE, ∠B=

∴△BEF為等邊三角形

∴△BEC≌△FED

∴CE=DE

5、課堂小結(jié):

(1)的區(qū)別和聯(lián)系

區(qū)別:軸對(duì)稱是說兩個(gè)圖形的位置關(guān)系,軸對(duì)稱圖形是說一個(gè)具有特殊形狀的圖形;軸對(duì)稱涉及兩個(gè)圖形,軸對(duì)稱圖形只對(duì)一個(gè)圖形而言

聯(lián)系:這兩個(gè)定義中都涉及一條直線,都沿其折疊而能夠重合;二者都具有相對(duì)性:即若把軸對(duì)稱圖形沿軸一分為二,則這兩個(gè)圖形就關(guān)于原軸成軸對(duì)稱,反之,把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形全二為一,則它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形.

(2)解題方法:一是如何畫關(guān)于某條直線的對(duì)稱圖形(找對(duì)稱點(diǎn))

二是關(guān)于實(shí)際應(yīng)用問題“求最短路程”.

6、布置作業(yè) :

書面作業(yè) P120#6、8、9

板書設(shè)計(jì):

探究活動(dòng)

兩個(gè)全等的三角板,可以拼出各種不同的圖形,如圖已畫出其中一個(gè)三角形,請(qǐng)你分別補(bǔ)出另一個(gè)與其全等的三角形,使每個(gè)圖形分成不同的軸對(duì)稱圖形(所畫三角形可與原三角形有重疊部分)

解:


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