數(shù)學(xué)教案－基本作圖

教學(xué)目標(biāo) ：

1、知識(shí)目標(biāo)：

（1）要掌握尺規(guī)作圖的方法及一般步驟；

（2）掌握五種基本作圖,明確尺規(guī)作圖的意義。

2、能力目標(biāo)：

（1）通過“作圖題”練習(xí)，提高學(xué)生的幾何語言表達(dá)能力；

（2）通過畫圖，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力及動(dòng)手能力.

3、情感目標(biāo)：

（1）體驗(yàn)數(shù)學(xué)語言的簡潔嚴(yán)謹(jǐn)。

（2）體會(huì)數(shù)學(xué)作圖語言和圖形的和諧統(tǒng)一。

教學(xué)重點(diǎn)：熟練掌握五個(gè)基本作圖，作圖時(shí)要做到規(guī)范使用尺規(guī)，規(guī)范使用作圖語言，規(guī)范地按照步驟作出圖形。

教學(xué)難點(diǎn) ：作圖語言的準(zhǔn)確應(yīng)用，作圖的規(guī)范與準(zhǔn)確。

教學(xué)用具：直尺，圓規(guī)

教學(xué)方法：講練結(jié)合法

教學(xué)過程 ：

前面我們學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)、判定及一些較簡單的幾何證明題.在學(xué)習(xí)中常常感到需要有準(zhǔn)確、方便的畫圖方法，畫出符合條件的幾何圖形.本節(jié)我們學(xué)習(xí)這種幾何作圖方法.

1、閱讀教材，理解概念

學(xué)生閱讀教材第一部分，并回答問題：

(1)尺規(guī)作圖：在幾何里，把限定用直尺和圓規(guī)來畫圖，稱為尺規(guī)作圖.

 (學(xué)生使用的尺子都有刻度，這里告訴學(xué)生，直尺是用來畫直線的，或者延長線段、射線成直線的.我們作圖時(shí)，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不用它們?nèi)ザ攘块L度，就是這里所說的直尺)

(2)基本作圖：最基本、最常用的尺規(guī)作圖，通常稱基本作圖.

一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖，都是由基本作圖組成的，第一冊里曾講過用尺規(guī)作一條線段等于已知線段，這是一種基本作圖，下面再介紹幾種基本作圖：

練習(xí)：作一條線段等于已知線段

2、講解例題，熟悉語言

教師邊作圖邊用語言敘述作法，讓學(xué)生聽懂。

前面我們學(xué)會(huì)了用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段，學(xué)習(xí)判定兩個(gè)三角形全等“邊邊邊”公理時(shí)曾經(jīng)已知三邊畫三角形得到邊邊邊公理而因全等三角形的對應(yīng)角相等，進(jìn)而達(dá)到角相等的目的.

1.作一個(gè)角等于已知角

分析：解作圖題的方法與證明題解法不相同，它一般應(yīng)包括已知，求作。對于作圖首先將文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，即要寫出題目的已知、求作、作法、證明。

已知： AOB

求作： 使 ＝ AOB

分析：假設(shè)∠AOB已作出，且∠AOB=∠AOB，如圖2，在OA、OB、OA、OB上取點(diǎn)C、D、C、D，使OC=OD=OC=OD，那么△COD≌△COD.

由此可知，要作出∠AOB，使∠AOB=∠AOB，只要作出△OCD，使OC=OC，OD=OD，CD=CD，這就是前面學(xué)過的“已知三邊畫三角形”.

作法：1、作射線

2、以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA于C，交OB于D

3、以點(diǎn) 為圓心，以O(shè)C長為半徑作弧，交 于

4、以點(diǎn) 為圓心，以CD長為半徑作弧，交前弧于

5、經(jīng)過點(diǎn) 作射線 。 就是所求的角

證明：連結(jié)CD、CD，由作法可知

△COD≌△COD(SSS)

∴ ∠COD=∠COD(全等三角形對應(yīng)角相等).

即∠AOB=∠AOB.

說明：作圖題的證明，常以作法為根據(jù)，只要“作法”中寫明了作的是什么，證明中就可以用它作根據(jù)去證明.注意，在作圖題的“證明”中，一般過程都寫得比較簡單.如這個(gè)證明三角形全等的地方，把條件省略了.

練習(xí)：如圖3，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB.

首先要求作圖工具——直尺(無刻度)、圓規(guī).

然后引導(dǎo)學(xué)生分析題意，弄清已知是什么，求作是什么？畫出已知條件(一個(gè)角)，寫出已知、求作.在求作中先寫出什么圖形，再寫使它合乎什么條件.

作法可讓學(xué)生或教師作圖，學(xué)生敘述作法.

讓學(xué)生寫出證明過程.

2.平分已知角

前面我們用量角器作一個(gè)已知角∠AOB的平分線OC，怎樣用尺規(guī)來畫已知角的平分線呢？

分析：如圖4，假如∠AOB的平分線OC已經(jīng)畫出，在前面角的平分線的研究中，我們用折線的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：如果有OE=OD，那么CE=CD.這個(gè)實(shí)驗(yàn)也啟發(fā)我們：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB嗎？

用“SSS”公理易證△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB.于是容易看出，要作∠AOB的平分線OC，在于怎樣才能找到起關(guān)鍵作用的點(diǎn)C？

怎樣確定點(diǎn)C呢？不難看出，為了確定C點(diǎn)，必須先找點(diǎn)E、D.以O(shè)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交OA、OB于D、E，那么OD=OE嗎？再分別以D、E為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作弧，設(shè)兩弧交于點(diǎn)C，那么CD=CE嗎？而D、E為圓心，“適當(dāng)”的長度為半徑作弧，兩弧有一交點(diǎn)時(shí)，怎樣的長度才“適當(dāng)”呢？

已知：∠AOB如圖5

求作：射線OC，使∠AOC=∠BOC.

作法：(1)在OA和OB上，分別截取OD、OE，使OD=OE.

（2）分別以D、E為圓心，大于 的長為半徑作弧，在 內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)C.

(3)作射線OC.

OC就是所求的射線.

證明：連結(jié)CD、CE，由作法可知

△ODC≌△OEC

∴∠COD=∠COE(全等三角形的對應(yīng)角相等).

即∠AOC=∠BOC.

小結(jié)：

(1)基本作圖1、2有一個(gè)不同之點(diǎn)，即基本作圖2要把射線OC作在∠AOB內(nèi)部，位置有指定性，基本作圖1所作的∠AOB并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠AOB作在∠AOB的近旁.

(2)作圖工具只限直尺和圓規(guī)，用鉛筆畫圖，并保留作圖過程中的輔助線(作圖痕跡).

(3)只畫圖的題，要求畫完圖，寫明所求作的圖形.如基本作圖中要寫出“∠AOB就是所求的角.”

3.經(jīng)過一點(diǎn)作已知直線的垂線

分兩種情況來考慮：

(1)經(jīng)過已知直線上的一點(diǎn)作這條直線的垂線.

(2)經(jīng)過已知直線外的一點(diǎn)作這條直線的垂線.

引導(dǎo)學(xué)生寫出解題的全過程：已知、求作、作法、證明.關(guān)鍵地方和疑點(diǎn)要向?qū)W生解釋清楚.

分析：現(xiàn)在要尋找“經(jīng)過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的方法，能利用角平分線的作法嗎？如圖6，用直尺和圓規(guī)作∠AOB的平分線OF，如果畫出直線DE，那么∠AOB的平分線OF與直線DE垂直嗎？為什么？

如果我們把D、E看成一條直線上的兩點(diǎn)，那么點(diǎn)O就是這條直線外的一點(diǎn)，圖6啟發(fā)我們經(jīng)過直線DE外一點(diǎn)O作這條直線的垂線的關(guān)鍵在于確定點(diǎn)F，你會(huì)確定點(diǎn)F嗎？

①已知：直線AB和AB上一點(diǎn)C，如圖7.

求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C.

作法：證明引導(dǎo)學(xué)生寫出.

②已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C，如圖8.

求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C.

作法：引導(dǎo)學(xué)生寫出，要向?qū)W生說明所取的點(diǎn)K必須要使它和C在AB的兩旁，通過反例說明不這樣作不行的道理.對教材中略去的證明要讓學(xué)生補(bǔ)出來.提示：連結(jié)CD、CE、FD、FE，設(shè)CF與AB交于點(diǎn)O.首先證明△CDF≌△CEF，再證明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO，從而得∠DOF=∠EOF=90°.

4.作線段的垂直平分線

先讓學(xué)生理解線段垂直平分線的概念.

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，或中垂線.

分析：在圖6中OF是線段DE的垂直平分線嗎？為什么？

想一想：確定線段DE的垂直平分線的關(guān)鍵是什么？

引導(dǎo)學(xué)生寫出已知、求作、作法.參照1.讓學(xué)生補(bǔ)上證明過程.以判定兩個(gè)三角形全等的公理或推論為根據(jù)，做幾何作圖題的證明，一方面可以使學(xué)生確信作圖的正確性；另一方面也可以復(fù)習(xí)鞏固證明三角形全等的方法.

因?yàn)橹本�CD與線段AB的交點(diǎn)，就是AB的中點(diǎn)，所以我們也用這種方法作線段的中點(diǎn).

小結(jié)：

作角平分線、垂線、中垂線從本質(zhì)上講是一致的：根據(jù)“SSS”公理，確定兩點(diǎn)，從而確定所求直(射)線.

至此，基本作圖共講了5個(gè)，第一章中有一個(gè)“作一條線段等于已知線段”，本章又有4個(gè).對于這些基本作圖應(yīng)該牢固掌握，靈活運(yùn)用，因?yàn)樗�是幾何作圖的基礎(chǔ).反復(fù)練習(xí)5個(gè)基本作圖，讓學(xué)生熟悉解作圖題的全過程，及時(shí)準(zhǔn)確總結(jié)出幾種常見幾何作圖語言即作圖范句

例4、已知：線段

求作： ，使

作法：1、作線段BC＝a

2、分別以點(diǎn)B、C為圓心，以 為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)A

3、連結(jié)AB、AC

就是所求作的三角形

例5、已知兩角和其中一角的對邊，求作三角形

已知：

求作：

作法：1、作線段

2、在BC的同側(cè)作

DE、EC交于點(diǎn)A。

為所求的三角形

證明：（略）

讓學(xué)生補(bǔ)充證明。

3、總結(jié)歸納，便于掌握

（一）常用的作圖語言：

（1）過點(diǎn) 、 作線段或射線、直線；（2）連結(jié)兩點(diǎn) 、 ；（3）在線段或射線 上截取 ＝ ；（4）以點(diǎn) 為圓心，以 的長為半徑作圓（或畫弧），交 于點(diǎn) ；（5）分別以點(diǎn) ，點(diǎn) 為圓心，以 ， 的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn) ；（6）延長 到點(diǎn) ，使 ＝ 。

（二）作圖題說明

在作圖中，有屬于基本作圖的地方，寫作法時(shí)，不必重復(fù)作圖的詳細(xì)過程，只用一句話概括敘述就可以了。

(1)作線段 ＝ ；（2）作∠ ＝∠ ；（3）作 （射線）平分∠ ；

（4）過點(diǎn) 作 ，垂足為點(diǎn) ；（5）作線段 的垂直平分線 ；

4、課堂練習(xí)，鞏固內(nèi)容

(1)平分已知角

(2)作線段的垂直平分線

學(xué)生板書并講解,教師點(diǎn)評。

5、布置作業(yè) ：

a、書面作業(yè) P88＃1

b、上交作業(yè) P88＃3、9

板書設(shè)計(jì) ：