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數(shù)學(xué)教案-基本作圖

數(shù)學(xué)教案-基本作圖

教學(xué)目標(biāo) 

1、知識(shí)目標(biāo):

(1)要掌握尺規(guī)作圖的方法及一般步驟;

(2)掌握五種基本作圖,明確尺規(guī)作圖的意義。

2、能力目標(biāo):

(1)通過“作圖題”練習(xí),提高學(xué)生的幾何語言表達(dá)能力;

(2)通過畫圖,培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力及動(dòng)手能力.

3、情感目標(biāo):

(1)體驗(yàn)數(shù)學(xué)語言的簡潔嚴(yán)謹(jǐn)。

(2)體會(huì)數(shù)學(xué)作圖語言和圖形的和諧統(tǒng)一。

教學(xué)重點(diǎn):熟練掌握五個(gè)基本作圖,作圖時(shí)要做到規(guī)范使用尺規(guī),規(guī)范使用作圖語言,規(guī)范地按照步驟作出圖形。

教學(xué)難點(diǎn) :作圖語言的準(zhǔn)確應(yīng)用,作圖的規(guī)范與準(zhǔn)確。

教學(xué)用具:直尺,圓規(guī)

教學(xué)方法:講練結(jié)合法

教學(xué)過程 

前面我們學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)、判定及一些較簡單的幾何證明題.在學(xué)習(xí)中常常感到需要有準(zhǔn)確、方便的畫圖方法,畫出符合條件的幾何圖形.本節(jié)我們學(xué)習(xí)這種幾何作圖方法.

1、閱讀教材,理解概念

學(xué)生閱讀教材第一部分,并回答問題:

(1)尺規(guī)作圖:在幾何里,把限定用直尺和圓規(guī)來畫圖,稱為尺規(guī)作圖.

 (學(xué)生使用的尺子都有刻度,這里告訴學(xué)生,直尺是用來畫直線的,或者延長線段、射線成直線的.我們作圖時(shí),可以使用一般的刻度尺、三角板,只要不用它們?nèi)ザ攘块L度,就是這里所說的直尺)

(2)基本作圖:最基本、最常用的尺規(guī)作圖,通常稱基本作圖.

一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖,都是由基本作圖組成的,第一冊里曾講過用尺規(guī)作一條線段等于已知線段,這是一種基本作圖,下面再介紹幾種基本作圖:

練習(xí):作一條線段等于已知線段

2、講解例題,熟悉語言

教師邊作圖邊用語言敘述作法,讓學(xué)生聽懂。

前面我們學(xué)會(huì)了用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段,學(xué)習(xí)判定兩個(gè)三角形全等“邊邊邊”公理時(shí)曾經(jīng)已知三邊畫三角形得到邊邊邊公理而因全等三角形的對應(yīng)角相等,進(jìn)而達(dá)到角相等的目的.

1.作一個(gè)角等于已知角

分析:解作圖題的方法與證明題解法不相同,它一般應(yīng)包括已知,求作。對于作圖首先將文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,即要寫出題目的已知、求作、作法、證明。

已知: AOB

求作: 使 = AOB

分析:假設(shè)∠AOB已作出,且∠AOB=∠AOB,如圖2,在OA、OB、OA、OB上取點(diǎn)C、D、C、D,使OC=OD=OC=OD,那么△COD≌△COD.

由此可知,要作出∠AOB,使∠AOB=∠AOB,只要作出△OCD,使OC=OC,OD=OD,CD=CD,這就是前面學(xué)過的“已知三邊畫三角形”.

作法:1、作射線

2、以點(diǎn)O為圓心,以任意長為半徑作弧,交OA于C,交OB于D

3、以點(diǎn) 為圓心,以O(shè)C長為半徑作弧,交 于

4、以點(diǎn) 為圓心,以CD長為半徑作弧,交前弧于

5、經(jīng)過點(diǎn) 作射線 。 就是所求的角

證明:連結(jié)CD、CD,由作法可知

△COD≌△COD(SSS)

∴ ∠COD=∠COD(全等三角形對應(yīng)角相等).

即∠AOB=∠AOB.

說明:作圖題的證明,常以作法為根據(jù),只要“作法”中寫明了作的是什么,證明中就可以用它作根據(jù)去證明.注意,在作圖題的“證明”中,一般過程都寫得比較簡單.如這個(gè)證明三角形全等的地方,把條件省略了.

練習(xí):如圖3,在∠AOB的外部作∠AOC,使∠AOC=∠AOB.

首先要求作圖工具——直尺(無刻度)、圓規(guī).

然后引導(dǎo)學(xué)生分析題意,弄清已知是什么,求作是什么?畫出已知條件(一個(gè)角),寫出已知、求作.在求作中先寫出什么圖形,再寫使它合乎什么條件.

作法可讓學(xué)生或教師作圖,學(xué)生敘述作法.

讓學(xué)生寫出證明過程.

2.平分已知角

前面我們用量角器作一個(gè)已知角∠AOB的平分線OC,怎樣用尺規(guī)來畫已知角的平分線呢?

分析:如圖4,假如∠AOB的平分線OC已經(jīng)畫出,在前面角的平分線的研究中,我們用折線的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):如果有OE=OD,那么CE=CD.這個(gè)實(shí)驗(yàn)也啟發(fā)我們:如果有OE=OD,CE=CD,那么OC平分∠AOB嗎?

用“SSS”公理易證△OEC≌△ODC,∠EOC=∠DOC,即OC平分∠AOB.于是容易看出,要作∠AOB的平分線OC,在于怎樣才能找到起關(guān)鍵作用的點(diǎn)C?

怎樣確定點(diǎn)C呢?不難看出,為了確定C點(diǎn),必須先找點(diǎn)E、D.以O(shè)為圓心,任意長為半徑作弧,分別交OA、OB于D、E,那么OD=OE嗎?再分別以D、E為圓心,適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作弧,設(shè)兩弧交于點(diǎn)C,那么CD=CE嗎?而D、E為圓心,“適當(dāng)”的長度為半徑作弧,兩弧有一交點(diǎn)時(shí),怎樣的長度才“適當(dāng)”呢?

已知:∠AOB如圖5

求作:射線OC,使∠AOC=∠BOC.

作法:(1)在OA和OB上,分別截取OD、OE,使OD=OE.

(2)分別以D、E為圓心,大于 的長為半徑作弧,在 內(nèi),兩弧交于點(diǎn)C.

(3)作射線OC.

OC就是所求的射線.

證明:連結(jié)CD、CE,由作法可知

△ODC≌△OEC

∴∠COD=∠COE(全等三角形的對應(yīng)角相等).

即∠AOC=∠BOC.

小結(jié):

(1)基本作圖1、2有一個(gè)不同之點(diǎn),即基本作圖2要把射線OC作在∠AOB內(nèi)部,位置有指定性,基本作圖1所作的∠AOB并不受∠AOB的位置限制,但通常把∠AOB作在∠AOB的近旁.

(2)作圖工具只限直尺和圓規(guī),用鉛筆畫圖,并保留作圖過程中的輔助線(作圖痕跡).

(3)只畫圖的題,要求畫完圖,寫明所求作的圖形.如基本作圖中要寫出“∠AOB就是所求的角.”

3.經(jīng)過一點(diǎn)作已知直線的垂線

分兩種情況來考慮:

(1)經(jīng)過已知直線上的一點(diǎn)作這條直線的垂線.

(2)經(jīng)過已知直線外的一點(diǎn)作這條直線的垂線.

引導(dǎo)學(xué)生寫出解題的全過程:已知、求作、作法、證明.關(guān)鍵地方和疑點(diǎn)要向?qū)W生解釋清楚.

分析:現(xiàn)在要尋找“經(jīng)過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的方法,能利用角平分線的作法嗎?如圖6,用直尺和圓規(guī)作∠AOB的平分線OF,如果畫出直線DE,那么∠AOB的平分線OF與直線DE垂直嗎?為什么?

如果我們把D、E看成一條直線上的兩點(diǎn),那么點(diǎn)O就是這條直線外的一點(diǎn),圖6啟發(fā)我們經(jīng)過直線DE外一點(diǎn)O作這條直線的垂線的關(guān)鍵在于確定點(diǎn)F,你會(huì)確定點(diǎn)F嗎?

①已知:直線AB和AB上一點(diǎn)C,如圖7.

求作:AB的垂線,使它經(jīng)過點(diǎn)C.

作法:證明引導(dǎo)學(xué)生寫出.

②已知:直線AB和AB外一點(diǎn)C,如圖8.

求作:AB的垂線,使它經(jīng)過點(diǎn)C.

作法:引導(dǎo)學(xué)生寫出,要向?qū)W生說明所取的點(diǎn)K必須要使它和C在AB的兩旁,通過反例說明不這樣作不行的道理.對教材中略去的證明要讓學(xué)生補(bǔ)出來.提示:連結(jié)CD、CE、FD、FE,設(shè)CF與AB交于點(diǎn)O.首先證明△CDF≌△CEF,再證明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO,從而得∠DOF=∠EOF=90°.

4.作線段的垂直平分線

先讓學(xué)生理解線段垂直平分線的概念.

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線,或中垂線.

分析:在圖6中OF是線段DE的垂直平分線嗎?為什么?

想一想:確定線段DE的垂直平分線的關(guān)鍵是什么?

引導(dǎo)學(xué)生寫出已知、求作、作法.參照1.讓學(xué)生補(bǔ)上證明過程.以判定兩個(gè)三角形全等的公理或推論為根據(jù),做幾何作圖題的證明,一方面可以使學(xué)生確信作圖的正確性;另一方面也可以復(fù)習(xí)鞏固證明三角形全等的方法.

因?yàn)橹本CD與線段AB的交點(diǎn),就是AB的中點(diǎn),所以我們也用這種方法作線段的中點(diǎn).

小結(jié):

作角平分線、垂線、中垂線從本質(zhì)上講是一致的:根據(jù)“SSS”公理,確定兩點(diǎn),從而確定所求直(射)線.

至此,基本作圖共講了5個(gè),第一章中有一個(gè)“作一條線段等于已知線段”,本章又有4個(gè).對于這些基本作圖應(yīng)該牢固掌握,靈活運(yùn)用,因?yàn)樗菐缀巫鲌D的基礎(chǔ).反復(fù)練習(xí)5個(gè)基本作圖,讓學(xué)生熟悉解作圖題的全過程,及時(shí)準(zhǔn)確總結(jié)出幾種常見幾何作圖語言即作圖范句

例4、已知:線段

求作: ,使

作法:1、作線段BC=a

2、分別以點(diǎn)B、C為圓心,以 為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)A

3、連結(jié)AB、AC

就是所求作的三角形

例5已知兩角和其中一角的對邊,求作三角形

已知:

求作:

 

作法:1、作線段

2、在BC的同側(cè)作

DE、EC交于點(diǎn)A。

為所求的三角形

證明:(略)

讓學(xué)生補(bǔ)充證明。

3、總結(jié)歸納,便于掌握

(一)常用的作圖語言:

(1)過點(diǎn) 、 作線段或射線、直線;(2)連結(jié)兩點(diǎn) 、 ;(3)在線段或射線 上截取 = ;(4)以點(diǎn) 為圓心,以 的長為半徑作圓(或畫弧),交 于點(diǎn) ;(5)分別以點(diǎn) ,點(diǎn) 為圓心,以 , 的長為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn) ;(6)延長 到點(diǎn) ,使 = 。

(二)作圖題說明

在作圖中,有屬于基本作圖的地方,寫作法時(shí),不必重復(fù)作圖的詳細(xì)過程,只用一句話概括敘述就可以了。

(1)作線段 = ;(2)作∠ =∠ ;(3)作 (射線)平分∠ ;

(4)過點(diǎn) 作 ,垂足為點(diǎn) ;(5)作線段 的垂直平分線 ;

4、課堂練習(xí),鞏固內(nèi)容

(1)平分已知角

(2)作線段的垂直平分線

學(xué)生板書并講解,教師點(diǎn)評。

5、布置作業(yè) :

a、書面作業(yè) P88#1

b、上交作業(yè) P88#3、9

板書設(shè)計(jì) 

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