正比例函數（通用3篇）
正比例函數 篇1
11.2.1正比例函數教案
教
學
目
標
知識技能
1、理解正比例函數的概念及正比例函數圖象特征。
2、知道正比例函數圖象是直線，會畫正比例函數的圖象；進一步熟悉作函數圖象的主要步驟。
數學思考
1、通過“燕鷗飛行路程問題”的探究和學習，體會函數模型的思想。
2、經歷運用圖形描述函數的過程，初步建立數形結合，體會函數的三種表示方法的相互轉換。經歷探索正比例函數圖象形狀的過程，體驗“列表、描點、連線”的內涵。
問題解決
能從數學角度提出問題，運用y= kx中，x、y的關系等知識解決問題。
情感態度
1、結合描點作圖培養學生認真細心嚴謹的學習態度和學習習慣。
2、培養學生積極參與數學活動，勇于探究數學現象和規律，形成良好的質疑和獨立思考的習慣。
教學重點
探索正比例函數圖形的形狀，會畫正比例函數圖象
教學難點
正比例函數圖象性質
教學過程安排
活動過程
活動內容和目的
活動1、問題引入
通過“燕鷗飛行路程問題”建立數學模型，理解行程與時間的對應函數關系，為導出正比例函數做鋪墊。
活動2、正比例函數概念的學習
通過若具體實例，概括歸納出一類有共性的函數關系表達式，導入正比例函數概念。
活動3、畫正比例函數的圖象
通過師生共同活動，學會運用描點法畫出正比例函數圖象
活動4、正比例函數圖象特征的探究
通過對若干實例的觀察分析、比較、概括歸納出正比例函數圖象的特征。
活動5、小結、布置作業
回顧和重現本節重點內容加深本節知識范圍的理解，通過鞏固性練習嘗試運用本節知識解決問題。
教學過程設計
問題與情境
師生行為
設計意圖
情境1、
問題
（1） 你知道候鳥嗎？它們在每年的遷徙中能飛多遠？
（2） 燕鷗的飛行路程與時間之間有什么樣的數量關系？
教師用課件展示問題。
讓學生在地圖上找出芬蘭和澳大利亞，并將兩處用直線連接，然后思考并解答課本上的問題。
學生自主解決三個問題。
教師在學生得到結論的基礎上提醒：這里用函數y=200x對燕鷗飛行路程進行了刻畫，盡管只是近似的，但它反映了燕鷗的行程與時間的對應規律。
從具體情境入手，使學生認識到數學與現實問題總是密不可分的，人們的需要產生了數學。
路程、速度與時間之間的關系學生較熟悉，當速度一定時，路程是時間的函數，用這些簡單的實例不斷從現實世界中抽象出數學模型，建立數學關系的方法。
情境2、
問題
（1）課本上有4 個實例，這些實際問題中的變量對應規律可用怎樣的函數表示？這些函數有什么共同點？
教師出示四個實例問題的幻燈片，要求學生（1）能找出變量對應關系表達式（2）能說出表達式中的自變量、自變量的函數
學生自主探究，分組討論；然后教師讓各小組代表回答問題。師生互動對回答的問題進行分析評價。
教師引導學生觀察分析上面的五個表達式的共性：都是常數與自變量乘積的形式。
教師口述并在黑板上板書正比例函數的概念。
教師讓學生看書，在定義處畫上記號，并提出問題：這里為什么強調k 是常數，k≠0
通過這些實際問題使學生進一步加深對函數概念的理解，也為導出函數概念做好鋪墊。
通過歸納、分析使學生明白正比例函數的特征、理解其解析式的特點
情境3、
問題
（1） 我們知道了怎樣用解析式表示正比函數能否用圖象來表示它呢？
（2） 怎樣在直角坐標系中畫出正比例函數圖象。
（3） 觀察、分析圖象的特點
（4） 鞏固性練習畫圖象
學生在事先準備好的坐標紙上，用描點法畫出y=2x和y=-2x的圖象。
教師用超級畫板演示。
說明描點后先觀察形狀，再連線。
對這個問題老師應關注
（1） 組織學生一起對所畫圖象進行評價。
（2） 和學生一起簡要總結主要步驟。
（3） 用畫板演示，當x增大時，y也相應地增大。演示描更多個點的情況
學生討論分析、比較y=2x與y=-2x圖象的異同之處，填寫所發現的規律
學生獨立練習在同一坐標系中畫出 圖象 ，讓學生說明了這兩個圖象的異同之處
經歷探索正比例函數圖象形狀的過程，體驗“列表、描點、（觀察形狀）、連線”的內涵。
比較異同之處，為后面分析討論正比例函數圖象的特征作準備。
練習畫出圖象通過多個實例，使學生進一步分析研究后能領悟這一類圖象的特點。
情境4、
問題
（1） 從以上作圖過程可以發現正比例函數的圖象有什么特征。
（2） 經過原點與（1，k）的直線是哪個函數的圖象？
教師對畫圖過程進行巡回指導和個別輔導，學生畫完圖后請學生回答這兩個圖象的特點并與上面的特點相比較。
教師用畫板演示
學生在老師的引導下概括、歸納出正比例函數圖象的特征。
教師板書教科書25頁上的正比例函數圖象的特征。
對于這個問題教師應重點關注
（1） 學生是否通過對正比例函數解析式觀察分析，發現當k>0時函數y與自變量x同號；當k<0時函數y與自變量x異號。
（2） 學生對正比例函數圖象觀察分析，知道其圖象是一個隨x增大而增大或減小的直線。
學生討論左邊的問題。
教師注意：（1）提醒學生從解析式入手，探究當x=0時或x=1時，y的值分別是幾；（2）正比例函數的圖象為什么一定過（0，0）和（1，k）這兩點；（3）因為兩點確定一條直線，因此，畫正比例函數圖象時，只須過原點和（1，k）畫一條直線即可。
在多個實例的基礎上，歸納得到正比例函數圖象的性質，潛移默化地對學生進行了概括、歸納、比較、分析的思維方法的教育。
這里通過對解析式和圖象的分析，可使學生明白解析式和圖象對正比例函數的刻畫各有優勢。
了解事物的特征就可以使解決問題來得更簡捷一些，不斷培養學生分析和解決問題的能力。這里同時讓學生加深領會數形結合的思想。
（3） 用你認為最簡單的方法畫出正比例函數圖象（教科書26頁練習）。
學生練習用“兩點法”畫圖象，教師巡回輔導，并安排一名學生在黑板上畫。
教師應當關注：
（1） 學生畫圖中是否采用的是“兩點法”；
（2） 這兩點是否最簡單（其中關鍵是對k的確認）。
完成當堂練習，鞏固“兩點法”畫圖象的方法。
情境5
問題
本節課學了哪些內容？你認為最重要的是什么？
布置作業
教科書習題11。2第1、2、6、7題。
學生稍作思考后分組討論，讓3~4名學生回答。
教師應當關注：
（1） 允許學生答案不同，回答結論的不同只會對學生學習更有幫助，應當鼓勵；
（2） 最后應達到師生共同小結，明確正比例函數的概念、圖象特征的效果
學生獨立完成作業，（其中第7題可作為選作題）。
教師批改后注意反饋。
教師應關注：
（1） 學生作圖象的規范性；
（2） 不同層次的學生在作業中反映出的問題應及時解決。
讓學生參加小結并允許學生答案不同，可以增強學生學習的積極性和主動性，培養他們對所學知識的回顧思考習慣；通過小結也強調了本節課的重點，鞏固了學習內容。
對作業中的問題要注意個體分析，布置作業要體現分層要求，有一定彈性。
教學設計說明
本節內容是在學生學習了變量和函數的基本概念基礎上進行的。學習了正比例函數在引入一次函數，有利于降低教學難度，使難點分散。學生在理解正比例函數概念、描點畫函數圖象、利用解析式和圖象分析正比例函數性質時來得更加容易。
在教材處理方面，采取：“建立數學模型——導入正比例函數概念——畫正比例函數圖象——探究正比例函數性質——練習、小結”這樣循序漸進的教學流程。
考慮到本節內容概念性較強，采取通過學生熟悉的行程問題來導入正比例函數的概念，學生易于接受。
在教學設計時，注重了學生的嘗試和探究，如對正比例函數變量對應方式的辨析，自變量取值范圍的討論，學生列舉正比例函數的實例的分析，四個小實例的探究，畫圖象時的動手嘗試，小結時的自我概括和歸納等。
在教學時使學生的嘗試和探究貫穿課堂全過程，同時重視教師的引導、指導和示范，如在概念出示時必要的板書，畫圖象時的示范，對關鍵之處的啟發、點撥和講解，還有教師與學生、學生與學生的互動等。這樣有利于學生對概念的理解，也有利于培養學生的學習能力和學習習慣。
正比例函數 篇2
——義務教育課程標準實驗教科書《數學》八年級上冊
南昌市實驗中學 徐建國一.教學目標
教
學
目
標
知識技能
學習正比例函數及其圖象畫法、性質和應用
數學思考
培養學生的觀察能力、數形結合能力、探索規律能力、解決實際問題能力
解決問題
利用正比例函數及其圖象解決實際問題
情感態度
認識數學知識與實際生活相聯，體驗學習有價值的數學過程
重點
正比例函數及其圖象性質
難點
正比例函數的增減性二.教學準備課件、筆記本電腦、三角板、計算器 三.教學流程
四.教學過程1.復習引入（1）函數（提問） 一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是變量，y是x的函數. （2）變化過程（解釋） （3）問題 汽車以60/千米時的速度勻速行駛，行駛里程為s千米，行駛時間為t小時，請先填下表
t/時
1
2
3
4
5
6
s/千米
再寫出s關于t的函數關系： . 2.問題展示 【問題】1996年，鳥類研究者在芬蘭給一只燕鷗（候鳥）套上標志環；4個月零1周后，人們在2.56萬千米外的澳大利亞發現了它 (一個月按30天計算) . （1）這只百余克重的小鳥大約平均每天飛行多少千米？（2）這只燕鷗的行程y（單位：千米）與飛行時間x（單位：天）之間有什么關系？（3）這只燕鷗飛行1個半月的行程大約是多少千米？（4）對這個問題你還能提出什么結論.分析：（1）這只燕鷗大約平均每天飛行的路程不少于
25600÷（30×4+7）≈200（km）. （2）假設這只燕鷗每天飛行的路程為200km，那么它的行程y（單位：千米）就是飛行時間x（單位：天）的函數，函數解析式為
y=200x (0 x 127). （3）這只燕鷗飛行1個半月的行程，大約是x=45時的函數y=200x的值，即
y=200×45=9000(km). （4）略. 3.共同思考 下列問題中變量對應規律可用怎樣的函數表示？這些函數有什么共同點？ （1）圓的周長l 隨半徑r的大小變化而變化？ （2）鐵的密度為7.8g/cm³,鐵塊的質量m（單位：g）隨它的體積v（單位：cm³）的大小變化而變化； （3）每個練習本的厚度為0.5cm，一些練習本摞在一起的總厚度h（單位：cm）隨這些練習本的本數n的變化而變化；（4）冷凍一個0℃的物體，使它每分下降2℃，物體的溫度t（單位：℃）隨冷凍時間t（單位：分）的變化而變化. 可以得出上面問題中的函數分別為： （1）l=2 r （2）m=7.8v（3）h=0.5m （4）t=-2t4.歸納定義 一般地，形如y=kx(k是常數，k≠0)的函數，叫做正比例函數（proportional function）,其中k叫做比例系數.5.共同參與請你舉出一些實際問題，使問題中的變化規律是正比例函數的形式.6.例題講解為了研究正比例函數的性質，我們是通過研究正比例函數圖象性質而達到的，因此例題是畫出正比例函數圖象.先給同學們提一個問題：描點法畫函數圖象的一般步驟是 、 、 .例1.畫出下列正比例函數的圖象： （1）y=2x （2）y=-2x 解：（1）y=2x①列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y ②描點： ③連線： ⑵y=-2x①列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y ②描點： ③連線：通過觀察例1中兩圖象可以發現：兩圖象都是經過 點的 線，函數y=2x的圖象從左向右 ，經過第 象限；函數y=-2x的圖象從左向右 ，經過第 象限.7.課堂練習在同一坐標系中，畫出下列函數的圖象，并對它們進行比較：⑴y= x; ⑵y=- x. 設問：通過例題講解和課堂練習，你認為畫正比例函數的圖象時，有沒有更簡單一點的方法？為什么？ 8.本課小結一般地，正比例函數的y=kx（k是常數，k≠0）的圖象是一條經過原點和（1,k）的直線，我們稱之為直線y=kx，當k>0時，直線y=kx經過三、一象限從左向右上升，即隨著x的增大y也增大；當k<0時，直線y=kx經過二、四象限從左向右下降，即隨著x的增大y反而減小.9.共同探究探究1 兩個不同的正比例函數 y=k x (k ≠0)、y=k x (k ≠0) ,k ≠k ,在同一直角坐標系中是否有交點？為什么？探究2 汽車以60千米/時的速度勻速行駛，行駛里程為s千米，行駛時間為t小時，則s關于t的函數為s=60t，請畫出此函數的圖象.tsl甲l乙探究3 射線l 、l 分別表示甲、乙兩名運動員在自行車比賽中所走的路程s與時間t的函數關系，請問甲、乙兩名運動員比賽中的速度誰更快？為什么？10.本課作業 （1）練習冊p.4～5 （2）完成探究1～3 （3）p.26 練習 （4）p.35 復習鞏固1五、數學反思（課后完成）
正比例函數 篇3
11.2.1 正比例函數
教學目標
（一）教學知識點
1.認識正比例函數的意義.
2.掌握正比例函數解析式特點.
3.理解正比例函數圖象性質及特點.
4.能利用所學知識解決相關實際問題.
教學重點
1.理解正比例函數意義及解析式特點.
2.掌握正比例函數圖象的性質特點.
3.能根據要求完成轉化，解決問題.
教學難點
正比例函數圖象性質特點的掌握.
教學過程
ⅰ.提出問題，創設情境
一九九六年，鳥類研究者在芬蘭給一只燕鷗뼈မ鳥）套上標志環.4個月零1周后人們在2.56萬千米外的澳大利亞發現了它.
1.這只百余克重的小鳥大約平均每天飛行多少千米（精確到10千米）？
2.這只燕鷗的行程y（千米）與飛行時間x（天）之間有什么關系？
3.這只燕鷗飛行1個半月的行程大約是多少千米？
我們來共同分析：
一個月按30天計算，這只燕鷗平均每天飛行的路程不少于：
25600÷（30×4+7）≈200（km）
若設這只燕鷗每天飛行的路程為200km，那么它的行程y（千米）就是飛行時間x（天）的函數.函數解析式為：
y=200x（0≤x≤127）
這只燕鷗飛行1個半月的行程，大約是x=45時函數y=200x的值.即
y=200×45=9000（km）
以上我們用y=200x對燕鷗在4個月零1周的飛行路程問題進行了刻畫.盡管這只是近似的，但它可以作為反映燕鷗的行程與時間的對應規律的一個模型.
類似于y=200x這種形式的函數在現實世界中還有很多.它們都具備什么樣的特征呢？我們這節課就來學習.
ⅱ.導入新課
首先我們來思考這樣一些問題，看看變量之間的對應規律可用怎樣的函數來表示？這些函數有什么共同特點？
1.圓的周長l隨半徑r的大小變化而變化.
2.鐵的密度為7.8g/cm3.鐵塊的質量m（g）隨它的體積v（cm3）的大小變化而變化.
3.每個練習本的厚度為0.5cm.一些練習本摞在一些的總厚度h（cm）隨這些練習本的本數n的變化而變化.
4.冷凍一個0℃的物體，使它每分鐘下降2℃.物體的溫度t（℃）隨冷凍時間t（分）的變化而變化.
解：1.根據圓的周長公式可得：l=2 r.
2.依據密度公式p= 可得：m=7.8v.
3.據題意可知： h=0.5n.
4.據題意可知：t=-2t.
我們觀察這些函數關系式，不難發現這些函數都是常數與自變量乘積的形式，和y=200x的形式一樣.
一般地，形如y=kx（k是常數，k≠0）的函數，叫做正比例函數（proportional func-tion），其中k叫做比例系數.
我們現在已經知道了正比例函數關系式的特點，那么它的圖象有什么特征呢？
[活動一]
活動內容設計：
畫出下列正比例函數的圖象，并進行比較，尋找兩個函數圖象的相同點與不同點，考慮兩個函數的變化規律.
1.y=2x 2.y=-2x
活動設計意圖：
通過活動，了解正比例函數圖象特點及函數變化規律，讓學生自己動手、動口、動腦，經歷規律發現的整個過程，從而提高各方面能力及學習興趣.
教師活動：
引導學生正確畫圖、積極探索、總結規律、準確表述.
學生活動：
利用描點法正確地畫出兩個函數圖象，在教師的引導下完成函數變化規律的探究過程，并能準確地表達出，從而加深對規律的理解與認識.
活動過程與結論：
1.函數y=2x中自變量x可以是任意實數.列表表示幾組對應值：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -6 -4 -2 0 2 4 6
畫出圖象如圖（1）.
2.y=-2x的自變量取值范圍可以是全體實數，列表表示幾組對應值：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 -2 -4 -6
畫出圖象如圖（2）.
3.兩個圖象的共同點：都是經過原點的直線.
不同點：函數y=2x的圖象從左向右呈上升狀態，即隨著x的增大y也增大；經過第一、三象限.函數y=-2x的圖象從左向右呈下降狀態，即隨x增大y反而減小；經過第二、四象限.
嘗試練習：
在同一坐標系中，畫出下列函數的圖象，并對它們進行比較.
1.y= x 2.y=- x
x -6 -4 -2 0 2 4 6
y= x
-3 -2 -1 0 1 2 3
y=- x
3 2 1 0 -1 -2 -3
比較兩個函數圖象可以看出：兩個圖象都是經過原點的直線.函數y= x的圖象從左向右上升，經過三、一象限，即隨x增大y也增大；函數y=- x的圖象從左向右下降，經過二、四象限，即隨x增大y反而減小.
總結歸納正比例函數解析式與圖象特征之間的規律：
正比例函數y=kx（k是常數，k≠0）的圖象是一條經過原點的直線.當x>0時，圖象經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，圖象經過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小.
正是由于正比例函數y=kx（k是常數，k≠0）的圖象是一條直線，我們可以稱它為直線y=kx.
[活動二]
活動內容設計：
經過原點與點（1，k）的直線是哪個函數的圖象？畫正比例函數的圖象時，怎樣畫最簡單？為什么？
活動設計意圖：
通過這一活動，讓學生利用總結的正比例函數圖象特征與解析式的關系，完成由圖象到關系式的轉化，進一步理解數形結合思想的意義，并掌握正比例函數圖象的簡單畫法及原理.
教師活動：
引導學生從正比例函數圖象特征及關系式的聯系入手，尋求轉化的方法.從幾何意義上理解分析正比例函數圖象的簡單畫法.
學生活動：
在教師引導啟發下完成由圖象特征到解析式的轉化，進一步理解數形結合思想，找出正比例函數圖象的簡單畫法，并知道原由.
活動過程及結論：
經過原點與點（1，k）的直線是函數y=kx的圖象.
畫正比例函數圖象時，只需在原點外再確定一個點，即找出一組滿足函數關系式的對應數值即可，如（1，k）.因為兩點可以確定一條直線.
ⅲ.隨堂練習
用你認為最簡單的方法畫出下列函數圖象：
1.y= x 2.y=-3x
解：除原點外，分別找出適合兩個函數關系式的一個點來：
1.y= x （2，3）
2.y=-3x （1，-3）
小結：
本節課我們通過實例了解了正比例函數解析式的形式及圖象的特征，并掌握圖象特征與關系式的聯系規律，經過思考、嘗試，知道了正比例函數不同表現形式的轉化方法，及圖象的簡單畫法，為以后學習一次函數奠定了基礎.
課后作業
習題11.2─1、2題.
ⅵ.活動與探究
某函數具有下面的性質：
1.它的圖象是經過原點的一條直線.
2.y隨x增大反而減小.
請你舉出一個滿足上述條件的函數，寫出解析式，畫出圖象.
解：函數解析式：y=-0.5x
x 0 2
y 0 -1
備選題：
汽車由天津駛往相距120千米的北京，s（千米）表示汽車離開天津的距離，t（小時）表示汽車行駛的時間.如圖所示
1.汽車用幾小時可到達北京？速度是多少？
2.汽車行駛1小時，離開天津有多遠？
3.當汽車距北京20千米時，汽車出發了多長時間？
解法一：用圖象解答：
從圖上可以看出4個小時可到達.
速度＝ =30（千米/時）.
行駛1小時離開天津約為30千米.
當汽車距北京20千米時汽車出發了約3.3個小時.
解法二：用解析式來解答：
由圖象可知：s與t是正比例關系，設s=kt，當t=4時s=120
即120=k×4 k=30
∴s=30t.
當t=1時 s=30×1=30（千米）.
當s=100時 100=30t t= （小時）.
以上兩種方法比較，用圖象法解題直觀，用解析式解題準確，各有優特點.毛