研究性課題與實(shí)習(xí)作業(yè)：線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用
已知 其中 都是常數(shù)， 是非負(fù)變量，求 的最大值或最小值，這里 是常量。
前面我們計(jì)論了兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問(wèn)題，這類問(wèn)題可以用圖解法來(lái)求最優(yōu)解，涉及更多變量的線性規(guī)劃問(wèn)題不能用圖解法求解。比如線性不等式 不能用圖形來(lái)表示它，那么對(duì)四元線性規(guī)劃問(wèn)題就不能用圖形來(lái)求解了，對(duì)這樣的線性規(guī)劃問(wèn)題怎樣求解，同學(xué)們今后在大學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)得到解決。
線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用
線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問(wèn)題中得到應(yīng)用，一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來(lái)完成最多的任務(wù)；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù)，常見(jiàn)問(wèn)題有：
1.物調(diào)運(yùn)問(wèn)題
例如，已知 兩煤礦每年的產(chǎn)量，煤需經(jīng) 兩個(gè)車站運(yùn)往外地， 兩個(gè)車站的運(yùn)輸能力是有限的，且已知 兩煤礦運(yùn)往 兩個(gè)車站的運(yùn)輸價(jià)格，煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案，能使總運(yùn)費(fèi)最小？
2.產(chǎn)品安排問(wèn)題
例如，某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一個(gè)單位的甲種或乙種產(chǎn)品需要的a、b、c三種材料的數(shù)量，此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的，這個(gè)工廠在每個(gè)月中應(yīng)如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，能使每月獲得的總利潤(rùn)最大？
3.下料問(wèn)題
例如，要把一批長(zhǎng)鋼管截成兩種規(guī)格的鋼管，應(yīng)怎樣下料能使損耗最小？
4.研究一個(gè)例子
下面的問(wèn)題，能否用線性規(guī)劃求解？如能，請(qǐng)同學(xué)們解出來(lái)。
某家具廠有方木料 ，五合板 ，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售，已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料 、五合板 ，生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料 、五合板 ，出售一張書桌可獲利潤(rùn)80元，出售一個(gè)書櫥可獲利潤(rùn)120元，如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤(rùn)多少？如何只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤(rùn)多少？怎樣安排生產(chǎn)時(shí)可使所得利潤(rùn)最大？
a.教師指導(dǎo)同學(xué)們逐步解答：
（1）先將已知數(shù)據(jù)列成下表
（2）設(shè)生產(chǎn)書桌x張，生產(chǎn)書櫥y張，獲利潤(rùn)為z元。
分析：顯然這是一個(gè)二元線性問(wèn)題，可歸結(jié)于線性規(guī)劃問(wèn)題，并可用圖解法求解。
（3）目標(biāo)函數(shù)
①在第一個(gè)問(wèn)題中，即只生產(chǎn)書桌，則 ，約束條件為
∴ 最多生產(chǎn)300張書桌，獲利潤(rùn) 元
這樣安排生產(chǎn)，五合板先用光，方木料只用了 ，還有 沒(méi)派上用場(chǎng)。
②在第二個(gè)問(wèn)題中，即只生產(chǎn)書櫥，則 ，約束條件是
∴ 最多生產(chǎn)600張書櫥，獲利潤(rùn) 元
這樣安排生產(chǎn)，五合板也全用光，方木料用去了 ，仍有 沒(méi)派上用場(chǎng)，獲利潤(rùn)比只生產(chǎn)書桌多了48000元。
③在第三個(gè)問(wèn)題中，即怎樣安排生產(chǎn)，可獲利潤(rùn)最大？
，約束條件為
對(duì)此，我們用圖解法求解，
先作出可行域，如圖陰影部分。
時(shí)得直線 與 平行的直線 過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)m（0，600）。因?yàn)榕c 平等的過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)的所有直線中， 距原點(diǎn)最遠(yuǎn)，所以最優(yōu)解為 ，即此時(shí)
因此，只生產(chǎn)書櫥600張可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是7XX元。
b.討論
為什么會(huì)出現(xiàn)只生產(chǎn)書櫥，可獲最大利潤(rùn)的情形呢？第一，書櫥比書桌價(jià)格高，因此應(yīng)該盡可能多生產(chǎn)書櫥；第二，生產(chǎn)一張書櫥只需要五合板 ，生產(chǎn)一張書桌卻需要五合板 ，按家具廠五合板的存有量 ，可生產(chǎn)書櫥600張，若同時(shí)又生產(chǎn)書桌，則生產(chǎn)一張書桌就要減少兩張書櫥，顯然這不合算；第三，生產(chǎn)書櫥的另種材料，即方木料是足夠供應(yīng)的，家具廠方木料存有量為 ，而生產(chǎn)600張書櫥只需要方木料 。