兩條直線的位置關(guān)系
教學(xué)目標(biāo)
(1)熟練掌握兩條直線平行與垂直的充要條件,能夠根據(jù)直線的方程判斷.
(2)理解一條直線到另一條直線的角的概念,掌握兩條直線的夾角.
(3)能夠根據(jù)兩條直線的方程求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo).
(4)掌握點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.
(5)進(jìn)一步掌握求直線方程的方法.
(6)進(jìn)一步理解直線方程的概念,理解運(yùn)用直線的方程討論兩條直線位置關(guān)系的思想方法.
(7)通過點(diǎn)到直線距離公式的多種推導(dǎo)方法的探求,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力,理解數(shù)形結(jié)合的思想方法.
教學(xué)建議
一、教材分析
1.知識結(jié)構(gòu)
2.重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)是兩條直線的平行與垂直的判斷;兩條直線的夾角;點(diǎn)到直線的距離.
難點(diǎn)是兩條直線垂直條件的推導(dǎo);一條直線到另一條直線的角的概念和點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo).
本節(jié)內(nèi)容與后邊內(nèi)容聯(lián)系十分緊密,兩條直線平行與垂直的條件和點(diǎn)到直線的距離公式在圓錐曲線中都有廣泛的應(yīng)用,因此非常重要.
(1)平行與垂直
①平行
在討論兩條直線平行的問題時,教材先假定了兩條直線有斜截式方程,根據(jù)傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系,將初中學(xué)過的兩直線平行的充要條件(即判定定理和性質(zhì)定理)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的語言,用斜率和截距重新加以刻畫,教學(xué)中應(yīng)注意斜率不存在的情況.
②垂直
教材上將直線的斜率轉(zhuǎn)化成方向向量,然后利用向量垂直的條件推出兩條直線垂直的條件.結(jié)合斜率不存在的情況,兩條直線垂直的充要條件可敘述為:
或 一個為0,另一個不存在.
(2)夾角
①應(yīng)正確區(qū)分直線 到 的角、直線 到 的角、直線 和 的夾角這三個概念.
到 的角是帶方向的角,它是指 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與 重合時所轉(zhuǎn)的角,它與 到 的角是不同的,如果設(shè)前者是 ,后者是 ,則 + = . 與 所夾的不大于 的角成為 和 的夾角,夾角不帶方向.
當(dāng) 到 的角為銳角 時,則 和 的夾角也是 ;當(dāng) 到 的角為鈍角 時,則 和 的夾角也是 .
②在求直線 到 的角 時,應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì),找出 與 , 的傾斜角 , 關(guān)系,得出 或 ,然后由 , 聯(lián)想差角的正切公式,便可把圖形的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)語言來表示,推導(dǎo)出
.
再由 與 的夾角與 到 的角之間的關(guān)系,而得出夾角計算公式
這種把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的方法,是解析幾何的基本方法,要認(rèn)真揣摩.
③對于以上兩個求角公式,在解決實際問題時,要注意根據(jù)具體情況選用.
(3)交點(diǎn)
①求兩條直線的交點(diǎn)問題就是求它們的方程的公共解的問題,這可以由直線的方程與方程的直線的定義來理解.
②在同一平面內(nèi),兩條直線有三種位置關(guān)系:相交、平行、重合,相應(yīng)的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況:有惟一解、無解、無數(shù)多個解.但在實際判定時,利用直線的斜率和截距更方便.若 , ,則:
與 相交 ;
且 ;
與 重合 且 .
(4)點(diǎn)到直線的距離
①點(diǎn)到直線的距離公式是研究點(diǎn)與直線位置關(guān)系的重要工具.教科書借助于直角三角形的面積公式,推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式.在推導(dǎo)過程中,把與兩條坐標(biāo)軸都不平行的線段的長度的計算,轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)軸平等或垂直的線段長度的計算,從而簡化了運(yùn)算過程.
②利用點(diǎn)到直線的距離公式可推出兩平行線 , 間的距離公式: .
③點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo),有多種方法,應(yīng)鼓勵同學(xué)們思考,下面介紹一種較簡便的方法.
如右圖,設(shè) ,過點(diǎn) 作直線 的垂線,垂足為 ,則有
即
得
,
即 ,
.
當(dāng) 時,上述公式也成立.
(5)當(dāng)直線中有一條沒有斜率時,討論平行、垂直、角、距離的問題,不必套用以上結(jié)論,這時可結(jié)合圖形幾何性質(zhì);直接求解.
二、教法建議
1.本節(jié)知識與初中所學(xué)的平面幾何知識和三角知識聯(lián)系非常緊密,教學(xué)時應(yīng)加強(qiáng)啟發(fā)和引導(dǎo).如學(xué)生對兩條直線的平行同位角相等的條件已經(jīng)非常熟悉,因此在研究兩直線平行時,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生迅速建立聯(lián)系:同位角—傾斜角—斜率(直線方程).又如,在求 到 的角 時,根據(jù)圖形中角的關(guān)系,建立 與傾斜角 和 的聯(lián)系(有且只有 或 兩種情況),進(jìn)而借助三角建立與斜率的關(guān)系,得出公式.
2.本節(jié)內(nèi)容中在研究兩直線的垂直條件時,由于采用向量這一更高級的工具來處理,顯得既簡單又深刻.所以教學(xué)中應(yīng)注意向量工具的運(yùn)用,可讓學(xué)生嘗試用向量推導(dǎo)兩直線平行的條件和點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo).
3.本節(jié)內(nèi)容新概念不多,但要求推導(dǎo)的內(nèi)容不少,教學(xué)時要堅持啟發(fā)式的教學(xué)思想,重點(diǎn)放在思路的探求和結(jié)論或公式的運(yùn)用上.本節(jié)不少內(nèi)容可安排學(xué)生自學(xué)和討論,還要適當(dāng)增加練習(xí),使學(xué)生能熟練地掌握公式,增強(qiáng)學(xué)生動手計算的能力.本節(jié)還要加強(qiáng)根據(jù)已知條件求直線方程的教學(xué).
4.不僅要使學(xué)生熟悉用斜率求兩直線夾角的公式,也要掌握根據(jù)直線方程系數(shù)求夾角的方法(即教材中例6的方法),同時會根據(jù)所給條件選用.
5.已知兩直線的方程會求其交點(diǎn)即可,不必研究兩直線方程系數(shù)與位置關(guān)系之間的關(guān)系.
6.在學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線距離公式時,可利用課余時間發(fā)動學(xué)生尋找更多的推導(dǎo)公式的方法,并通過尋找多種推導(dǎo)公式的方法,鍛煉思維,培養(yǎng)能力.
7.本節(jié)學(xué)完以后學(xué)生可以解決很多較復(fù)雜、較綜合的問題,如對稱問題、直線系過定點(diǎn)問題、光路最短與足球射門角度最大等最值問題.教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)安排一些這樣的內(nèi)容,以訓(xùn)練學(xué)生思維和培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.
教學(xué)設(shè)計方案 課題:點(diǎn)到直線的距離 教學(xué)目標(biāo) :(1)理解點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過程. (2)會求點(diǎn)到直線的距離. (3)在探索點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)思路的過程中,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、積極探索的精神. 教學(xué)用具:計算機(jī) 教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo)法,討論法 教學(xué)過程 : 一、引入 點(diǎn)到直線的距離是指過點(diǎn) 作 的垂線, 與垂足 之間的長度 【問題1】已知點(diǎn) (-1,2)和直線 : ,求 點(diǎn)到直線 的距離. (由學(xué)生分析、解答) 分析:先求出過 點(diǎn)和 垂直的直線: : ,再求出 和 的交點(diǎn) ∴ 如果把問題1一般化就有如下問題: 【問題2】已知: 和直線 : ( 不在直線 上,且 , ),試求 點(diǎn)到直線 的距離. 二、點(diǎn)到直線距離 分析1:要求 的長度可以象問題1的解法一樣,利用兩點(diǎn)的距離公式可以求 的長度. ∵ 點(diǎn)坐標(biāo)已知,∴只要求出 點(diǎn)坐標(biāo)就可以了. 又∵ 點(diǎn)是直線 和直線 的交點(diǎn) 又∵直線 的方程已知 ∴只要求出直線 的方程就可以了. 即: ← 點(diǎn)坐標(biāo)←直線 與直線 的交點(diǎn)←直線 的方程←直線 的斜率←直線 的斜率 (這一解法在課前由學(xué)生自學(xué)完成,課上進(jìn)行評價總結(jié)) 問:這種解法好不好,為什么? 根據(jù)學(xué)生討論,教師適時啟發(fā)、引導(dǎo),得出 分析2:如果 垂直坐標(biāo)軸,則交點(diǎn)和距離都容易求出,那么不妨做出與坐標(biāo)軸垂直的線段 和 ,如圖1所示,顯然相對而言 ,和 好求一些,事實上,設(shè) 到直線的距離為 , 坐標(biāo)為 , 坐標(biāo)為 ,則易求: , 所以: , 所以: 根據(jù)三角形面積公式: 所以: (至此問題2已經(jīng)解決) 公式 的完善. 容易驗證(由學(xué)生完成): 當(dāng) ,即 軸時,公式成立; 當(dāng) ,即 軸時,公式成立; 當(dāng) 點(diǎn)在 上時,公式成立. 公式 結(jié)構(gòu)特點(diǎn) 師生一起總結(jié): (1)分子是 點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程; (2)分母是直線未知數(shù) 、 系數(shù)平方和的算術(shù)根. 類似于勾股定理求斜邊的長 三、檢測與鞏固 練習(xí)1 (1) 到直線 的距離是________. (2) 到直線 的距離是_______. (3)用公式解 到直線 的距離是______. (4) 到直線 的距離是_________. 訂正答案:(1)5;(2)0;(3) ;(4) . 練習(xí)2 1.求平行直線 和 的距離. 解:在直線 上任取一點(diǎn),如 ,則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離. 因此, = = 【問題3】 兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢?求兩條平行直線 與 0的距離. 解:在直線上 任取一點(diǎn),如 則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離,(如圖2). 因此, = = 注意:用公式時,注意一次項系數(shù)是否一致. 四、小結(jié)作業(yè) 1、點(diǎn)到直線的距離公式及其推導(dǎo); 師生一起總結(jié)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過程: 2、利用公式求點(diǎn)到直線的距離. 3、探索兩平行直線的距離 4、探索“已知點(diǎn)到直線的距離及一條直線求另一條直線距離. 作業(yè) :P54 13、14、16思考研究:運(yùn)用多種方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.