兩條直線的位置關(guān)系

教學(xué)目標(biāo) 

（1）熟練掌握兩條直線平行與垂直的充要條件，能夠根據(jù)直線的方程判斷.
（2）理解一條直線到另一條直線的角的概念，掌握兩條直線的夾角.
（3）能夠根據(jù)兩條直線的方程求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo).
（4）掌握點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.
（5）進(jìn)一步掌握求直線方程的方法.
（6）進(jìn)一步理解直線方程的概念，理解運(yùn)用直線的方程討論兩條直線位置關(guān)系的思想方法.
（7）通過點(diǎn)到直線距離公式的多種推導(dǎo)方法的探求，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，理解數(shù)形結(jié)合的思想方法.

教學(xué)建議

一、教材分析

1.知識結(jié)構(gòu)

2.重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)是兩條直線的平行與垂直的判斷；兩條直線的夾角；點(diǎn)到直線的距離.

難點(diǎn)是兩條直線垂直條件的推導(dǎo)；一條直線到另一條直線的角的概念和點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo).

本節(jié)內(nèi)容與后邊內(nèi)容聯(lián)系十分緊密，兩條直線平行與垂直的條件和點(diǎn)到直線的距離公式在圓錐曲線中都有廣泛的應(yīng)用，因此非常重要.

（1）平行與垂直

①平行

在討論兩條直線平行的問題時，教材先假定了兩條直線有斜截式方程，根據(jù)傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系，將初中學(xué)過的兩直線平行的充要條件（即判定定理和性質(zhì)定理）轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的語言，用斜率和截距重新加以刻畫，教學(xué)中應(yīng)注意斜率不存在的情況.

②垂直

教材上將直線的斜率轉(zhuǎn)化成方向向量，然后利用向量垂直的條件推出兩條直線垂直的條件.結(jié)合斜率不存在的情況，兩條直線垂直的充要條件可敘述為：

或 一個為0，另一個不存在.

（2）夾角

①應(yīng)正確區(qū)分直線 到 的角、直線 到 的角、直線 和 的夾角這三個概念.

到 的角是帶方向的角，它是指 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與 重合時所轉(zhuǎn)的角，它與 到 的角是不同的，如果設(shè)前者是 ，后者是 ，則 ＋ ＝ . 與 所夾的不大于 的角成為 和 的夾角，夾角不帶方向.

當(dāng) 到 的角為銳角 時，則 和 的夾角也是 ；當(dāng) 到 的角為鈍角 時，則 和 的夾角也是 .

②在求直線 到 的角 時，應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，找出 與 ， 的傾斜角 ， 關(guān)系，得出 或 ，然后由 ， 聯(lián)想差角的正切公式，便可把圖形的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)語言來表示，推導(dǎo)出

.

再由 與 的夾角與 到 的角之間的關(guān)系，而得出夾角計算公式

這種把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的方法，是解析幾何的基本方法，要認(rèn)真揣摩.

③對于以上兩個求角公式，在解決實際問題時，要注意根據(jù)具體情況選用.

（3）交點(diǎn)

①求兩條直線的交點(diǎn)問題就是求它們的方程的公共解的問題，這可以由直線的方程與方程的直線的定義來理解.

②在同一平面內(nèi)，兩條直線有三種位置關(guān)系：相交、平行、重合，相應(yīng)的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況：有惟一解、無解、無數(shù)多個解.但在實際判定時，利用直線的斜率和截距更方便.若 ， ，則：

           與 相交 ；

           且 ；

           與 重合 且 .

（4）點(diǎn)到直線的距離

①點(diǎn)到直線的距離公式是研究點(diǎn)與直線位置關(guān)系的重要工具.教科書借助于直角三角形的面積公式，推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式.在推導(dǎo)過程中，把與兩條坐標(biāo)軸都不平行的線段的長度的計算，轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)軸平等或垂直的線段長度的計算，從而簡化了運(yùn)算過程.

②利用點(diǎn)到直線的距離公式可推出兩平行線 ， 間的距離公式： .

③點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)，有多種方法，應(yīng)鼓勵同學(xué)們思考，下面介紹一種較簡便的方法.

如右圖，設(shè) ，過點(diǎn) 作直線 的垂線，垂足為 ，則有

即

得

，

即         ，

                    .

當(dāng) 時，上述公式也成立.

（5）當(dāng)直線中有一條沒有斜率時，討論平行、垂直、角、距離的問題，不必套用以上結(jié)論，這時可結(jié)合圖形幾何性質(zhì)；直接求解.

二、教法建議

1.本節(jié)知識與初中所學(xué)的平面幾何知識和三角知識聯(lián)系非常緊密，教學(xué)時應(yīng)加強(qiáng)啟發(fā)和引導(dǎo).如學(xué)生對兩條直線的平行同位角相等的條件已經(jīng)非常熟悉，因此在研究兩直線平行時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生迅速建立聯(lián)系：同位角—傾斜角—斜率（直線方程）.又如，在求 到 的角 時，根據(jù)圖形中角的關(guān)系，建立 與傾斜角 和 的聯(lián)系（有且只有 或 兩種情況），進(jìn)而借助三角建立與斜率的關(guān)系，得出公式.

2.本節(jié)內(nèi)容中在研究兩直線的垂直條件時，由于采用向量這一更高級的工具來處理，顯得既簡單又深刻.所以教學(xué)中應(yīng)注意向量工具的運(yùn)用，可讓學(xué)生嘗試用向量推導(dǎo)兩直線平行的條件和點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo).

3.本節(jié)內(nèi)容新概念不多，但要求推導(dǎo)的內(nèi)容不少，教學(xué)時要堅持啟發(fā)式的教學(xué)思想，重點(diǎn)放在思路的探求和結(jié)論或公式的運(yùn)用上.本節(jié)不少內(nèi)容可安排學(xué)生自學(xué)和討論，還要適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生能熟練地掌握公式，增強(qiáng)學(xué)生動手計算的能力.本節(jié)還要加強(qiáng)根據(jù)已知條件求直線方程的教學(xué).

4.不僅要使學(xué)生熟悉用斜率求兩直線夾角的公式，也要掌握根據(jù)直線方程系數(shù)求夾角的方法（即教材中例6的方法），同時會根據(jù)所給條件選用.

5.已知兩直線的方程會求其交點(diǎn)即可，不必研究兩直線方程系數(shù)與位置關(guān)系之間的關(guān)系.

6.在學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線距離公式時，可利用課余時間發(fā)動學(xué)生尋找更多的推導(dǎo)公式的方法，并通過尋找多種推導(dǎo)公式的方法，鍛煉思維，培養(yǎng)能力.

7.本節(jié)學(xué)完以后學(xué)生可以解決很多較復(fù)雜、較綜合的問題，如對稱問題、直線系過定點(diǎn)問題、光路最短與足球射門角度最大等最值問題.教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)安排一些這樣的內(nèi)容，以訓(xùn)練學(xué)生思維和培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

教學(xué)設(shè)計方案

課題：點(diǎn)到直線的距離

教學(xué)目標(biāo) ：（1）理解點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過程.

（2）會求點(diǎn)到直線的距離.

（3）在探索點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)思路的過程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、積極探索的精神.

教學(xué)用具：計算機(jī)

教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)法，討論法

教學(xué)過程 ：

一、引入

點(diǎn)到直線的距離是指過點(diǎn) 作 的垂線， 與垂足 之間的長度

【問題1】已知點(diǎn) （-1，2）和直線 ： ，求 點(diǎn)到直線 的距離.

（由學(xué)生分析、解答）

分析：先求出過 點(diǎn)和 垂直的直線：

： ，再求出 和 的交點(diǎn)

∴

如果把問題1一般化就有如下問題：

【問題2】已知： 和直線 ： （ 不在直線 上，且 ， ），試求 點(diǎn)到直線 的距離.

二、點(diǎn)到直線距離

分析1：要求 的長度可以象問題1的解法一樣，利用兩點(diǎn)的距離公式可以求 的長度.

∵ 點(diǎn)坐標(biāo)已知，∴只要求出 點(diǎn)坐標(biāo)就可以了.

又∵ 點(diǎn)是直線 和直線 的交點(diǎn)

又∵直線 的方程已知

∴只要求出直線 的方程就可以了.

即： ← 點(diǎn)坐標(biāo)←直線 與直線 的交點(diǎn)←直線 的方程←直線 的斜率←直線 的斜率

（這一解法在課前由學(xué)生自學(xué)完成，課上進(jìn)行評價總結(jié)）

問：這種解法好不好，為什么?

根據(jù)學(xué)生討論，教師適時啟發(fā)、引導(dǎo)，得出

分析2：如果 垂直坐標(biāo)軸，則交點(diǎn)和距離都容易求出，那么不妨做出與坐標(biāo)軸垂直的線段 和 ，如圖1所示，顯然相對而言 ，和 好求一些，事實上，設(shè) 到直線的距離為 ， 坐標(biāo)為 ， 坐標(biāo)為 ，則易求：

，

所以： ，

所以：

根據(jù)三角形面積公式：

所以： （至此問題2已經(jīng)解決）

公式 的完善.

容易驗證（由學(xué)生完成）：

當(dāng) ，即 軸時，公式成立；

當(dāng) ，即 軸時，公式成立；

當(dāng) 點(diǎn)在 上時，公式成立.

公式 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

師生一起總結(jié)：

（1）分子是 點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程；

（2）分母是直線未知數(shù) 、 系數(shù)平方和的算術(shù)根.

類似于勾股定理求斜邊的長

三、檢測與鞏固

練習(xí)1

（1） 到直線 的距離是________.

（2） 到直線 的距離是_______.

（3）用公式解 到直線 的距離是______.

（4） 到直線 的距離是_________.

訂正答案：（1）5；（2）0；（3） ；（4） .

練習(xí)2

1.求平行直線 和 的距離.

解：在直線 上任取一點(diǎn)，如 ，則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離.

因此， ＝ ＝

【問題3】

兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢？求兩條平行直線 與 0的距離.

解：在直線上 任取一點(diǎn)，如

則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離，（如圖2）.

因此， ＝ ＝

注意：用公式時，注意一次項系數(shù)是否一致.

四、小結(jié)作業(yè) 

1、點(diǎn)到直線的距離公式及其推導(dǎo)；

師生一起總結(jié)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過程：

2、利用公式求點(diǎn)到直線的距離.

3、探索兩平行直線的距離

4、探索“已知點(diǎn)到直線的距離及一條直線求另一條直線距離.

作業(yè) ：P54  13、14、16思考研究：運(yùn)用多種方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.