圓和圓的位置關系（精選10篇）
圓和圓的位置關系 篇1
1、教材分析
(1)知識結構
(2)重點、難點分析
重點:兩圓的位置關系和兩圓相交、相切的性質.它們是本節的主要內容,是圓的重要概念性知識,也是今后研究圓與圓問題的基礎知識.
難點:兩圓位置關系的判定與相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦的性質的運用.由于兩圓位置關系有5種類型,非凡是相離有外離和內含,相切有外切和內切,學生輕易遺漏;而在相交圓的性質應用中,學生輕易把“相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.”看成是真命題.
2、教法建議
本節內容需要兩個課時.第一課時主要研究圓和圓的位置關系;第二課時相交兩圓的性質.
(1)把課堂活動設計的重點放在如何調動學生的主體,讓學生觀察、分析、歸納概括,主動獲得知識;
(2)要重視圓的對稱美的教學,組織學生欣賞,在激發學生的學習愛好中,獲得知識,提高能力;
(3)在教學中,以分類思想為指導,以數形結合為方法,貫串整個教學過程.
第一課時 圓和圓的位置關系
教學目標:
1.把握圓與圓的五種位置關系的定義、性質及判定方法;兩圓連心線的性質;
2.通過兩圓的位置關系,培養學生的分類能力和數形結合能力;
3.通過演示兩圓的位置關系,培養學生用運動變化的觀點來分析和發現問題的能力.
教學重點:
兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數量之間的關系.
教學難點:
兩圓位置關系及判定.
(一)復習、引出問題
1.復習:直線和圓有幾種位置關系?各是怎樣定義的?
(教師主導,學生回憶、回答)直線和圓有三種位置關系,即直線和圓相離、相切、相交.各種位置關系是通過直線與圓的公共點的個數來定義的
2.引出問題:平面內兩個圓,它們作相對運動,將會產生什么樣的位置關系呢?
(二)觀察、分類,得出概念
1、讓學生觀察、分析、比較,分別得出兩圓:外離、外切、相交、內切、內含(包括同心圓)這五種位置關系,準確給出描述性定義:
(1)外離:兩個圓沒有公共點,并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時,叫做這兩個圓外離.(圖(1))
(2)外切:兩個圓有唯一的公共點,并且除了這個公共點以外,每個圓上的點都在另一個圓的外部時,叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(2))
(3)相交:兩個圓有兩個公共點,此時叫做這兩個圓相交.(圖(3))
(4)內切:兩個圓有唯一的公共點,并且除了這個公共點以外,一個圓上的點都在另一個圓的內部時,叫做這兩個圓內切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(4))
(5)內含:兩個圓沒有公共點,并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時,叫做這兩個圓內含(圖(5)).兩圓同心是兩圓內含的一個特例. (圖(6))
2、歸納:
(1)兩圓外離與內含時,兩圓都無公共點.
(2)兩圓外切和內切統稱兩圓相切,即外切和內切的共性是公共點的個數唯一
(3)兩圓位置關系的五種情況也可歸納為三類:相離(外離和內含);相交;相切(外切和內切).
教師組織學生歸納,并進一步考慮:從兩圓的公共點的個數考慮,無公共點則相離;有一個公共點則相切;有兩個公共點則相交.除以上關系外,還有其它關系嗎?可能不可能有三個公共點?
結論:在同一平面內任意兩圓只存在以上五種位置關系.
(三)分析、研究
1、相切兩圓的性質.
讓學生觀察連心線與切點的關系,分析、研究,得到相切兩圓的連心線的性質:
假如兩個圓相切,那么切點一定在連心線上.
這個性質由圓的軸對稱性得到,有愛好的同學課下可以考慮如何對這一性質進行證實
2、兩圓位置關系的數量特征.
設兩圓半徑分別為r和r.圓心距為d,組織學生研究兩圓的五種位置關系,r和d之間有何數量關系.(圖形略)
兩圓外切 d=r r;
兩圓內切 d=rr (r>r);
兩圓外離 d>r r;
兩圓內含 d<rr(r>r);
兩圓相交 rr<d<r r.
說明:注重“數形結合”思想的教學.
(四)應用、練習
例1: 如圖,⊙o的半徑為5厘米,點p是⊙o外一點,op=8厘米
求:(1)以p為圓心作⊙p與⊙o外切,小圓⊙p的半徑是多少?
(2)以p為圓心作⊙p與⊙o內切,大圓⊙p的半徑是多少?
解:(1)設⊙p與⊙o外切與點a,則
pa=pooa
∴pa=3cm.
(2)設⊙p與⊙o內切與點b,則
pb=po ob
∴pb=1 3cm.
例2:已知:如圖,△abc中,∠c=90°,ac=12,bc=8,以ac為直徑作⊙o,以b為圓心,4為半徑作.
求證:⊙o與⊙b相外切.
證實:連結bo,∵ac為⊙o的直徑,ac=12,
∴⊙o的半徑 ,且o是ac的中點
∴ ,∵∠c=90°且bc=8,
∴ ,
∵⊙o的半徑 ,⊙b的半徑 ,
∴bo= ,∴⊙o與⊙b相外切.
練習(p138)
(五)小結
知識:①兩圓的五種位置關系:外離、外切、相交、內切、內含;
②以及這五種位置關系下圓心距和兩圓半徑的數量關系;
③兩圓相切時切點在連心線上的性質.
能力:觀察、分析、分類、數形結合等能力.
思想方法:分類思想、數形結合思想.
(六)作業
教材p151中習題a組2,3,4題.
第二課時 相交兩圓的性質
教學目標
1、把握相交兩圓的性質定理;
2、把握相交兩圓問題中常添的輔助線的作法;
3、通過例題的分析,培養學生分析問題、解決問題的能力;
4、結合相交兩圓連心線性質教學向學生滲透幾何圖形的對稱美.
教學重點
相交兩圓的性質及應用.
教學難點
應用軸對稱來證實相交兩圓連心線的性質和準確添加輔助線.
教學活動設計
(一)圖形的對稱美
相切兩圓是以連心線為對稱軸的對稱圖形.相交兩圓具有什么性質呢?
(二)觀察、猜想、證實
1、觀察:同樣相交兩圓,也構成對稱圖形,它是以連心線為對稱軸的軸對稱圖形.
2、猜想:“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”.
3、證實:
對a層學生讓學生寫出已知、求證、證實,教師組織;對b、c層在教師引導下完成.
已知:⊙o1和⊙o2相交于a,b.
求證:q1o2是ab的垂直平分線.
分析:要證實o1o2是ab的垂直平分線,只要證實o1o2上的點和線段ab兩個端點的距離相等,于是想到連結o1a、o2a、o1b、o2b.
證實:連結o1a、o1b、 o2a、o2b,∵o1a=o1b,
∴o1點在ab的垂直平分線上.
又∵o2a=o2b,∴點o2在ab的垂直平分線上.
因此o1o2是ab的垂直平分線.
也可考慮利用圓的軸對稱性加以證實:
∵⊙ol和⊙o2,是軸對稱圖形,∴直線o1o2是⊙ol和⊙o2的對稱軸.
∴⊙ol和⊙o2的公共點a關于直線o1o2的對稱點即在⊙ol上又在⊙o2上.
∴a點關于直線o1o2的對稱點只能是b點,
∴連心線o1o2是ab的垂直平分線.
定理:相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.
注重:相交兩圓連心線垂直平分兩圓的公共弦,而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.
(三)應用、反思
例1、已知兩個等圓⊙ol和⊙o2相交于a,b兩點,⊙ol經o2。
求∠olab的度數.
分析:由所學定理可知,o1o2是ab的垂直平分線,
又⊙o1與⊙o2是兩個等圓,因此連結o1o2和ao2,ao1,△o1ao2構成等邊三角形,同時可以推證⊙o l和⊙o2構成的圖形不僅是以o1o2為對稱軸的軸對稱圖形,同時還是以ab為對稱軸的軸對稱圖形.從而可由
∠olao2=60°,推得∠olab=30°.
解:⊙o1經過o 2,⊙o1與⊙o2是兩個等圓
∴ola= o1o2= ao2
∴∠o1a o2=60°,
又ab⊥o1o2
∴∠olab =30°.
例2、已知,如圖,a是⊙o l、⊙o2的一個交點,點p是o1o2的中點。過點a的直線mn垂直于pa,交⊙o l、⊙o2于m、n。
求證:am=an.
證實:過點ol、o2分別作olc⊥mn、o2d⊥mn,垂足為c、d,則olc∥pa∥o2d,且ac= am,ad= an.
∵olp= o2p ,∴ad=am,∴am=an.
例3、已知:如圖,⊙ol與⊙o2相交于a、b兩點,c為⊙ol上一點,ac交⊙o2于d,過b作直線ef交⊙ol、⊙o2于e、f.
求證:ec∥df
證實:連結ab
∵在⊙o2中∠f=∠cab,
在⊙ol中∠cab=∠e,
∴∠f=∠e,∴ec∥df.
反思:在解有關相交兩圓的問題時,常作出連心線、公共弦,或連結交點與圓心,從而把兩圓半徑,公共弦長的一半,圓心距集中到一個三角形中,運用三角形有關知識來解,或者結合相交弦定理,圓周角定理綜合分析求解.
(四)小結
知識:相交兩圓的性質:相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.該定理可以作為證實兩線垂直或證實線段相等的依據.
能力與方法:①在解決兩圓相交的問題中經常需要作出兩圓的公共弦作為輔助線,使兩圓中的角或線段建立聯系,為證題創造條件,起到了“橋梁”作用;②圓的對稱性的應用.
(五)作業 教材p152習題a組7、8、9題;b組1題.
探究活動
問題1:已知ab是⊙o的直徑,點o1、o2、…、on在線段ab上,分別以o1、o2、…、on為圓心作圓,使⊙o1與⊙o內切,⊙o2與⊙o1外切,⊙o3與⊙o2外切,…,⊙on與⊙on1外切且與⊙o內切.設⊙o的周長等于c,⊙o1、⊙o2、…、⊙on的周長分別為c1、c2、…、cn.
(1)當n=2時,判定cl c2與c的大小關系;
(2)當n=3時,判定cl c2 c3與c的大小關系;
(3)當n取大于3的任一自然數時,cl十c2十…十cn與c的大小關系怎樣?證實你的結論.
提示:假設⊙o、⊙o1、⊙o2、…、⊙on的半徑分別為r、rl、r2、…、rn,通過周長計算,比較可得(1)cl c2=c;(2)cl c2 c3=c;(3)cl十c2十…十cn=c.
問題2:有八個同等大小的圓形,其中七個有陰影的圓形都固定不動,第八個圓形,緊貼另外七個無滑動地滾動,當它繞完這些固定不動的圓形一周,本身將旋轉了多少轉?
提示:1、實驗:用硬幣作初步實驗;結果硬幣一共轉了4轉.
2、分析:當你把動圓無滑動地沿著 圓周長的直線上滾動時,這個動圓是轉 轉,但是,這個動圓是沿著弧線滾動,那么方才的說法就不正確了.在我們這個題目中,那動圓繞著相當于它的圓周長的 的弧線旋轉的時候,一共走過的不是 轉;而是 轉,因此,它繞過六個這樣的弧形的時
圓和圓的位置關系 篇2
1、教材分析
（1）知識結構
（2）重點、難點分析
重點：兩圓的位置關系和兩圓相交、相切的性質.它們是本節的主要內容，是圓的重要概念性知識，也是今后研究圓與圓問題的基礎知識.
難點：兩圓位置關系的判定與相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦的性質的運用.由于兩圓位置關系有5種類型，特別是相離有外離和內含，相切有外切和內切，學生容易遺漏；而在相交圓的性質應用中，學生容易把“相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.”看成是真命題.
2、教法建議
本節內容需要兩個課時.第一課時主要研究；第二課時相交兩圓的性質.
（1）把課堂活動設計的重點放在如何調動學生的主體，讓學生觀察、分析、歸納概括，主動獲得知識；
（2）要重視圓的對稱美的教學，組織學生欣賞，在激發學生的學習興趣中，獲得知識，提高能力；
（3）在教學中，以分類思想為指導，以數形結合為方法，貫串整個教學過程 .
第一課時
教學目標 ：
1.掌握圓與圓的五種位置關系的定義、性質及判定方法；兩圓連心線的性質；
2.通過兩圓的位置關系，培養學生的分類能力和數形結合能力；
3.通過演示兩圓的位置關系，培養學生用運動變化的觀點來分析和發現問題的能力.
教學重點：
兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數量之間的關系.
教學難點 ：
兩圓位置關系及判定.
（一）復習、引出問題
1.復習：直線和圓有幾種位置關系?各是怎樣定義的?
（教師主導，學生回憶、回答）直線和圓有三種位置關系，即直線和圓相離、相切、相交.各種位置關系是通過直線與圓的公共點的個數來定義的
2.引出問題：平面內兩個圓，它們作相對運動，將會產生什么樣的位置關系呢?
（二）觀察、分類，得出概念
1、讓學生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內切、內含(包括同心圓)這五種位置關系，準確給出描述性定義：
(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離.(圖(1))
(2)外切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(2))
(3)相交：兩個圓有兩個公共點，此時叫做這兩個圓相交.(圖(3))
(4)內切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(4))
(5)內含：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內含(圖(5)).兩圓同心是兩圓內含的一個特例. (圖(6))
2、歸納：
(1)兩圓外離與內含時，兩圓都無公共點.
(2)兩圓外切和內切統稱兩圓相切，即外切和內切的共性是公共點的個數唯一
(3)兩圓位置關系的五種情況也可歸納為三類：相離(外離和內含)；相交；相切(外切和內切).
教師組織學生歸納，并進一步考慮：從兩圓的公共點的個數考慮，無公共點則相離；有一個公共點則相切；有兩個公共點則相交.除以上關系外，還有其它關系嗎?可能不可能有三個公共點?
結論：在同一平面內任意兩圓只存在以上五種位置關系.
（三）分析、研究
1、相切兩圓的性質.
讓學生觀察連心線與切點的關系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線的性質：
如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上.
這個性質由圓的軸對稱性得到，有興趣的同學課下可以考慮如何對這一性質進行證明
2、兩圓位置關系的數量特征.
設兩圓半徑分別為R和r.圓心距為d，組織學生研究兩圓的五種位置關系，r和d之間有何數量關系.（圖形略）
兩圓外切 d＝R+r；
兩圓內切 d＝R-r (R＞r);
兩圓外離 d＞R+r；
兩圓內含 d＜R-r(R＞r);
兩圓相交 R-r＜d＜R+r.
說明：注重“數形結合”思想的教學.
（四）應用、練習
例1： 如圖，⊙O的半徑為5厘米，點P是⊙O外一點，OP=8厘米
求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O外切，小圓⊙P的半徑是多少?
(2)以P為圓心作⊙P與⊙O內切，大圓⊙P的半徑是多少?
解：（1）設⊙P與⊙O外切與點A，則
PA=PO-OA
∴PA=3cm.
（2）設⊙P與⊙O內切與點B，則
PB=PO+OB
∴PB=1 3cm.
例2：已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC為直徑作⊙O，以B為圓心，4為半徑作.
求證：⊙O與⊙B相外切.
證明：連結BO，∵AC為⊙O的直徑，AC＝12，
∴⊙O的半徑 ，且O是AC的中點
∴ ，∵∠C=90°且BC=8，
∴ ，
∵⊙O的半徑 ，⊙B的半徑 ，
∴BO=，∴⊙O與⊙B相外切.
練習(P138)
（五）小結
知識：①兩圓的五種位置關系：外離、外切、相交、內切、內含；
②以及這五種位置關系下圓心距和兩圓半徑的數量關系；
③兩圓相切時切點在連心線上的性質.
能力：觀察、分析、分類、數形結合等能力.
思想方法：分類思想、數形結合思想.
（六）作業
教材P151中習題A組2，3，4題.
第二課時 相交兩圓的性質
教學目標
1、掌握相交兩圓的性質定理；
2、掌握相交兩圓問題中常添的輔助線的作法；
3、通過例題的分析，培養學生分析問題、解決問題的能力；
4、結合相交兩圓連心線性質教學向學生滲透幾何圖形的對稱美.
教學重點
相交兩圓的性質及應用.
教學難點
應用軸對稱來證明相交兩圓連心線的性質和準確添加輔助線.
教學活動設計
（一）圖形的對稱美
相切兩圓是以連心線為對稱軸的對稱圖形.相交兩圓具有什么性質呢?
（二）觀察、猜想、證明
1、觀察：同樣相交兩圓，也構成對稱圖形，它是以連心線為對稱軸的軸對稱圖形.
2、猜想：“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”.
3、證明：
對A層學生讓學生寫出已知、求證、證明，教師組織；對B、C層在教師引導下完成.
已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B.
求證：Q1O2是AB的垂直平分線.
分析：要證明O1O2是AB的垂直平分線，只要證明O1O2上的點和線段AB兩個端點的距離相等，于是想到連結O1A、O2A、O1B、O2B.
證明：連結O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B，
∴O1點在AB的垂直平分線上.
又∵O2A＝O2B，∴點O2在AB的垂直平分線上.
因此O1O2是AB的垂直平分線.
也可考慮利用圓的軸對稱性加以證明：
∵⊙Ol和⊙O2，是軸對稱圖形，∴直線O1O2是⊙Ol和⊙O2的對稱軸.
∴⊙Ol和⊙O2的公共點A關于直線O1O2的對稱點即在⊙Ol上又在⊙O2上.
∴A點關于直線O1O2的對稱點只能是B點，
∴連心線O1O2是AB的垂直平分線.
定理：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.
注意：相交兩圓連心線垂直平分兩圓的公共弦，而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.
（三）應用、反思
例1、已知兩個等圓⊙Ol和⊙O2相交于A，B兩點，⊙Ol經O2。
求∠OlAB的度數.
分析：由所學定理可知，O1O2是AB的垂直平分線，
又⊙O1與⊙O2是兩個等圓，因此連結O1O2和AO2，AO1，△O1AO2構成等邊三角形，同時可以推證⊙O l和⊙O2構成的圖形不僅是以O1O2為對稱軸的軸對稱圖形，同時還是以AB為對稱軸的軸對稱圖形.從而可由
∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°.
解：⊙O1經過O2，⊙O1與⊙O2是兩個等圓
∴OlA=O1O2=AO2
∴∠O1A O2=60°，
又AB⊥O1O2
∴∠OlAB =30°.
例2、已知，如圖，A是⊙O l、⊙O2的一個交點，點P是O1O2的中點。過點A的直線MN垂直于PA，交⊙O l、⊙O2于M、N。
求證：AM=AN.
證明：過點Ol、O2分別作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足為C、D，則OlC∥PA∥O2D，且AC= AM，AD= AN.
∵OlP=O2P ，∴AD=AM，∴AM=AN.
例3、已知：如圖，⊙Ol與⊙O2相交于A、B兩點，C為⊙Ol上一點，AC交⊙O2于D，過B作直線EF交⊙Ol、⊙O2于E、F.
求證：EC∥DF
證明：連結AB
∵在⊙O2中∠F=∠CAB，
在⊙Ol中∠CAB=∠E，
∴∠F=∠E，∴EC∥DF.
反思：在解有關相交兩圓的問題時，常作出連心線、公共弦，或連結交點與圓心，從而把兩圓半徑，公共弦長的一半，圓心距集中到一個三角形中，運用三角形有關知識來解，或者結合相交弦定理，圓周角定理綜合分析求解.
（四）小結
知識：相交兩圓的性質：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.該定理可以作為證明兩線垂直或證明線段相等的依據.
能力與方法：①在解決兩圓相交的問題中常常需要作出兩圓的公共弦作為輔助線，使兩圓中的角或線段建立聯系，為證題創造條件，起到了“橋梁”作用；②圓的對稱性的應用.
（五）作業 教材P152習題A組7、8、9題；B組1題.
探究活動
問題1：已知AB是⊙O的直徑，點O1、O2、…、On在線段AB上，分別以O1、O2、…、On為圓心作圓，使⊙O1與⊙O內切，⊙O2與⊙O1外切，⊙O3與⊙O2外切，…，⊙On與⊙On-1外切且與⊙O內切.設⊙O的周長等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周長分別為C1、C2、…、Cn.
(1)當n=2時，判斷Cl+C2與C的大小關系；
(2)當n=3時，判斷Cl+C2+ C3與C的大小關系；
(3)當n取大于3的任一自然數時，Cl十C2十…十Cn與C的大小關系怎樣?證明你的結論.
提示：假設⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半徑分別為r、rl、r2、…、rn，通過周長計算，比較可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+ C3=C；（3）Cl十C2十…十Cn=C.
問題2：有八個同等大小的圓形，其中七個有陰影的圓形都固定不動，第八個圓形，緊貼另外七個無滑動地滾動，當它繞完這些固定不動的圓形一周，本身將旋轉了多少轉？
提示：1、實驗：用硬幣作初步實驗；結果硬幣一共轉了4轉.
2、分析：當你把動圓無滑動地沿著 圓周長的直線上滾動時，這個動圓是轉 轉，但是，這個動圓是沿著弧線滾動，那么方才的說法就不正確了.在我們這個題目中，那動圓繞著相當于它的圓周長的 的弧線旋轉的時候，一共走過的不是 轉；而是 轉，因此，它繞過六個這樣的弧形的時，就轉了 轉
圓和圓的位置關系 篇3
1、教材分析
（1）知識結構
（2）重點、難點分析
重點：兩圓的位置關系和兩圓相交、相切的性質.它們是本節的主要內容，是圓的重要概念性知識，也是今后研究圓與圓問題的基礎知識.
難點：兩圓位置關系的判定與相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦的性質的運用.由于兩圓位置關系有5種類型，特別是相離有外離和內含，相切有外切和內切，學生容易遺漏；而在相交圓的性質應用中，學生容易把“相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.”看成是真命題.
2、教法建議
本節內容需要兩個課時.第一課時主要研究；第二課時相交兩圓的性質.
（1）把課堂活動設計的重點放在如何調動學生的主體，讓學生觀察、分析、歸納概括，主動獲得知識；
（2）要重視圓的對稱美的教學，組織學生欣賞，在激發學生的學習興趣中，獲得知識，提高能力；
（3）在教學中，以分類思想為指導，以數形結合為方法，貫串整個教學過程 .
第一課時
教學目標 ：
1.掌握圓與圓的五種位置關系的定義、性質及判定方法；兩圓連心線的性質；
2.通過兩圓的位置關系，培養學生的分類能力和數形結合能力；
3.通過演示兩圓的位置關系，培養學生用運動變化的觀點來分析和發現問題的能力.
教學重點：
兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數量之間的關系.
教學難點 ：
兩圓位置關系及判定.
（一）復習、引出問題
1.復習：直線和圓有幾種位置關系?各是怎樣定義的?
（教師主導，學生回憶、回答）直線和圓有三種位置關系，即直線和圓相離、相切、相交.各種位置關系是通過直線與圓的公共點的個數來定義的
2.引出問題：平面內兩個圓，它們作相對運動，將會產生什么樣的位置關系呢?
（二）觀察、分類，得出概念
1、讓學生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內切、內含(包括同心圓)這五種位置關系，準確給出描述性定義：
(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離.(圖(1))
(2)外切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(2))
(3)相交：兩個圓有兩個公共點，此時叫做這兩個圓相交.(圖(3))
(4)內切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(4))
(5)內含：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內含(圖(5)).兩圓同心是兩圓內含的一個特例. (圖(6))
2、歸納：
(1)兩圓外離與內含時，兩圓都無公共點.
(2)兩圓外切和內切統稱兩圓相切，即外切和內切的共性是公共點的個數唯一
(3)兩圓位置關系的五種情況也可歸納為三類：相離(外離和內含)；相交；相切(外切和內切).
教師組織學生歸納，并進一步考慮：從兩圓的公共點的個數考慮，無公共點則相離；有一個公共點則相切；有兩個公共點則相交.除以上關系外，還有其它關系嗎?可能不可能有三個公共點?
結論：在同一平面內任意兩圓只存在以上五種位置關系.
（三）分析、研究
1、相切兩圓的性質.
讓學生觀察連心線與切點的關系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線的性質：
如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上.
這個性質由圓的軸對稱性得到，有興趣的同學課下可以考慮如何對這一性質進行證明
2、兩圓位置關系的數量特征.
設兩圓半徑分別為R和r.圓心距為d，組織學生研究兩圓的五種位置關系，r和d之間有何數量關系.（圖形略）
兩圓外切 d＝R+r；
兩圓內切 d＝R-r (R＞r);
兩圓外離 d＞R+r；
兩圓內含 d＜R-r(R＞r);
兩圓相交 R-r＜d＜R+r.
說明：注重“數形結合”思想的教學.
（四）應用、練習
例1： 如圖，⊙O的半徑為5厘米，點P是⊙O外一點，OP=8厘米
求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O外切，小圓⊙P的半徑是多少?
(2)以P為圓心作⊙P與⊙O內切，大圓⊙P的半徑是多少?
解：（1）設⊙P與⊙O外切與點A，則
PA=PO-OA
∴PA=3cm.
（2）設⊙P與⊙O內切與點B，則
PB=PO+OB
∴PB=1 3cm.
例2：已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC為直徑作⊙O，以B為圓心，4為半徑作.
求證：⊙O與⊙B相外切.
證明：連結BO，∵AC為⊙O的直徑，AC＝12，
∴⊙O的半徑 ，且O是AC的中點
∴ ，∵∠C=90°且BC=8，
∴ ，
∵⊙O的半徑 ，⊙B的半徑 ，
∴BO= ，∴⊙O與⊙B相外切.
練習(P138)
（五）小結
知識：①兩圓的五種位置關系：外離、外切、相交、內切、內含；
②以及這五種位置關系下圓心距和兩圓半徑的數量關系；
③兩圓相切時切點在連心線上的性質.
能力：觀察、分析、分類、數形結合等能力.
思想方法：分類思想、數形結合思想.
（六）作業
教材P151中習題A組2，3，4題.
第二課時 相交兩圓的性質
教學目標
1、掌握相交兩圓的性質定理；
2、掌握相交兩圓問題中常添的輔助線的作法；
3、通過例題的分析，培養學生分析問題、解決問題的能力；
4、結合相交兩圓連心線性質教學向學生滲透幾何圖形的對稱美.
教學重點
相交兩圓的性質及應用.
教學難點
應用軸對稱來證明相交兩圓連心線的性質和準確添加輔助線.
教學活動設計
（一）圖形的對稱美
相切兩圓是以連心線為對稱軸的對稱圖形.相交兩圓具有什么性質呢?
（二）觀察、猜想、證明
1、觀察：同樣相交兩圓，也構成對稱圖形，它是以連心線為對稱軸的軸對稱圖形.
2、猜想：“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”.
3、證明：
對A層學生讓學生寫出已知、求證、證明，教師組織；對B、C層在教師引導下完成.
已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B.
求證：Q1O2是AB的垂直平分線.
分析：要證明O1O2是AB的垂直平分線，只要證明O1O2上的點和線段AB兩個端點的距離相等，于是想到連結O1A、O2A、O1B、O2B.
證明：連結O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B，
∴O1點在AB的垂直平分線上.
又∵O2A＝O2B，∴點O2在AB的垂直平分線上.
因此O1O2是AB的垂直平分線.
也可考慮利用圓的軸對稱性加以證明：
∵⊙Ol和⊙O2，是軸對稱圖形，∴直線O1O2是⊙Ol和⊙O2的對稱軸.
∴⊙Ol和⊙O2的公共點A關于直線O1O2的對稱點即在⊙Ol上又在⊙O2上.
∴A點關于直線O1O2的對稱點只能是B點，
∴連心線O1O2是AB的垂直平分線.
定理：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.
注意：相交兩圓連心線垂直平分兩圓的公共弦，而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.
（三）應用、反思
例1、已知兩個等圓⊙Ol和⊙O2相交于A，B兩點，⊙Ol經O2。
求∠OlAB的度數.
分析：由所學定理可知，O1O2是AB的垂直平分線，
又⊙O1與⊙O2是兩個等圓，因此連結O1O2和AO2，AO1，△O1AO2構成等邊三角形，同時可以推證⊙O l和⊙O2構成的圖形不僅是以O1O2為對稱軸的軸對稱圖形，同時還是以AB為對稱軸的軸對稱圖形.從而可由
∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°.
解：⊙O1經過O2，⊙O1與⊙O2是兩個等圓
∴OlA=O1O2=AO2
∴∠O1A O2=60°，
又AB⊥O1O2
∴∠OlAB =30°.
例2、已知，如圖，A是⊙O l、⊙O2的一個交點，點P是O1O2的中點。過點A的直線MN垂直于PA，交⊙O l、⊙O2于M、N。
求證：AM=AN.
證明：過點Ol、O2分別作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足為C、D，則OlC∥PA∥O2D，且AC= AM，AD= AN.
∵OlP=O2P ，∴AD=AM，∴AM=AN.
例3、已知：如圖，⊙Ol與⊙O2相交于A、B兩點，C為⊙Ol上一點，AC交⊙O2于D，過B作直線EF交⊙Ol、⊙O2于E、F.
求證：EC∥DF
證明：連結AB
∵在⊙O2中∠F=∠CAB，
在⊙Ol中∠CAB=∠E，
∴∠F=∠E，∴EC∥DF.
反思：在解有關相交兩圓的問題時，常作出連心線、公共弦，或連結交點與圓心，從而把兩圓半徑，公共弦長的一半，圓心距集中到一個三角形中，運用三角形有關知識來解，或者結合相交弦定理，圓周角定理綜合分析求解.
（四）小結
知識：相交兩圓的性質：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.該定理可以作為證明兩線垂直或證明線段相等的依據.
能力與方法：①在解決兩圓相交的問題中常常需要作出兩圓的公共弦作為輔助線，使兩圓中的角或線段建立聯系，為證題創造條件，起到了“橋梁”作用；②圓的對稱性的應用.
（五）作業 教材P152習題A組7、8、9題；B組1題.
探究活動
問題1：已知AB是⊙O的直徑，點O1、O2、…、On在線段AB上，分別以O1、O2、…、On為圓心作圓，使⊙O1與⊙O內切，⊙O2與⊙O1外切，⊙O3與⊙O2外切，…，⊙On與⊙On-1外切且與⊙O內切.設⊙O的周長等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周長分別為C1、C2、…、Cn.
(1)當n=2時，判斷Cl+C2與C的大小關系；
(2)當n=3時，判斷Cl+C2+ C3與C的大小關系；
(3)當n取大于3的任一自然數時，Cl十C2十…十Cn與C的大小關系怎樣?證明你的結論.
提示：假設⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半徑分別為r、rl、r2、…、rn，通過周長計算，比較可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+ C3=C；（3）Cl十C2十…十Cn=C.
問題2：有八個同等大小的圓形，其中七個有陰影的圓形都固定不動，第八個圓形，緊貼另外七個無滑動地滾動，當它繞完這些固定不動的圓形一周，本身將旋轉了多少轉？
提示：1、實驗：用硬幣作初步實驗；結果硬幣一共轉了4轉.
2、分析：當你把動圓無滑動地沿著 圓周長的直線上滾動時，這個動圓是轉 轉，但是，這個動圓是沿著弧線滾動，那么方才的說法就不正確了.在我們這個題目中，那動圓繞著相當于它的圓周長的 的弧線旋轉的時候，一共走過的不是 轉；而是 轉，因此，它繞過六個這樣的弧形的時，就轉了 轉
圓和圓的位置關系 篇4
1、教材分析
（1）知識結構
（2）重點、難點分析
重點：兩圓的位置關系和兩圓相交、相切的性質.它們是本節的主要內容，是圓的重要概念性知識，也是今后研究圓與圓問題的基礎知識.
難點：兩圓位置關系的判定與相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦的性質的運用.由于兩圓位置關系有5種類型，特別是相離有外離和內含，相切有外切和內切，學生容易遺漏；而在相交圓的性質應用中，學生容易把“相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.”看成是真命題.
2、教法建議
本節內容需要兩個課時.第一課時主要研究；第二課時相交兩圓的性質.
（1）把課堂活動設計的重點放在如何調動學生的主體，讓學生觀察、分析、歸納概括，主動獲得知識；
（2）要重視圓的對稱美的教學，組織學生欣賞，在激發學生的學習興趣中，獲得知識，提高能力；
（3）在教學中，以分類思想為指導，以數形結合為方法，貫串整個教學過程.
第一課時
教學目標：
1.掌握圓與圓的五種位置關系的定義、性質及判定方法；兩圓連心線的性質；
2.通過兩圓的位置關系，培養學生的分類能力和數形結合能力；
3.通過演示兩圓的位置關系，培養學生用運動變化的觀點來分析和發現問題的能力.
教學重點：
兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數量之間的關系.
教學難點：
兩圓位置關系及判定.
（一）復習、引出問題
1.復習：直線和圓有幾種位置關系?各是怎樣定義的?
（教師主導，學生回憶、回答）直線和圓有三種位置關系，即直線和圓相離、相切、相交.各種位置關系是通過直線與圓的公共點的個數來定義的
2.引出問題：平面內兩個圓，它們作相對運動，將會產生什么樣的位置關系呢?
（二）觀察、分類，得出概念
1、讓學生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內切、內含(包括同心圓)這五種位置關系，準確給出描述性定義：
(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離.(圖(1))
(2)外切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(2))
(3)相交：兩個圓有兩個公共點，此時叫做這兩個圓相交.(圖(3))
(4)內切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(4))
(5)內含：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內含(圖(5)).兩圓同心是兩圓內含的一個特例. (圖(6))
2、歸納：
(1)兩圓外離與內含時，兩圓都無公共點.
(2)兩圓外切和內切統稱兩圓相切，即外切和內切的共性是公共點的個數唯一
(3)兩圓位置關系的五種情況也可歸納為三類：相離(外離和內含)；相交；相切(外切和內切).
教師組織學生歸納，并進一步考慮：從兩圓的公共點的個數考慮，無公共點則相離；有一個公共點則相切；有兩個公共點則相交.除以上關系外，還有其它關系嗎?可能不可能有三個公共點?
結論：在同一平面內任意兩圓只存在以上五種位置關系.
（三）分析、研究
1、相切兩圓的性質.
讓學生觀察連心線與切點的關系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線的性質：
如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上.
這個性質由圓的軸對稱性得到，有興趣的同學課下可以考慮如何對這一性質進行證明
2、兩圓位置關系的數量特征.
設兩圓半徑分別為R和r.圓心距為d，組織學生研究兩圓的五種位置關系，r和d之間有何數量關系.（圖形略）
兩圓外切 d＝R+r；
兩圓內切 d＝R-r (R＞r);
兩圓外離 d＞R+r；
兩圓內含 d＜R-r(R＞r);
兩圓相交 R-r＜d＜R+r.
說明：注重“數形結合”思想的教學.
（四）應用、練習
例1： 如圖，⊙O的半徑為5厘米，點P是⊙O外一點，OP=8厘米
求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O外切，小圓⊙P的半徑是多少?
(2)以P為圓心作⊙P與⊙O內切，大圓⊙P的半徑是多少?
解：（1）設⊙P與⊙O外切與點A，則
PA=PO-OA
∴PA=3cm.
（2）設⊙P與⊙O內切與點B，則
PB=PO+OB
∴PB=1 3cm.
例2：已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC為直徑作⊙O，以B為圓心，4為半徑作.
求證：⊙O與⊙B相外切.
證明：連結BO，∵AC為⊙O的直徑，AC＝12，
∴⊙O的半徑 ，且O是AC的中點
∴ ，∵∠C=90°且BC=8，
∴ ，
∵⊙O的半徑 ，⊙B的半徑 ，
∴BO=，∴⊙O與⊙B相外切.
練習(P138)
（五）小結
知識：①兩圓的五種位置關系：外離、外切、相交、內切、內含；
②以及這五種位置關系下圓心距和兩圓半徑的數量關系；
③兩圓相切時切點在連心線上的性質.
能力：觀察、分析、分類、數形結合等能力.
思想方法：分類思想、數形結合思想.
（六）作業
教材P151中習題A組2，3，4題.
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圓和圓的位置關系 篇5
1、教材分析
（1）知識結構
（2）重點、難點分析
重點：兩圓的位置關系和兩圓相交、相切的性質.它們是本節的主要內容，是圓的重要概念性知識，也是今后研究圓與圓問題的基礎知識.
難點：兩圓位置關系的判定與相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦的性質的運用.由于兩圓位置關系有5種類型，特別是相離有外離和內含，相切有外切和內切，學生容易遺漏；而在相交圓的性質應用中，學生容易把“相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.”看成是真命題.
2、教法建議
本節內容需要兩個課時.第一課時主要研究；第二課時相交兩圓的性質.
（1）把課堂活動設計的重點放在如何調動學生的主體，讓學生觀察、分析、歸納概括，主動獲得知識；
（2）要重視圓的對稱美的教學，組織學生欣賞，在激發學生的學習興趣中，獲得知識，提高能力；
（3）在教學中，以分類思想為指導，以數形結合為方法，貫串整個教學過程.
第一課時
教學目標：
1.掌握圓與圓的五種位置關系的定義、性質及判定方法；兩圓連心線的性質；
2.通過兩圓的位置關系，培養學生的分類能力和數形結合能力；
3.通過演示兩圓的位置關系，培養學生用運動變化的觀點來分析和發現問題的能力.
教學重點：
兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數量之間的關系.
教學難點：
兩圓位置關系及判定.
（一）復習、引出問題
1.復習：直線和圓有幾種位置關系?各是怎樣定義的?
（教師主導，學生回憶、回答）直線和圓有三種位置關系，即直線和圓相離、相切、相交.各種位置關系是通過直線與圓的公共點的個數來定義的
2.引出問題：平面內兩個圓，它們作相對運動，將會產生什么樣的位置關系呢?
（二）觀察、分類，得出概念
1、讓學生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內切、內含(包括同心圓)這五種位置關系，準確給出描述性定義：
(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離.(圖(1))
(2)外切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(2))
(3)相交：兩個圓有兩個公共點，此時叫做這兩個圓相交.(圖(3))
(4)內切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(4))
(5)內含：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內含(圖(5)).兩圓同心是兩圓內含的一個特例. (圖(6))
2、歸納：
(1)兩圓外離與內含時，兩圓都無公共點.
(2)兩圓外切和內切統稱兩圓相切，即外切和內切的共性是公共點的個數唯一
(3)兩圓位置關系的五種情況也可歸納為三類：相離(外離和內含)；相交；相切(外切和內切).
教師組織學生歸納，并進一步考慮：從兩圓的公共點的個數考慮，無公共點則相離；有一個公共點則相切；有兩個公共點則相交.除以上關系外，還有其它關系嗎?可能不可能有三個公共點?
結論：在同一平面內任意兩圓只存在以上五種位置關系.
（三）分析、研究
1、相切兩圓的性質.
讓學生觀察連心線與切點的關系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線的性質：
如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上.
這個性質由圓的軸對稱性得到，有興趣的同學課下可以考慮如何對這一性質進行證明
2、兩圓位置關系的數量特征.
設兩圓半徑分別為R和r.圓心距為d，組織學生研究兩圓的五種位置關系，r和d之間有何數量關系.（圖形略）
兩圓外切 d＝R+r；
兩圓內切 d＝R-r (R＞r);
兩圓外離 d＞R+r；
兩圓內含 d＜R-r(R＞r);
兩圓相交 R-r＜d＜R+r.
說明：注重“數形結合”思想的教學.
（四）應用、練習
例1： 如圖，⊙O的半徑為5厘米，點P是⊙O外一點，OP=8厘米
求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O外切，小圓⊙P的半徑是多少?
(2)以P為圓心作⊙P與⊙O內切，大圓⊙P的半徑是多少?
解：（1）設⊙P與⊙O外切與點A，則
PA=PO-OA
∴PA=3cm.
（2）設⊙P與⊙O內切與點B，則
PB=PO+OB
∴PB=1 3cm.
例2：已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC為直徑作⊙O，以B為圓心，4為半徑作.
求證：⊙O與⊙B相外切.
證明：連結BO，∵AC為⊙O的直徑，AC＝12，
∴⊙O的半徑 ，且O是AC的中點
∴ ，∵∠C=90°且BC=8，
∴ ，
∵⊙O的半徑 ，⊙B的半徑 ，
∴BO=，∴⊙O與⊙B相外切.
練習(P138)
（五）小結
知識：①兩圓的五種位置關系：外離、外切、相交、內切、內含；
②以及這五種位置關系下圓心距和兩圓半徑的數量關系；
③兩圓相切時切點在連心線上的性質.
能力：觀察、分析、分類、數形結合等能力.
思想方法：分類思想、數形結合思想.
（六）作業
教材P151中習題A組2，3，4題.
第二課時 相交兩圓的性質
教學目標
1、掌握相交兩圓的性質定理；
2、掌握相交兩圓問題中常添的輔助線的作法；
3、通過例題的分析，培養學生分析問題、解決問題的能力；
4、結合相交兩圓連心線性質教學向學生滲透幾何圖形的對稱美.
教學重點
相交兩圓的性質及應用.
教學難點
應用軸對稱來證明相交兩圓連心線的性質和準確添加輔助線.
教學活動設計
（一）圖形的對稱美
相切兩圓是以連心線為對稱軸的對稱圖形.相交兩圓具有什么性質呢?
（二）觀察、猜想、證明
1、觀察：同樣相交兩圓，也構成對稱圖形，它是以連心線為對稱軸的軸對稱圖形.
2、猜想：“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”.
3、證明：
對A層學生讓學生寫出已知、求證、證明，教師組織；對B、C層在教師引導下完成.
已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B.
求證：Q1O2是AB的垂直平分線.
分析：要證明O1O2是AB的垂直平分線，只要證明O1O2上的點和線段AB兩個端點的距離相等，于是想到連結O1A、O2A、O1B、O2B.
證明：連結O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B，
∴O1點在AB的垂直平分線上.
又∵O2A＝O2B，∴點O2在AB的垂直平分線上.
因此O1O2是AB的垂直平分線.
也可考慮利用圓的軸對稱性加以證明：
∵⊙Ol和⊙O2，是軸對稱圖形，∴直線O1O2是⊙Ol和⊙O2的對稱軸.
∴⊙Ol和⊙O2的公共點A關于直線O1O2的對稱點即在⊙Ol上又在⊙O2上.
∴A點關于直線O1O2的對稱點只能是B點，
∴連心線O1O2是AB的垂直平分線.
定理：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.
注意：相交兩圓連心線垂直平分兩圓的公共弦，而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.
（三）應用、反思
例1、已知兩個等圓⊙Ol和⊙O2相交于A，B兩點，⊙Ol經O2。
求∠OlAB的度數.
分析：由所學定理可知，O1O2是AB的垂直平分線，
又⊙O1與⊙O2是兩個等圓，因此連結O1O2和AO2，AO1，△O1AO2構成等邊三角形，同時可以推證⊙O l和⊙O2構成的圖形不僅是以O1O2為對稱軸的軸對稱圖形，同時還是以AB為對稱軸的軸對稱圖形.從而可由
∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°.
解：⊙O1經過O2，⊙O1與⊙O2是兩個等圓
∴OlA=O1O2=AO2
∴∠O1A O2=60°，
又AB⊥O1O2
∴∠OlAB =30°.
例2、已知，如圖，A是⊙O l、⊙O2的一個交點，點P是O1O2的中點。過點A的直線MN垂直于PA，交⊙O l、⊙O2于M、N。
求證：AM=AN.
證明：過點Ol、O2分別作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足為C、D，則OlC∥PA∥O2D，且AC= AM，AD= AN.
∵OlP=O2P ，∴AD=AM，∴AM=AN.
例3、已知：如圖，⊙Ol與⊙O2相交于A、B兩點，C為⊙Ol上一點，AC交⊙O2于D，過B作直線EF交⊙Ol、⊙O2于E、F.
求證：EC∥DF
證明：連結AB
∵在⊙O2中∠F=∠CAB，
在⊙Ol中∠CAB=∠E，
∴∠F=∠E，∴EC∥DF.
反思：在解有關相交兩圓的問題時，常作出連心線、公共弦，或連結交點與圓心，從而把兩圓半徑，公共弦長的一半，圓心距集中到一個三角形中，運用三角形有關知識來解，或者結合相交弦定理，圓周角定理綜合分析求解.
（四）小結
知識：相交兩圓的性質：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.該定理可以作為證明兩線垂直或證明線段相等的依據.
能力與方法：①在解決兩圓相交的問題中常常需要作出兩圓的公共弦作為輔助線，使兩圓中的角或線段建立聯系，為證題創造條件，起到了“橋梁”作用；②圓的對稱性的應用.
（五）作業 教材P152習題A組7、8、9題；B組1題.
探究活動
問題1：已知AB是⊙O的直徑，點O1、O2、…、On在線段AB上，分別以O1、O2、…、On為圓心作圓，使⊙O1與⊙O內切，⊙O2與⊙O1外切，⊙O3與⊙O2外切，…，⊙On與⊙On-1外切且與⊙O內切.設⊙O的周長等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周長分別為C1、C2、…、Cn.
(1)當n=2時，判斷Cl+C2與C的大小關系；
(2)當n=3時，判斷Cl+C2+ C3與C的大小關系；
(3)當n取大于3的任一自然數時，Cl十C2十…十Cn與C的大小關系怎樣?證明你的結論.
提示：假設⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半徑分別為r、rl、r2、…、rn，通過周長計算，比較可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+ C3=C；（3）Cl十C2十…十Cn=C.
問題2：有八個同等大小的圓形，其中七個有陰影的圓形都固定不動，第八個圓形，緊貼另外七個無滑動地滾動，當它繞完這些固定不動的圓形一周，本身將旋轉了多少轉？
提示：1、實驗：用硬幣作初步實驗；結果硬幣一共轉了4轉.
2、分析：當你把動圓無滑動地沿著 圓周長的直線上滾動時，這個動圓是轉 轉，但是，這個動圓是沿著弧線滾動，那么方才的說法就不正確了.在我們這個題目中，那動圓繞著相當于它的圓周長
的弧線旋轉的時候，一共走過的不是 轉；而是 轉，因此，它繞過六個這樣的弧形的時，就轉了 轉
圓和圓的位置關系 篇6
1、教材分析
（1）知識結構
（2）重點、難點分析
重點：兩圓的位置關系和兩圓相交、相切的性質.它們是本節的主要內容，是圓的重要概念性知識，也是今后研究圓與圓問題的基礎知識.
難點：兩圓位置關系的判定與相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦的性質的運用.由于兩圓位置關系有5種類型，特別是相離有外離和內含，相切有外切和內切，學生容易遺漏；而在相交圓的性質應用中，學生容易把“相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.”看成是真命題.
2、教法建議
本節內容需要兩個課時.第一課時主要研究；第二課時相交兩圓的性質.
（1）把課堂活動設計的重點放在如何調動學生的主體，讓學生觀察、分析、歸納概括，主動獲得知識；
（2）要重視圓的對稱美的教學，組織學生欣賞，在激發學生的學習興趣中，獲得知識，提高能力；
（3）在教學中，以分類思想為指導，以數形結合為方法，貫串整個教學過程 .
第一課時
教學目標 ：
1.掌握圓與圓的五種位置關系的定義、性質及判定方法；兩圓連心線的性質；
2.通過兩圓的位置關系，培養學生的分類能力和數形結合能力；
3.通過演示兩圓的位置關系，培養學生用運動變化的觀點來分析和發現問題的能力.
教學重點：
兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數量之間的關系.
教學難點 ：
兩圓位置關系及判定.
（一）復習、引出問題
1.復習：直線和圓有幾種位置關系?各是怎樣定義的?
（教師主導，學生回憶、回答）直線和圓有三種位置關系，即直線和圓相離、相切、相交.各種位置關系是通過直線與圓的公共點的個數來定義的
2.引出問題：平面內兩個圓，它們作相對運動，將會產生什么樣的位置關系呢?
（二）觀察、分類，得出概念
1、讓學生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內切、內含(包括同心圓)這五種位置關系，準確給出描述性定義：
(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離.(圖(1))
(2)外切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(2))
(3)相交：兩個圓有兩個公共點，此時叫做這兩個圓相交.(圖(3))
(4)內切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(4))
(5)內含：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內含(圖(5)).兩圓同心是兩圓內含的一個特例. (圖(6))
2、歸納：
(1)兩圓外離與內含時，兩圓都無公共點.
(2)兩圓外切和內切統稱兩圓相切，即外切和內切的共性是公共點的個數唯一
(3)兩圓位置關系的五種情況也可歸納為三類：相離(外離和內含)；相交；相切(外切和內切).
教師組織學生歸納，并進一步考慮：從兩圓的公共點的個數考慮，無公共點則相離；有一個公共點則相切；有兩個公共點則相交.除以上關系外，還有其它關系嗎?可能不可能有三個公共點?
結論：在同一平面內任意兩圓只存在以上五種位置關系.
（三）分析、研究
1、相切兩圓的性質.
讓學生觀察連心線與切點的關系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線的性質：
如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上.
這個性質由圓的軸對稱性得到，有興趣的同學課下可以考慮如何對這一性質進行證明
2、兩圓位置關系的數量特征.
設兩圓半徑分別為R和r.圓心距為d，組織學生研究兩圓的五種位置關系，r和d之間有何數量關系.（圖形略）
兩圓外切 d＝R+r；
兩圓內切 d＝R-r (R＞r);
兩圓外離 d＞R+r；
兩圓內含 d＜R-r(R＞r);
兩圓相交 R-r＜d＜R+r.
說明：注重“數形結合”思想的教學.
（四）應用、練習
例1： 如圖，⊙O的半徑為5厘米，點P是⊙O外一點，OP=8厘米
求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O外切，小圓⊙P的半徑是多少?
(2)以P為圓心作⊙P與⊙O內切，大圓⊙P的半徑是多少?
解：（1）設⊙P與⊙O外切與點A，則
PA=PO-OA
∴PA=3cm.
（2）設⊙P與⊙O內切與點B，則
PB=PO+OB
∴PB=1 3cm.
例2：已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC為直徑作⊙O，以B為圓心，4為半徑作.
求證：⊙O與⊙B相外切.
證明：連結BO，∵AC為⊙O的直徑，AC＝12，
∴⊙O的半徑 ，且O是AC的中點
∴ ，∵∠C=90°且BC=8，
∴ ，
∵⊙O的半徑 ，⊙B的半徑 ，
∴BO= ，∴⊙O與⊙B相外切.
練習(P138)
（五）小結
知識：①兩圓的五種位置關系：外離、外切、相交、內切、內含；
②以及這五種位置關系下圓心距和兩圓半徑的數量關系；
③兩圓相切時切點在連心線上的性質.
能力：觀察、分析、分類、數形結合等能力.
思想方法：分類思想、數形結合思想.
（六）作業
教材P151中習題A組2，3，4題.
第二課時 相交兩圓的性質
教學目標
1、掌握相交兩圓的性質定理；
2、掌握相交兩圓問題中常添的輔助線的作法；
3、通過例題的分析，培養學生分析問題、解決問題的能力；
4、結合相交兩圓連心線性質教學向學生滲透幾何圖形的對稱美.
教學重點
相交兩圓的性質及應用.
教學難點
應用軸對稱來證明相交兩圓連心線的性質和準確添加輔助線.
教學活動設計
（一）圖形的對稱美
相切兩圓是以連心線為對稱軸的對稱圖形.相交兩圓具有什么性質呢?
（二）觀察、猜想、證明
1、觀察：同樣相交兩圓，也構成對稱圖形，它是以連心線為對稱軸的軸對稱圖形.
2、猜想：“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”.
3、證明：
對A層學生讓學生寫出已知、求證、證明，教師組織；對B、C層在教師引導下完成.
已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B.
求證：Q1O2是AB的垂直平分線.
分析：要證明O1O2是AB的垂直平分線，只要證明O1O2上的點和線段AB兩個端點的距離相等，于是想到連結O1A、O2A、O1B、O2B.
證明：連結O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B，
∴O1點在AB的垂直平分線上.
又∵O2A＝O2B，∴點O2在AB的垂直平分線上.
因此O1O2是AB的垂直平分線.
也可考慮利用圓的軸對稱性加以證明：
∵⊙Ol和⊙O2，是軸對稱圖形，∴直線O1O2是⊙Ol和⊙O2的對稱軸.
∴⊙Ol和⊙O2的公共點A關于直線O1O2的對稱點即在⊙Ol上又在⊙O2上.
∴A點關于直線O1O2的對稱點只能是B點，
∴連心線O1O2是AB的垂直平分線.
定理：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.
注意：相交兩圓連心線垂直平分兩圓的公共弦，而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.
（三）應用、反思
例1、已知兩個等圓⊙Ol和⊙O2相交于A，B兩點，⊙Ol經O2。
求∠OlAB的度數.
分析：由所學定理可知，O1O2是AB的垂直平分線，
又⊙O1與⊙O2是兩個等圓，因此連結O1O2和AO2，AO1，△O1AO2構成等邊三角形，同時可以推證⊙O l和⊙O2構成的圖形不僅是以O1O2為對稱軸的軸對稱圖形，同時還是以AB為對稱軸的軸對稱圖形.從而可由
∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°.
解：⊙O1經過O2，⊙O1與⊙O2是兩個等圓
∴OlA=O1O2=AO2
∴∠O1A O2=60°，
又AB⊥O1O2
∴∠OlAB =30°.
例2、已知，如圖，A是⊙O l、⊙O2的一個交點，點P是O1O2的中點。過點A的直線MN垂直于PA，交⊙O l、⊙O2于M、N。
求證：AM=AN.
證明：過點Ol、O2分別作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足為C、D，則OlC∥PA∥O2D，且AC= AM，AD= AN.
∵OlP=O2P ，∴AD=AM，∴AM=AN.
例3、已知：如圖，⊙Ol與⊙O2相交于A、B兩點，C為⊙Ol上一點，AC交⊙O2于D，過B作直線EF交⊙Ol、⊙O2于E、F.
求證：EC∥DF
證明：連結AB
∵在⊙O2中∠F=∠CAB，
在⊙Ol中∠CAB=∠E，
∴∠F=∠E，∴EC∥DF.
反思：在解有關相交兩圓的問題時，常作出連心線、公共弦，或連結交點與圓心，從而把兩圓半徑，公共弦長的一半，圓心距集中到一個三角形中，運用三角形有關知識來解，或者結合相交弦定理，圓周角定理綜合分析求解.
（四）小結
知識：相交兩圓的性質：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.該定理可以作為證明兩線垂直或證明線段相等的依據.
能力與方法：①在解決兩圓相交的問題中常常需要作出兩圓的公共弦作為輔助線，使兩圓中的角或線段建立聯系，為證題創造條件，起到了“橋梁”作用；②圓的對稱性的應用.
（五）作業 教材P152習題A組7、8、9題；B組1題.
探究活動
問題1：已知AB是⊙O的直徑，點O1、O2、…、On在線段AB上，分別以O1、O2、…、On為圓心作圓，使⊙O1與⊙O內切，⊙O2與⊙O1外切，⊙O3與⊙O2外切，…，⊙On與⊙On-1外切且與⊙O內切.設⊙O的周長等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周長分別為C1、C2、…、Cn.
(1)當n=2時，判斷Cl+C2與C的大小關系；
(2)當n=3時，判斷Cl+C2+ C3與C的大小關系；
(3)當n取大于3的任一自然數時，Cl十C2十…十Cn與C的大小關系怎樣?證明你的結論.
提示：假設⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半徑分別為r、rl、r2、…、rn，通過周長計算，比較可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+ C3=C；（3）Cl十C2十…十Cn=C.
問題2：有八個同等大小的圓形，其中七個有陰影的圓形都固定不動，第八個圓形，緊貼另外七個無滑動地滾動，當它繞完這些固定不動的圓形一周，本身將旋轉了多少轉？
提示：1、實驗：用硬幣作初步實驗；結果硬幣一共轉了4轉.
2、分析：當你把動圓無滑動地沿著 圓周長的直線上滾動時，這個動圓是轉 轉，但是，這個動圓是沿著弧線滾動，那么方才的說法就不正確了.在我們這個題目中，那動圓繞著相當于它的圓周長的 的弧線旋轉的時候，一共走過的不是 轉；而是 轉，因此，它繞過六個這樣的弧形的時，就轉了 轉
圓和圓的位置關系 篇7
教學目標：1、使學生掌握相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦這一性質，2、通過例題與練習題的教學使學生進一步鞏固圓和圓的位置關系及本節所學習的性質.3、逐步培養學生觀察、比較、分析、概括問題的能力及推理論證的能力.教學重點： 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.教學難點：利用軸對稱來證明相交兩圓連心線的性質及兩圓相交常用的引輔助線的方法是本節課的難點.教學過程：一、新課引入：同學們，上節課我們學習了在同一平面內圓和圓的位置關系及相切兩圓的連心線的性質.本節課我們在相切兩圓連心線的性質的基礎上，繼續來學習相交兩圓連心線的性質.教師出示板書：“7.13圓和圓的位置關系(二)”.如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上.那么將相切改成相交，這時連心線又有什么性質呢？教師這樣做有意識留給學生一種懸念，提示給學生能否用類比的方法去探索出結論.二、新課講解：為了使學生進一步來學習相交兩圓連心線的性質.向學生提出以下幾個問題：(1)在平面內圓和圓有幾種位置關系？(2)要判定圓和圓的位置關系你學過了什么方法？(3)相切兩圓連心線有什么性質？(4)如果把相切改成相交，那么連心線又有怎樣的性質呢？教師引導學生能夠準確地回答上節課所學習的知識點，把本節課所要講的內容也拋給學生，啟發學生去畫圖——觀察——思考——分析——比較——探索出結論.為了便于思考，教師把學生探索出的結論寫在黑板上：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦：分析：設⊙o1與⊙o2相交于點a、b，o1o2既是⊙o1的對稱軸，又是⊙o2的對稱軸，所以直線o1o2是⊙o1、⊙o2所組成的圖形的對稱軸，將圖形沿o1o2折疊，上、下兩個半圓互相重合，它們的交點重合，所以點a與點b是對稱點.這就得到對稱點a、b的連線被對稱軸o1o2垂直平分.由此可得：定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.
為了使學生能夠更好地應用相交兩圓連心線的性質和相切兩圓連心線的性質，出示兩組練習題：練習一，判斷下列語句是否正確：1.兩圓的連心線過切點，兩圓一定是內切. ( )2.相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線. ( )3.相切兩圓的連心線必過切點. ( )這組題的目的是強化學生對相切兩圓、相交兩圓的性質的掌握，要求語言敘述準確而規范.練習二，(1)圖7-99，已知兩個等圓的半徑為5cm，公共弦長6cm，求圓心距.
本小題由學生回答，教師概括總結方法.因為o1o2垂直平分ab，交ab于e，所以可得到由一條半徑和弦的一半構成的直角三角形，用勾股定理就得到o2e，從而得到o1o2的長.(2)書上的例2已知兩個等圓⊙o1和⊙o2相交于a、b兩點.⊙o1經過點o2.求∠o1ab的度數.由于通過分析上題學生已初步掌握構造直角三角形方法求解，對于此題可以說是上一題的特殊情況.教師為了不代替學生，讓學生參與到教學活動中，啟發學生分析解題思路，指導學生上黑板板演，就把例2做為練習題出現.
(3)如圖7-101，⊙o2與以o1為圓心的同心圓相交于a、b、c、d.求證：四邊形abcd是等腰梯形.
分析：欲證明四邊形abcd是等腰梯形，只需證明ab∥cd，ad=bc且ab≠cd即可.這時，教師提出怎樣證明ab∥cd呢？由學生來分析證明弦ab∥cd.總結出相交兩圓經常引的輔助線是公共弦，有時還可以引連心線.找一名中等生證明這道題，教師把證明過程寫在黑板上，做為參考.證明：連結o1o2，∵ ⊙o2與以o1為圓心的圓相交于a、b、c、d，∴ ab⊥o1o2，dc⊥o1o2.∴ ab∥cd.在⊙o2中，∵ab∥cd，又∵ ab≠cd，∴ 四邊形abcd是等腰梯形.接下來投影出示例3已知：如圖7-102，a是⊙o1、⊙o2的一個交點，點p是o1o2的中點.如果過a的直線mn垂直于pa，交⊙o1于m，交⊙o2于n.那么am與an有什么關系呢？
教師對例3的處理不是直接給出證明，而是給出命題的題設，啟發學生探索能得到什么結論.這樣做一方面調動學生的積極性和主動性；另一方面考察學生的思維靈活性和深刻性.由學生猜想的結論出發，進一步引導學生證明你的結論是否正確，最后由教師概括出證明的分析思路.是o1o2中點，由平行線等分線段定理可得ac=ad，而得結論.證明：過點o1、o2分別作o1c⊥mn，o2d⊥mn，垂足為c、d，又 ∵ pa⊥mn，∴ pa∥o1c∥o2d，∵o1p=o2p，∴ ac=ad.∴ am=an.鞏固練習：第139頁2題.三、課堂小結：本節課主要講了相交兩圓連心線垂直兩圓的公共弦的性質.投影出示本節的知識結構圖：本節課學到的方法：兩圓相交常引輔助線有：(1)公共弦；(2)連心線；(3)構造由半徑、公共弦的一半組成的直角三角形.四、布置作業教材p.152中a組5、6、7、8、9.
圓和圓的位置關系 篇8
在本節課的授課中，我感覺以下幾點比較滿意：
1、課件教學中在探索圓和圓的位置關系、探索兩圓相切時的對稱性、探索兩圓相切時圓心距d和兩圓半徑R和r的數量關系時多次運用flash動畫展示，給學生以直觀感受，便于學生理解，同時，增加上課的生動性。
2、授課方式采用分組教學，對課程內容提出問題后先要學生在小組內動手交流并整理所獲得的信息內容，然后在課堂上展示組內成果，從而調動起學生的學習積極性。
3、對練習題的設計由淺入深、層層遞進，突出本節課的重點、突破了難點。
4、 授課中貫穿了觀察、猜想、驗證等過程，使學生經歷了知識的探索過程，“過程與方法”的目標落實比較好。
但在本節課中還存在許多不足之處，主要在以下幾方面：
1、在學生分組活動中，個別學生不能參與進來，今后教學應該多加關注學困生。
2、教學語言應該注意更加規范。
3、在學生回答問題時，不應該只關注回答結果，也應該關注學生所表現出來的態度，用恰當的語言給予肯定和鼓勵，使不同層次的學生獲得不同的成功體驗，從而增強自信心，激發學生的學習興趣。
4、本節課應該再加大練習量，進一步落實“知識與技能”的目標。
本次課初備時,我校全體數學教師在一起研討,楊玉芬老師對我的授課過程中,學生作品展示提出很好的建議:在沒有實物投影的情況下,讓學生通過粘貼可以解決這一問題。申衛青教師對我的授課程序進行調節指導。李秀捧老師對學生的探討問題進行進一步設計……
初備方案發布于網上，又得到教研員王老師、風帆郝老師、列電張老師、我校楊老師、馬坊楊老師等多位老師的指導點評，我又在此基礎上對方案進一步加工。
授課后，各位教師直述己見，讓我認識到自己需要繼續努力.
通過這次活動，使我更注意到學生的活動和參與情況,給學生充分的時間,把主動權交給學生,自己只是課程的設計者，在授課時適時引導，使盡可能多的學生真正參與進來，可以采取小組之間競爭評比打分以提高學生的注意力、合作交流、積極發言等各方面的參與情況。當學生回答問題后，無論回答的結果如何，要進行不同程度的關注：對回答結果清晰、正確者給予鼓勵；對回答不準確或不正確者,在其他學生糾正的同時也要給予積極參與、回答問題積極方面的鼓勵，使不同層次的同學都體會成功的喜悅、參與的必要。
在問題的設計上，一要根據學生的實際情況設計問題，問題難度由淺入深、層層遞進，既要有梯度又要給學生留有思考的空間。二要考慮到題量的適度，加大練習量，更好地落實知識與技能目標。
在授課時，更要注重數學語言的規范運用，加強學習，進一步充實自己的教學經驗。
圓和圓的位置關系 篇9
1、教材分析
（1）知識結構
（2）重點、難點分析
重點：兩圓的位置關系和兩圓相交、相切的性質.它們是本節的主要內容，是圓的重要概念性知識，也是今后研究圓與圓問題的基礎知識.
難點：兩圓位置關系的判定與相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦的性質的運用.由于兩圓位置關系有5種類型，特別是相離有外離和內含，相切有外切和內切，學生容易遺漏；而在相交圓的性質應用中，學生容易把“相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.”看成是真命題.
2、教法建議
本節內容需要兩個課時.第一課時主要研究圓和圓的位置關系；第二課時相交兩圓的性質.
（1）把課堂活動設計的重點放在如何調動學生的主體，讓學生觀察、分析、歸納概括，主動獲得知識；
（2）要重視圓的對稱美的教學，組織學生欣賞，在激發學生的學習興趣中，獲得知識，提高能力；
（3）在教學中，以分類思想為指導，以數形結合為方法，貫串整個教學過程 .
第一課時 圓和圓的位置關系
教學目標 ：
1.掌握圓與圓的五種位置關系的定義、性質及判定方法；兩圓連心線的性質；
2.通過兩圓的位置關系，培養學生的分類能力和數形結合能力；
3.通過演示兩圓的位置關系，培養學生用運動變化的觀點來分析和發現問題的能力.
教學重點：
兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數量之間的關系.
教學難點 ：
兩圓位置關系及判定.
（一）復習、引出問題
1.復習：直線和圓有幾種位置關系?各是怎樣定義的?
（教師主導，學生回憶、回答）直線和圓有三種位置關系，即直線和圓相離、相切、相交.各種位置關系是通過直線與圓的公共點的個數來定義的
2.引出問題：平面內兩個圓，它們作相對運動，將會產生什么樣的位置關系呢?
（二）觀察、分類，得出概念
1、讓學生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內切、內含(包括同心圓)這五種位置關系，準確給出描述性定義：
(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離.(圖(1))
(2)外切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(2))
(3)相交：兩個圓有兩個公共點，此時叫做這兩個圓相交.(圖(3))
(4)內切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內切.這個唯一的公共點叫做切點.(圖(4))
(5)內含：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內含(圖(5)).兩圓同心是兩圓內含的一個特例. (圖(6))
2、歸納：
(1)兩圓外離與內含時，兩圓都無公共點.
(2)兩圓外切和內切統稱兩圓相切，即外切和內切的共性是公共點的個數唯一
(3)兩圓位置關系的五種情況也可歸納為三類：相離(外離和內含)；相交；相切(外切和內切).
教師組織學生歸納，并進一步考慮：從兩圓的公共點的個數考慮，無公共點則相離；有一個公共點則相切；有兩個公共點則相交.除以上關系外，還有其它關系嗎?可能不可能有三個公共點?
結論：在同一平面內任意兩圓只存在以上五種位置關系.
（三）分析、研究
1、相切兩圓的性質.
讓學生觀察連心線與切點的關系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線的性質：
如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上.
這個性質由圓的軸對稱性得到，有興趣的同學課下可以考慮如何對這一性質進行證明
2、兩圓位置關系的數量特征.
設兩圓半徑分別為R和r.圓心距為d，組織學生研究兩圓的五種位置關系，r和d之間有何數量關系.（圖形略）
兩圓外切 d＝R+r；
兩圓內切 d＝R-r (R＞r);
兩圓外離 d＞R+r；
兩圓內含 d＜R-r(R＞r);
兩圓相交 R-r＜d＜R+r.
說明：注重“數形結合”思想的教學.
（四）應用、練習
例1： 如圖，⊙O的半徑為5厘米，點P是⊙O外一點，OP=8厘米
求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O外切，小圓⊙P的半徑是多少?
(2)以P為圓心作⊙P與⊙O內切，大圓⊙P的半徑是多少?
解：（1）設⊙P與⊙O外切與點A，則
PA=PO-OA
∴PA=3cm.
（2）設⊙P與⊙O內切與點B，則
PB=PO+OB
∴PB=1 3cm.
例2：已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC為直徑作⊙O，以B為圓心，4為半徑作.
求證：⊙O與⊙B相外切.
證明：連結BO，∵AC為⊙O的直徑，AC＝12，
∴⊙O的半徑 ，且O是AC的中點
∴ ，∵∠C=90°且BC=8，
∴ ，
∵⊙O的半徑 ，⊙B的半徑 ，
∴BO=，∴⊙O與⊙B相外切.
練習(P138)
（五）小結
知識：①兩圓的五種位置關系：外離、外切、相交、內切、內含；
②以及這五種位置關系下圓心距和兩圓半徑的數量關系；
③兩圓相切時切點在連心線上的性質.
能力：觀察、分析、分類、數形結合等能力.
思想方法：分類思想、數形結合思想.
（六）作業
教材P151中習題A組2，3，4題.
第二課時 相交兩圓的性質
教學目標
1、掌握相交兩圓的性質定理；
2、掌握相交兩圓問題中常添的輔助線的作法；
3、通過例題的分析，培養學生分析問題、解決問題的能力；
4、結合相交兩圓連心線性質教學向學生滲透幾何圖形的對稱美.
教學重點
相交兩圓的性質及應用.
教學難點
應用軸對稱來證明相交兩圓連心線的性質和準確添加輔助線.
教學活動設計
（一）圖形的對稱美
相切兩圓是以連心線為對稱軸的對稱圖形.相交兩圓具有什么性質呢?
（二）觀察、猜想、證明
1、觀察：同樣相交兩圓，也構成對稱圖形，它是以連心線為對稱軸的軸對稱圖形.
2、猜想：“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”.
3、證明：
對A層學生讓學生寫出已知、求證、證明，教師組織；對B、C層在教師引導下完成.
已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B.
求證：Q1O2是AB的垂直平分線.
分析：要證明O1O2是AB的垂直平分線，只要證明O1O2上的點和線段AB兩個端點的距離相等，于是想到連結O1A、O2A、O1B、O2B.
證明：連結O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B，
∴O1點在AB的垂直平分線上.
又∵O2A＝O2B，∴點O2在AB的垂直平分線上.
因此O1O2是AB的垂直平分線.
也可考慮利用圓的軸對稱性加以證明：
∵⊙Ol和⊙O2，是軸對稱圖形，∴直線O1O2是⊙Ol和⊙O2的對稱軸.
∴⊙Ol和⊙O2的公共點A關于直線O1O2的對稱點即在⊙Ol上又在⊙O2上.
∴A點關于直線O1O2的對稱點只能是B點，
∴連心線O1O2是AB的垂直平分線.
定理：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.
注意：相交兩圓連心線垂直平分兩圓的公共弦，而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線.
（三）應用、反思
例1、已知兩個等圓⊙Ol和⊙O2相交于A，B兩點，⊙Ol經O2。
求∠OlAB的度數.
分析：由所學定理可知，O1O2是AB的垂直平分線，
又⊙O1與⊙O2是兩個等圓，因此連結O1O2和AO2，AO1，△O1AO2構成等邊三角形，同時可以推證⊙O l和⊙O2構成的圖形不僅是以O1O2為對稱軸的軸對稱圖形，同時還是以AB為對稱軸的軸對稱圖形.從而可由
∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°.
解：⊙O1經過O2，⊙O1與⊙O2是兩個等圓
∴OlA=O1O2=AO2
∴∠O1A O2=60°，
又AB⊥O1O2
∴∠OlAB =30°.
例2、已知，如圖，A是⊙O l、⊙O2的一個交點，點P是O1O2的中點。過點A的直線MN垂直于PA，交⊙O l、⊙O2于M、N。
求證：AM=AN.
證明：過點Ol、O2分別作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足為C、D，則OlC∥PA∥O2D，且AC= AM，AD= AN.
∵OlP=O2P ，∴AD=AM，∴AM=AN.
例3、已知：如圖，⊙Ol與⊙O2相交于A、B兩點，C為⊙Ol上一點，AC交⊙O2于D，過B作直線EF交⊙Ol、⊙O2于E、F.
求證：EC∥DF
證明：連結AB
∵在⊙O2中∠F=∠CAB，
在⊙Ol中∠CAB=∠E，
∴∠F=∠E，∴EC∥DF.
反思：在解有關相交兩圓的問題時，常作出連心線、公共弦，或連結交點與圓心，從而把兩圓半徑，公共弦長的一半，圓心距集中到一個三角形中，運用三角形有關知識來解，或者結合相交弦定理，圓周角定理綜合分析求解.
（四）小結
知識：相交兩圓的性質：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.該定理可以作為證明兩線垂直或證明線段相等的依據.
能力與方法：①在解決兩圓相交的問題中常常需要作出兩圓的公共弦作為輔助線，使兩圓中的角或線段建立聯系，為證題創造條件，起到了“橋梁”作用；②圓的對稱性的應用.
（五）作業 教材P152習題A組7、8、9題；B組1題.
探究活動
問題1：已知AB是⊙O的直徑，點O1、O2、…、On在線段AB上，分別以O1、O2、…、On為圓心作圓，使⊙O1與⊙O內切，⊙O2與⊙O1外切，⊙O3與⊙O2外切，…，⊙On與⊙On-1外切且與⊙O內切.設⊙O的周長等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周長分別為C1、C2、…、Cn.
(1)當n=2時，判斷Cl+C2與C的大小關系；
(2)當n=3時，判斷Cl+C2+ C3與C的大小關系；
(3)當n取大于3的任一自然數時，Cl十C2十…十Cn與C的大小關系怎樣?證明你的結論.
提示：假設⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半徑分別為r、rl、r2、…、rn，通過周長計算，比較可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+ C3=C；（3）Cl十C2十…十Cn=C.
問題2：有八個同等大小的圓形，其中七個有陰影的圓形都固定不動，第八個圓形，緊貼另外七個無滑動地滾動，當它繞完這些固定不動的圓形一周，本身將旋轉了多少轉？
提示：1、實驗：用硬幣作初步實驗；結果硬幣一共轉了4轉.
2、分析：當你把動圓無滑動地沿著 圓周長的直線上滾動時，這個動圓是轉 轉，但是，這個動圓是沿著弧線滾動，那么方才的說法就不正確了.在我們這個題目中，那動圓繞著相當于它的圓周長的 的弧線旋轉的時候，一共走過的不是 轉；而是 轉，因此，它繞過六個這樣的弧形的時，就轉了 轉
圓和圓的位置關系 篇10
毛成勝教 材： 華師大版第九冊23章2.4圓與圓的位置關系P60~62
教學目的要求：
知識目標：1、了解圓和圓五種位置的定義，
2、熟練掌握用數量關系來識別圓與圓的位置關系
能力目標：培養學生的觀察、想象、分析、動手操作、概括的能力，“分類討論”的數學思想，
情感目標：利用多種教學手段來激發學生學習的興趣，通過鼓勵和肯定學生，培養他們敢于
想象，勇于探索的學習精神。
教學重點：用數量關系來識別圓與圓的位置關系
教學難點 ：用數量關系來識別圓與圓的位置關系
教學用具：多媒體
教學方法：問題、引導、直觀演示、總結
學法指導：猜想、類比、觀察、歸納、實驗探究、合作交流
教學過程 ：