圓、扇形、弓形的面積（精選8篇）

圓、扇形、弓形的面積 篇1

　　(一)

　　教學目標：

　　1、掌握扇形面積公式的推導過程，初步運用扇形面積公式進行一些有關計算；

　　2、通過扇形面積公式的推導，培養學生抽象、理解、概括、歸納能力和遷移能力；

　　3、在扇形面積公式的推導和例題教學過程中，滲透“從特殊到一般，再由一般到特殊”的辯證思想.

　　教學重點：扇形面積公式的導出及應用.

　　教學難點：對圖形的分析.

　　教學活動設計：

　　（一）復習（圓面積）

　　已知⊙O半徑為R，⊙O的面積S是多少？

　　S=πR2

　　我們在求面積時往往只需要求出圓的一部分面積，如圖中陰影圖形的面積.為了更好研究這樣的圖形引出一個概念.

　　扇形：一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.

　　提出新問題：已知⊙O半徑為R，求圓心角n°的扇形的面積.

　　（二）遷移方法、探究新問題、歸納結論

　　1、遷移方法

　　教師引導學生遷移推導弧長公式的方法步驟：

　　（1）圓周長C=2πR；

　　（2）1°圓心角所對弧長=；

　　（3）n°圓心角所對的弧長是1°圓心角所對的弧長的n倍；

　　（4）n°圓心角所對弧長=.

　　歸納結論：若設⊙O半徑為R， n°圓心角所對弧長l，則   （弧長公式）

　　2、探究新問題

　　教師組織學生對比研究：

　　（1）圓面積S=πR2；

　　（2）圓心角為1°的扇形的面積=；

　　（3）圓心角為n°的扇形的面積是圓心角為1°的扇形的面積n倍；

　　（4）圓心角為n°的扇形的面積=.

　　歸納結論：若設⊙O半徑為R，圓心角為n°的扇形的面積S扇形，則

　　S扇形= （扇形面積公式）

　　（三）理解公式

　　教師引導學生理解：

　　（1）在應用扇形的面積公式S扇形=進行計算時，要注意公式中n的意義.n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的；

　　（2）公式可以理解記憶（即按照上面推導過程記憶）；

　　提出問題：扇形的面積公式與弧長公式有聯系嗎？（教師組織學生探討）

　　S扇形=lR

　　想一想：這個公式與什么公式類似？（教師引導學生進行，或小組協作研究）

　　與三角形的面積公式類似，只要把扇形看成一個曲邊三角形，把弧長l看作底，R看作高就行了.這樣對比，幫助學生記憶公式.實際上，把扇形的弧分得越來越小，作經過各分點的半徑，并順次連結各分點，得到越來越多的小三角形，那么扇形的面積就是這些小三角形面積和的極限.要讓學生在理解的基礎上記住公式.

　　（四）應用

　　練習：1、已知扇形的圓心角為120°，半徑為2，則這個扇形的面積，S扇=____.

　　2、已知扇形面積為 ，圓心角為120°，則這個扇形的半徑R=____.

　　3、已知半徑為2的扇形，面積為 ，則它的圓心角的度數=____.

　　4、已知半徑為2cm的扇形，其弧長為 ，則這個扇形的面積，S扇=____.

　　5、已知半徑為2的扇形，面積為 ，則這個扇形的弧長=____.

　　（ ，2，120°， ， ）

　　例1、已知正三角形的邊長為a，求它的內切圓與外接圓組成的圓環的面積.

　　學生獨立完成，對基礎較差的學生教師指導

　　（1）怎樣求圓環的面積？

　　（2）如果設外接圓的半徑為R，內切圓的半徑為r， R、r與已知邊長a有什么聯系？

　　解：設正三角形的外接圓、內切圓的半徑分別為R，r，面積為S1、S2.

　　S=.

　　∵ ，∴S=.

　　說明：要注意整體代入.

　　對于教材中的例2，可以采用典型例題中第4題，充分讓學生探究.

　　課堂練習：教材P181練習中2、4題.

　　（五）總結

　　知識：扇形及扇形面積公式S扇形= ，S扇形=lR.

　　方法能力：遷移能力，對比方法；計算能力的培養.

　　（六）作業   教材P181練習1、3；P187中10.

　　(二)

　　教學目標：

　　1、在復習鞏固圓面積、扇形面積的計算的基礎上，會計算弓形面積；

　　2、培養學生觀察、理解能力，綜合運用知識分析問題和解決問題的能力；

　　3、通過面積問題實際應用題的解決，向學生滲透理論聯系實際的觀點.

　　教學重點：扇形面積公式的導出及應用.

　　教學難點：對圖形的分解和組合、實際問題數學模型的建立.

　　教學活動設計：

　　（一）概念與認識

　　弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.

　　弦AB把圓分成兩部分，這兩部分都是弓形.弓形是一個最簡單的組合圖形之一.

　　（二）弓形的面積

　　提出問題：怎樣求弓形的面積呢？

　　學生以小組的形式研究，交流歸納出結論：

　　（1）當弓形的弧小于半圓時，弓形的面積等于扇形面積與三角形面積的差；

　　（2）當弓形的弧大于半圓時，它的面積等于扇形面積與三角的面積的和；

　　（3）當弓形弧是半圓時，它的面積是圓面積的一半.

　　理解：如果組成弓形的弧是半圓，則此弓形面積是圓面積的一半；如果組成弓形的弧是劣弧則它的面積等于以此劣弧為弧的扇形面積減去三角形的面積；如果組成弓形的弧是優弧，則它的面積等于以此優弧為弧的扇形面積加上三角形的面積.也就是說：要計算弓形的面積，首先觀察它的弧屬于半圓？劣弧？優弧？只有對它分解正確才能保證計算結果的正確.

　　（三）應用與反思

　　練習：

　　(1)如果弓形的弧所對的圓心角為60°，弓形的弦長為a，那么這個弓形的面積等于_______；

　　(2)如果弓形的弧所對的圓心角為300°，弓形的弦長為a，那么這個弓形的面積等于_______.

　　（學生獨立完成，鞏固新知識）

　　例3、水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m，其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面積.(精確到0.01m2)

　　教師引導學生并滲透數學建模思想，分析：

　　（1）“水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m”為你提供了什么數學信息？

　　（2）求截面上有水的弓形的面積為你提供什么信息？

　　（3）扇形、三角形、弓形是什么關系，選擇什么公式計算？

　　學生完成解題過程，并歸納三角形OAB的面積的求解方法.

　　反思：①要注重題目的信息，處理信息；②歸納三角形OAB的面積的求解方法，根據條件特征，靈活應用公式；③弓形的面積可以選用圖形分解法，將它轉化為扇形與三角形的和或差來解決.

　　例4、已知：⊙O的半徑為R，直徑AB⊥CD，以B為圓心，以BC為半徑作 .求 與 圍成的新月牙形ACED的面積S.

　　解：∵ ，

　　有∵，

　　， ，

　　∴ .

　　組織學生反思解題方法：圖形的分解與組合；公式的靈活應用.

　　（四）總結

　　1、弓形面積的計算：首先看弓形弧是半圓、優弧還是劣弧，從而選擇分解方案；

　　2、應用弓形面積解決實際問題；

　　3、分解簡單組合圖形為規則圓形的和與差.

　　（五）作業   教材P183練習2；P188中12.

　　(三)

　　教學目標：

　　1、掌握簡單組合圖形分解和面積的求法；

　　2、進一步培養學生的觀察能力、發散思維能力和綜合運用知識分析問題、解決問題的能力；

　　3、滲透圖形的外在美和內在關系.

　　教學重點：簡單組合圖形的分解.

　　教學難點：對圖形的分解和組合.

　　教學活動設計：

　　（一）知識回顧

　　復習提問：1、圓面積公式是什么？2、扇形面積公式是什么？如何選擇公式？3、當弓形的弧是半圓時，其面積等于什么？4、當弓形的弧是劣弧時，其面積怎樣求？5、當弓形的弧是優弧時，其面積怎樣求？

　　（二）簡單圖形的分解和組合

　　1、圖形的組合

　　讓學生認識圖形，并體驗圖形的外在美，激發學生的研究興趣，促進學生的創造力.

　　2、提出問題：正方形的邊長為a，以各邊為直徑，在正方形內畫半圓，求所圍成的圖形(陰影部分)的面積.

　　以小組的形式協作研究，班內交流思想和方法，教師組織.給學生發展思維的空間，充分發揮學生的主體作用.

　　歸納交流結論：

　　方案1.S陰=S正方形-4S空白.

　　方案2、S陰=4S瓣=4 (S半圓-S△AOB)

　　=2S圓-4S△AOB=2S圓-S正方形ABCD

　　方案3、S陰=4S瓣=4 (S半圓-S正方形AEOF)

　　=2S圓-4S正方形AEOF =2S圓-S正方形ABCD

　　方案4、S陰=4 S半圓-S正方形ABCD

　　……………

　　反思：①對圖形的分解不同，解題的難易程度不同，解題中要認真觀察圖形，追求最美的解法；②圖形的美也存在著內在的規律.

　　練習1：如圖，圓的半徑為r，分別以圓周上三個等分點為圓心，以r為半徑畫圓弧，則陰影部分面積是多少?

　　分析：連結OA，陰影部分可以看成由六個相同的弓形AmO組成.

　　解：連結AO，設P為其中一個三等分點，

　　連結PA、PO，則△POA是等邊三角形.

　　.

　　∴

　　說明：① 圖形的分解與重新組合是重要方法；②本題還可以用下面方法求：若連結AB，用六個弓形APB的面積減去⊙O面積，也可得到陰影部分的面積.

　　練習2：教材P185練習第1題

　　例5、 已知⊙O的半徑為R.

　　（1）求⊙O的內接正三角形、正六邊形、正十二邊形的周長與⊙O直徑（2R）的比值；

　　（2）求⊙O的內接正三角形、正六邊形、正十二邊形的面積與圓面積的比值(保留兩位小數).

　　例5的計算量較大，老師引導學生完成.并進一步鞏固正多邊形的計算知識，提高學生的計算能力.

　　說明：從例5(1)可以看出：正多邊形的周長與它的外接圓直徑的比值，與直徑的大小無關.實際上，古代數學家就是用逐次倍增正多邊形的邊數，使正多邊形的周長趨近于圓的周長，從而求得了π的各種近似值.從(2)可以看出，增加圓內接正多邊形的邊數，可使它的面積趨近于圓的面積

　　（三）總結

　　1、簡單組合圖形的分解；

　　2、進一步鞏固了正多邊形的計算以，鞏固了圓周長、弧長、圓面積、扇形面積、弓形面積的計算.

　　3、進一步理解了正多邊形和圓的關系定理.

　　（四）作業    教材P185練習2、3；P187中8、11.

　　探究活動

　　四瓣花形

　　在邊長為1的正方形中分別以四個頂點為圓心，以l為半徑畫弧所交成的“四瓣梅花”圖形，如圖 (1)所示.

　　再分別以四邊中點為圓心，以相鄰的兩邊中點連線為半徑畫弧而交成的“花形”，如圖 (12)所示.

　　探討：（1）兩圖中的圓弧均被互分為三等份.

　　（2）兩朵“花”是相似圖形.

　　（3）試求兩“花”面積

　　提示：分析與解  (1)如圖21所示，連結PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°.

　　從而，∠ADP=30°.

　　同理∠CDQ=30°.故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分點.

　　由對稱性知，四段弧均被三等分.

　　如果證明了結論(2)，則圖 (12)也得相同結論.

　　(2)如圖（22）所示，連結E、F、G、H所得的正方形EFGH內的花形恰為圖 (1)的縮影.顯然兩“花”是相似圖形；其相似比是AB ﹕EF =﹕1.

　　(3)花形的面積為： ， .

圓、扇形、弓形的面積 篇2

　　(一)

　　教學目標 ：

　　1、掌握扇形面積公式的推導過程，初步運用扇形面積公式進行一些有關計算；

　　2、通過扇形面積公式的推導，培養學生抽象、理解、概括、歸納能力和遷移能力；

　　3、在扇形面積公式的推導和例題教學過程 中，滲透“從特殊到一般，再由一般到特殊”的辯證思想.

　　教學重點：扇形面積公式的導出及應用.

　　教學難點 ：對圖形的分析.

　　教學活動設計：

　　（一）復習（圓面積）

　　已知⊙O半徑為R，⊙O的面積S是多少？

　　S=πR2

　　我們在求面積時往往只需要求出圓的一部分面積，如圖中陰影圖形的面積.為了更好研究這樣的圖形引出一個概念.

　　扇形：一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.

　　提出新問題：已知⊙O半徑為R，求圓心角n°的扇形的面積.

　　（二）遷移方法、探究新問題、歸納結論

　　1、遷移方法

　　教師引導學生遷移推導弧長公式的方法步驟：

　　（1）圓周長C=2πR；

　　（2）1°圓心角所對弧長=；

　　（3）n°圓心角所對的弧長是1°圓心角所對的弧長的n倍；

　　（4）n°圓心角所對弧長=.

　　歸納結論：若設⊙O半徑為R， n°圓心角所對弧長l，則   （弧長公式）

　　2、探究新問題

　　教師組織學生對比研究：

　　（1）圓面積S=πR2；

　　（2）圓心角為1°的扇形的面積=；

　　（3）圓心角為n°的扇形的面積是圓心角為1°的扇形的面積n倍；

　　（4）圓心角為n°的扇形的面積=.

　　歸納結論：若設⊙O半徑為R，圓心角為n°的扇形的面積S扇形，則

　　S扇形= （扇形面積公式）

　　（三）理解公式

　　教師引導學生理解：

　　（1）在應用扇形的面積公式S扇形=進行計算時，要注意公式中n的意義.n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的；

　　（2）公式可以理解記憶（即按照上面推導過程記憶）；

　　提出問題：扇形的面積公式與弧長公式有聯系嗎？（教師組織學生探討）

　　S扇形=lR

　　想一想：這個公式與什么公式類似？（教師引導學生進行，或小組協作研究）

　　與三角形的面積公式類似，只要把扇形看成一個曲邊三角形，把弧長l看作底，R看作高就行了.這樣對比，幫助學生記憶公式.實際上，把扇形的弧分得越來越小，作經過各分點的半徑，并順次連結各分點，得到越來越多的小三角形，那么扇形的面積就是這些小三角形面積和的極限.要讓學生在理解的基礎上記住公式.

　　（四）應用

　　練習：1、已知扇形的圓心角為120°，半徑為2，則這個扇形的面積，S扇=____.

　　2、已知扇形面積為 ，圓心角為120°，則這個扇形的半徑R=____.

　　3、已知半徑為2的扇形，面積為 ，則它的圓心角的度數=____.

　　4、已知半徑為2cm的扇形，其弧長為 ，則這個扇形的面積，S扇=____.

　　5、已知半徑為2的扇形，面積為 ，則這個扇形的弧長=____.

　　（ ，2，120°， ， ）

　　例1、已知正三角形的邊長為a，求它的內切圓與外接圓組成的圓環的面積.

　　學生獨立完成，對基礎較差的學生教師指導

　　（1）怎樣求圓環的面積？

　　（2）如果設外接圓的半徑為R，內切圓的半徑為r， R、r與已知邊長a有什么聯系？

　　解：設正三角形的外接圓、內切圓的半徑分別為R，r，面積為S1、S2.

　　S=.

　　∵ ，∴S=.

　　說明：要注意整體代入.

　　對于教材中的例2，可以采用典型例題中第4題，充分讓學生探究.

　　課堂練習：教材P181練習中2、4題.

　　（五）總結

　　知識：扇形及扇形面積公式S扇形= ，S扇形=lR.

　　方法能力：遷移能力，對比方法；計算能力的培養.

　　（六）作業   教材P181練習1、3；P187中10.

　　(二)

　　教學目標 ：

　　1、在復習鞏固圓面積、扇形面積的計算的基礎上，會計算弓形面積；

　　2、培養學生觀察、理解能力，綜合運用知識分析問題和解決問題的能力；

　　3、通過面積問題實際應用題的解決，向學生滲透理論聯系實際的觀點.

　　教學重點：扇形面積公式的導出及應用.

　　教學難點 ：對圖形的分解和組合、實際問題數學模型的建立.

　　教學活動設計：

　　（一）概念與認識

　　弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.

　　弦AB把圓分成兩部分，這兩部分都是弓形.弓形是一個最簡單的組合圖形之一.

　　（二）弓形的面積

　　提出問題：怎樣求弓形的面積呢？

　　學生以小組的形式研究，交流歸納出結論：

　　（1）當弓形的弧小于半圓時，弓形的面積等于扇形面積與三角形面積的差；

　　（2）當弓形的弧大于半圓時，它的面積等于扇形面積與三角的面積的和；

　　（3）當弓形弧是半圓時，它的面積是圓面積的一半.

　　理解：如果組成弓形的弧是半圓，則此弓形面積是圓面積的一半；如果組成弓形的弧是劣弧則它的面積等于以此劣弧為弧的扇形面積減去三角形的面積；如果組成弓形的弧是優弧，則它的面積等于以此優弧為弧的扇形面積加上三角形的面積.也就是說：要計算弓形的面積，首先觀察它的弧屬于半圓？劣弧？優弧？只有對它分解正確才能保證計算結果的正確.

　　（三）應用與反思

　　練習：

　　(1)如果弓形的弧所對的圓心角為60°，弓形的弦長為a，那么這個弓形的面積等于_______；

　　(2)如果弓形的弧所對的圓心角為300°，弓形的弦長為a，那么這個弓形的面積等于_______.

　　（學生獨立完成，鞏固新知識）

　　例3、水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m，其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面積.(精確到0.01m2)

　　教師引導學生并滲透數學建模思想，分析：

　　（1）“水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m”為你提供了什么數學信息？

　　（2）求截面上有水的弓形的面積為你提供什么信息？

　　（3）扇形、三角形、弓形是什么關系，選擇什么公式計算？

　　學生完成解題過程，并歸納三角形OAB的面積的求解方法.

　　反思：①要注重題目的信息，處理信息；②歸納三角形OAB的面積的求解方法，根據條件特征，靈活應用公式；③弓形的面積可以選用圖形分解法，將它轉化為扇形與三角形的和或差來解決.

　　例4、已知：⊙O的半徑為R，直徑AB⊥CD，以B為圓心，以BC為半徑作 .求 與 圍成的新月牙形ACED的面積S.

　　解：∵ ，

　　有∵，

　　， ，

　　∴ .

　　組織學生反思解題方法：圖形的分解與組合；公式的靈活應用.

　　（四）總結

　　1、弓形面積的計算：首先看弓形弧是半圓、優弧還是劣弧，從而選擇分解方案；

　　2、應用弓形面積解決實際問題；

　　3、分解簡單組合圖形為規則圓形的和與差.

　　（五）作業   教材P183練習2；P188中12.

　　(三)

　　教學目標 ：

　　1、掌握簡單組合圖形分解和面積的求法；

　　2、進一步培養學生的觀察能力、發散思維能力和綜合運用知識分析問題、解決問題的能力；

　　3、滲透圖形的外在美和內在關系.

　　教學重點：簡單組合圖形的分解.

　　教學難點 ：對圖形的分解和組合.

　　教學活動設計：

　　（一）知識回顧

　　復習提問：1、圓面積公式是什么？2、扇形面積公式是什么？如何選擇公式？3、當弓形的弧是半圓時，其面積等于什么？4、當弓形的弧是劣弧時，其面積怎樣求？5、當弓形的弧是優弧時，其面積怎樣求？

　　（二）簡單圖形的分解和組合

　　1、圖形的組合

　　讓學生認識圖形，并體驗圖形的外在美，激發學生的研究興趣，促進學生的創造力.

　　2、提出問題：正方形的邊長為a，以各邊為直徑，在正方形內畫半圓，求所圍成的圖形(陰影部分)的面積.

　　以小組的形式協作研究，班內交流思想和方法，教師組織.給學生發展思維的空間，充分發揮學生的主體作用.

　　歸納交流結論：

　　方案1.S陰=S正方形-4S空白.

　　方案2、S陰=4S瓣=4 (S半圓-S△AOB)

　　=2S圓-4S△AOB=2S圓-S正方形ABCD

　　方案3、S陰=4S瓣=4 (S半圓-S正方形AEOF)

　　=2S圓-4S正方形AEOF =2S圓-S正方形ABCD

　　方案4、S陰=4 S半圓-S正方形ABCD

　　……………

　　反思：①對圖形的分解不同，解題的難易程度不同，解題中要認真觀察圖形，追求最美的解法；②圖形的美也存在著內在的規律.

　　練習1：如圖，圓的半徑為r，分別以圓周上三個等分點為圓心，以r為半徑畫圓弧，則陰影部分面積是多少?

　　分析：連結OA，陰影部分可以看成由六個相同的弓形AmO組成.

　　解：連結AO，設P為其中一個三等分點，

　　連結PA、PO，則△POA是等邊三角形.

　　.

　　∴

　　說明：① 圖形的分解與重新組合是重要方法；②本題還可以用下面方法求：若連結AB，用六個弓形APB的面積減去⊙O面積，也可得到陰影部分的面積.

　　練習2：教材P185練習第1題

　　例5、 已知⊙O的半徑為R.

　　（1）求⊙O的內接正三角形、正六邊形、正十二邊形的周長與⊙O直徑（2R）的比值；

　　（2）求⊙O的內接正三角形、正六邊形、正十二邊形的面積與圓面積的比值(保留兩位小數).

　　例5的計算量較大，老師引導學生完成.并進一步鞏固正多邊形的計算知識，提高學生的計算能力.

　　說明：從例5(1)可以看出：正多邊形的周長與它的外接圓直徑的比值，與直徑的大小無關.實際上，古代數學家就是用逐次倍增正多邊形的邊數，使正多邊形的周長趨近于圓的周長，從而求得了π的各種近似值.從(2)可以看出，增加圓內接正多邊形的邊數，可使它的面積趨近于圓的面積

　　（三）總結

　　1、簡單組合圖形的分解；

　　2、進一步鞏固了正多邊形的計算以，鞏固了圓周長、弧長、圓面積、扇形面積、弓形面積的計算.

　　3、進一步理解了正多邊形和圓的關系定理.

　　（四）作業    教材P185練習2、3；P187中8、11.

　　探究活動

　　四瓣花形

　　在邊長為1的正方形中分別以四個頂點為圓心，以l為半徑畫弧所交成的“四瓣梅花”圖形，如圖 (1)所示.

　　再分別以四邊中點為圓心，以相鄰的兩邊中點連線為半徑畫弧而交成的“花形”，如圖 (12)所示.

　　探討：（1）兩圖中的圓弧均被互分為三等份.

　　（2）兩朵“花”是相似圖形.

　　（3）試求兩“花”面積

　　提示：分析與解  (1)如圖21所示，連結PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°.

　　從而，∠ADP=30°.

　　同理∠CDQ=30°.故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分點.

　　由對稱性知，四段弧均被三等分.

　　如果證明了結論(2)，則圖 (12)也得相同結論.

　　(2)如圖（22）所示，連結E、F、G、H所得的正方形EFGH內的花形恰為圖 (1)的縮影.顯然兩“花”是相似圖形；其相似比是AB ﹕EF =﹕1.

　　(3)花形的面積為： ， .

圓、扇形、弓形的面積 篇3

　　教學目標：

　　1、簡單組合圖形的分解；

　　3、通過簡單組合圖形的分解，培養學生的觀察能力、發散思維能力和綜合運用知識分析問題、解決問題的能力.

　　4、通過對s△與s扇形關系的探討，進一步研究正多邊形與圓的關系，培養學生抽象思維能力和歸納概括能力.

　　教學重點：

　　簡單組合圖形的分解.

　　教學難點：

　　正確分解簡單的組合圖形.

　　教學過程：

　　一、新課引入：

　　上節課學習了弓形面積的計算，并且從中獲得了簡單組合圖形面積的計算可轉化為規則圖形的和與差來解決的方法.今天我們繼續學習“7.20圓、扇形、弓形的面積(三)”，鞏固化簡單組合圖形為規則圖形和與差的方法.

　　學生在學習弓形面積計算的基礎上，獲得了通過分解簡單組合圖形，計算其面積的方法.但要正確分解圖形，還需一定題量的練習，所以本堂課為學生提供練習題讓學生們互相切磋、探討.通過正多邊形的有關計算的復習進一步理解正多邊形與圓的關系，隨著正多邊形邊數增加，周長越來越趨向于圓的周長，面積越來越趨向于圓的面積，使學生初步體會極限的思想，了解s△與s扇形之間的關系.

　　二、新課講解：

　　(復習提問)：1.圓面積公式是什么？2.扇形面積公式是什么？如何選擇公式？3.當弓形的弧是半圓時，其面積等于什么？4.當弓形的弧是劣弧時，其面積怎樣求？5.當弓形的弧是優弧時，其面積怎樣求？(以上各題均安排中下生回答.)

　　(幻燈顯示題目)：如圖7-168，已知⊙o上任意一點c為圓心，以r

　　從題目中可知⊙o的半徑為r，“以⊙o上任意一點c為圓心，以r為半徑作弧與⊙o相交于a、b.”為我們提供的數學信息是什么？(安排中上生回答：a、b到o、c的距離相等，都等于oc等于r.)

　　轉化為弓形面積求呢？若能，輔助線應怎樣引？(安排中等生回答：能，連結ab.)

　　大家觀察圖形不難發現我們所求圖形實質是兩個弓形的組合，即

　　倍？(安排中下生回答：因已知oa=oc=ac所以△oac是等邊三角

　　同學們討論研究一下，s△aob又該如何求呢？(安排中上等生回答：求s△aob，需知ab的長和高的長，所以設oc與ab交點為d.∵∠aoc=60°，oa=r∴解rt△aod就能求出ab與高od.)連結oc交ab于d怎么就知od⊥ab？(安排中等生回答：根據垂徑定理∵c是ab中點.)

　　同學們互相研究看，此題還有什么方法？

　　下面給出另外兩種方法，供參考：

　　幻燈展示題目：正方形的邊長為a，以各邊為直徑，在正方形內畫半圓，求所圍成的圖形(陰影部分)的面積.

　　請同學們仔細觀察圖形，思考如何分解這個組合圖形.同學間互相討論、研究、交流看法：

　　現將學生可能提出的幾種方案列出，供參考：

　　方案1.s陰=s正方形-4s空白.觀察圖形不難看出sⅱ+sⅳ=s正方形-

　　方案2.觀察圖形，由于正方形abcd∴∠aob=90°，由正方形的軸對稱性可知陰影部分被分成八部分.觀察發現半圓aob的面積-△

　　即可.即s陰=4s瓣而s瓣=s半⊙-s△aob∴s陰=4.(s半⊙-s△aob)=2s⊙-4s△aob=2s⊙-s正方形.

　　方案4.觀察扇形eao，一瓣等于2個弓形，一個s弓形=s扇oa-

　　方案5.觀察rt△abc部分.用半圓boc與半圓aob去蓋rt△abc，發現這兩個半圓的和比rt△abc大，大出一個花瓣和兩個弓形，而這兩個弓形的和就又是一個瓣.因此有2個s瓣=2個s半圓-srt△abc=

　　方案6.用四個半圓蓋正方形，發現其和比正方形大，大的部分恰是s即：

　　在學生們充分討論交流之后，要求學生仔細回味展示出來的不同解法.尤其要琢磨這些解法是怎樣觀察、思考的.

　　幻燈展示練習題：1.如圖7-176，已知正△abc的半徑為r，則它的外接圓周長是____；內切圓周長是____；它的外接圓面積是____；

　　2.如圖7-177，已知正方形abcd的半徑r，則它的外接圓周長是____；內切圓周長是____；它的外接圓面積是____；它的內切圓面積

　　3.如圖7-178，已知正六邊形abcdef的半徑r，則它的外接圓的周長是____；內切圓周長是____；它的外接圓

　　將上面三片復合到一起.如圖7-179，讓學生觀察，隨著正多邊形邊數的增加，周長和面積有什么變化？(安排中等學生回答：隨著正多邊形邊數的增加，周長越來越接近圓的周長，面積越來越接近圓的面積.)正因為如此，所以古代人用增加正多邊形邊數的方法研究圓周率π，研究圓的周長與圓的面積的計算.

　　大家再觀察，隨著正多邊形邊數的增加，邊長越來越接近于弧，再看正多邊形的邊心距越來越接近于圓的半徑，所以以邊長為底，邊心距

　　三、課堂小結：

　　安排學生歸納所學知識內容：1.簡單組合圖形的分解；2.復習了正多邊形的計算以及以此為例，復習了圓周長、弧長、圓面積、扇形面積、弓形面積的計算.進一步理解了正多邊形和圓的關系定理.

　　四、布置作業

　　教材p185.練習1、2、3；p.187中8、11.

圓、扇形、弓形的面積 篇4

　　(一)

　　教學目標 ：

　　1、掌握扇形面積公式的推導過程，初步運用扇形面積公式進行一些有關計算；

　　2、通過扇形面積公式的推導，培養學生抽象、理解、概括、歸納能力和遷移能力；

　　3、在扇形面積公式的推導和例題教學過程 中，滲透“從特殊到一般，再由一般到特殊”的辯證思想.

　　教學重點：扇形面積公式的導出及應用.

　　教學難點 ：對圖形的分析.

　　教學活動設計：

　　（一）復習（圓面積）

　　已知⊙O半徑為R，⊙O的面積S是多少？

　　S=πR2

　　我們在求面積時往往只需要求出圓的一部分面積，如圖中陰影圖形的面積.為了更好研究這樣的圖形引出一個概念.

　　扇形：一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.

　　提出新問題：已知⊙O半徑為R，求圓心角n°的扇形的面積.

　　（二）遷移方法、探究新問題、歸納結論

　　1、遷移方法

　　教師引導學生遷移推導弧長公式的方法步驟：

　　（1）圓周長C=2πR；

　　（2）1°圓心角所對弧長= ；

　　（3）n°圓心角所對的弧長是1°圓心角所對的弧長的n倍；

　　（4）n°圓心角所對弧長= .

　　歸納結論：若設⊙O半徑為R， n°圓心角所對弧長l，則   （弧長公式）

　　2、探究新問題

　　教師組織學生對比研究：

　　（1）圓面積S=πR2；

　　（2）圓心角為1°的扇形的面積= ；

　　（3）圓心角為n°的扇形的面積是圓心角為1°的扇形的面積n倍；

　　（4）圓心角為n°的扇形的面積= .

　　歸納結論：若設⊙O半徑為R，圓心角為n°的扇形的面積S扇形，則

　　S扇形= （扇形面積公式）

　　（三）理解公式

　　教師引導學生理解：

　　（1）在應用扇形的面積公式S扇形= 進行計算時，要注意公式中n的意義.n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的；

　　（2）公式可以理解記憶（即按照上面推導過程記憶）；

　　提出問題：扇形的面積公式與弧長公式有聯系嗎？（教師組織學生探討）

　　S扇形= lR

　　想一想：這個公式與什么公式類似？（教師引導學生進行，或小組協作研究）

　　與三角形的面積公式類似，只要把扇形看成一個曲邊三角形，把弧長l看作底，R看作高就行了.這樣對比，幫助學生記憶公式.實際上，把扇形的弧分得越來越小，作經過各分點的半徑，并順次連結各分點，得到越來越多的小三角形，那么扇形的面積就是這些小三角形面積和的極限.要讓學生在理解的基礎上記住公式.

　　（四）應用

　　練習：1、已知扇形的圓心角為120°，半徑為2，則這個扇形的面積，S扇=____.

　　2、已知扇形面積為 ，圓心角為120°，則這個扇形的半徑R=____.

　　3、已知半徑為2的扇形，面積為 ，則它的圓心角的度數=____.

　　4、已知半徑為2cm的扇形，其弧長為 ，則這個扇形的面積，S扇=____.

　　5、已知半徑為2的扇形，面積為 ，則這個扇形的弧長=____.

　　（ ，2，120°， ， ）

　　例1、已知正三角形的邊長為a，求它的內切圓與外接圓組成的圓環的面積.

　　學生獨立完成，對基礎較差的學生教師指導

　　（1）怎樣求圓環的面積？

　　（2）如果設外接圓的半徑為R，內切圓的半徑為r， R、r與已知邊長a有什么聯系？

　　解：設正三角形的外接圓、內切圓的半徑分別為R，r，面積為S1、S2.

　　S= .

　　∵ ，∴S= .

　　說明：要注意整體代入.

　　對于教材中的例2，可以采用典型例題中第4題，充分讓學生探究.

　　課堂練習：教材P181練習中2、4題.

　　（五）總結

　　知識：扇形及扇形面積公式S扇形= ，S扇形= lR.

　　方法能力：遷移能力，對比方法；計算能力的培養.

　　（六）作業   教材P181練習1、3；P187中10.

　　(二)

　　教學目標 ：

　　1、在復習鞏固圓面積、扇形面積的計算的基礎上，會計算弓形面積；

　　2、培養學生觀察、理解能力，綜合運用知識分析問題和解決問題的能力；

　　3、通過面積問題實際應用題的解決，向學生滲透理論聯系實際的觀點.

　　教學重點：扇形面積公式的導出及應用.

　　教學難點 ：對圖形的分解和組合、實際問題數學模型的建立.

　　教學活動設計：

　　（一）概念與認識

　　弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.

　　弦AB把圓分成兩部分，這兩部分都是弓形.弓形是一個最簡單的組合圖形之一.

　　（二）弓形的面積

　　提出問題：怎樣求弓形的面積呢？

　　學生以小組的形式研究，交流歸納出結論：

　　（1）當弓形的弧小于半圓時，弓形的面積等于扇形面積與三角形面積的差；

　　（2）當弓形的弧大于半圓時，它的面積等于扇形面積與三角的面積的和；

　　（3）當弓形弧是半圓時，它的面積是圓面積的一半.

　　理解：如果組成弓形的弧是半圓，則此弓形面積是圓面積的一半；如果組成弓形的弧是劣弧則它的面積等于以此劣弧為弧的扇形面積減去三角形的面積；如果組成弓形的弧是優弧，則它的面積等于以此優弧為弧的扇形面積加上三角形的面積.也就是說：要計算弓形的面積，首先觀察它的弧屬于半圓？劣弧？優弧？只有對它分解正確才能保證計算結果的正確.

　　（三）應用與反思

　　練習：

　　(1)如果弓形的弧所對的圓心角為60°，弓形的弦長為a，那么這個弓形的面積等于_______；

　　(2)如果弓形的弧所對的圓心角為300°，弓形的弦長為a，那么這個弓形的面積等于_______.

　　（學生獨立完成，鞏固新知識）

　　例3、水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m，其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面積.(精確到0.01m2)

　　教師引導學生并滲透數學建模思想，分析：

　　（1）“水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m”為你提供了什么數學信息？

　　（2）求截面上有水的弓形的面積為你提供什么信息？

　　（3）扇形、三角形、弓形是什么關系，選擇什么公式計算？

　　學生完成解題過程，并歸納三角形OAB的面積的求解方法.

　　反思：①要注重題目的信息，處理信息；②歸納三角形OAB的面積的求解方法，根據條件特征，靈活應用公式；③弓形的面積可以選用圖形分解法，將它轉化為扇形與三角形的和或差來解決.

　　例4、已知：⊙O的半徑為R，直徑AB⊥CD，以B為圓心，以BC為半徑作 .求 與 圍成的新月牙形ACED的面積S.

　　解：∵ ，

　　有∵，

　　， ，

　　∴ .

　　組織學生反思解題方法：圖形的分解與組合；公式的靈活應用.

　　（四）總結

　　1、弓形面積的計算：首先看弓形弧是半圓、優弧還是劣弧，從而選擇分解方案；

　　2、應用弓形面積解決實際問題；

　　3、分解簡單組合圖形為規則圓形的和與差.

　　（五）作業   教材P183練習2；P188中12.

　　(三)

　　教學目標 ：

　　1、掌握簡單組合圖形分解和面積的求法；

　　2、進一步培養學生的觀察能力、發散思維能力和綜合運用知識分析問題、解決問題的能力；

　　3、滲透圖形的外在美和內在關系.

　　教學重點：簡單組合圖形的分解.

　　教學難點 ：對圖形的分解和組合.

　　教學活動設計：

　　（一）知識回顧

　　復習提問：1、圓面積公式是什么？2、扇形面積公式是什么？如何選擇公式？3、當弓形的弧是半圓時，其面積等于什么？4、當弓形的弧是劣弧時，其面積怎樣求？5、當弓形的弧是優弧時，其面積怎樣求？

　　（二）簡單圖形的分解和組合

　　1、圖形的組合

　　讓學生認識圖形，并體驗圖形的外在美，激發學生的研究興趣，促進學生的創造力.

　　2、提出問題：正方形的邊長為a，以各邊為直徑，在正方形內畫半圓，求所圍成的圖形(陰影部分)的面積.

　　以小組的形式協作研究，班內交流思想和方法，教師組織.給學生發展思維的空間，充分發揮學生的主體作用.

　　歸納交流結論：

　　方案1.S陰=S正方形-4S空白.

　　方案2、S陰=4S瓣=4 (S半圓-S△AOB)

　　=2S圓-4S△AOB=2S圓-S正方形ABCD

　　方案3、S陰=4S瓣=4 (S半圓-S正方形AEOF)

　　=2S圓-4S正方形AEOF =2S圓-S正方形ABCD

　　方案4、S陰=4 S半圓-S正方形ABCD

　　……………

　　反思：①對圖形的分解不同，解題的難易程度不同，解題中要認真觀察圖形，追求最美的解法；②圖形的美也存在著內在的規律.

　　練習1：如圖，圓的半徑為r，分別以圓周上三個等分點為圓心，以r為半徑畫圓弧，則陰影部分面積是多少?

　　分析：連結OA，陰影部分可以看成由六個相同的弓形AmO組成.

　　解：連結AO，設P為其中一個三等分點，

　　連結PA、PO，則△POA是等邊三角形.

　　.

　　∴

　　說明：① 圖形的分解與重新組合是重要方法；②本題還可以用下面方法求：若連結AB，用六個弓形APB的面積減去⊙O面積，也可得到陰影部分的面積.

　　練習2：教材P185練習第1題

　　例5、 已知⊙O的半徑為R.

　　（1）求⊙O的內接正三角形、正六邊形、正十二邊形的周長與⊙O直徑（2R）的比值；

　　（2）求⊙O的內接正三角形、正六邊形、正十二邊形的面積與圓面積的比值(保留兩位小數).

　　例5的計算量較大，老師引導學生完成.并進一步鞏固正多邊形的計算知識，提高學生的計算能力.

　　說明：從例5(1)可以看出：正多邊形的周長與它的外接圓直徑的比值，與直徑的大小無關.實際上，古代數學家就是用逐次倍增正多邊形的邊數，使正多邊形的周長趨近于圓的周長，從而求得了π的各種近似值.從(2)可以看出，增加圓內接正多邊形的邊數，可使它的面積趨近于圓的面積

　　（三）總結

　　1、簡單組合圖形的分解；

　　2、進一步鞏固了正多邊形的計算以，鞏固了圓周長、弧長、圓面積、扇形面積、弓形面積的計算.

　　3、進一步理解了正多邊形和圓的關系定理.

　　（四）作業    教材P185練習2、3；P187中8、11.

　　探究活動

　　四瓣花形

　　在邊長為1的正方形中分別以四個頂點為圓心，以l為半徑畫弧所交成的“四瓣梅花”圖形，如圖 (1)所示.

　　再分別以四邊中點為圓心，以相鄰的兩邊中點連線為半徑畫弧而交成的“花形”，如圖 (12)所示.

　　探討：（1）兩圖中的圓弧均被互分為三等份.

　　（2）兩朵“花”是相似圖形.

　　（3）試求兩“花”面積

　　提示：分析與解  (1)如圖21所示，連結PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°.

　　從而，∠ADP=30°.

　　同理∠CDQ=30°.故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分點.

　　由對稱性知，四段弧均被三等分.

　　如果證明了結論(2)，則圖 (12)也得相同結論.

　　(2)如圖（22）所示，連結E、F、G、H所得的正方形EFGH內的花形恰為圖 (1)的縮影.顯然兩“花”是相似圖形；其相似比是AB ﹕EF = ﹕1.

　　(3)花形的面積為： ， .

圓、扇形、弓形的面積 篇5

　　教學目標：

　　1、使學生在復習鞏固圓面積、扇形面積的計算的基礎上，會計算弓形面積；

　　2、會計算一些簡單的組合圖形的面積.

　　3、通過弓形面積的計算培養學生觀察、理解能力，綜合運用知識分析問題和解決問題的能力；

　　4、通過運用弓形面積的計算解決實際問題，培養學生把實際問題抽象成數學問題的能力；

　　5、通過學生對弓形及簡單組合圖形面積的計算，培養學生正確迅速的運算能力.

　　教學重點：

　　弓形面積的計算.

　　教學難點：

　　(1)簡單組合圖形的分解.

　　(2)從實際問題中抽象出數學模型.

　　教學過程：

　　一、新課引入：

　　上一節我們復習了圓的面積，在它的基礎上我們學習了扇形的面積，本節課就要在前一課的基礎上學習弓形面積的計算.

　　弓形是一個最簡單的組合圖形之一，由于有圓的面積、扇形面積、三角形面積做基礎，很容易計算弓形的面積.

　　由于計算弓形的面積不像圓面積和扇形面積那樣有公式，當弓形的弧小于半圓時，弓形的面積等于扇形面積與三角形面積的差；當弓形的弧大于半圓時，它的面積等于扇形面積與三角的面積的和；當弓形弧是半圓時，它的面積是圓面積的一半.也就是說要計算弓形的面積首先要觀察這個弓形是怎么組合而成的，從而得到啟發；一些組合圖形的面積總要分解為幾個規則圖形的和與差來解決的方法.所謂規則圖形指的是有計算公式的圖形.因此弓形面積的計算以及受它啟發的分解組合圖形求面積的方法就是本節課的重點.本節擬就三部分組成：1.師生共同觀察分解弓形，然后作有關的練習.2.運用弓形面積的計算解決實際問題.3.受分解弓形的啟發分解一些簡單的圖形.

　　二、新課講解：

　　(復習提問)：1.請回答圓的面積公式.2.請回答扇形的面積公

　　(以上三問應安排中下生回答)4.請同學看圖7-163，弦ab把圓分成兩部分，這兩部分都是弓形，哪位同學記得弓形的定義？(安排中下生回答：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.)

　　所組的弓形.它的面積能不能跟扇形面積聯系上呢？(安排中上生回答：能，連結oa、ob).大家再觀察圖形，這個弓形的面積如何通過扇形

　　也就是說組成弓形的弧如果是劣弧，那么它的面積應該等于以此劣弧與半徑組成的扇形面積減去這兩半徑與弦組成的三角形的面積.

　　和半徑oa、ob組成的圖形是扇形嗎？為什么？(安排中上生回答：是，因為它符合扇形的定義.)

　　如果弦ab是⊙o的直徑，那么以ab為弦，半圓為弧的弓形的面積又是多少？(安排中下生回答：圓面積的一半.)

　　于是我們得出結論：如果組成弓形的弧是半圓，則此弓形面積是圓面積的一半；如果組成弓形的弧是劣弧則它的面積等于以此劣弧為弧的扇形面積減去三角形的面積；如果組成弓形的弧是優弧，則它的面積等于以此優弧為弧的扇形面積加上三角形的面積.也就是說：要計算弓形的面積，首先觀察它的弧屬于半圓？劣弧？優弧？只有對它分解正確才能保證計算結果的正確.

　　哪位同學知道要對這種題進行計算，首先要作什么工作？(安排中下

　　三角形aob的面積怎么求？(安排中上生回答：過o作od⊥ab，垂

　　以只要解此△aod即可求出od、ad的長，則s△aob可求.)

　　請同學們把這題計算出來.(安排一學生上黑板做，其余在練習本上

　　請同學們討論研究第2題，并計算出它的結果.(安排中上生上黑板

　　(幻燈提供例題：)水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m，其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面積.(精確到0.01m2)

　　“水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m”為你提供了什么數學信息？(安排中上生回答：⊙o的半徑是0.6m.)“其中水面高是0.3m”.又為你提供了什么信息？(安排中上生回答：弓形高cd是0.3m.)“求截面上有水的弓形的面積為你提供什么信息？(安排中等生回答：

　　長，看看已知條件，你打算怎么辦？(安排中上學生回答：因弓形高cd已知，半徑已知，所以弦心距od可求，根據垂徑定理，rt△aod可解，即∠aod的度數可求，所以∠aob的度數可求.n既然可求當然

　　請問△aob的面積又該如何求？(安排中等學生回答：通過解此△aod可求出ad的長，再據垂徑定理可求ab的長，od已求，所以s△aob可求.)

　　請同學們完成這道應用題.(安排一位中上學生到黑板做，其余學生在練習本上完成).

　　弓形面積雖然沒有計算公式，但可以選用圖形分解法，將它轉化為扇形與三角形的和或差來解決，那么其它一些組合圖形，不也可以用圖形分解法來求其面積嗎？

　　幻燈示題：如圖7-166，已知正△abc的邊長為a，分別以a、b、

　　圖形面積s.

　　顯然圖形中陰影部分的面積無計算公式，因此必須將它轉化為有公式圖形的和或差來解決.想想看，你打算如何求s陰？(安排中等生回答：s陰=s正△abc-3s扇)

　　正三角形的邊長為a，顯然s正△abc可求.由于正△abc，所以∠

　　請同學們完成此題.(安排一中上學生上黑板，其余在練習本上完成).

　　幻燈示題：已知：⊙o的半徑為r，直徑ab⊥cd，以b為圓心，

　　大家觀察，圖(7-167)中的陰影部分面積應當如何求？(安排中下生回

　　我的看法對還是不對？為什么？(安排舉手的學生回答：圖形bcad不是扇形，因為扇形的定義是在同一個圓中，一條弧和過弧端點的兩條半徑

　　的半徑.因此將陰影面積看成兩扇形的差是錯誤的.)

　　請同學們按照正確思路完成此題.(安排一中等學生上黑板，其余學生在練習本上做)

　　三、課堂小結：

　　哪位同學能為本節課作總結？(安排中上學生回答：1.弓形面積的計算：首先看弓形弧是半圓、優弧還是劣弧，從而選擇分解方案.2.應用弓形面積解決實際問題.3.分解簡單組合圖形為規則圓形的和與差.)

　　四、布置作業

　　教材p.183練習1、2；p.188中12.

圓、扇形、弓形的面積 篇6

　　教學目標：

　　1、復習圓面積公式，并在它的基礎上推導扇形面積公式.

　　2、應用圓面積公式和扇形面積公式進行一些有關計算.

　　3、通過扇形面積公式的推導，培養學生抽象、理解、概括、歸納能力；

　　4、通過一些有關圓面積和扇形面積的計算培養學生正確、迅速的運算能力.

　　5、通過扇形面積公式的靈活運用，培養學生發散思維能力.

　　教學重點：

　　扇形面積公式的導出及應用.

　　教學難點：

　　對有關練習題的分析.

　　教學過程：

　　一、新課引入：

　　前面我們在推導弧長公式時是將360°的圓心角分成360等份，這些角的邊將圓周分成360等分，每一等份，我們稱其為1°的弧.在此基礎上，我們推導了弧長公式.大家想想看，將360°的圓心角分成360等份后，這些角的邊不僅將周長分成360等份，面積不也同時分成360等份了嗎？圓被這些角的邊分割后所成的圖形就是我們今天所要學習的扇形.

　　二、新課講解：

　　由于在推導弧長公式中，若將360°的圓心角360等分，就得到了360等份的弧.在這個過程中不難發現圓周被分割成360等份的同時，面積也被分割成360等份，于是就要研究這每一份的面積，從而推導了扇

　　由于扇形應用很廣泛，它同其它規則圖形一樣是一些不規則圖形的組成部分，尤其是跟圓弧有關的不規則圖形中，在分解這些圖形過程中扇形起著舉足輕重的作用，而且它還是后面要學習的圓錐的基礎，所以扇形面積公式的推導與計算是我們這堂課的重點.

　　如圖7-161，圓心角的兩邊將圓分割成兩部份，分割后所成的圖形，我們稱之為扇形.

　　哪位同學能給扇形下一個定義？(安排上等生回答：一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑組成的圖形叫做扇形.)

　　將360°的圓心角分成360等份，這360條半徑將圓分割成360個

　　哪位同學記得圓的面積公式？(安排中下生回答：s=πr2)

　　哪位同學知道，圓心角1°的扇形其面積應等于什么？(安排中下

　　如果一個扇形的圓心角為n°，則它的面積又應該是多少？(安排

　　公式中的“n”與弧長公式中的“n”意義完全相同，它表示1°的倍數，n的值與n°的值相同.

　　幻燈提供練習題：

　　1.已知扇形的圓心角為120°，半徑為2cm，則這個扇形的面積，s扇=____.

　　r=____.

　　=____.

　　s扇=____.

　　長=____.

　　幻燈顯示練習題：已知扇形的圓心角為150°，弧長為20πcm，則s扇=____.

　　幻燈顯示練習題：已知一扇形的面積240πcm2，它的圓心角度數是150°，則這扇形的弧長是____；

　　哪位同學分析一下這題的解題思路？(安排中上生回答：通過公式

　　案：20πcm)

　　幻燈顯示練習題：已知一扇形的面積240πcm2，它的弧長是20πcm，則這扇形的圓心角是____.

　　哪位同學分析一下這題的解題思路：(安排中下生回答：通過公式

　　幻燈顯示練習題：一個扇形的半徑等于一個圓的半徑的2倍，且面積相等，求這個扇形的圓心角.

　　哪位同學分析一下這題的解題思路？(安排中上生回答：設扇形半

　　請同學們完成此題.(答案：n°=90°)

　　例1  如圖7-162，已知正三角形的邊長為a，求它的內切圓與外接圓組成的圓環的面積.

　　哪位同學知道圓環的面積怎么求？(安排中下生回答：外接圓的面積—內切圓的面積)，如果設外接圓的半徑為r，內切圓的半徑為r3，

　　哪位同學發現r、r3與已知邊長a有什么聯系？

　　幻燈顯示練習題：

　　1.已知正方形的邊長為a，求它的內切圓與外接圓組成的圓環的面積；

　　2.已知正五邊形的邊長為a，求它的內切圓與外接圓組成的圓環的面積.

　　(安排學生在練習本上完成)

　　通過前面3題的練習，你有什么發現？(安排中上學生回答：如果正

　　三、課堂小結：

　　四、布置作業：教材p.181.練習1、2、3、4；p.187中10

圓、扇形、弓形的面積 篇7

　　(一)

　　教學目標 ：

　　1、掌握扇形面積公式的推導過程，初步運用扇形面積公式進行一些有關計算；

　　2、通過扇形面積公式的推導，培養學生抽象、理解、概括、歸納能力和遷移能力；

　　3、在扇形面積公式的推導和例題教學過程 中，滲透“從特殊到一般，再由一般到特殊”的辯證思想.

　　教學重點：扇形面積公式的導出及應用.

　　教學難點 ：對圖形的分析.

　　教學活動設計：

　　（一）復習（圓面積）

　　已知⊙O半徑為R，⊙O的面積S是多少？

　　S=πR2

　　我們在求面積時往往只需要求出圓的一部分面積，如圖中陰影圖形的面積.為了更好研究這樣的圖形引出一個概念.

　　扇形：一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.

　　提出新問題：已知⊙O半徑為R，求圓心角n°的扇形的面積.

　　（二）遷移方法、探究新問題、歸納結論

　　1、遷移方法

　　教師引導學生遷移推導弧長公式的方法步驟：

　　（1）圓周長C=2πR；

　　（2）1°圓心角所對弧長= ；

　　（3）n°圓心角所對的弧長是1°圓心角所對的弧長的n倍；

　　（4）n°圓心角所對弧長= .

　　歸納結論：若設⊙O半徑為R， n°圓心角所對弧長l，則   （弧長公式）

　　2、探究新問題

　　教師組織學生對比研究：

　　（1）圓面積S=πR2；

　　（2）圓心角為1°的扇形的面積= ；

　　（3）圓心角為n°的扇形的面積是圓心角為1°的扇形的面積n倍；

　　（4）圓心角為n°的扇形的面積= .

　　歸納結論：若設⊙O半徑為R，圓心角為n°的扇形的面積S扇形，則

　　S扇形= （扇形面積公式）

　　（三）理解公式

　　教師引導學生理解：

　　（1）在應用扇形的面積公式S扇形= 進行計算時，要注意公式中n的意義.n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的；

　　（2）公式可以理解記憶（即按照上面推導過程記憶）；

　　提出問題：扇形的面積公式與弧長公式有聯系嗎？（教師組織學生探討）

　　S扇形= lR

　　想一想：這個公式與什么公式類似？（教師引導學生進行，或小組協作研究）

　　與三角形的面積公式類似，只要把扇形看成一個曲邊三角形，把弧長l看作底，R看作高就行了.這樣對比，幫助學生記憶公式.實際上，把扇形的弧分得越來越小，作經過各分點的半徑，并順次連結各分點，得到越來越多的小三角形，那么扇形的面積就是這些小三角形面積和的極限.要讓學生在理解的基礎上記住公式.

　　（四）應用

　　練習：1、已知扇形的圓心角為120°，半徑為2，則這個扇形的面積，S扇=____.

　　2、已知扇形面積為 ，圓心角為120°，則這個扇形的半徑R=____.

　　3、已知半徑為2的扇形，面積為 ，則它的圓心角的度數=____.

　　4、已知半徑為2cm的扇形，其弧長為 ，則這個扇形的面積，S扇=____.

　　5、已知半徑為2的扇形，面積為 ，則這個扇形的弧長=____.

　　（ ，2，120°， ， ）

　　例1、已知正三角形的邊長為a，求它的內切圓與外接圓組成的圓環的面積.

　　學生獨立完成，對基礎較差的學生教師指導

　　（1）怎樣求圓環的面積？

　　（2）如果設外接圓的半徑為R，內切圓的半徑為r， R、r與已知邊長a有什么聯系？

　　解：設正三角形的外接圓、內切圓的半徑分別為R，r，面積為S1、S2.

　　S= .

　　∵ ，∴S= .

　　說明：要注意整體代入.

　　對于教材中的例2，可以采用典型例題中第4題，充分讓學生探究.

　　課堂練習：教材P181練習中2、4題.

　　（五）總結

　　知識：扇形及扇形面積公式S扇形= ，S扇形= lR.

　　方法能力：遷移能力，對比方法；計算能力的培養.

　　（六）作業   教材P181練習1、3；P187中10.

　　(二)

　　教學目標 ：

　　1、在復習鞏固圓面積、扇形面積的計算的基礎上，會計算弓形面積；

　　2、培養學生觀察、理解能力，綜合運用知識分析問題和解決問題的能力；

　　3、通過面積問題實際應用題的解決，向學生滲透理論聯系實際的觀點.

　　教學重點：扇形面積公式的導出及應用.

　　教學難點 ：對圖形的分解和組合、實際問題數學模型的建立.

　　教學活動設計：

　　（一）概念與認識

　　弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.

　　弦AB把圓分成兩部分，這兩部分都是弓形.弓形是一個最簡單的組合圖形之一.

　　（二）弓形的面積

　　提出問題：怎樣求弓形的面積呢？

　　學生以小組的形式研究，交流歸納出結論：

　　（1）當弓形的弧小于半圓時，弓形的面積等于扇形面積與三角形面積的差；

　　（2）當弓形的弧大于半圓時，它的面積等于扇形面積與三角的面積的和；

　　（3）當弓形弧是半圓時，它的面積是圓面積的一半.

　　理解：如果組成弓形的弧是半圓，則此弓形面積是圓面積的一半；如果組成弓形的弧是劣弧則它的面積等于以此劣弧為弧的扇形面積減去三角形的面積；如果組成弓形的弧是優弧，則它的面積等于以此優弧為弧的扇形面積加上三角形的面積.也就是說：要計算弓形的面積，首先觀察它的弧屬于半圓？劣弧？優弧？只有對它分解正確才能保證計算結果的正確.

　　（三）應用與反思

　　練習：

　　(1)如果弓形的弧所對的圓心角為60°，弓形的弦長為a，那么這個弓形的面積等于_______；

　　(2)如果弓形的弧所對的圓心角為300°，弓形的弦長為a，那么這個弓形的面積等于_______.

　　（學生獨立完成，鞏固新知識）

　　例3、水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m，其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面積.(精確到0.01m2)

　　教師引導學生并滲透數學建模思想，分析：

　　（1）“水平放著的圓柱形排水管的截面半徑是0.6m”為你提供了什么數學信息？

　　（2）求截面上有水的弓形的面積為你提供什么信息？

　　（3）扇形、三角形、弓形是什么關系，選擇什么公式計算？

　　學生完成解題過程，并歸納三角形OAB的面積的求解方法.

　　反思：①要注重題目的信息，處理信息；②歸納三角形OAB的面積的求解方法，根據條件特征，靈活應用公式；③弓形的面積可以選用圖形分解法，將它轉化為扇形與三角形的和或差來解決.

　　例4、已知：⊙O的半徑為R，直徑AB⊥CD，以B為圓心，以BC為半徑作 .求 與 圍成的新月牙形ACED的面積S.

　　解：∵ ，

　　有∵，

　　， ，

　　∴ .

　　組織學生反思解題方法：圖形的分解與組合；公式的靈活應用.

　　（四）總結

　　1、弓形面積的計算：首先看弓形弧是半圓、優弧還是劣弧，從而選擇分解方案；

　　2、應用弓形面積解決實際問題；

　　3、分解簡單組合圖形為規則圓形的和與差.

　　（五）作業   教材P183練習2；P188中12.

　　(三)

　　教學目標 ：

　　1、掌握簡單組合圖形分解和面積的求法；

　　2、進一步培養學生的觀察能力、發散思維能力和綜合運用知識分析問題、解決問題的能力；

　　3、滲透圖形的外在美和內在關系.

　　教學重點：簡單組合圖形的分解.

　　教學難點 ：對圖形的分解和組合.

　　教學活動設計：

　　（一）知識回顧

　　復習提問：1、圓面積公式是什么？2、扇形面積公式是什么？如何選擇公式？3、當弓形的弧是半圓時，其面積等于什么？4、當弓形的弧是劣弧時，其面積怎樣求？5、當弓形的弧是優弧時，其面積怎樣求？

　　（二）簡單圖形的分解和組合

　　1、圖形的組合

　　讓學生認識圖形，并體驗圖形的外在美，激發學生的研究興趣，促進學生的創造力.

　　2、提出問題：正方形的邊長為a，以各邊為直徑，在正方形內畫半圓，求所圍成的圖形(陰影部分)的面積.

　　以小組的形式協作研究，班內交流思想和方法，教師組織.給學生發展思維的空間，充分發揮學生的主體作用.

　　歸納交流結論：

　　方案1.S陰=S正方形-4S空白.

　　方案2、S陰=4S瓣=4 (S半圓-S△AOB)

　　=2S圓-4S△AOB=2S圓-S正方形ABCD

　　方案3、S陰=4S瓣=4 (S半圓-S正方形AEOF)

　　=2S圓-4S正方形AEOF =2S圓-S正方形ABCD

　　方案4、S陰=4 S半圓-S正方形ABCD

　　……………

　　反思：①對圖形的分解不同，解題的難易程度不同，解題中要認真觀察圖形，追求最美的解法；②圖形的美也存在著內在的規律.

　　練習1：如圖，圓的半徑為r，分別以圓周上三個等分點為圓心，以r為半徑畫圓弧，則陰影部分面積是多少?

　　分析：連結OA，陰影部分可以看成由六個相同的弓形AmO組成.

　　解：連結AO，設P為其中一個三等分點，

　　連結PA、PO，則△POA是等邊三角形.

　　.

　　∴

　　說明：① 圖形的分解與重新組合是重要方法；②本題還可以用下面方法求：若連結AB，用六個弓形APB的面積減去⊙O面積，也可得到陰影部分的面積.

　　練習2：教材P185練習第1題

　　例5、 已知⊙O的半徑為R.

　　（1）求⊙O的內接正三角形、正六邊形、正十二邊形的周長與⊙O直徑（2R）的比值；

　　（2）求⊙O的內接正三角形、正六邊形、正十二邊形的面積與圓面積的比值(保留兩位小數).

　　例5的計算量較大，老師引導學生完成.并進一步鞏固正多邊形的計算知識，提高學生的計算能力.

　　說明：從例5(1)可以看出：正多邊形的周長與它的外接圓直徑的比值，與直徑的大小無關.實際上，古代數學家就是用逐次倍增正多邊形的邊數，使正多邊形的周長趨近于圓的周長，從而求得了π的各種近似值.從(2)可以看出，增加圓內接正多邊形的邊數，可使它的面積趨近于圓的面積

　　（三）總結

　　1、簡單組合圖形的分解；

　　2、進一步鞏固了正多邊形的計算以，鞏固了圓周長、弧長、圓面積、扇形面積、弓形面積的計算.

　　3、進一步理解了正多邊形和圓的關系定理.

　　（四）作業    教材P185練習2、3；P187中8、11.

　　探究活動

　　四瓣花形

　　在邊長為1的正方形中分別以四個頂點為圓心，以l為半徑畫弧所交成的“四瓣梅花”圖形，如圖 (1)所示.

　　再分別以四邊中點為圓心，以相鄰的兩邊中點連線為半徑畫弧而交成的“花形”，如圖 (12)所示.

　　探討：（1）兩圖中的圓弧均被互分為三等份.

　　（2）兩朵“花”是相似圖形.

　　（3）試求兩“花”面積

　　提示：分析與解  (1)如圖21所示，連結PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°.

　　從而，∠ADP=30°.

　　同理∠CDQ=30°.故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分點.

　　由對稱性知，四段弧均被三等分.

　　如果證明了結論(2)，則圖 (12)也得相同結論.

　　(2)如圖（22）所示，連結E、F、G、H所得的正方形EFGH內的花形恰為圖 (1)的縮影.顯然兩“花”是相似圖形；其相似比是AB ﹕EF = ﹕1.

　　(3)花形的面積為： ， .

圓、扇形、弓形的面積 篇8

　　(一)

　　教學目標：

　　1、掌握扇形面積公式的推導過程，初步運用扇形面積公式進行一些有關計算；

　　2、通過扇形面積公式的推導，培養學生抽象、理解、概括、歸納能力和遷移能力；

　　3、在扇形面積公式的推導和例題教學過程中，滲透“從特殊到一般，再由一般到特殊”的辯證思想.

　　教學重點：扇形面積公式的導出及應用.

　　教學難點：對圖形的分析.

　　教學活動設計：

　　（一）復習（圓面積）

　　已知⊙O半徑為R，⊙O的面積S是多少？

　　S=πR2

　　我們在求面積時往往只需要求出圓的一部分面積，如圖中陰影圖形的面積.為了更好研究這樣的圖形引出一個概念.

　　扇形：一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.

　　提出新問題：已知⊙O半徑為R，求圓心角n°的扇形的面積.

　　（二）遷移方法、探究新問題、歸納結論

　　1、遷移方法

　　教師引導學生遷移推導弧長公式的方法步驟：

　　（1）圓周長C=2πR；

　　（2）1°圓心角所對弧長=；

　　（3）n°圓心角所對的弧長是1°圓心角所對的弧長的n倍；

　　（4）n°圓心角所對弧長=.

　　歸納結論：若設⊙O半徑為R， n°圓心角所對弧長l，則   （弧長公式）

　　2、探究新問題

　　教師組織學生對比研究：

　　（1）圓面積S=πR2；

　　（2）圓心角為1°的扇形的面積=；

　　（3）圓心角為n°的扇形的面積是圓心角為1°的扇形的面積n倍；

　　（4）圓心角為n°的扇形的面積=.

　　歸納結論：若設⊙O半徑為R，圓心角為n°的扇形的面積S扇形，則

　　S扇形= （扇形面積公式）

　　（三）理解公式

　　教師引導學生理解：

　　（1）在應用扇形的面積公式S扇形=進行計算時，要注意公式中n的意義.n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的；

　　（2）公式可以理解記憶（即按照上面推導過程記憶）；

　　提出問題：扇形的面積公式與弧長公式有聯系嗎？（教師組織學生探討）

　　S扇形=lR

　　想一想：這個公式與什么公式類似？（教師引導學生進行，或小組協作研究）

　　與三角形的面積公式類似，只要把扇形看成一個曲邊三角形，把弧長l看作底，R看作高就行了.這樣對比，幫助學生記憶公式.實際上，把扇形的弧分得越來越小，作經過各分點的半徑，并順次連結各分點，得到越來越多的小三角形，那么扇形的面積就是這些小三角形面積和的極限.要讓學生在理解的基礎上記住公式.

　　（四）應用

　　練習：1、已知扇形的圓心角為120°，半徑為2，則這個扇形的面積，S扇=____.

　　2、已知扇形面積為 ，圓心角為120°，則這個扇形的半徑R=____.

　　3、已知半徑為2的扇形，面積為 ，則它的圓心角的度數=____.

　　4、已知半徑為2cm的扇形，其弧長為 ，則這個扇形的面積，S扇=____.

　　5、已知半徑為2的扇形，面積為 ，則這個扇形的弧長=____.

　　（ ，2，120°， ， ）

　　例1、已知正三角形的邊長為a，求它的內切圓與外接圓組成的圓環的面積.

　　學生獨立完成，對基礎較差的學生教師指導

　　（1）怎樣求圓環的面積？

　　（2）如果設外接圓的半徑為R，內切圓的半徑為r， R、r與已知邊長a有什么聯系？

　　解：設正三角形的外接圓、內切圓的半徑分別為R，r，面積為S1、S2.

　　S=.

　　∵ ，∴S=.

　　說明：要注意整體代入.

　　對于教材中的例2，可以采用典型例題中第4題，充分讓學生探究.

　　課堂練習：教材P181練習中2、4題.

　　（五）總結

　　知識：扇形及扇形面積公式S扇形= ，S扇形=lR.

　　方法能力：遷移能力，對比方法；計算能力的培養.

　　（六）作業   教材P181練習1、3；P187中10.

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