兩條直線的位置關(guān)系（通用8篇）

兩條直線的位置關(guān)系 篇1

　　(2)夾角

　　①應(yīng)正確區(qū)分直線 到 的角、直線 到 的角、直線 和 的夾角這三個(gè)概念.

　　到 的角是帶方向的角,它是指 按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)到與 重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角,它與 到 的角是不同的,假如設(shè)前者是 ,后者是 ,則 + = . 與 所夾的不大于 的角成為 和 的夾角,夾角不帶方向.

　　當(dāng) 到 的角為銳角 時(shí),則 和 的夾角也是 ;當(dāng) 到 的角為鈍角 時(shí),則 和 的夾角也是 .

　　②在求直線 到 的角 時(shí),應(yīng)注重分析圖形的幾何性質(zhì),找出 與 , 的傾斜角 , 關(guān)系,得出 或 ,然后由 , 聯(lián)想差角的正切公式,便可把圖形的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)語(yǔ)言來(lái)表示,推導(dǎo)出

　　.

　　再由 與 的夾角與 到 的角之間的關(guān)系,而得出夾角計(jì)算公式

　　這種把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的方法,是解析幾何的基本方法,要認(rèn)真揣摩.

　　③對(duì)于以上兩個(gè)求角公式,在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),要注重根據(jù)具體情況選用.

　　(3)交點(diǎn)

　　①求兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題就是求它們的方程的公共解的問(wèn)題,這可以由直線的方程與方程的直線的定義來(lái)理解.

　　②在同一平面內(nèi),兩條直線有三種位置關(guān)系:相交、平行、重合,相應(yīng)的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況:有惟一解、無(wú)解、無(wú)數(shù)多個(gè)解.但在實(shí)際判定時(shí),利用直線的斜率和截距更方便.若 , ,則:

　　與 相交 ;

　　且 ;

　　與 重合 且 .

　　(4)點(diǎn)到直線的距離

　　①點(diǎn)到直線的距離公式是研究點(diǎn)與直線位置關(guān)系的重要工具.教科書(shū)借助于直角三角形的面積公式,推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式.在推導(dǎo)過(guò)程中,把與兩條坐標(biāo)軸都不平行的線段的長(zhǎng)度的計(jì)算,轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)軸平等或垂直的線段長(zhǎng)度的計(jì)算,從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程.

　　②利用點(diǎn)到直線的距離公式可推出兩平行線

　　課題:點(diǎn)到直線的距離

　　教學(xué)目標(biāo):(1)理解點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過(guò)程.

　　(2)會(huì)求點(diǎn)到直線的距離.

　　(3)在探索點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)思路的過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、積極探索的精神.

　　教學(xué)用具:計(jì)算機(jī)

　　教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo)法,討論法

　　教學(xué)過(guò)程:

　　一、引入

　　點(diǎn)到直線的距離是指過(guò)點(diǎn) 作 的垂線, 與垂足 之間的長(zhǎng)度

　　問(wèn)題1已知點(diǎn) (1,2)和直線 : ,求 點(diǎn)到直線 的距離.

　　(由學(xué)生分析、解答)

　　分析:先求出過(guò) 點(diǎn)和 垂直的直線:

　　: ,再求出 和 的交點(diǎn)

　　∴

　　假如把問(wèn)題1一般化就有如下問(wèn)題:

　　問(wèn)題2已知: 和直線 : ( 不在直線 上,且 , ),試求 點(diǎn)到直線 的距離.

　　二、點(diǎn)到直線距離

　　分析1:要求 的長(zhǎng)度可以象問(wèn)題1的解法一樣,利用兩點(diǎn)的距離公式可以求 的長(zhǎng)度.

　　∵ 點(diǎn)坐標(biāo)已知,∴只要求出 點(diǎn)坐標(biāo)就可以了.

　　又∵ 點(diǎn)是直線 和直線 的交點(diǎn)

　　又∵直線 的方程已知

　　∴只要求出直線 的方程就可以了.

　　即: ← 點(diǎn)坐標(biāo)←直線 與直線 的交點(diǎn)←直線 的方程←直線 的斜率←直線 的斜率

　　(這一解法在課前由學(xué)生自學(xué)完成,課上進(jìn)行評(píng)價(jià)總結(jié))

　　解:在直線 上任取一點(diǎn),如 ,則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離.

　　因此, = =

　　問(wèn)題3

　　兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢?求兩條平行直線 與 0的距離.

　　解:在直線上 任取一點(diǎn),如

　　則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離,(如圖2).

　　因此, = =

　　注重:用公式時(shí),注重一次項(xiàng)系數(shù)是否一致.

　　四、小結(jié)作業(yè)

　　1、點(diǎn)到直線的距離公式及其推導(dǎo);

　　師生一起總結(jié)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過(guò)程:

　　2、利用公式求點(diǎn)到直線的距離.

　　3、探索兩平行直線的距離

　　4、探索“已知點(diǎn)到直線的距離及一條直線求另一條直線距離.

　　作業(yè):p54 13、14、16思考研究:運(yùn)用多種方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.

　　探究活動(dòng)

　　研究性學(xué)習(xí)

　　點(diǎn)到直線距離公式是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一,公式的推導(dǎo)歷來(lái)是探索的重點(diǎn).教材上的第二種方法較傳統(tǒng)已有不少改進(jìn),但運(yùn)用向量的理論研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系的新思想在這一問(wèn)題上沒(méi)有體現(xiàn),而運(yùn)用向量理論推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式又是可行的,因此嘗試用向量推導(dǎo)距離公式是很有意義的.為此設(shè)計(jì)如下研究性題目:

　　試用向量的理論推導(dǎo)(或證實(shí))點(diǎn)到直線的距離公式.

　　簡(jiǎn)要思路:

　　首先規(guī)定直線的法向量.設(shè)直線 的方程為 , 是 上任意一點(diǎn),則 的方程可表示為 的形式.由向量?jī)?nèi)積的概念可知向量 是與直線的方向向量 垂直的向量,我們把 稱為直線 的法向量.

　　其次推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.設(shè) 是直線 : 外的一點(diǎn), 是 上的任一點(diǎn), 垂直 于 .則所求為 .如圖5,不妨l的法向量到 的角為 ,則不論 為銳角還是鈍角,

兩條直線的位置關(guān)系 篇2

　　教學(xué)目標(biāo) 

　　（1）熟練掌握兩條直線平行與垂直的充要條件，能夠根據(jù)直線的方程判斷.

　　（2）理解一條直線到另一條直線的角的概念，掌握兩條直線的夾角.

　　（3）能夠根據(jù)兩條直線的方程求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo).

　　（4）掌握點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.

　　（5）進(jìn)一步掌握求直線方程的方法.

　　（6）進(jìn)一步理解直線方程的概念，理解運(yùn)用直線的方程討論兩條直線位置關(guān)系的思想方法.

　　（7）通過(guò)點(diǎn)到直線距離公式的多種推導(dǎo)方法的探求，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，理解數(shù)形結(jié)合的思想方法.

　　教學(xué)建議

　　一、教材分析

　　1.知識(shí)結(jié)構(gòu)

　　2.重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　重點(diǎn)是兩條直線的平行與垂直的判斷；兩條直線的夾角；點(diǎn)到直線的距離.

　　難點(diǎn)是兩條直線垂直條件的推導(dǎo)；一條直線到另一條直線的角的概念和點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo).

　　本節(jié)內(nèi)容與后邊內(nèi)容聯(lián)系十分緊密，兩條直線平行與垂直的條件和點(diǎn)到直線的距離公式在圓錐曲線中都有廣泛的應(yīng)用，因此非常重要.

　　（1）平行與垂直

　　①平行

　　在討論兩條直線平行的問(wèn)題時(shí)，教材先假定了兩條直線有斜截式方程，根據(jù)傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將初中學(xué)過(guò)的兩直線平行的充要條件（即判定定理和性質(zhì)定理）轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的語(yǔ)言，用斜率和截距重新加以刻畫(huà)，教學(xué)中應(yīng)注意斜率不存在的情況.

　　②垂直

　　教材上將直線的斜率轉(zhuǎn)化成方向向量，然后利用向量垂直的條件推出兩條直線垂直的條件.結(jié)合斜率不存在的情況，兩條直線垂直的充要條件可敘述為：

　　或 一個(gè)為0，另一個(gè)不存在.

　　（2）夾角

　　①應(yīng)正確區(qū)分直線 到 的角、直線 到 的角、直線 和 的夾角這三個(gè)概念.

　　到 的角是帶方向的角，它是指 按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)到與 重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，它與 到 的角是不同的，如果設(shè)前者是 ，后者是 ，則 ＋ ＝ . 與 所夾的不大于 的角成為 和 的夾角，夾角不帶方向.

　　當(dāng) 到 的角為銳角 時(shí)，則 和 的夾角也是 ；當(dāng) 到 的角為鈍角 時(shí)，則 和 的夾角也是 .

　　②在求直線 到 的角 時(shí)，應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，找出 與 ， 的傾斜角 ， 關(guān)系，得出 或 ，然后由 ， 聯(lián)想差角的正切公式，便可把圖形的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)語(yǔ)言來(lái)表示，推導(dǎo)出

　　.

　　再由 與 的夾角與 到 的角之間的關(guān)系，而得出夾角計(jì)算公式

　　這種把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的方法，是解析幾何的基本方法，要認(rèn)真揣摩.

　　③對(duì)于以上兩個(gè)求角公式，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意根據(jù)具體情況選用.

　　（3）交點(diǎn)

　　①求兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題就是求它們的方程的公共解的問(wèn)題，這可以由直線的方程與方程的直線的定義來(lái)理解.

　　②在同一平面內(nèi)，兩條直線有三種位置關(guān)系：相交、平行、重合，相應(yīng)的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況：有惟一解、無(wú)解、無(wú)數(shù)多個(gè)解.但在實(shí)際判定時(shí)，利用直線的斜率和截距更方便.若 ， ，則：

　　與 相交 ；

　　且 ；

　　與 重合 且 .

　　（4）點(diǎn)到直線的距離

　　①點(diǎn)到直線的距離公式是研究點(diǎn)與直線位置關(guān)系的重要工具.教科書(shū)借助于直角三角形的面積公式，推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式.在推導(dǎo)過(guò)程中，把與兩條坐標(biāo)軸都不平行的線段的長(zhǎng)度的計(jì)算，轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)軸平等或垂直的線段長(zhǎng)度的計(jì)算，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程.

　　②利用點(diǎn)到直線的距離公式可推出兩平行線 ， 間的距離公式： .

　　③點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)，有多種方法，應(yīng)鼓勵(lì)同學(xué)們思考，下面介紹一種較簡(jiǎn)便的方法.

　　如右圖，設(shè) ，過(guò)點(diǎn) 作直線 的垂線，垂足為 ，則有

　　即

　　得

　　，

　　即         ，

　　.

　　當(dāng) 時(shí)，上述公式也成立.

　　（5）當(dāng)直線中有一條沒(méi)有斜率時(shí)，討論平行、垂直、角、距離的問(wèn)題，不必套用以上結(jié)論，這時(shí)可結(jié)合圖形幾何性質(zhì)；直接求解.

　　二、教法建議

　　1.本節(jié)知識(shí)與初中所學(xué)的平面幾何知識(shí)和三角知識(shí)聯(lián)系非常緊密，教學(xué)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)啟發(fā)和引導(dǎo).如學(xué)生對(duì)兩條直線的平行同位角相等的條件已經(jīng)非常熟悉，因此在研究?jī)芍本�平行時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生迅速建立聯(lián)系：同位角—傾斜角—斜率（直線方程）.又如，在求 到 的角 時(shí)，根據(jù)圖形中角的關(guān)系，建立 與傾斜角 和 的聯(lián)系（有且只有 或 兩種情況），進(jìn)而借助三角建立與斜率的關(guān)系，得出公式.

　　2.本節(jié)內(nèi)容中在研究?jī)芍本�的垂直條件時(shí)，由于采用向量這一更高級(jí)的工具來(lái)處理，顯得既簡(jiǎn)單又深刻.所以教學(xué)中應(yīng)注意向量工具的運(yùn)用，可讓學(xué)生嘗試用向量推導(dǎo)兩直線平行的條件和點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo).

　　3.本節(jié)內(nèi)容新概念不多，但要求推導(dǎo)的內(nèi)容不少，教學(xué)時(shí)要堅(jiān)持啟發(fā)式的教學(xué)思想，重點(diǎn)放在思路的探求和結(jié)論或公式的運(yùn)用上.本節(jié)不少內(nèi)容可安排學(xué)生自學(xué)和討論，還要適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生能熟練地掌握公式，增強(qiáng)學(xué)生動(dòng)手計(jì)算的能力.本節(jié)還要加強(qiáng)根據(jù)已知條件求直線方程的教學(xué).

　　4.不僅要使學(xué)生熟悉用斜率求兩直線夾角的公式，也要掌握根據(jù)直線方程系數(shù)求夾角的方法（即教材中例6的方法），同時(shí)會(huì)根據(jù)所給條件選用.

　　5.已知兩直線的方程會(huì)求其交點(diǎn)即可，不必研究?jī)芍本�方程系數(shù)與位置關(guān)系之間的關(guān)系.

　　6.在學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線距離公式時(shí)，可利用課余時(shí)間發(fā)動(dòng)學(xué)生尋找更多的推導(dǎo)公式的方法，并通過(guò)尋找多種推導(dǎo)公式的方法，鍛煉思維，培養(yǎng)能力.

　　7.本節(jié)學(xué)完以后學(xué)生可以解決很多較復(fù)雜、較綜合的問(wèn)題，如對(duì)稱問(wèn)題、直線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、光路最短與足球射門角度最大等最值問(wèn)題.教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)安排一些這樣的內(nèi)容，以訓(xùn)練學(xué)生思維和培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

　　教學(xué)設(shè)計(jì)方案

　　課題：點(diǎn)到直線的距離

　　教學(xué)目標(biāo) ：（1）理解點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過(guò)程.

　　（2）會(huì)求點(diǎn)到直線的距離.

　　（3）在探索點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)思路的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、積極探索的精神.

　　教學(xué)用具：計(jì)算機(jī)

　　教學(xué)方法：?jiǎn)�發(fā)引導(dǎo)法，討論法

　　教學(xué)過(guò)程 ：

　　一、引入

　　點(diǎn)到直線的距離是指過(guò)點(diǎn) 作 的垂線， 與垂足 之間的長(zhǎng)度

　　【問(wèn)題1】已知點(diǎn) （-1，2）和直線 ： ，求 點(diǎn)到直線 的距離.

　　（由學(xué)生分析、解答）

　　分析：先求出過(guò) 點(diǎn)和 垂直的直線：

　　： ，再求出 和 的交點(diǎn)

　　∴

　　如果把問(wèn)題1一般化就有如下問(wèn)題：

　　【問(wèn)題2】已知： 和直線 ： （ 不在直線 上，且 ， ），試求 點(diǎn)到直線 的距離.

　　二、點(diǎn)到直線距離

　　分析1：要求 的長(zhǎng)度可以象問(wèn)題1的解法一樣，利用兩點(diǎn)的距離公式可以求 的長(zhǎng)度.

　　∵ 點(diǎn)坐標(biāo)已知，∴只要求出 點(diǎn)坐標(biāo)就可以了.

　　又∵ 點(diǎn)是直線 和直線 的交點(diǎn)

　　又∵直線 的方程已知

　　∴只要求出直線 的方程就可以了.

　　即： ← 點(diǎn)坐標(biāo)←直線 與直線 的交點(diǎn)←直線 的方程←直線 的斜率←直線 的斜率

　　（這一解法在課前由學(xué)生自學(xué)完成，課上進(jìn)行評(píng)價(jià)總結(jié)）

　　問(wèn)：這種解法好不好，為什么?

　　根據(jù)學(xué)生討論，教師適時(shí)啟發(fā)、引導(dǎo)，得出

　　分析2：如果 垂直坐標(biāo)軸，則交點(diǎn)和距離都容易求出，那么不妨做出與坐標(biāo)軸垂直的線段 和 ，如圖1所示，顯然相對(duì)而言 ，和 好求一些，事實(shí)上，設(shè) 到直線的距離為 ， 坐標(biāo)為 ， 坐標(biāo)為 ，則易求：

　　，

　　所以： ，

　　所以：

　　根據(jù)三角形面積公式：

　　所以： （至此問(wèn)題2已經(jīng)解決）

　　公式 的完善.

　　容易驗(yàn)證（由學(xué)生完成）：

　　當(dāng) ，即 軸時(shí)，公式成立；

　　當(dāng) ，即 軸時(shí)，公式成立；

　　當(dāng) 點(diǎn)在 上時(shí)，公式成立.

　　公式 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

　　師生一起總結(jié)：

　　（1）分子是 點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程；

　　（2）分母是直線未知數(shù) 、 系數(shù)平方和的算術(shù)根.

　　類似于勾股定理求斜邊的長(zhǎng)

　　三、檢測(cè)與鞏固

　　練習(xí)1

　　（1） 到直線 的距離是________.

　　（2） 到直線 的距離是_______.

　　（3）用公式解 到直線 的距離是______.

　　（4） 到直線 的距離是_________.

　　訂正答案：（1）5；（2）0；（3） ；（4） .

　　練習(xí)2

　　1.求平行直線 和 的距離.

　　解：在直線 上任取一點(diǎn)，如 ，則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離.

　　因此， ＝ ＝

　　【問(wèn)題3】

　　兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢？求兩條平行直線 與 0的距離.

　　解：在直線上 任取一點(diǎn)，如

　　則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離，（如圖2）.

　　因此， ＝ ＝

　　注意：用公式時(shí)，注意一次項(xiàng)系數(shù)是否一致.

　　四、小結(jié)作業(yè) 

　　1、點(diǎn)到直線的距離公式及其推導(dǎo)；

　　師生一起總結(jié)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過(guò)程：

　　2、利用公式求點(diǎn)到直線的距離.

　　3、探索兩平行直線的距離

　　4、探索“已知點(diǎn)到直線的距離及一條直線求另一條直線距離.

　　作業(yè) ：P54  13、14、16思考研究：運(yùn)用多種方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.

兩條直線的位置關(guān)系 篇3

　　教學(xué)目標(biāo) 

　　（1）熟練掌握兩條直線平行與垂直的充要條件，能夠根據(jù)直線的方程判斷.

　　（2）理解一條直線到另一條直線的角的概念，掌握兩條直線的夾角.

　　（3）能夠根據(jù)兩條直線的方程求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo).

　　（4）掌握點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.

　　（5）進(jìn)一步掌握求直線方程的方法.

　　（6）進(jìn)一步理解直線方程的概念，理解運(yùn)用直線的方程討論兩條直線位置關(guān)系的思想方法.

　　（7）通過(guò)點(diǎn)到直線距離公式的多種推導(dǎo)方法的探求，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，理解數(shù)形結(jié)合的思想方法.

　　教學(xué)建議

　　一、教材分析

　　1.知識(shí)結(jié)構(gòu)

　　2.重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　重點(diǎn)是兩條直線的平行與垂直的判斷；兩條直線的夾角；點(diǎn)到直線的距離.

　　難點(diǎn)是兩條直線垂直條件的推導(dǎo)；一條直線到另一條直線的角的概念和點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo).

　　本節(jié)內(nèi)容與后邊內(nèi)容聯(lián)系十分緊密，兩條直線平行與垂直的條件和點(diǎn)到直線的距離公式在圓錐曲線中都有廣泛的應(yīng)用，因此非常重要.

　　（1）平行與垂直

　　①平行

　　在討論兩條直線平行的問(wèn)題時(shí)，教材先假定了兩條直線有斜截式方程，根據(jù)傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將初中學(xué)過(guò)的兩直線平行的充要條件（即判定定理和性質(zhì)定理）轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的語(yǔ)言，用斜率和截距重新加以刻畫(huà)，教學(xué)中應(yīng)注意斜率不存在的情況.

　　②垂直

　　教材上將直線的斜率轉(zhuǎn)化成方向向量，然后利用向量垂直的條件推出兩條直線垂直的條件.結(jié)合斜率不存在的情況，兩條直線垂直的充要條件可敘述為：

　　或 一個(gè)為0，另一個(gè)不存在.

　　（2）夾角

　　①應(yīng)正確區(qū)分直線 到 的角、直線 到 的角、直線 和 的夾角這三個(gè)概念.

　　到 的角是帶方向的角，它是指 按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)到與 重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，它與 到 的角是不同的，如果設(shè)前者是 ，后者是 ，則 ＋ ＝ . 與 所夾的不大于 的角成為 和 的夾角，夾角不帶方向.

　　當(dāng) 到 的角為銳角 時(shí)，則 和 的夾角也是 ；當(dāng) 到 的角為鈍角 時(shí)，則 和 的夾角也是 .

　　②在求直線 到 的角 時(shí)，應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，找出 與 ， 的傾斜角 ， 關(guān)系，得出 或 ，然后由 ， 聯(lián)想差角的正切公式，便可把圖形的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)語(yǔ)言來(lái)表示，推導(dǎo)出

　　.

　　再由 與 的夾角與 到 的角之間的關(guān)系，而得出夾角計(jì)算公式

　　這種把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的方法，是解析幾何的基本方法，要認(rèn)真揣摩.

　　③對(duì)于以上兩個(gè)求角公式，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意根據(jù)具體情況選用.

　　（3）交點(diǎn)

　　①求兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題就是求它們的方程的公共解的問(wèn)題，這可以由直線的方程與方程的直線的定義來(lái)理解.

　　②在同一平面內(nèi)，兩條直線有三種位置關(guān)系：相交、平行、重合，相應(yīng)的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況：有惟一解、無(wú)解、無(wú)數(shù)多個(gè)解.但在實(shí)際判定時(shí)，利用直線的斜率和截距更方便.若 ， ，則：

　　與 相交 ；

　　且 ；

　　與 重合 且 .

　　（4）點(diǎn)到直線的距離

　　①點(diǎn)到直線的距離公式是研究點(diǎn)與直線位置關(guān)系的重要工具.教科書(shū)借助于直角三角形的面積公式，推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式.在推導(dǎo)過(guò)程中，把與兩條坐標(biāo)軸都不平行的線段的長(zhǎng)度的計(jì)算，轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)軸平等或垂直的線段長(zhǎng)度的計(jì)算，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程.

　　②利用點(diǎn)到直線的距離公式可推出兩平行線 ， 間的距離公式： .

　　③點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)，有多種方法，應(yīng)鼓勵(lì)同學(xué)們思考，下面介紹一種較簡(jiǎn)便的方法.

　　如右圖，設(shè) ，過(guò)點(diǎn) 作直線 的垂線，垂足為 ，則有

　　即

　　得

　　，

　　即         ，

　　.

　　當(dāng) 時(shí)，上述公式也成立.

　　（5）當(dāng)直線中有一條沒(méi)有斜率時(shí)，討論平行、垂直、角、距離的問(wèn)題，不必套用以上結(jié)論，這時(shí)可結(jié)合圖形幾何性質(zhì)；直接求解.

　　二、教法建議

　　1.本節(jié)知識(shí)與初中所學(xué)的平面幾何知識(shí)和三角知識(shí)聯(lián)系非常緊密，教學(xué)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)啟發(fā)和引導(dǎo).如學(xué)生對(duì)兩條直線的平行同位角相等的條件已經(jīng)非常熟悉，因此在研究?jī)芍本�平行時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生迅速建立聯(lián)系：同位角—傾斜角—斜率（直線方程）.又如，在求 到 的角 時(shí)，根據(jù)圖形中角的關(guān)系，建立 與傾斜角 和 的聯(lián)系（有且只有 或 兩種情況），進(jìn)而借助三角建立與斜率的關(guān)系，得出公式.

　　2.本節(jié)內(nèi)容中在研究?jī)芍本�的垂直條件時(shí)，由于采用向量這一更高級(jí)的工具來(lái)處理，顯得既簡(jiǎn)單又深刻.所以教學(xué)中應(yīng)注意向量工具的運(yùn)用，可讓學(xué)生嘗試用向量推導(dǎo)兩直線平行的條件和點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo).

　　3.本節(jié)內(nèi)容新概念不多，但要求推導(dǎo)的內(nèi)容不少，教學(xué)時(shí)要堅(jiān)持啟發(fā)式的教學(xué)思想，重點(diǎn)放在思路的探求和結(jié)論或公式的運(yùn)用上.本節(jié)不少內(nèi)容可安排學(xué)生自學(xué)和討論，還要適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生能熟練地掌握公式，增強(qiáng)學(xué)生動(dòng)手計(jì)算的能力.本節(jié)還要加強(qiáng)根據(jù)已知條件求直線方程的教學(xué).

　　4.不僅要使學(xué)生熟悉用斜率求兩直線夾角的公式，也要掌握根據(jù)直線方程系數(shù)求夾角的方法（即教材中例6的方法），同時(shí)會(huì)根據(jù)所給條件選用.

　　5.已知兩直線的方程會(huì)求其交點(diǎn)即可，不必研究?jī)芍本�方程系數(shù)與位置關(guān)系之間的關(guān)系.

　　6.在學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線距離公式時(shí)，可利用課余時(shí)間發(fā)動(dòng)學(xué)生尋找更多的推導(dǎo)公式的方法，并通過(guò)尋找多種推導(dǎo)公式的方法，鍛煉思維，培養(yǎng)能力.

　　7.本節(jié)學(xué)完以后學(xué)生可以解決很多較復(fù)雜、較綜合的問(wèn)題，如對(duì)稱問(wèn)題、直線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、光路最短與足球射門角度最大等最值問(wèn)題.教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)安排一些這樣的內(nèi)容，以訓(xùn)練學(xué)生思維和培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

　　教學(xué)設(shè)計(jì)方案

　　課題：點(diǎn)到直線的距離

　　教學(xué)目標(biāo) ：（1）理解點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過(guò)程.

　　（2）會(huì)求點(diǎn)到直線的距離.

　　（3）在探索點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)思路的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、積極探索的精神.

　　教學(xué)用具：計(jì)算機(jī)

　　教學(xué)方法：?jiǎn)�發(fā)引導(dǎo)法，討論法

　　教學(xué)過(guò)程 ：

　　一、引入

　　點(diǎn)到直線的距離是指過(guò)點(diǎn) 作 的垂線， 與垂足 之間的長(zhǎng)度

　　【問(wèn)題1】已知點(diǎn) （-1，2）和直線 ： ，求 點(diǎn)到直線 的距離.

　　（由學(xué)生分析、解答）

　　分析：先求出過(guò) 點(diǎn)和 垂直的直線：

　　： ，再求出 和 的交點(diǎn)

　　∴

　　如果把問(wèn)題1一般化就有如下問(wèn)題：

　　【問(wèn)題2】已知： 和直線 ： （ 不在直線 上，且 ， ），試求 點(diǎn)到直線 的距離.

　　二、點(diǎn)到直線距離

　　分析1：要求 的長(zhǎng)度可以象問(wèn)題1的解法一樣，利用兩點(diǎn)的距離公式可以求 的長(zhǎng)度.

　　∵ 點(diǎn)坐標(biāo)已知，∴只要求出 點(diǎn)坐標(biāo)就可以了.

　　又∵ 點(diǎn)是直線 和直線 的交點(diǎn)

　　又∵直線 的方程已知

　　∴只要求出直線 的方程就可以了.

　　即： ← 點(diǎn)坐標(biāo)←直線 與直線 的交點(diǎn)←直線 的方程←直線 的斜率←直線 的斜率

　　（這一解法在課前由學(xué)生自學(xué)完成，課上進(jìn)行評(píng)價(jià)總結(jié)）

　　問(wèn)：這種解法好不好，為什么?

　　根據(jù)學(xué)生討論，教師適時(shí)啟發(fā)、引導(dǎo)，得出

　　分析2：如果 垂直坐標(biāo)軸，則交點(diǎn)和距離都容易求出，那么不妨做出與坐標(biāo)軸垂直的線段 和 ，如圖1所示，顯然相對(duì)而言 ，和 好求一些，事實(shí)上，設(shè) 到直線的距離為 ， 坐標(biāo)為 ， 坐標(biāo)為 ，則易求：

　　，

　　所以： ，

　　所以：

　　根據(jù)三角形面積公式：

　　所以： （至此問(wèn)題2已經(jīng)解決）

　　公式 的完善.

　　容易驗(yàn)證（由學(xué)生完成）：

　　當(dāng) ，即 軸時(shí)，公式成立；

　　當(dāng) ，即 軸時(shí)，公式成立；

　　當(dāng) 點(diǎn)在 上時(shí)，公式成立.

　　公式 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

　　師生一起總結(jié)：

　　（1）分子是 點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程；

　　（2）分母是直線未知數(shù) 、 系數(shù)平方和的算術(shù)根.

　　類似于勾股定理求斜邊的長(zhǎng)

　　三、檢測(cè)與鞏固

　　練習(xí)1

　　（1） 到直線 的距離是________.

　　（2） 到直線 的距離是_______.

　　（3）用公式解 到直線 的距離是______.

　　（4） 到直線 的距離是_________.

　　訂正答案：（1）5；（2）0；（3） ；（4） .

　　練習(xí)2

　　1.求平行直線 和 的距離.

　　解：在直線 上任取一點(diǎn)，如 ，則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離.

　　因此， ＝ ＝

　　【問(wèn)題3】

　　兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢？求兩條平行直線 與 0的距離.

　　解：在直線上 任取一點(diǎn)，如

　　則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離，（如圖2）.

　　因此， ＝ ＝

　　注意：用公式時(shí)，注意一次項(xiàng)系數(shù)是否一致.

　　四、小結(jié)作業(yè) 

　　1、點(diǎn)到直線的距離公式及其推導(dǎo)；

　　師生一起總結(jié)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過(guò)程：

　　2、利用公式求點(diǎn)到直線的距離.

　　3、探索兩平行直線的距離

　　4、探索“已知點(diǎn)到直線的距離及一條直線求另一條直線距離.

　　作業(yè) ：P54  13、14、16思考研究：運(yùn)用多種方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.

兩條直線的位置關(guān)系 篇4

　　教學(xué)目標(biāo)

　　（1）熟練掌握兩條直線平行與垂直的充要條件，能夠根據(jù)直線的方程判斷.

　　（2）理解一條直線到另一條直線的角的概念，掌握兩條直線的夾角.

　　（3）能夠根據(jù)兩條直線的方程求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo).

　　（4）掌握點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.

　　（5）進(jìn)一步掌握求直線方程的方法.

　　（6）進(jìn)一步理解直線方程的概念，理解運(yùn)用直線的方程討論兩條直線位置關(guān)系的思想方法.

　　（7）通過(guò)點(diǎn)到直線距離公式的多種推導(dǎo)方法的探求，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，理解數(shù)形結(jié)合的思想方法.

　　教學(xué)建議

　　一、教材分析

　　1.知識(shí)結(jié)構(gòu)

　　2.重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　重點(diǎn)是兩條直線的平行與垂直的判斷；兩條直線的夾角；點(diǎn)到直線的距離.

　　難點(diǎn)是兩條直線垂直條件的推導(dǎo)；一條直線到另一條直線的角的概念和點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo).

　　本節(jié)內(nèi)容與后邊內(nèi)容聯(lián)系十分緊密，兩條直線平行與垂直的條件和點(diǎn)到直線的距離公式在圓錐曲線中都有廣泛的應(yīng)用，因此非常重要.

　　（1）平行與垂直

　　①平行

　　在討論兩條直線平行的問(wèn)題時(shí)，教材先假定了兩條直線有斜截式方程，根據(jù)傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將初中學(xué)過(guò)的兩直線平行的充要條件（即判定定理和性質(zhì)定理）轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的語(yǔ)言，用斜率和截距重新加以刻畫(huà)，教學(xué)中應(yīng)注意斜率不存在的情況.

　　②垂直

　　教材上將直線的斜率轉(zhuǎn)化成方向向量，然后利用向量垂直的條件推出兩條直線垂直的條件.結(jié)合斜率不存在的情況，兩條直線垂直的充要條件可敘述為：

　　或 一個(gè)為0，另一個(gè)不存在.

　　（2）夾角

　　①應(yīng)正確區(qū)分直線 到 的角、直線 到 的角、直線 和 的夾角這三個(gè)概念.

　　到 的角是帶方向的角，它是指 按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)到與 重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，它與 到 的角是不同的，如果設(shè)前者是 ，后者是 ，則 ＋ ＝ . 與 所夾的不大于 的角成為 和 的夾角，夾角不帶方向.

　　當(dāng) 到 的角為銳角 時(shí)，則 和 的夾角也是 ；當(dāng) 到 的角為鈍角 時(shí)，則 和 的夾角也是 .

　　②在求直線 到 的角 時(shí)，應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，找出 與 ， 的傾斜角 ， 關(guān)系，得出 或 ，然后由 ， 聯(lián)想差角的正切公式，便可把圖形的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)語(yǔ)言來(lái)表示，推導(dǎo)出

　　.

　　再由 與 的夾角與 到 的角之間的關(guān)系，而得出夾角計(jì)算公式

　　這種把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的方法，是解析幾何的基本方法，要認(rèn)真揣摩.

　　③對(duì)于以上兩個(gè)求角公式，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意根據(jù)具體情況選用.

　　（3）交點(diǎn)

　　①求兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題就是求它們的方程的公共解的問(wèn)題，這可以由直線的方程與方程的直線的定義來(lái)理解.

　　②在同一平面內(nèi)，兩條直線有三種位置關(guān)系：相交、平行、重合，相應(yīng)的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況：有惟一解、無(wú)解、無(wú)數(shù)多個(gè)解.但在實(shí)際判定時(shí)，利用直線的斜率和截距更方便.若 ， ，則：

　　與 相交 ；

　　且 ；

　　與 重合 且 .

　　（4）點(diǎn)到直線的距離

　　①點(diǎn)到直線的距離公式是研究點(diǎn)與直線位置關(guān)系的重要工具.教科書(shū)借助于直角三角形的面積公式，推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式.在推導(dǎo)過(guò)程中，把與兩條坐標(biāo)軸都不平行的線段的長(zhǎng)度的計(jì)算，轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)軸平等或垂直的線段長(zhǎng)度的計(jì)算，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程.

　　②利用點(diǎn)到直線的距離公式可推出兩平行線 ， 間的距離公式： .

　　③點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)，有多種方法，應(yīng)鼓勵(lì)同學(xué)們思考，下面介紹一種較簡(jiǎn)便的方法.

　　如右圖，設(shè) ，過(guò)點(diǎn) 作直線 的垂線，垂足為 ，則有

　　即

　　得

　　，

　　即         ，

　　.

　　當(dāng) 時(shí)，上述公式也成立.

　　（5）當(dāng)直線中有一條沒(méi)有斜率時(shí)，討論平行、垂直、角、距離的問(wèn)題，不必套用以上結(jié)論，這時(shí)可結(jié)合圖形幾何性質(zhì)；直接求解.

　　二、教法建議

　　1.本節(jié)知識(shí)與初中所學(xué)的平面幾何知識(shí)和三角知識(shí)聯(lián)系非常緊密，教學(xué)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)啟發(fā)和引導(dǎo).如學(xué)生對(duì)兩條直線的平行同位角相等的條件已經(jīng)非常熟悉，因此在研究?jī)芍本�平行時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生迅速建立聯(lián)系：同位角—傾斜角—斜率（直線方程）.又如，在求 到 的角 時(shí)，根據(jù)圖形中角的關(guān)系，建立 與傾斜角 和 的聯(lián)系（有且只有 或 兩種情況），進(jìn)而借助三角建立與斜率的關(guān)系，得出公式.

　　2.本節(jié)內(nèi)容中在研究?jī)芍本�的垂直條件時(shí)，由于采用向量這一更高級(jí)的工具來(lái)處理，顯得既簡(jiǎn)單又深刻.所以教學(xué)中應(yīng)注意向量工具的運(yùn)用，可讓學(xué)生嘗試用向量推導(dǎo)兩直線平行的條件和點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo).

　　3.本節(jié)內(nèi)容新概念不多，但要求推導(dǎo)的內(nèi)容不少，教學(xué)時(shí)要堅(jiān)持啟發(fā)式的教學(xué)思想，重點(diǎn)放在思路的探求和結(jié)論或公式的運(yùn)用上.本節(jié)不少內(nèi)容可安排學(xué)生自學(xué)和討論，還要適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生能熟練地掌握公式，增強(qiáng)學(xué)生動(dòng)手計(jì)算的能力.本節(jié)還要加強(qiáng)根據(jù)已知條件求直線方程的教學(xué).

　　4.不僅要使學(xué)生熟悉用斜率求兩直線夾角的公式，也要掌握根據(jù)直線方程系數(shù)求夾角的方法（即教材中例6的方法），同時(shí)會(huì)根據(jù)所給條件選用.

　　5.已知兩直線的方程會(huì)求其交點(diǎn)即可，不必研究?jī)芍本�方程系數(shù)與位置關(guān)系之間的關(guān)系.

　　6.在學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線距離公式時(shí)，可利用課余時(shí)間發(fā)動(dòng)學(xué)生尋找更多的推導(dǎo)公式的方法，并通過(guò)尋找多種推導(dǎo)公式的方法，鍛煉思維，培養(yǎng)能力.

　　7.本節(jié)學(xué)完以后學(xué)生可以解決很多較復(fù)雜、較綜合的問(wèn)題，如對(duì)稱問(wèn)題、直線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、光路最短與足球射門角度最大等最值問(wèn)題.教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)安排一些這樣的內(nèi)容，以訓(xùn)練學(xué)生思維和培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

　　教學(xué)設(shè)計(jì)方案

　　課題：點(diǎn)到直線的距離

　　教學(xué)目標(biāo)：（1）理解點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過(guò)程.

　　（2）會(huì)求點(diǎn)到直線的距離.

　　（3）在探索點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)思路的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、積極探索的精神.

　　教學(xué)用具：計(jì)算機(jī)

　　教學(xué)方法：?jiǎn)�發(fā)引導(dǎo)法，討論法

　　教學(xué)過(guò)程：

　　一、引入

　　點(diǎn)到直線的距離是指過(guò)點(diǎn) 作 的垂線， 與垂足 之間的長(zhǎng)度

　　【問(wèn)題1】已知點(diǎn) （-1，2）和直線 ： ，求 點(diǎn)到直線 的距離.

　　（由學(xué)生分析、解答）

　　分析：先求出過(guò) 點(diǎn)和 垂直的直線：

　　： ，再求出 和 的交點(diǎn)

　　∴

　　如果把問(wèn)題1一般化就有如下問(wèn)題：

　　【問(wèn)題2】已知： 和直線 ： （ 不在直線 上，且 ， ），試求 點(diǎn)到直線 的距離.

　　二、點(diǎn)到直線距離

　　分析1：要求 的長(zhǎng)度可以象問(wèn)題1的解法一樣，利用兩點(diǎn)的距離公式可以求 的長(zhǎng)度.

　　∵ 點(diǎn)坐標(biāo)已知，∴只要求出 點(diǎn)坐標(biāo)就可以了.

　　又∵ 點(diǎn)是直線 和直線 的交點(diǎn)

　　又∵直線 的方程已知

　　∴只要求出直線 的方程就可以了.

　　即： ← 點(diǎn)坐標(biāo)←直線 與直線 的交點(diǎn)←直線 的方程←直線 的斜率←直線 的斜率

　　（這一解法在課前由學(xué)生自學(xué)完成，課上進(jìn)行評(píng)價(jià)總結(jié)）

　　問(wèn)：這種解法好不好，為什么?

　　根據(jù)學(xué)生討論，教師適時(shí)啟發(fā)、引導(dǎo)，得出

　　分析2：如果 垂直坐標(biāo)軸，則交點(diǎn)和距離都容易求出，那么不妨做出與坐標(biāo)軸垂直的線段 和 ，如圖1所示，顯然相對(duì)而言 ，和 好求一些，事實(shí)上，設(shè) 到直線的距離為 ， 坐標(biāo)為 ， 坐標(biāo)為 ，則易求：

　　，

　　所以： ，

　　所以：

　　根據(jù)三角形面積公式：

　　所以： （至此問(wèn)題2已經(jīng)解決）

　　公式 的完善.

　　容易驗(yàn)證（由學(xué)生完成）：

　　當(dāng) ，即 軸時(shí)，公式成立；

　　當(dāng) ，即 軸時(shí)，公式成立；

　　當(dāng) 點(diǎn)在 上時(shí)，公式成立.

　　公式 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

　　師生一起總結(jié)：

　　（1）分子是 點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程；

　　（2）分母是直線未知數(shù) 、 系數(shù)平方和的算術(shù)根.

　　類似于勾股定理求斜邊的長(zhǎng)

　　三、檢測(cè)與鞏固

　　練習(xí)1

　　（1） 到直線 的距離是________.

　　（2） 到直線 的距離是_______.

　　（3）用公式解 到直線 的距離是______.

　　（4） 到直線 的距離是_________.

　　訂正答案：（1）5；（2）0；（3） ；（4） .

　　練習(xí)2

　　1.求平行直線 和 的距離.

　　解：在直線 上任取一點(diǎn)，如 ，則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離.

　　因此， ＝ ＝

　　【問(wèn)題3】

　　兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢？求兩條平行直線 與 0的距離.

　　解：在直線上 任取一點(diǎn)，如

　　則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離，（如圖2）.

　　因此， ＝ ＝

　　注意：用公式時(shí)，注意一次項(xiàng)系數(shù)是否一致.

　　四、小結(jié)作業(yè) 

　　1、點(diǎn)到直線的距離公式及其推導(dǎo)；

　　師生一起總結(jié)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過(guò)程：

　　2、利用公式求點(diǎn)到直線的距離.

　　3、探索兩平行直線的距離

　　4、探索“已知點(diǎn)到直線的距離及一條直線求另一條直線距離.

　　作業(yè) ：P54  13、14、16思考研究：運(yùn)用多種方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.

　　探究活動(dòng)

　　研究性學(xué)習(xí)

　　點(diǎn)到直線距離公式是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，公式的推導(dǎo)歷來(lái)是探索的重點(diǎn).教材上的第二種方法較傳統(tǒng)已有不少改進(jìn)，但運(yùn)用向量的理論研究的新思想在這一問(wèn)題上沒(méi)有體現(xiàn)，而運(yùn)用向量理論推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式又是可行的，因此嘗試用向量推導(dǎo)距離公式是很有意義的.為此設(shè)計(jì)如下研究性題目：

　　試用向量的理論推導(dǎo)（或證明）點(diǎn)到直線的距離公式.

　　簡(jiǎn)要思路：

　　首先規(guī)定直線的法向量.設(shè)直線 的方程為 ， 是 上任意一點(diǎn)，則 的方程可表示為 的形式.由向量?jī)?nèi)積的概念可知向量 是與直線的方向向量 垂直的向量，我們把 稱為直線 的法向量.

　　其次推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.設(shè) 是直線 ： 外的一點(diǎn)， 是 上的任一點(diǎn)， 垂直 于 .則所求為 .如圖5，不妨l的法向量到 的角為 ，則不論 為銳角還是鈍角，總有 ，因?yàn)椋?/p>

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兩條直線的位置關(guān)系 篇5

　　教學(xué)目標(biāo) 

　　（1）熟練掌握兩條直線平行與垂直的充要條件，能夠根據(jù)直線的方程判斷.

　　（2）理解一條直線到另一條直線的角的概念，掌握兩條直線的夾角.

　　（3）能夠根據(jù)兩條直線的方程求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo).

　　（4）掌握點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.

　　（5）進(jìn)一步掌握求直線方程的方法.

　　（6）進(jìn)一步理解直線方程的概念，理解運(yùn)用直線的方程討論兩條直線位置關(guān)系的思想方法.

　　（7）通過(guò)點(diǎn)到直線距離公式的多種推導(dǎo)方法的探求，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，理解數(shù)形結(jié)合的思想方法.

　　教學(xué)建議

　　一、教材分析

　　1.知識(shí)結(jié)構(gòu)

　　2.重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　重點(diǎn)是兩條直線的平行與垂直的判斷；兩條直線的夾角；點(diǎn)到直線的距離.

　　難點(diǎn)是兩條直線垂直條件的推導(dǎo)；一條直線到另一條直線的角的概念和點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo).

　　本節(jié)內(nèi)容與后邊內(nèi)容聯(lián)系十分緊密，兩條直線平行與垂直的條件和點(diǎn)到直線的距離公式在圓錐曲線中都有廣泛的應(yīng)用，因此非常重要.

　　（1）平行與垂直

　　①平行

　　在討論兩條直線平行的問(wèn)題時(shí)，教材先假定了兩條直線有斜截式方程，根據(jù)傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將初中學(xué)過(guò)的兩直線平行的充要條件（即判定定理和性質(zhì)定理）轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的語(yǔ)言，用斜率和截距重新加以刻畫(huà)，教學(xué)中應(yīng)注意斜率不存在的情況.

　　②垂直

　　教材上將直線的斜率轉(zhuǎn)化成方向向量，然后利用向量垂直的條件推出兩條直線垂直的條件.結(jié)合斜率不存在的情況，兩條直線垂直的充要條件可敘述為：

　　或 一個(gè)為0，另一個(gè)不存在.

　　（2）夾角

　　①應(yīng)正確區(qū)分直線 到 的角、直線 到 的角、直線 和 的夾角這三個(gè)概念.

　　到 的角是帶方向的角，它是指 按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)到與 重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，它與 到 的角是不同的，如果設(shè)前者是 ，后者是 ，則 ＋ ＝ . 與 所夾的不大于 的角成為 和 的夾角，夾角不帶方向.

　　當(dāng) 到 的角為銳角 時(shí)，則 和 的夾角也是 ；當(dāng) 到 的角為鈍角 時(shí)，則 和 的夾角也是 .

　　②在求直線 到 的角 時(shí)，應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，找出 與 ， 的傾斜角 ， 關(guān)系，得出 或 ，然后由 ， 聯(lián)想差角的正切公式，便可把圖形的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)語(yǔ)言來(lái)表示，推導(dǎo)出

　　.

　　再由 與 的夾角與 到 的角之間的關(guān)系，而得出夾角計(jì)算公式

　　這種把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的方法，是解析幾何的基本方法，要認(rèn)真揣摩.

　　③對(duì)于以上兩個(gè)求角公式，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意根據(jù)具體情況選用.

　　（3）交點(diǎn)

　　①求兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題就是求它們的方程的公共解的問(wèn)題，這可以由直線的方程與方程的直線的定義來(lái)理解.

　　②在同一平面內(nèi)，兩條直線有三種位置關(guān)系：相交、平行、重合，相應(yīng)的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況：有惟一解、無(wú)解、無(wú)數(shù)多個(gè)解.但在實(shí)際判定時(shí)，利用直線的斜率和截距更方便.若 ， ，則：

　　與 相交 ；

　　且 ；

　　與 重合 且 .

　　（4）點(diǎn)到直線的距離

　　①點(diǎn)到直線的距離公式是研究點(diǎn)與直線位置關(guān)系的重要工具.教科書(shū)借助于直角三角形的面積公式，推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式.在推導(dǎo)過(guò)程中，把與兩條坐標(biāo)軸都不平行的線段的長(zhǎng)度的計(jì)算，轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)軸平等或垂直的線段長(zhǎng)度的計(jì)算，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程.

　　②利用點(diǎn)到直線的距離公式可推出兩平行線 ， 間的距離公式： .

　　③點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)，有多種方法，應(yīng)鼓勵(lì)同學(xué)們思考，下面介紹一種較簡(jiǎn)便的方法.

　　如右圖，設(shè) ，過(guò)點(diǎn) 作直線 的垂線，垂足為 ，則有

　　即

　　得

　　，

　　即         ，

　　.

　　當(dāng) 時(shí)，上述公式也成立.

　　（5）當(dāng)直線中有一條沒(méi)有斜率時(shí)，討論平行、垂直、角、距離的問(wèn)題，不必套用以上結(jié)論，這時(shí)可結(jié)合圖形幾何性質(zhì)；直接求解.

　　二、教法建議

　　1.本節(jié)知識(shí)與初中所學(xué)的平面幾何知識(shí)和三角知識(shí)聯(lián)系非常緊密，教學(xué)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)啟發(fā)和引導(dǎo).如學(xué)生對(duì)兩條直線的平行同位角相等的條件已經(jīng)非常熟悉，因此在研究?jī)芍本�平行時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生迅速建立聯(lián)系：同位角—傾斜角—斜率（直線方程）.又如，在求 到 的角 時(shí)，根據(jù)圖形中角的關(guān)系，建立 與傾斜角 和 的聯(lián)系（有且只有 或 兩種情況），進(jìn)而借助三角建立與斜率的關(guān)系，得出公式.

　　2.本節(jié)內(nèi)容中在研究?jī)芍本�的垂直條件時(shí)，由于采用向量這一更高級(jí)的工具來(lái)處理，顯得既簡(jiǎn)單又深刻.所以教學(xué)中應(yīng)注意向量工具的運(yùn)用，可讓學(xué)生嘗試用向量推導(dǎo)兩直線平行的條件和點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo).

　　3.本節(jié)內(nèi)容新概念不多，但要求推導(dǎo)的內(nèi)容不少，教學(xué)時(shí)要堅(jiān)持啟發(fā)式的教學(xué)思想，重點(diǎn)放在思路的探求和結(jié)論或公式的運(yùn)用上.本節(jié)不少內(nèi)容可安排學(xué)生自學(xué)和討論，還要適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生能熟練地掌握公式，增強(qiáng)學(xué)生動(dòng)手計(jì)算的能力.本節(jié)還要加強(qiáng)根據(jù)已知條件求直線方程的教學(xué).

　　4.不僅要使學(xué)生熟悉用斜率求兩直線夾角的公式，也要掌握根據(jù)直線方程系數(shù)求夾角的方法（即教材中例6的方法），同時(shí)會(huì)根據(jù)所給條件選用.

　　5.已知兩直線的方程會(huì)求其交點(diǎn)即可，不必研究?jī)芍本�方程系數(shù)與位置關(guān)系之間的關(guān)系.

　　6.在學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線距離公式時(shí)，可利用課余時(shí)間發(fā)動(dòng)學(xué)生尋找更多的推導(dǎo)公式的方法，并通過(guò)尋找多種推導(dǎo)公式的方法，鍛煉思維，培養(yǎng)能力.

　　7.本節(jié)學(xué)完以后學(xué)生可以解決很多較復(fù)雜、較綜合的問(wèn)題，如對(duì)稱問(wèn)題、直線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、光路最短與足球射門角度最大等最值問(wèn)題.教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)安排一些這樣的內(nèi)容，以訓(xùn)練學(xué)生思維和培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

　　教學(xué)設(shè)計(jì)方案

　　課題：點(diǎn)到直線的距離

　　教學(xué)目標(biāo) ：（1）理解點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過(guò)程.

　　（2）會(huì)求點(diǎn)到直線的距離.

　　（3）在探索點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)思路的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、積極探索的精神.

　　教學(xué)用具：計(jì)算機(jī)

　　教學(xué)方法：?jiǎn)�發(fā)引導(dǎo)法，討論法

　　教學(xué)過(guò)程 ：

　　一、引入

　　點(diǎn)到直線的距離是指過(guò)點(diǎn) 作 的垂線， 與垂足 之間的長(zhǎng)度

　　【問(wèn)題1】已知點(diǎn) （-1，2）和直線 ： ，求 點(diǎn)到直線 的距離.

　　（由學(xué)生分析、解答）

　　分析：先求出過(guò) 點(diǎn)和 垂直的直線：

　　： ，再求出 和 的交點(diǎn)

　　∴

　　如果把問(wèn)題1一般化就有如下問(wèn)題：

　　【問(wèn)題2】已知： 和直線 ： （ 不在直線 上，且 ， ），試求 點(diǎn)到直線 的距離.

　　二、點(diǎn)到直線距離

　　分析1：要求 的長(zhǎng)度可以象問(wèn)題1的解法一樣，利用兩點(diǎn)的距離公式可以求 的長(zhǎng)度.

　　∵ 點(diǎn)坐標(biāo)已知，∴只要求出 點(diǎn)坐標(biāo)就可以了.

　　又∵ 點(diǎn)是直線 和直線 的交點(diǎn)

　　又∵直線 的方程已知

　　∴只要求出直線 的方程就可以了.

　　即： ← 點(diǎn)坐標(biāo)←直線 與直線 的交點(diǎn)←直線 的方程←直線 的斜率←直線 的斜率

　　（這一解法在課前由學(xué)生自學(xué)完成，課上進(jìn)行評(píng)價(jià)總結(jié)）

　　問(wèn)：這種解法好不好，為什么?

　　根據(jù)學(xué)生討論，教師適時(shí)啟發(fā)、引導(dǎo)，得出

　　分析2：如果 垂直坐標(biāo)軸，則交點(diǎn)和距離都容易求出，那么不妨做出與坐標(biāo)軸垂直的線段 和 ，如圖1所示，顯然相對(duì)而言 ，和 好求一些，事實(shí)上，設(shè) 到直線的距離為 ， 坐標(biāo)為 ， 坐標(biāo)為 ，則易求：

　　，

　　所以： ，

　　所以：

　　根據(jù)三角形面積公式：

　　所以： （至此問(wèn)題2已經(jīng)解決）

　　公式 的完善.

　　容易驗(yàn)證（由學(xué)生完成）：

　　當(dāng) ，即 軸時(shí)，公式成立；

　　當(dāng) ，即 軸時(shí)，公式成立；

　　當(dāng) 點(diǎn)在 上時(shí)，公式成立.

　　公式 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

　　師生一起總結(jié)：

　　（1）分子是 點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程；

　　（2）分母是直線未知數(shù) 、 系數(shù)平方和的算術(shù)根.

　　類似于勾股定理求斜邊的長(zhǎng)

　　三、檢測(cè)與鞏固

　　練習(xí)1

　　（1） 到直線 的距離是________.

　　（2） 到直線 的距離是_______.

　　（3）用公式解 到直線 的距離是______.

　　（4） 到直線 的距離是_________.

　　訂正答案：（1）5；（2）0；（3） ；（4） .

　　練習(xí)2

　　1.求平行直線 和 的距離.

　　解：在直線 上任取一點(diǎn)，如 ，則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離.

　　因此， ＝ ＝

　　【問(wèn)題3】

　　兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢？求兩條平行直線 與 0的距離.

　　解：在直線上 任取一點(diǎn)，如

　　則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離，（如圖2）.

　　因此， ＝ ＝

　　注意：用公式時(shí)，注意一次項(xiàng)系數(shù)是否一致.

　　四、小結(jié)作業(yè) 

　　1、點(diǎn)到直線的距離公式及其推導(dǎo)；

　　師生一起總結(jié)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過(guò)程：

　　2、利用公式求點(diǎn)到直線的距離.

　　3、探索兩平行直線的距離

　　4、探索“已知點(diǎn)到直線的距離及一條直線求另一條直線距離.

　　作業(yè) ：P54  13、14、16思考研究：運(yùn)用多種方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.

兩條直線的位置關(guān)系 篇6

　　教學(xué)目標(biāo)

　　（1）熟練掌握兩條直線平行與垂直的充要條件，能夠根據(jù)直線的方程判斷.

　　（2）理解一條直線到另一條直線的角的概念，掌握兩條直線的夾角.

　　（3）能夠根據(jù)兩條直線的方程求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo).

　　（4）掌握點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.

　　（5）進(jìn)一步掌握求直線方程的方法.

　　（6）進(jìn)一步理解直線方程的概念，理解運(yùn)用直線的方程討論兩條直線位置關(guān)系的思想方法.

　　（7）通過(guò)點(diǎn)到直線距離公式的多種推導(dǎo)方法的探求，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，理解數(shù)形結(jié)合的思想方法.

　　教學(xué)建議

　　一、教材分析

　　1.知識(shí)結(jié)構(gòu)

　　2.重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　重點(diǎn)是兩條直線的平行與垂直的判斷；兩條直線的夾角；點(diǎn)到直線的距離.

　　難點(diǎn)是兩條直線垂直條件的推導(dǎo)；一條直線到另一條直線的角的概念和點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo).

　　本節(jié)內(nèi)容與后邊內(nèi)容聯(lián)系十分緊密，兩條直線平行與垂直的條件和點(diǎn)到直線的距離公式在圓錐曲線中都有廣泛的應(yīng)用，因此非常重要.

　　（1）平行與垂直

　　①平行

　　在討論兩條直線平行的問(wèn)題時(shí)，教材先假定了兩條直線有斜截式方程，根據(jù)傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將初中學(xué)過(guò)的兩直線平行的充要條件（即判定定理和性質(zhì)定理）轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的語(yǔ)言，用斜率和截距重新加以刻畫(huà)，教學(xué)中應(yīng)注意斜率不存在的情況.

　　②垂直

　　教材上將直線的斜率轉(zhuǎn)化成方向向量，然后利用向量垂直的條件推出兩條直線垂直的條件.結(jié)合斜率不存在的情況，兩條直線垂直的充要條件可敘述為：

　　或 一個(gè)為0，另一個(gè)不存在.

　　（2）夾角

　　①應(yīng)正確區(qū)分直線 到 的角、直線 到 的角、直線 和 的夾角這三個(gè)概念.

　　到 的角是帶方向的角，它是指 按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)到與 重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，它與 到 的角是不同的，如果設(shè)前者是 ，后者是 ，則 ＋ ＝ . 與 所夾的不大于 的角成為 和 的夾角，夾角不帶方向.

　　當(dāng) 到 的角為銳角 時(shí)，則 和 的夾角也是 ；當(dāng) 到 的角為鈍角 時(shí)，則 和 的夾角也是 .

　　②在求直線 到 的角 時(shí)，應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，找出 與 ， 的傾斜角 ， 關(guān)系，得出 或 ，然后由 ， 聯(lián)想差角的正切公式，便可把圖形的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)語(yǔ)言來(lái)表示，推導(dǎo)出

　　.

　　再由 與 的夾角與 到 的角之間的關(guān)系，而得出夾角計(jì)算公式

　　這種把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的方法，是解析幾何的基本方法，要認(rèn)真揣摩.

　　③對(duì)于以上兩個(gè)求角公式，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意根據(jù)具體情況選用.

　　（3）交點(diǎn)

　　①求兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題就是求它們的方程的公共解的問(wèn)題，這可以由直線的方程與方程的直線的定義來(lái)理解.

　　②在同一平面內(nèi)，兩條直線有三種位置關(guān)系：相交、平行、重合，相應(yīng)的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況：有惟一解、無(wú)解、無(wú)數(shù)多個(gè)解.但在實(shí)際判定時(shí)，利用直線的斜率和截距更方便.若 ， ，則：

　　與 相交 ；

　　且 ；

　　與 重合 且 .

　　（4）點(diǎn)到直線的距離

　　①點(diǎn)到直線的距離公式是研究點(diǎn)與直線位置關(guān)系的重要工具.教科書(shū)借助于直角三角形的面積公式，推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式.在推導(dǎo)過(guò)程中，把與兩條坐標(biāo)軸都不平行的線段的長(zhǎng)度的計(jì)算，轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)軸平等或垂直的線段長(zhǎng)度的計(jì)算，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程.

　　②利用點(diǎn)到直線的距離公式可推出兩平行線 ， 間的距離公式： .

　　③點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)，有多種方法，應(yīng)鼓勵(lì)同學(xué)們思考，下面介紹一種較簡(jiǎn)便的方法.

　　如右圖，設(shè) ，過(guò)點(diǎn) 作直線 的垂線，垂足為 ，則有

　　即

　　得

　　，

　　即         ，

　　.

　　當(dāng) 時(shí)，上述公式也成立.

　　（5）當(dāng)直線中有一條沒(méi)有斜率時(shí)，討論平行、垂直、角、距離的問(wèn)題，不必套用以上結(jié)論，這時(shí)可結(jié)合圖形幾何性質(zhì)；直接求解.

　　二、教法建議

　　1.本節(jié)知識(shí)與初中所學(xué)的平面幾何知識(shí)和三角知識(shí)聯(lián)系非常緊密，教學(xué)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)啟發(fā)和引導(dǎo).如學(xué)生對(duì)兩條直線的平行同位角相等的條件已經(jīng)非常熟悉，因此在研究?jī)芍本�平行時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生迅速建立聯(lián)系：同位角—傾斜角—斜率（直線方程）.又如，在求 到 的角 時(shí)，根據(jù)圖形中角的關(guān)系，建立 與傾斜角 和 的聯(lián)系（有且只有 或 兩種情況），進(jìn)而借助三角建立與斜率的關(guān)系，得出公式.

　　2.本節(jié)內(nèi)容中在研究?jī)芍本�的垂直條件時(shí)，由于采用向量這一更高級(jí)的工具來(lái)處理，顯得既簡(jiǎn)單又深刻.所以教學(xué)中應(yīng)注意向量工具的運(yùn)用，可讓學(xué)生嘗試用向量推導(dǎo)兩直線平行的條件和點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo).

　　3.本節(jié)內(nèi)容新概念不多，但要求推導(dǎo)的內(nèi)容不少，教學(xué)時(shí)要堅(jiān)持啟發(fā)式的教學(xué)思想，重點(diǎn)放在思路的探求和結(jié)論或公式的運(yùn)用上.本節(jié)不少內(nèi)容可安排學(xué)生自學(xué)和討論，還要適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生能熟練地掌握公式，增強(qiáng)學(xué)生動(dòng)手計(jì)算的能力.本節(jié)還要加強(qiáng)根據(jù)已知條件求直線方程的教學(xué).

　　4.不僅要使學(xué)生熟悉用斜率求兩直線夾角的公式，也要掌握根據(jù)直線方程系數(shù)求夾角的方法（即教材中例6的方法），同時(shí)會(huì)根據(jù)所給條件選用.

　　5.已知兩直線的方程會(huì)求其交點(diǎn)即可，不必研究?jī)芍本�方程系數(shù)與位置關(guān)系之間的關(guān)系.

　　6.在學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線距離公式時(shí)，可利用課余時(shí)間發(fā)動(dòng)學(xué)生尋找更多的推導(dǎo)公式的方法，并通過(guò)尋找多種推導(dǎo)公式的方法，鍛煉思維，培養(yǎng)能力.

　　7.本節(jié)學(xué)完以后學(xué)生可以解決很多較復(fù)雜、較綜合的問(wèn)題，如對(duì)稱問(wèn)題、直線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、光路最短與足球射門角度最大等最值問(wèn)題.教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)安排一些這樣的內(nèi)容，以訓(xùn)練學(xué)生思維和培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

　　教學(xué)設(shè)計(jì)方案

　　課題：點(diǎn)到直線的距離

　　教學(xué)目標(biāo)：（1）理解點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過(guò)程.

　　（2）會(huì)求點(diǎn)到直線的距離.

　　（3）在探索點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)思路的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、積極探索的精神.

　　教學(xué)用具：計(jì)算機(jī)

　　教學(xué)方法：?jiǎn)�發(fā)引導(dǎo)法，討論法

　　教學(xué)過(guò)程：

　　一、引入

　　點(diǎn)到直線的距離是指過(guò)點(diǎn) 作 的垂線， 與垂足 之間的長(zhǎng)度

　　【問(wèn)題1】已知點(diǎn) （-1，2）和直線 ： ，求 點(diǎn)到直線 的距離.

　　（由學(xué)生分析、解答）

　　分析：先求出過(guò) 點(diǎn)和 垂直的直線：

　　： ，再求出 和 的交點(diǎn)

　　∴

　　如果把問(wèn)題1一般化就有如下問(wèn)題：

　　【問(wèn)題2】已知： 和直線 ： （ 不在直線 上，且 ， ），試求 點(diǎn)到直線 的距離.

　　二、點(diǎn)到直線距離

　　分析1：要求 的長(zhǎng)度可以象問(wèn)題1的解法一樣，利用兩點(diǎn)的距離公式可以求 的長(zhǎng)度.

　　∵ 點(diǎn)坐標(biāo)已知，∴只要求出 點(diǎn)坐標(biāo)就可以了.

　　又∵ 點(diǎn)是直線 和直線 的交點(diǎn)

　　又∵直線 的方程已知

　　∴只要求出直線 的方程就可以了.

　　即： ← 點(diǎn)坐標(biāo)←直線 與直線 的交點(diǎn)←直線 的方程←直線 的斜率←直線 的斜率

　　（這一解法在課前由學(xué)生自學(xué)完成，課上進(jìn)行評(píng)價(jià)總結(jié)）

　　問(wèn)：這種解法好不好，為什么?

　　根據(jù)學(xué)生討論，教師適時(shí)啟發(fā)、引導(dǎo)，得出

　　分析2：如果 垂直坐標(biāo)軸，則交點(diǎn)和距離都容易求出，那么不妨做出與坐標(biāo)軸垂直的線段 和 ，如圖1所示，顯然相對(duì)而言 ，和 好求一些，事實(shí)上，設(shè) 到直線的距離為 ， 坐標(biāo)為 ， 坐標(biāo)為 ，則易求：

　　，

　　所以： ，

　　所以：

　　根據(jù)三角形面積公式：

　　所以： （至此問(wèn)題2已經(jīng)解決）

　　公式 的完善.

　　容易驗(yàn)證（由學(xué)生完成）：

　　當(dāng) ，即 軸時(shí)，公式成立；

　　當(dāng) ，即 軸時(shí)，公式成立；

　　當(dāng) 點(diǎn)在 上時(shí)，公式成立.

　　公式 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

　　師生一起總結(jié)：

　　（1）分子是 點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程；

　　（2）分母是直線未知數(shù) 、 系數(shù)平方和的算術(shù)根.

　　類似于勾股定理求斜邊的長(zhǎng)

　　三、檢測(cè)與鞏固

　　練習(xí)1

　　（1） 到直線 的距離是________.

　　（2） 到直線 的距離是_______.

　　（3）用公式解 到直線 的距離是______.

　　（4） 到直線 的距離是_________.

　　訂正答案：（1）5；（2）0；（3） ；（4） .

　　練習(xí)2

　　1.求平行直線 和 的距離.

　　解：在直線 上任取一點(diǎn)，如 ，則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離.

　　因此， ＝ ＝

　　【問(wèn)題3】

　　兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢？求兩條平行直線 與 0的距離.

　　解：在直線上 任取一點(diǎn)，如

　　則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離，（如圖2）.

　　因此， ＝ ＝

　　注意：用公式時(shí)，注意一次項(xiàng)系數(shù)是否一致.

　　四、小結(jié)作業(yè) 

　　1、點(diǎn)到直線的距離公式及其推導(dǎo)；

　　師生一起總結(jié)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過(guò)程：

　　2、利用公式求點(diǎn)到直線的距離.

　　3、探索兩平行直線的距離

　　4、探索“已知點(diǎn)到直線的距離及一條直線求另一條直線距離.

　　作業(yè) ：P54  13、14、16思考研究：運(yùn)用多種方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.

　　探究活動(dòng)

　　研究性學(xué)習(xí)

　　點(diǎn)到直線距離公式是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，公式的推導(dǎo)歷來(lái)是探索的重點(diǎn).教材上的第二種方法較傳統(tǒng)已有不少改進(jìn)，但運(yùn)用向量的理論研究的新思想在這一問(wèn)題上沒(méi)有體現(xiàn)，而運(yùn)用向量理論推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式又是可行的，因此嘗試用向量推導(dǎo)距離公式是很有意義的.為此設(shè)計(jì)如下研究性題目：

　　試用向量的理論推導(dǎo)（或證明）點(diǎn)到直線的距離公式.

　　簡(jiǎn)要思路：

　　首先規(guī)定直線的法向量.設(shè)直線 的方程為 ， 是 上任意一點(diǎn)，則 的方程可表示為 的形式.由向量?jī)?nèi)積的概念可知向量 是與直線的方向向量 垂直的向量，我們把 稱為直線 的法向量.

　　其次推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式.設(shè) 是直線 ： 外的一點(diǎn)， 是 上的任一點(diǎn)， 垂直 于 .則所求為 .如圖5，不妨l的法向量到 的角為 ，則不論 為銳角還是鈍角，總有 ，因?yàn)椋?/p>

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兩條直線的位置關(guān)系 篇7

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1.在作圖、分類、辨析的活動(dòng)中，了解兩條直線的位置關(guān)系，理解在同一平面內(nèi)兩條直線的特殊的位置關(guān)系-----平行、垂直。

　　2.在辨析與理解知識(shí)的過(guò)程中，初步建立平行與垂直的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

　　3.在合作與探究的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)探究與自主學(xué)習(xí)的意識(shí)。

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　在作圖、分類、辨析的活動(dòng)中，理解兩條直線的兩種特殊位置關(guān)系。

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　在合作、探究、辨析的過(guò)程中理解垂直和平行的意義。

　　教學(xué)準(zhǔn)備：

　　課件、題紙、三角板、小棒、記號(hào)筆

　　教學(xué)過(guò)程：

　　一、借助回顧舊知，引出新知。

　　（一）對(duì)一條線的相關(guān)知識(shí)的回顧。

　　1.課件出示，回顧舊知。

　　（1）出示（線段）。

　　監(jiān)控問(wèn)題：這是（線段）。誰(shuí)還記得它有什么特點(diǎn)？

　　（生：線段有兩個(gè)端點(diǎn)，可以測(cè)量）

　　（2）將線段的一端延長(zhǎng)，成為射線。

　　監(jiān)控問(wèn)題：現(xiàn)在呢？（射線），它有什么特點(diǎn)？

　　（生：射線可以向一端無(wú)限延長(zhǎng)，不能測(cè)量）

　　課件操作：將射線還原成線段，再延長(zhǎng)線段的另一端。

　　監(jiān)控問(wèn)題：：它也是（射線）

　　（3）將射線還原成線段，同時(shí)延長(zhǎng)線段的兩端，成為直線。

　　監(jiān)控問(wèn)題：這是（直線）它的特點(diǎn)是什么來(lái)著？（直線沒(méi)有端點(diǎn)，不可以測(cè)量。）

　　2.歸納：在這幅圖上，你都能找到哪些我們學(xué)過(guò)的線？來(lái)給大家說(shuō)一說(shuō)，指一指。

　　看來(lái)，線段和射線都是直線的一部分。

　　（二）揭示課題：剛才，我們一起回憶了有關(guān)一條直線的知識(shí)。如果在這個(gè)屏幕上畫(huà)兩條直線，會(huì)是怎樣的位置關(guān)系呢？這就是咱們今天研究的內(nèi)容。（板書(shū)課題：兩條直線的位置關(guān)系）

　　【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)與學(xué)生的談話，將舊知進(jìn)行了復(fù)習(xí)，從而很自然地引出新知。】

　　二、借助分類、學(xué)生辨析，了解兩條直線的位置關(guān)系。

　　（一）自主探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系

　　1. 請(qǐng)大家想像一下兩條直線會(huì)是怎樣的位置關(guān)系呢，畫(huà)在紙上，也可以借助手中的小棒，先擺一擺，再畫(huà)下來(lái)。每張紙上只畫(huà)出一種，畫(huà)大點(diǎn)讓大家都看得見(jiàn)。你能想出幾種就擺幾種，就畫(huà)幾種。開(kāi)始！

　　2.學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡視，搜集資源。

　　監(jiān)控：（1）這是同學(xué)們的想法，看看，你還有什么補(bǔ)充嗎？為了研究方便，我們把這種情況標(biāo)上序號(hào)。（標(biāo)號(hào)）

　　（2）我們一起來(lái)看看，既然都是直線，又知道直線是可以向兩端無(wú)限延長(zhǎng)的，咱們給這些直線延長(zhǎng)延長(zhǎng)，看看會(huì)有什么現(xiàn)象出現(xiàn)呢？（學(xué)生來(lái)延長(zhǎng)）（換一種顏色，讓學(xué)生延長(zhǎng)）

　　（二）集體研討，辨析兩條直線的位置關(guān)系

　　1.引導(dǎo)學(xué)生分類，辨析。

　　監(jiān)控問(wèn)題：這么多種情況，我們?cè)趺囱芯磕兀浚ㄏ确诸悾?/p>

　　請(qǐng)大家兩人一組，根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系給它們分分類。可以把序號(hào)寫在題紙的背面，一會(huì)兒咱們一起來(lái)討論，開(kāi)始！

　　2.集體研討。

　　①相交與不相交

　　②引導(dǎo)學(xué)生分類，建立相交、不相交的概念，并板書(shū)。

　　（板書(shū)：  不相交   相交）

　　2.借助辨析，建立相關(guān)概念。

　　（1）建立平行的概念。

　　監(jiān)控問(wèn)題：

　　①師：我們先來(lái)看兩條直線的這種位置關(guān)系，有人知道這樣的兩條直線叫什么嗎？在生活中你見(jiàn)過(guò)嗎？在哪兒見(jiàn)過(guò)？-----不相交

　　②數(shù)學(xué)中這兩條直線的位置關(guān)系是平行，誰(shuí)能用自己的話說(shuō)一說(shuō)什么是平行？

　　③我們一起來(lái)看看書(shū)上是怎么說(shuō)的？（課件出示平行線的概念）

　　提問(wèn)：跟我們說(shuō)的意思差不多吧？剛才咱們說(shuō)的和書(shū)中的有什么不一樣的嗎？（同一平面），這兩條直線是在同一平面嗎？為什么？（都在這張紙上）這兩條直線呢？（黑板上畫(huà)出一組），能再說(shuō)說(shuō)什么是平行嗎？

　　④建立平行線的表示方法。“∥” a與b平行，可以記作：a∥b，讀作a平行于b或b平行于a

　　（2）建立垂直的概念。

　　監(jiān)控問(wèn)題：

　　①這種情況我們稱它為不相交，也就是平行，那你們說(shuō)這種情況呢？對(duì)，相交。

　　提問(wèn)：在這種相交的情況下，哪個(gè)最特殊？特殊在哪兒？

　　②建立垂直的概念。

　　a. 誰(shuí)來(lái)用自己的話說(shuō)一說(shuō)什么是垂直？

　　b. 看書(shū)上的敘述。

　　c. 學(xué)習(xí)垂直的表示方法。

　　③建立相交不垂直的概念

　　那這種呢？相交了，但不垂直，形成了兩組對(duì)頂角，每組的對(duì)頂角是相等的。追問(wèn)：那垂直呢？相交之后也形成了兩組對(duì)頂角，它特殊在每組的對(duì)頂角都是相等的，都是90°其實(shí)只要是相交就會(huì)形成對(duì)頂角，這些知識(shí)我們到了中學(xué)還會(huì)繼續(xù)學(xué)習(xí)。

　　④欣賞生活中的平行與垂直。（ppt）

　　其實(shí)，在我們的生活中有許多平行與垂直呢，我們一起來(lái)看看。（數(shù)學(xué)作業(yè)和課本中也能找到平行和垂直呢？）

　　⑤重合的處理：

　　預(yù)設(shè)：a.如果學(xué)生畫(huà)圖的時(shí)候出現(xiàn)了“重合”

　　監(jiān)控問(wèn)題：這個(gè)同學(xué)畫(huà)出的一個(gè)平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系和剛才我們研究的都不一樣，你知道這是什么嗎？（請(qǐng)畫(huà)出圖的同學(xué)介紹）課件演示：重合的過(guò)程  （兩條直線有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)）

　　b.如何學(xué)生沒(méi)有在畫(huà)圖中出現(xiàn)，教師給圖理解“重合”。

　　（3）小結(jié)：看來(lái)，在一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系除了相交和不相交，還會(huì)有重合。對(duì)于重合的兩條直線，我們到了中學(xué)之后還會(huì)對(duì)這樣的直線作進(jìn)一步的研究。

　　【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生自主探究、集體辨析，得到了一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系，并進(jìn)行了分類研究，在這個(gè)過(guò)程中，充分發(fā)揮了學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，真正成為學(xué)習(xí)的主人。】

　　三、在不同的練習(xí)中鞏固新知。

　　1、出示平面圖形和組合圖形。

　　過(guò)渡語(yǔ)：剛才我們了解了同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系，也在生活中看到了平行與垂直的例子，那如果是一個(gè)平面圖形的呢？你還能找到平行或者是垂直嗎?來(lái)，我們一起來(lái)試一試！要求：指出下面圖形中的一組垂直與平行。（學(xué)生邊指邊說(shuō)）

　　（1）平面圖形中的平行與垂直。

　　追問(wèn)：第五個(gè)，有互相垂直的兩條邊嗎？

　　過(guò)渡語(yǔ)：你們真了不起！也能在平面圖形中找到我們今天所學(xué)的知識(shí)，那如果是一個(gè)組合圖形呢？還行嗎？來(lái)，我們一起來(lái)看一看！

　　（2）在組合圖形中尋找平行與垂直。

　　看來(lái)，要想驗(yàn)證是不是垂直，三角板幫了我們大忙，真是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好幫手。

　　2.深入研究平行與垂直的傳遞性。

　　（1）  擺一擺，把兩根小棒都擺成和第三根小棒平行，看一看這兩根小棒互相平行嗎？

　　（2）把兩根小棒都擺成和第三根小棒垂直。看一看這兩根小棒有什么關(guān)系？

　　過(guò)渡語(yǔ)：我們看了，也找了，那如果讓你們動(dòng)手?jǐn)[一擺呢？行嗎？來(lái)，小組合作，請(qǐng)你按照要求動(dòng)手?jǐn)[一擺，互相說(shuō)一說(shuō)，看看你能有什么發(fā)現(xiàn)？開(kāi)始！

　　監(jiān)控：①哪組把你們擺的拿上來(lái)給我們大家來(lái)欣賞一下！再說(shuō)說(shuō)你們發(fā)現(xiàn)了什么？

　　②還有一個(gè)呢？先想象一下，猜猜看！然后再動(dòng)手?jǐn)[一擺進(jìn)行驗(yàn)證！

　　③來(lái)給我們大家說(shuō)一說(shuō)吧！你們先猜的是什么？擺完之后呢？跟你們大家的想法一樣嗎？

　　小結(jié)：看來(lái)，數(shù)學(xué)知識(shí)有的時(shí)候不能單憑猜測(cè)，需要我們進(jìn)行驗(yàn)證，才能知道答案是否正確！

　　四、結(jié)合板書(shū)，總結(jié)全課。

　　師：這節(jié)課我們一起研究了兩條直線的位置關(guān)系，以后我們還會(huì)應(yīng)用這些知識(shí)學(xué)習(xí)更多的知識(shí)。

　　五、板書(shū)設(shè)計(jì)：

　　兩條直線的位置關(guān)系

　　同一平面內(nèi)

　　不相交               相交              重合

　　平行“∥”        （對(duì)頂角）

　　垂直    不垂直

兩條直線的位置關(guān)系 篇8

　　教學(xué)過(guò)程：

　　師：平面內(nèi)兩條直線有幾種位置關(guān)系？

　　生：相交；平行；重合.

　　師：上節(jié)課我們研究了兩條直線的平行與相交的一種特殊情形——垂直，這節(jié)課我們繼續(xù)研究?jī)蓷l直線相交的有關(guān)問(wèn)題——夾角.

　　(教師點(diǎn)課題，板書(shū))

　　師：同學(xué)們對(duì)這節(jié)課的內(nèi)容已經(jīng)進(jìn)行了自學(xué)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中可能遇到一些疑難問(wèn)題，在這里我和同學(xué)們?cè)敢鉃槟愦鹨山饣螅�同時(shí)，你所提出的問(wèn)題也一定會(huì)帶給我們啟迪和思考.請(qǐng)同學(xué)們舉手示意.

　　學(xué)生A：老師，我不會(huì)求兩條直角的夾角.

　　師：請(qǐng)不要著急，通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)、研究你一定能學(xué)會(huì)的.

　　學(xué)生B：教材研究了兩條直線斜率都存在的L1到L2的角問(wèn)題，如果對(duì)于其中一條直線的斜率不存在，那么L1到L2的角問(wèn)題怎樣解決？

　　學(xué)生C：通過(guò)直角三角形解決.老師，您在黑板上幫我畫(huà)個(gè)圖形.

　　(這時(shí)教師在黑板上畫(huà)圖配合學(xué)生C的講解)

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