橢圓及其標準方程（通用13篇）

橢圓及其標準方程 篇1

　　教學目標 

　　1.掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；

　　2.能根據(jù)條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程；

　　3.通過對橢圓概念的引入教學，培養(yǎng)學生的觀察能力和探索能力；

　　4.通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結合和等價轉化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力；

　　5.通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程，激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性，培養(yǎng)學生的學習興趣和創(chuàng)新意識.

　　教學建議

　　教材分析

　　1.  知識結構

　　2.重點難點分析

　　重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式.難點是橢圓標準方程的建立和推導.關鍵是掌握建立坐標系與根式化簡的方法.

　　橢圓及其標準方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程.橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用.先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然.學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的.

　　（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質，可以對比圓的定義來理解.

　　另外要注意到定義中對“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于 .這樣規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況，即：“當常數(shù)等于 時軌跡是一條線段；當常數(shù)小于 時無軌跡”.這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質.但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性.

　　（2）根據(jù)橢圓的定義求標準方程，應注意下面幾點：

　　①曲線的方程依賴于坐標系，建立適當?shù)淖鴺讼担�是求曲線方程首先應該注意的地方.應讓學生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進行推理，發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸，不但可以使方程的推導過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔.

　　②設橢圓的焦距為 ，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為 ，令 ，這些措施，都是為了簡化推導過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學生認真領會.

　　③在方程的推導過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經(jīng)常遇到的問題，又是學生的難點.要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側，把其他項移至另一側；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側，并使其中一側只有一項.

　　④教科書上對橢圓標準方程的推導，實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程 “而沒有證明，”方程 的解為坐標的點都在橢圓上”.這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學們不作要求.

　　（3）兩種標準方程的橢圓異同點

　　中心在原點、焦點分別在 軸上， 軸上的橢圓標準方程分別為： ， .它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有 ， .不同點是：兩種橢圓相對于坐標系的位置不同，它們的焦點坐標也不同.

　　橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大；

　　橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大.

　　另外，形如 中，只要 ， ， 同號，就是橢圓方程，它可以化為 .

　　（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法.例3有三個作用：第一是教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向學生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓.

　　教法建議

　　（1）使學生了解圓錐曲線在生產(chǎn)和科學技術中的應用，激發(fā)學生的學習興趣.

　　為激發(fā)學生學習圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學生對所要研究的內容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還可以啟發(fā)學生尋找身邊與圓錐曲線有關的例子。

　　例如，我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上.如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行.人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個原理.相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道.因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的.

　　（2）安排學生課下切割圓錐形的事物，使學生了解圓錐曲線名稱的來歷

　　為了讓學生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節(jié)約課堂時間，教學時應安排讓學生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認識.

　　（3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，形成正確的概念。

　　教師可從太陽、地球、人造地球衛(wèi)星的運行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學生先對橢圓有一個直觀的了解。

　　教師可事先準備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數(shù)學上的嚴格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細線的長度），再讓兩名學生按教師的要求在黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細線的長度），然后再請剛才兩名學生按同樣的要求作圖。學生通過觀察兩次作圖的過程，總結出經(jīng)驗和教訓，教師因勢利導，讓學生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣，學生對這一定義就會有深刻的了解。

　　（4）將提出的問題分解為若干個子問題，借助多媒體課件來體現(xiàn)橢圓的定義的實質

　　在教學時，可以設置幾個問題，讓學生動手動腦，獨立思考，自主探索，使學生根據(jù)提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學過程 中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內涵，這樣就使得學生對橢圓的定義留下了深刻的印象。

　　（5）注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯(lián)系

　　在講解橢圓的定義時，就要啟發(fā)學生注意橢圓的圖形特征，一般學生比較容易發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱性，這樣在建立坐標系時，學生就比較容易選擇適當?shù)淖鴺讼盗耍�即使焦點在坐標軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質）.雖然這時學生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標系，但在有了一定感性認識的基礎上再講解選擇適當坐標系的一般原則，學生就較為容易接受，也向學生逐步滲透了坐標法.

　　（6）推導橢圓的標準方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法.

　　推導橢圓的標準方程時，由于列出的方程為兩個跟式的和等于一個非零常數(shù)，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數(shù)高、項數(shù)多，教學時要注意化解難點，盡量不要把跟式化簡的困難影響學生對橢圓的標準方程的推導過程的整體認識.通過具體的例子使學生循序漸進的解決帶跟式的方程的化簡，即：（1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；（2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項.（為了避免二次平方運算）

　　（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標準方程后，教師要啟發(fā)學生自己研究焦點在y軸上的標準方程，然后鼓勵學生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，加深對橢圓的認識.

　　（8）在學習新知識的基礎上要鞏固舊知識

　　橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導橢圓的標準方程中要注意進一步鞏固曲線和方程的概念.對于教材上在推出橢圓的標準方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向學生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒有給出證明過程，但學生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析.

　　（9）要突出教師的主導作用，又要強調學生的主體作用，課上盡量讓全體學生參與討論，由基礎較差的學生提出猜想，由基礎較好的學生幫助證明，培養(yǎng)學生的團結協(xié)作的團隊精神。

橢圓及其標準方程 篇2

　　教學目標

　　1.掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；

　　2.能根據(jù)條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程；

　　3.通過對橢圓概念的引入教學，培養(yǎng)學生的觀察能力和探索能力；

　　4.通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結合和等價轉化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力；

　　5.通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程，激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性，培養(yǎng)學生的學習興趣和創(chuàng)新意識.

　　教學建議

　　教材分析

　　1.  知識結構

　　2.重點難點分析

　　重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式.難點是橢圓標準方程的建立和推導.關鍵是掌握建立坐標系與根式化簡的方法.

　　橢圓及其標準方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程.橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用.先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然.學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的.

　　（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質，可以對比圓的定義來理解.

　　另外要注意到定義中對“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于 .這樣規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況，即：“當常數(shù)等于 時軌跡是一條線段；當常數(shù)小于 時無軌跡”.這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質.但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性.

　　（2）根據(jù)橢圓的定義求標準方程，應注意下面幾點：

　　①曲線的方程依賴于坐標系，建立適當?shù)淖鴺讼担�是求曲線方程首先應該注意的地方.應讓學生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進行推理，發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸，不但可以使方程的推導過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔.

　　②設橢圓的焦距為 ，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為 ，令 ，這些措施，都是為了簡化推導過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學生認真領會.

　　③在方程的推導過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經(jīng)常遇到的問題，又是學生的難點.要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側，把其他項移至另一側；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側，并使其中一側只有一項.

　　④教科書上對橢圓標準方程的推導，實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程 “而沒有證明，”方程 的解為坐標的點都在橢圓上”.這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學們不作要求.

　　（3）兩種標準方程的橢圓異同點

　　中心在原點、焦點分別在 軸上， 軸上的橢圓標準方程分別為： ， .它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有 ， .不同點是：兩種橢圓相對于坐標系的位置不同，它們的焦點坐標也不同.

　　橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大；

　　橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大.

　　另外，形如 中，只要 ， ， 同號，就是橢圓方程，它可以化為 .

　　（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法.例3有三個作用：第一是教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向學生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓.

　　教法建議

　　（1）使學生了解圓錐曲線在生產(chǎn)和科學技術中的應用，激發(fā)學生的學習興趣.

　　為激發(fā)學生學習圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學生對所要研究的內容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還可以啟發(fā)學生尋找身邊與圓錐曲線有關的例子。

　　例如，我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上.如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行.人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個原理.相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道.因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的.

　　（2）安排學生課下切割圓錐形的事物，使學生了解圓錐曲線名稱的來歷

　　為了讓學生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節(jié)約課堂時間，教學時應安排讓學生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認識.

　　（3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，形成正確的概念。

　　教師可從太陽、地球、人造地球衛(wèi)星的運行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學生先對橢圓有一個直觀的了解。

　　教師可事先準備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數(shù)學上的嚴格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細線的長度），再讓兩名學生按教師的要求在黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細線的長度），然后再請剛才兩名學生按同樣的要求作圖。學生通過觀察兩次作圖的過程，總結出經(jīng)驗和教訓，教師因勢利導，讓學生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣，學生對這一定義就會有深刻的了解。

　　（4）將提出的問題分解為若干個子問題，借助多媒體課件來體現(xiàn)橢圓的定義的實質

　　在教學時，可以設置幾個問題，讓學生動手動腦，獨立思考，自主探索，使學生根據(jù)提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學過程中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內涵，這樣就使得學生對橢圓的定義留下了深刻的印象。

　　（5）注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯(lián)系

　　在講解橢圓的定義時，就要啟發(fā)學生注意橢圓的圖形特征，一般學生比較容易發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱性，這樣在建立坐標系時，學生就比較容易選擇適當?shù)淖鴺讼盗耍�即使焦點在坐標軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質）.雖然這時學生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標系，但在有了一定感性認識的基礎上再講解選擇適當坐標系的一般原則，學生就較為容易接受，也向學生逐步滲透了坐標法.

　　（6）推導橢圓的標準方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法.

　　推導橢圓的標準方程時，由于列出的方程為兩個跟式的和等于一個非零常數(shù)，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數(shù)高、項數(shù)多，教學時要注意化解難點，盡量不要把跟式化簡的困難影響學生對橢圓的標準方程的推導過程的整體認識.通過具體的例子使學生循序漸進的解決帶跟式的方程的化簡，即：（1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；（2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項.（為了避免二次平方運算）

　　（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標準方程后，教師要啟發(fā)學生自己研究焦點在y軸上的標準方程，然后鼓勵學生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，加深對橢圓的認識.

　　（8）在學習新知識的基礎上要鞏固舊知識

　　橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導橢圓的標準方程中要注意進一步鞏固曲線和方程的概念.對于教材上在推出橢圓的標準方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向學生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒有給出證明過程，但學生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析.

　　（9）要突出教師的主導作用，又要強調學生的主體作用，課上盡量讓全體學生參與討論，由基礎較差的學生提出猜想，由基礎較好的學生幫助證明，培養(yǎng)學生的團結協(xié)作的團隊精神。

橢圓及其標準方程 篇3

　　教學目標 

　　1.掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；

　　2.能根據(jù)條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程；

　　3.通過對橢圓概念的引入教學，培養(yǎng)學生的觀察能力和探索能力；

　　4.通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結合和等價轉化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力；

　　5.通過讓中國學習聯(lián)盟膽探索橢圓的定義和標準方程，激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性，培養(yǎng)學生的學習興趣和創(chuàng)新意識.

　　教學建議

　　教材分析

　　1.  知識結構

　　2.重點難點分析

　　重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式.難點是橢圓標準方程的建立和推導.關鍵是掌握建立坐標系與根式化簡的方法.

　　橢圓及其標準方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程.橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用.先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然.學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的.

　　（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質，可以對比圓的定義來理解.

　　另外要注意到定義中對“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于 .這樣規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況，即：“當常數(shù)等于 時軌跡是一條線段；當常數(shù)小于 時無軌跡”.這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質.但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性.

　　（2）根據(jù)橢圓的定義求標準方程，應注意下面幾點：

　　①曲線的方程依賴于坐標系，建立適當?shù)淖鴺讼担�是求曲線方程首先應該注意的地方.應讓學生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進行推理，發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸，不但可以使方程的推導過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔.

　　②設橢圓的焦距為 ，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為 ，令 ，這些措施，都是為了簡化推導過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學生認真領會.

　　③在方程的推導過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經(jīng)常遇到的問題，又是學生的難點.要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側，把其他項移至另一側；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側，并使其中一側只有一項.

　　④教科書上對橢圓標準方程的推導，實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程 “而沒有證明，”方程 的解為坐標的點都在橢圓上”.這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學們不作要求.

　　（3）兩種標準方程的橢圓異同點

　　中心在原點、焦點分別在 軸上， 軸上的橢圓標準方程分別為： ， .它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有 ， .不同點是：兩種橢圓相對于坐標系的位置不同，它們的焦點坐標也不同.

　　橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大；

　　橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大.

　　另外，形如 中，只要 ， ， 同號，就是橢圓方程，它可以化為 .

　　（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法.例3有三個作用：第一是教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向學生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓.

　　教法建議

　　（1）使學生了解圓錐曲線在生產(chǎn)和科學技術中的應用，激發(fā)學生的學習興趣.

　　為激發(fā)學生學習圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學生對所要研究的內容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還可以啟發(fā)學生尋找身邊與圓錐曲線有關的例子。

　　例如，我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上.如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行.人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個原理.相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道.因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的.

　　（2）安排學生課下切割圓錐形的事物，使學生了解圓錐曲線名稱的來歷

　　為了讓學生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節(jié)約課堂時間，教學時應安排讓學生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認識.

　　（3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，形成正確的概念。

　　教師可從太陽、地球、人造地球衛(wèi)星的運行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學生先對橢圓有一個直觀的了解。

　　教師可事先準備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數(shù)學上的嚴格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細線的長度），再讓兩名學生按教師的要求在黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細線的長度），然后再請剛才兩名學生按同樣的要求作圖。學生通過觀察兩次作圖的過程，總結出經(jīng)驗和教訓，教師因勢利導，讓學生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣，學生對這一定義就會有深刻的了解。

　　（4）將提出的問題分解為若干個子問題，借助多媒體課件來體現(xiàn)橢圓的定義的實質

　　在教學時，可以設置幾個問題，讓學生動手動腦，獨立思考，自主探索，使學生根據(jù)提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學過程 中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內涵，這樣就使得學生對橢圓的定義留下了深刻的印象。

　　（5）注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯(lián)系

　　在講解橢圓的定義時，就要啟發(fā)學生注意橢圓的圖形特征，一般學生比較容易發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱性，這樣在建立坐標系時，學生就比較容易選擇適當?shù)淖鴺讼盗耍�即使焦點在坐標軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質）.雖然這時學生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標系，但在有了一定感性認識的基礎上再講解選擇適當坐標系的一般原則，學生就較為容易接受，也向學生逐步滲透了坐標法.

　　（6）推導橢圓的標準方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法.

　　推導橢圓的標準方程時，由于列出的方程為兩個跟式的和等于一個非零常數(shù)，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數(shù)高、項數(shù)多，教學時要注意化解難點，盡量不要把跟式化簡的困難影響學生對橢圓的標準方程的推導過程的整體認識.通過具體的例子使學生循序漸進的解決帶跟式的方程的化簡，即：（1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；（2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項.（為了避免二次平方運算）

　　（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標準方程后，教師要啟發(fā)學生自己研究焦點在y軸上的標準方程，然后鼓勵學生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，加深對橢圓的認識.

　　（8）在學習新知識的基礎上要鞏固舊知識

　　橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導橢圓的標準方程中要注意進一步鞏固曲線和方程的概念.對于教材上在推出橢圓的標準方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向學生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒有給出證明過程，但學生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析.

　　（9）要突出教師的主導作用，又要強調學生的主體作用，課上盡量讓全體學生參與討論，由基礎較差的學生提出猜想，由基礎較好的學生幫助證明，培養(yǎng)學生的團結協(xié)作的團隊精神。

橢圓及其標準方程 篇4

　　教學目標

　　1.掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；

　　2.能根據(jù)條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程；

　　3.通過對橢圓概念的引入教學，培養(yǎng)學生的觀察能力和探索能力；

　　4.通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結合和等價轉化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力；

　　5.通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程，激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性，培養(yǎng)學生的學習興趣和創(chuàng)新意識.

　　教學建議

　　教材分析

　　1.  知識結構

　　2.重點難點分析

　　重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式.難點是橢圓標準方程的建立和推導.關鍵是掌握建立坐標系與根式化簡的方法.

　　橢圓及其標準方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程.橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用.先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然.學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的.

　　（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質，可以對比圓的定義來理解.

　　另外要注意到定義中對“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于 .這樣規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況，即：“當常數(shù)等于 時軌跡是一條線段；當常數(shù)小于 時無軌跡”.這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質.但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性.

　　（2）根據(jù)橢圓的定義求標準方程，應注意下面幾點：

　　①曲線的方程依賴于坐標系，建立適當?shù)淖鴺讼担�是求曲線方程首先應該注意的地方.應讓學生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進行推理，發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸，不但可以使方程的推導過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔.

　　②設橢圓的焦距為 ，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為 ，令 ，這些措施，都是為了簡化推導過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學生認真領會.

　　③在方程的推導過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經(jīng)常遇到的問題，又是學生的難點.要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側，把其他項移至另一側；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側，并使其中一側只有一項.

　　④教科書上對橢圓標準方程的推導，實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程 “而沒有證明，”方程 的解為坐標的點都在橢圓上”.這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學們不作要求.

　　（3）兩種標準方程的橢圓異同點

　　中心在原點、焦點分別在 軸上， 軸上的橢圓標準方程分別為： ， .它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有 ， .不同點是：兩種橢圓相對于坐標系的位置不同，它們的焦點坐標也不同.

　　橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大；

　　橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大.

　　另外，形如 中，只要 ， ， 同號，就是橢圓方程，它可以化為 .

　　（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法.例3有三個作用：第一是教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向學生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓.

　　教法建議

　　（1）使學生了解圓錐曲線在生產(chǎn)和科學技術中的應用，激發(fā)學生的學習興趣.

　　為激發(fā)學生學習圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學生對所要研究的內容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還可以啟發(fā)學生尋找身邊與圓錐曲線有關的例子。

　　例如，我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上.如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行.人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個原理.相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道.因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的.

　　（2）安排學生課下切割圓錐形的事物，使學生了解圓錐曲線名稱的來歷

　　為了讓學生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節(jié)約課堂時間，教學時應安排讓學生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認識.

　　（3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，形成正確的概念。

　　教師可從太陽、地球、人造地球衛(wèi)星的運行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學生先對橢圓有一個直觀的了解。

　　教師可事先準備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數(shù)學上的嚴格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細線的長度），再讓兩名學生按教師的要求在黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細線的長度），然后再請剛才兩名學生按同樣的要求作圖。學生通過觀察兩次作圖的過程，總結出經(jīng)驗和教訓，教師因勢利導，讓學生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣，學生對這一定義就會有深刻的了解。

　　（4）將提出的問題分解為若干個子問題，借助多媒體課件來體現(xiàn)橢圓的定義的實質

　　在教學時，可以設置幾個問題，讓學生動手動腦，獨立思考，自主探索，使學生根據(jù)提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學過程中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內涵，這樣就使得學生對橢圓的定義留下了深刻的印象。

　　（5）注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯(lián)系

　　在講解橢圓的定義時，就要啟發(fā)學生注意橢圓的圖形特征，一般學生比較容易發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱性，這樣在建立坐標系時，學生就比較容易選擇適當?shù)淖鴺讼盗耍�即使焦點在坐標軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質）.雖然這時學生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標系，但在有了一定感性認識的基礎上再講解選擇適當坐標系的一般原則，學生就較為容易接受，也向學生逐步滲透了坐標法.

　　（6）推導橢圓的標準方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法.

　　推導橢圓的標準方程時，由于列出的方程為兩個跟式的和等于一個非零常數(shù)，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數(shù)高、項數(shù)多，教學時要注意化解難點，盡量不要把跟式化簡的困難影響學生對橢圓的標準方程的推導過程的整體認識.通過具體的例子使學生循序漸進的解決帶跟式的方程的化簡，即：（1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；（2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項.（為了避免二次平方運算）

　　（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標準方程后，教師要啟發(fā)學生自己研究焦點在y軸上的標準方程，然后鼓勵學生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，加深對橢圓的認識.

　　（8）在學習新知識的基礎上要鞏固舊知識

　　橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導橢圓的標準方程中要注意進一步鞏固曲線和方程的概念.對于教材上在推出橢圓的標準方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向學生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒有給出證明過程，但學生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析.

　　（9）要突出教師的主導作用，又要強調學生的主體作用，課上盡量讓全體學生參與討論，由基礎較差的學生提出猜想，由基礎較好的學生幫助證明，培養(yǎng)學生的團結協(xié)作的團隊精神。

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橢圓及其標準方程 篇5

　　教學目標

　　1.把握橢圓的定義,把握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程;

　　2.能根據(jù)條件確定橢圓的標準方程,把握運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程;

　　3.通過對橢圓概念的引入教學,培養(yǎng)學生的觀察能力和探索能力;

　　4.通過橢圓的標準方程的推導,使學生進一步把握求曲線方程的一般方法,并滲透數(shù)形結合和等價轉化的思想方法,提高運用坐標法解決幾何問題的能力;

　　5.通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程,激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性,培養(yǎng)學生的學習愛好和創(chuàng)新意識.

　　教學建議

　　教材分析

　　1. 知識結構

　　2.重點難點分析

　　重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式.難點是橢圓標準方程的建立和推導.關鍵是把握建立坐標系與根式化簡的方法.

　　橢圓及其標準方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內容:一是橢圓的定義;二是橢圓的標準方程.橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先碰到的,所以教材把對橢圓的研究放在了重點,在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用.先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然.學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的.

　　(1)對于橢圓的定義的理解,要抓住橢圓上的點所要滿足的條件,即橢圓上點的幾何性質,可以對比圓的定義來理解.

　　另外要注重到定義中對“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于 .這樣規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種非凡情況,即:“當常數(shù)等于 時軌跡是一條線段;當常數(shù)小于 時無軌跡”.這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質.但講解橢圓的定義時注重不要忽略這兩種非凡情況,以保證對橢圓定義的準確性.

　　(2)根據(jù)橢圓的定義求標準方程,應注重下面幾點:

　　①曲線的方程依靠于坐標系,建立適當?shù)淖鴺讼?是求曲線方程首先應該注重的地方.應讓學生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進行推理,發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對稱軸,以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸,不但可以使方程的推導過程變得簡單,而且也可以使最終得出的方程形式整潔和簡潔.

　　②設橢圓的焦距為 ,橢圓上任一點到兩個焦點的距離為 ,令 ,這些措施,都是為了簡化推導過程和最后得到的方程形式整潔、簡潔,要讓學生認真領會.

　　③在方程的推導過程中碰到了無理方程的化簡,這既是我們今后在求軌跡方程時經(jīng)常碰到的問題,又是學生的難點.要注重說明這類方程的化簡方法:①方程中只有一個根式時,需將它單獨留在方程的一側,把其他項移至另一側;②方程中有兩個根式時,需將它們分別放在方程的兩側,并使其中一側只有一項.

　　④教科書上對橢圓標準方程的推導,實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程 “而沒有證實,”方程 的解為坐標的點都在橢圓上”.這實際上是方程的同解變形問題,難度較大,對同學們不作要求.

　　(3)兩種標準方程的橢圓異同點

　　中心在原點、焦點分別在 軸上, 軸上的橢圓標準方程分別為: , .它們的相同點是:外形相同、大小相同,都有 , .不同點是:兩種橢圓相對于坐標系的位置不同,它們的焦點坐標也不同.

　　橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大;

　　橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大.

　　另外,形如 中,只要 , , 同號,就是橢圓方程,它可以化為 .

　　(4)教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法.例3有三個作用:第一是教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法;第二是向學生說明,假如求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同,那么這個軌跡是橢圓;第三是使學生知道,一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓.

　　教法建議

　　(1)使學生了解圓錐曲線在生產(chǎn)和科學技術中的應用,激發(fā)學生的學習愛好.

　　為激發(fā)學生學習圓錐曲線的愛好,體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用,可由實際問題引入,從中提出圓錐曲線要研究的問題,使學生對所要研究的內容心中有數(shù),如書中所給的例子,還可以啟發(fā)學生尋找身邊與圓錐曲線有關的例子。

　　例如,我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的軌道——橢圓上運行,太陽系的其他行星也如此,太陽則位于橢圓的一個焦點上.假如這些行星運動的速度增大到某種程度,它們就會沿拋物線或雙曲線運行.人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個原理.相對于一個物體,按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動,不可能有任何其他的軌道.因而,圓錐曲線在這種意義上講,它構成了我們宇宙的基本形式,另外,工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線,都和圓錐曲線有關,圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的.

　　(2)安排學生課下切割圓錐形的事物,使學生了解圓錐曲線名稱的來歷

　　為了讓學生了解圓錐曲線名稱的來歷,但為了節(jié)約課堂時間,教學時應安排讓學生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等,以加深對圓錐曲線的熟悉.

　　(3)對橢圓的定義的引入,要注重借助于直觀、形象的模型或教具,讓學生從感性熟悉入手,逐步上升到理性熟悉,形成正確的概念。

　　教師可從太陽、地球、人造地球衛(wèi)星的運行軌道,談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等,讓學生先對橢圓有一個直觀的了解。

　　教師可事先預備好一根細線及兩根釘子,在給出橢圓在數(shù)學上的嚴格定義之前,教師先在黑板上取兩個定點(兩定點之間的距離小于細線的長度),再讓兩名學生按教師的要求在黑板上畫一個橢圓。畫好后,教師再在黑板上取兩個定點(兩定點之間的距離大于細線的長度),然后再請剛才兩名學生按同樣的要求作圖。學生通過觀察兩次作圖的過程,總結出經(jīng)驗和教訓,教師因勢利導,讓學生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣,學生對這一定義就會有深刻的了解。

橢圓及其標準方程 篇6

　　教學目標 

　　1.掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；

　　2.能根據(jù)條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程；

　　3.通過對橢圓概念的引入教學，培養(yǎng)學生的觀察能力和探索能力；

　　4.通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結合和等價轉化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力；

　　5.通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程，激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性，培養(yǎng)學生的學習興趣和創(chuàng)新意識.

　　教學建議

　　教材分析

　　1.  知識結構

　　2.重點難點分析

　　重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式.難點是橢圓標準方程的建立和推導.關鍵是掌握建立坐標系與根式化簡的方法.

　　橢圓及其標準方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程.橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用.先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然.學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的.

　　（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質，可以對比圓的定義來理解.

　　另外要注意到定義中對“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于 .這樣規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況，即：“當常數(shù)等于 時軌跡是一條線段；當常數(shù)小于 時無軌跡”.這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質.但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性.

　　（2）根據(jù)橢圓的定義求標準方程，應注意下面幾點：

　　①曲線的方程依賴于坐標系，建立適當?shù)淖鴺讼担�是求曲線方程首先應該注意的地方.應讓學生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進行推理，發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸，不但可以使方程的推導過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔.

　　②設橢圓的焦距為 ，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為 ，令 ，這些措施，都是為了簡化推導過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學生認真領會.

　　③在方程的推導過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經(jīng)常遇到的問題，又是學生的難點.要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側，把其他項移至另一側；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側，并使其中一側只有一項.

　　④教科書上對橢圓標準方程的推導，實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程 “而沒有證明，”方程 的解為坐標的點都在橢圓上”.這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學們不作要求.

　　（3）兩種標準方程的橢圓異同點

　　中心在原點、焦點分別在 軸上， 軸上的橢圓標準方程分別為： ， .它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有 ， .不同點是：兩種橢圓相對于坐標系的位置不同，它們的焦點坐標也不同.

　　橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大；

　　橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大.

　　另外，形如 中，只要 ， ， 同號，就是橢圓方程，它可以化為 .

　　（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法.例3有三個作用：第一是教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向學生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓.

　　教法建議

　　（1）使學生了解圓錐曲線在生產(chǎn)和科學技術中的應用，激發(fā)學生的學習興趣.

　　為激發(fā)學生學習圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學生對所要研究的內容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還可以啟發(fā)學生尋找身邊與圓錐曲線有關的例子。

　　例如，我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上.如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行.人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個原理.相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道.因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的.

　　（2）安排學生課下切割圓錐形的事物，使學生了解圓錐曲線名稱的來歷

　　為了讓學生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節(jié)約課堂時間，教學時應安排讓學生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認識.

　　（3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，形成正確的概念。

　　教師可從太陽、地球、人造地球衛(wèi)星的運行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學生先對橢圓有一個直觀的了解。

　　教師可事先準備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數(shù)學上的嚴格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細線的長度），再讓兩名學生按教師的要求在黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細線的長度），然后再請剛才兩名學生按同樣的要求作圖。學生通過觀察兩次作圖的過程，總結出經(jīng)驗和教訓，教師因勢利導，讓學生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣，學生對這一定義就會有深刻的了解。

　　（4）將提出的問題分解為若干個子問題，借助多媒體課件來體現(xiàn)橢圓的定義的實質

　　在教學時，可以設置幾個問題，讓學生動手動腦，獨立思考，自主探索，使學生根據(jù)提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學過程 中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內涵，這樣就使得學生對橢圓的定義留下了深刻的印象。

　　（5）注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯(lián)系

　　在講解橢圓的定義時，就要啟發(fā)學生注意橢圓的圖形特征，一般學生比較容易發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱性，這樣在建立坐標系時，學生就比較容易選擇適當?shù)淖鴺讼盗耍�即使焦點在坐標軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質）.雖然這時學生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標系，但在有了一定感性認識的基礎上再講解選擇適當坐標系的一般原則，學生就較為容易接受，也向學生逐步滲透了坐標法.

　　（6）推導橢圓的標準方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法.

　　推導橢圓的標準方程時，由于列出的方程為兩個跟式的和等于一個非零常數(shù)，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數(shù)高、項數(shù)多，教學時要注意化解難點，盡量不要把跟式化簡的困難影響學生對橢圓的標準方程的推導過程的整體認識.通過具體的例子使學生循序漸進的解決帶跟式的方程的化簡，即：（1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；（2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項.（為了避免二次平方運算）

　　（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標準方程后，教師要啟發(fā)學生自己研究焦點在y軸上的標準方程，然后鼓勵學生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，加深對橢圓的認識.

　　（8）在學習新知識的基礎上要鞏固舊知識

　　橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導橢圓的標準方程中要注意進一步鞏固曲線和方程的概念.對于教材上在推出橢圓的標準方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向學生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒有給出證明過程，但學生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析.

　　（9）要突出教師的主導作用，又要強調學生的主體作用，課上盡量讓全體學生參與討論，由基礎較差的學生提出猜想，由基礎較好的學生幫助證明，培養(yǎng)學生的團結協(xié)作的團隊精神。

橢圓及其標準方程 篇7

　　【考試要求】掌握橢圓的定義、標準方程,理解橢圓的參數(shù)方程.【學習重點】1、橢圓的兩個定義及離心率,準線與 a，b，c三個量之間的關系;2、橢圓方程的求解,定義靈活運用.【學習難點】橢圓方程的求解,定義靈活運用.【高考風向標】橢圓是一種重要的圓錐曲線,因而是高考命題的熱點之一.常與平面幾何、三角函數(shù)、向量等以及實際問題相聯(lián)系來考查橢圓的概念和性質,定值、最值、取值范圍等問題將會有所加強,計算要求將有所降低,參數(shù)方程可能在考查其他內容時附帶考查,一般不會單獨命題.【知識整合】1、 橢圓的定義:(1)第一定義:平面內與兩個定點f1、f2的距離的   等于常數(shù)    (         ) 的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點f1、f2叫做     ,定點間的距離叫做     .①當     時,點p的軌跡是線段   ; ②當     時,點p的軌跡不存在.(2) 第二定義:平面內動點p到定點f的距離和它到定直線 的距離的  是常數(shù)  (       )的點的軌跡是橢圓.定點f是    ,定直線 是    ,常數(shù)e是       2、 橢圓的標準方程

　　橢圓焦點的位置

　　方程的形式

　　焦點在x軸上

　　焦點在y軸上

　　其中：①焦距為2c，則a，b，c關系為a最大且a2=        ；②由橢圓的標準方程判斷焦點位置或由焦點位置選橢圓標準方程的形式的方法是         ；當橢圓是標準方程,但焦點位置不確定時,可應用分類討論法解答,也可設其方程為               或                 ③求橢圓方程的基本步驟是：                  （六個字概括）3、 橢圓+=1（a＞b＞0）的參數(shù)方程為            （     ）4、 點p(x0,y0)在橢圓+=1（a＞b＞0）的上                ;點p(x0,y0)在橢圓+=1（a＞b＞0）的內部              ; 點p(x0,y0)在橢圓+=1（a＞b＞0）的外部              .【基礎練習】（1）     已知f1（-1，0），f2（1，0），滿足|pf1|+|pf2|=2 的點p的軌跡為              ；若|pf1|+|pf2|=2時，點p的軌跡為               （2）f1，f2是橢圓的兩個焦點，橢圓上任一點到f1，f2的距離和為常數(shù)2a，過f1的直線交橢圓于c、d兩點，則△cdf2的周長為          （3）(課本題)已知b、c是兩個定點,|bc|=6,且△abc的周長等于16,則頂點a的軌跡方程                  （4）設m是橢圓+=1上的點，f1，f2是焦點，∠f1mf2=300，則 =   （5）平面內與定點f（2，0）的距離和它到定直線x=8的距離的比是1：2，則點p的軌跡方程是            ，軌跡是                          變式1：若將“1：2”改為“1：3”呢？                           變式2：若將“f（2，0）”改為“f（1，0）”呢？                     【典型例題】例1(課本題)求適合下列條件的橢圓的方程:(1)長軸是短軸的2倍,且一條準線方程為x=-4;(2)離心率等于0.8,焦距是8; (3)過點m(-2, )和n(1, )的橢圓方程.

　　平行題： 以短軸的一個端點和兩焦點為頂點的三角形為正三角形,且焦點到橢圓的最短距離為

　　例2、(1) △abc的一邊bc在x軸上，b、c的中點在原點，|bc|=16，ab和ac兩邊中線長的和為30，求△abc的重心g的軌跡方程。 (2)求過點a(2,0)且與圓x2+4x+y2-32=0內切的圓的圓心的軌跡方程.　平行題：(1)(課本題)已知△abc的兩個頂點a、b的坐標分別是(-6,0)、(6,0),邊ac、bc所在直線的斜率之積等于 - ,求頂點c的軌跡方程(2)動圓c和定圓c1:x2+(y-4)2=64內切而和定圓c2:x2+(y+4)2=4外切,求動圓圓心的軌跡方程例3、已知點a(1,1),f1是橢圓5x2+9y2=45的左焦點,點p是橢圓上的動點,求:|pf1|+|pa|的最小值和|pf1|+|pa|的最大值平行題：已知點a(-2, ),點f為橢圓+=1的右焦點,點m在橢圓上移動,求|am|+2|mf|的最小值,并求此時點m的坐標.  【鞏固練習】1、（01全國）若橢圓經(jīng)過原點,且焦點為f1(1,0),f2(3,0),則其離心率為(    )a.          b.          c.          d. 2、已知 為定直線,f為定點,點f不在 上,則以f為焦點, 為對應準線的橢圓有(     )a. 1個         b. 2個       c.1個或2個    d. 無窮多個3、曲線c1: +=1與c2: +=1(k<9)有相同的（    ）a。長軸        b。準線    c。焦點        d。離心率4、點p在橢圓7x2+4y2=28上,則點p到直線3x-2y-16=0的距離的最大值為(     )a.      b.    c.      d. 5、設p是橢圓+=1上一點,p到兩焦點f1、f2的距離之差為2,則△p f1f2是(     )三角形a.銳角          b.直角       c.鈍角         d.等腰直角6、若橢圓+=1的離心率為e=,則m的值為          7、已知點p在橢圓4x2+y2=4上,則x+y的取值范圍為           8、和橢圓9x2+4y2=36有相同的焦點,且經(jīng)過q(2,-3)的橢圓的標準方程是                     9、(課本題)點m與橢圓+=1的左焦點和右焦點的距離的比為2:3,點m的軌跡方程               ;10、(課本題)點p是橢圓+=1上一點,以點p以及焦點f1、f2為頂點的三角形的面積等于1,則點p的坐標為        

橢圓及其標準方程 篇8

　　我說課的題目是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本.必修）《數(shù)學》第二冊、第八章《圓錐曲線》、第一節(jié)《橢圓及其標準方程》。

　　一、概說：

　　1、教材分析：

　　橢圓及其標準方程是圓錐曲線的基礎，它的學習方法對整個這一章具有導向和引領作用，直接影響其他圓錐曲線的學習。是后繼學習的基礎和范示。同時，也是求曲線方程的深化和鞏固。

　　2、教學分析：

　　橢圓及其標準方程是培養(yǎng)學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、概括、推理和探索能力的極好素材。本節(jié)課通過創(chuàng)設情景、動手操作、總結歸納，應用提升等探究性活動，培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)新精神和實踐能力，使學生掌握坐標法的規(guī)律，掌握數(shù)學學科研究的基本過程與方法。

　　3、學生分析：

　　高中二年級學生正值身心發(fā)展的鼎盛時期，思維活躍，又有了相應知識基礎，所以他們樂于探索、敢于探究。但高中生的邏輯思維能力尚屬經(jīng)驗型，運算能力不是很強，有待于訓練。

　　基于上述分析，我采取的是教學方法是“問題誘導--啟發(fā)討論--探索結果”以及“直觀觀察--歸納抽象--總結規(guī)律”的一種研究性教學方法，注重“引、思、探、練”的結合。

　　引導學生學習方式發(fā)生轉變，采用激發(fā)興趣、主動參與、積極體驗、自主探究的學習，形成師生互動的教學氛圍。

　　我設定的教學重點是：橢圓定義的理解及標準方程的推導。

　　教學難點 是：標準方程的推導。

　　二、目標說明：

　　根據(jù)數(shù)學教學大綱要求確立“三位一體”的教學目標 。

　　1、知識與技能目標：

　　理解橢圓定義、掌握標準方程及其推導。

　　2、過程與方法目標：注重數(shù)形結合，掌握解析法研究幾何問題的一般方法，注重探索能力的培養(yǎng)。

　　3、情感、態(tài)度和價值觀目標：

　　(1)探究方法激發(fā)學生的求知欲，培養(yǎng)濃厚的學習興趣。

　　(2)進行數(shù)學美育的滲透，用哲學的觀點指導學習。

　　三、過程說明：

　　依據(jù)“一個為本，四個調整”的新的教學理念和上述教學目標 設計教學過程 。“以學生發(fā)展為本，新型的師生關系、新型的教學目標 、新型的教學方式、新型的呈現(xiàn)方式”體現(xiàn)如下：

　　（一）對教材的重組與拓展：根據(jù)教學目標 ，選擇教學內容，遵循拓展、開放、綜合的原則。教材中對橢圓定義盡管很嚴密，但不夠直觀，所以增加了影音文件：海爾波譜彗星的運行軌道圖，最后，讓學生交流用幾何畫板畫橢圓以及5個探究性問題，作為對教材的拓展。

　　（二）在教學過程 中的體現(xiàn)：

　　1、新課導入  ：以影音文件“海爾波譜彗星的運行軌道示意圖”導入  ，呈現(xiàn)方式具有新異性，激發(fā)學習興趣；畫板畫圖，增強動手操作意識，直觀形象從而引入橢圓定義，進而研究橢圓標準方程。

　　2、新課呈現(xiàn)：

　　學生通過觀看文件、動手操作，然后自己總結橢圓定義，符合從感性上升為理性的認知規(guī)律，而且提升了抽象概括的能力。然后，進行推導橢圓的標準方程，培養(yǎng)運算能力，進而探討標準方程的特點。教師作為熱烈討論的平等氛圍中的引導者，鼓勵學生大膽探究、勇于創(chuàng)新，積極談論和參與體驗，培養(yǎng)嚴謹?shù)倪壿嬎季S，抽象概括的能力，滲透數(shù)學美學教育，掌握數(shù)形結合的重要數(shù)學思想，最后的幾個探究性問題鼓勵學生積極探索，敢于探究，轉變學習方式。

　　3、鞏固應用

　　根據(jù)定義及其標準方程，設計三組九道練習題，引導學生聯(lián)系、思考、討論、反饋、矯正，增強運用能力。

　　4、繼續(xù)探究：

　　（1）觀察橢圓形狀，不同原因在哪里；

　　（2）改變繩長或變換焦點位置再畫橢圓，發(fā)現(xiàn)關系；

　　（3）用幾何畫板交流畫圖，觀察形狀變化；

　　（4）如何描述形狀變化？

　　引導學生探究欲望，開展研究性學習。

　　四、評價說明：

　　本節(jié)課的學生評價堅持形成性評價和階段性評價相結合的原則。

　　（一）形成性評價：從操作能力、概括能力、學習興趣、交流合作、情緒情感方面對學習效果進行過程評價。對出現(xiàn)問題的學生，教師指出其可取之處并耐心引導，這樣有助于培養(yǎng)他們勇于面對挫折，持之以恒地科學探索精神；當學生做的精彩有創(chuàng)新，教師給予學生充分的鼓勵，從而進一步激發(fā)學生創(chuàng)造的潛能，提高他們的創(chuàng)新能力。

　　（二）階段性評價：從單元測試、期中測試等方面對學生的階段性學習成果進行測試。評價結果以每次測試成績和學生平時的綜合表現(xiàn)為依據(jù)。同時要進行學生的自我評價以及教師對行動的綜合性評價。

　　（三）教師自我反思評價：本課充分體現(xiàn)了“一個為本，四個調整”的新課程理念。

　　五、說課總結：

　　這節(jié)課使用計算機網(wǎng)絡技術，展現(xiàn)知識的發(fā)生過程，是學生始終處于問題探索研究狀態(tài)之中，激情引趣。注重數(shù)學科學研究方法的掌握，是研究性教學的一次有益嘗試。有利于改變學生的學習方式，有利于學生自主探究，有利于學生的實踐能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。

橢圓及其標準方程 篇9

　　教學目標:

　　(一)知識目標:掌握橢圓的定義及其標準方程,能正確推導橢圓的標準方程.

　　(二)能力目標:培養(yǎng)學生的動手能力、合作學習能力和運用所學知識解決實際問題的能力;培養(yǎng)學生運用類比、分類討論、數(shù)形結合思想解決問題的能力.

　　(三)情感目標:激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣、提高學生的審美情趣、培養(yǎng)學生勇于探索,敢于創(chuàng)新的精神.

　　教學重點:橢圓的定義和橢圓的標準方程.

　　教學難點:橢圓標準方程的推導.

　　教學方法:探究式教學法,即教師通過問題誘導→啟發(fā)討論→探索結果,引導學生直觀觀察→歸納抽象→總結規(guī)律,使學生在獲得知識的同時,能夠掌握方法、提升能力.

　　教具準備:多媒體課件和自制教具:繪圖板、圖釘、細繩.

　　教學過程:

　　(一)設置情景,引出課題

　　問題:XX年10月12日上午9時,“神州六號”載人飛船順利升空,實現(xiàn)多人多天飛行,標志著我國航天事業(yè)又上了一個新臺階,請問:“神州六號”飛船的運行軌道是什么?多媒體展示“神州六號”運行軌道圖片.

　　(二)啟發(fā)誘導,推陳出新

　　復習舊知識:圓的定義是什么?圓的標準方程是什么形式?

　　提出新問題:橢圓是怎么畫出來的?橢圓的定義是什么?它的標準方程又是什么形式?

　　引出課題:橢圓及其標準方程

　　(三)小組合作,形成概念

　　動畫演示橢圓形成過程.

　　提問:點m運動時,f1、f2移動了嗎?點m按照什么條件運動形成的軌跡是橢圓?

　　下面請同學們在繪圖板上作圖,思考繪圖板上提出的問題:

　　1.在作圖時,視筆尖為動點,兩個圖釘為定點,動點到兩定點距離之和符合什么條件?其軌跡如何?

　　2.改變兩圖釘之間的距離,使其與繩長相等,畫出的圖形還是橢圓嗎?

　　3.當繩長小于兩圖釘之間的距離時,還能畫出圖形嗎?

　　學生經(jīng)過動手操作→獨立思考→小組討論→共同交流的探究過程,得出這樣三個結論:

　　橢圓

　　線段

　　不存在

　　并歸納出橢圓的定義:平面內與兩個定點 、 的距離的和等于常數(shù)(大于 )的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.

　　(四)橢圓標準方程的推導:

　　1.回顧:求曲線方程的一般步驟:建系、設點、列式、化簡.

　　2.提問:如何建系,使求出的方程最簡?

　　由各小組討論,請小組代表匯報研討結果.

　　各組分別選定一種方案:(以下過程按照第一種方案)

　　①建系:以 所在直線為x軸,以線段 的垂直平分線為y軸,建立直角坐標系。

　　②設點:設 是橢圓上任意一點,為了使 的坐標簡單及化簡過程不那么繁雜,設 ,則

　　設 與兩定點 的距離的和等于

　　③列式: ∴

　　④化簡:(這里,教師為突破難點,進行設問:我們怎么化簡帶根式的式子?對于本式是直接平方好還是整理后再平方好呢?)

橢圓及其標準方程 篇10

　　教學目標 

　　1.掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；

　　2.能根據(jù)條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程；

　　3.通過對橢圓概念的引入教學，培養(yǎng)學生的觀察能力和探索能力；

　　4.通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結合和等價轉化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力；

　　5.通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程，激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性，培養(yǎng)學生的學習興趣和創(chuàng)新意識.

　　教學建議

　　教材分析

　　1.  知識結構

　　2.重點難點分析

　　重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式.難點是橢圓標準方程的建立和推導.關鍵是掌握建立坐標系與根式化簡的方法.

　　橢圓及其標準方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程.橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用.先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然.學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的.

　　（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質，可以對比圓的定義來理解.

　　另外要注意到定義中對“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于  .這樣規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況，即：“當常數(shù)等于  時軌跡是一條線段；當常數(shù)小于  時無軌跡”.這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質.但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性.

　　（2）根據(jù)橢圓的定義求標準方程，應注意下面幾點：

　　①曲線的方程依賴于坐標系，建立適當?shù)淖鴺讼担�是求曲線方程首先應該注意的地方.應讓學生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進行推理，發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸，不但可以使方程的推導過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔.

　　②設橢圓的焦距為  ，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為 ，令  ，這些措施，都是為了簡化推導過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學生認真領會.

　　③在方程的推導過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經(jīng)常遇到的問題，又是學生的難點.要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側，把其他項移至另一側；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側，并使其中一側只有一項.

　　④教科書上對橢圓標準方程的推導，實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程  “而沒有證明，”方程  的解為坐標的點都在橢圓上”.這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學們不作要求.

　　（3）兩種標準方程的橢圓異同點

　　中心在原點、焦點分別在  軸上，  軸上的橢圓標準方程分別為：  ，  .它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有  ，  .不同點是：兩種橢圓相對于坐標系的位置不同，它們的焦點坐標也不同.

　　橢圓的焦點在 軸上  標準方程中  項的分母較大；

　　橢圓的焦點在 軸上  標準方程中  項的分母較大.

　　另外，形如  中，只要  ，  同號，就是橢圓方程，它可以化為  .

　　（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法.例3有三個作用：第一是教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向學生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓.

　　教法建議

　　（1）使學生了解圓錐曲線在生產(chǎn)和科學技術中的應用，激發(fā)學生的學習興趣.

　　為激發(fā)學生學習圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學生對所要研究的內容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還可以啟發(fā)學生尋找身邊與圓錐曲線有關的例子。

　　例如，我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上.如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行.人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個原理.相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道.因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的.

　　（2）安排學生課下切割圓錐形的事物，使學生了解圓錐曲線名稱的來歷

　　為了讓學生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節(jié)約課堂時間，教學時應安排讓學生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認識.

　　（3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，形成正確的概念。

　　教師可從太陽、地球、人造地球衛(wèi)星的運行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學生先對橢圓有一個直觀的了解。

　　教師可事先準備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數(shù)學上的嚴格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細線的長度），再讓兩名學生按教師的要求在黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細線的長度），然后再請剛才兩名學生按同樣的要求作圖。學生通過觀察兩次作圖的過程，總結出經(jīng)驗和教訓，教師因勢利導，讓學生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣，學生對這一定義就會有深刻的了解。

　　（4）將提出的問題分解為若干個子問題，借助多媒體課件來體現(xiàn)橢圓的定義的實質

　　在教學時，可以設置幾個問題，讓學生動手動腦，獨立思考，自主探索，使學生根據(jù)提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學過程 中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內涵，這樣就使得學生對橢圓的定義留下了深刻的印象。

　　（5）注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯(lián)系

　　在講解橢圓的定義時，就要啟發(fā)學生注意橢圓的圖形特征，一般學生比較容易發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱性，這樣在建立坐標系時，學生就比較容易選擇適當?shù)淖鴺讼盗耍�即使焦點在坐標軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質）.雖然這時學生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標系，但在有了一定感性認識的基礎上再講解選擇適當坐標系的一般原則，學生就較為容易接受，也向學生逐步滲透了坐標法.

　　（6）推導橢圓的標準方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法.

　　推導橢圓的標準方程時，由于列出的方程為兩個跟式的和等于一個非零常數(shù)，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數(shù)高、項數(shù)多，教學時要注意化解難點，盡量不要把跟式化簡的困難影響學生對橢圓的標準方程的推導過程的整體認識.通過具體的例子使學生循序漸進的解決帶跟式的方程的化簡，即：（1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；（2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項.（為了避免二次平方運算）

　　（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標準方程后，教師要啟發(fā)學生自己研究焦點在y軸上的標準方程，然后鼓勵學生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，加深對橢圓的認識.

　　（8）在學習新知識的基礎上要鞏固舊知識

　　橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導橢圓的標準方程中要注意進一步鞏固曲線和方程的概念.對于教材上在推出橢圓的標準方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向學生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒有給出證明過程，但學生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析.

　　（9）要突出教師的主導作用，又要強調學生的主體作用，課上盡量讓全體學生參與討論，由基礎較差的學生提出猜想，由基礎較好的學生幫助證明，培養(yǎng)學生的團結協(xié)作的團隊精神。

橢圓及其標準方程 篇11

　　一、教材內容分析

　　本節(jié)是整個解析幾何部分的重要基礎知識。這一節(jié)課是在《直線和圓的方程》的基礎上，將研究曲線的方法拓展到橢圓，又是繼續(xù)學習橢圓幾何性質的基礎，同時還為后面學習雙曲線和拋物線作好準備。它的學習方法對整個這一章具有導向和引領作用，所以橢圓是學生學習解析幾何由淺入深的一個臺階，它在整章中具有承前起后的作用。

　　二、學情分析

　　高中二年級學生正值身心發(fā)展的鼎盛時期，思維活躍，又有了相應知識基礎，所以他們樂于探索、敢于探究。但高中生的邏輯思維能力尚屬經(jīng)驗型，運算能力不是很強，有待于訓練。

　　基于上述分析，我采取的是 “創(chuàng)設問題情景-----自主探索研究-----結論應用鞏固”的一種研究性教學方法，教學中采用激發(fā)興趣、主動參與、積極體驗、自主探究的學習，形成師生互動的教學氛圍。使學生真正成為課堂的主體。

　　三、設計思想

　　1、把章頭圖和引言用微機以影像、錄音和圖片的形式給出，生動體現(xiàn)出數(shù)學的實用性；

　　2、進行分組實驗，讓學生親自動手，體驗知識的發(fā)生過程，并培養(yǎng)團隊協(xié)作精神；

　　3、利用《幾何畫板》進行動態(tài)演示，增加直觀性；

　　四、教學目標

　　1、知識與技能目標：

　　理解橢圓定義、掌握標準方程及其推導。

　　2、過程與方法目標：注重數(shù)形結合，掌握解析法研究幾何問題的一般方法，注重探索能力的培養(yǎng)。

　　3、情感、態(tài)度和價值觀目標：

　　(1)探究方法激發(fā)學生的求知欲，培養(yǎng)濃厚的學習興趣。

　　(2)進行數(shù)學美育的滲透，用哲學的觀點指導學習。

　　五、教學的重點和難點

　　教學重點：橢圓定義的理解及標準方程的推導。

　　教學難點：標準方程的推導。

　　四、說教學過程

　　（一）、創(chuàng)設情景，導入新課。（3分鐘)

　　1、利用微機放映“彗星運行”資料片，引入課題——橢圓及其標準方程。

　　2、提問：同學們在日常生活中都見過哪些帶有橢圓形狀的物體？對學生的回答進行篩選，并利用微機放映幾個例子的圖片。

　　設計意圖：通過觀看影音資料，一方面使學生簡單了解橢圓的實際應用，另一方面產(chǎn)生問題意識，對研究橢圓產(chǎn)生心理期待。通過圖片、實物，吸引學生的注意力，提高參與程度，為后續(xù)學習做好準備。從而激發(fā)學生的學習積極性和參與熱情。

　　（二）、動畫演示，探索研究(15分鐘）

　　引導學生互相配合利用細繩和鉛筆動手畫橢圓，通過巡視找出作圖比較規(guī)范的同學用細繩和粉筆演示。再根據(jù)多媒體規(guī)范演示橢圓的形成過程。根據(jù)作圖過程，讓學生思考：軌跡為橢圓需滿足的條件，引導學生總結橢圓定義。

　　設計意圖：注重概念形成過程，通過讓合作交流，思考問題；讓學生都積極地參與到學習中來，體現(xiàn)學生主體意識，開動大腦，訓練思維。使知識從感性認識自然過渡到理性認識，增強了他們的集體凝聚，樹立團隊意識，培養(yǎng)學生的觀察、歸納、概括能力。

　　定義：設問：（1）、為什么強調“平面內”？ （2）、對常數(shù)有什么限制？

　　（3）、常數(shù)的取值不同時，軌跡如何變化?

　　設計意圖：培養(yǎng)學生動手實踐能力，通過分組討論提高發(fā)現(xiàn)問題的能力和提煉總結能力。在給出定義后，通過設問讓學生加深對橢圓定義中的關鍵詞匯的理解，進一步強化橢圓定義，真正使學生理解定義的內涵和外延。

　　（三）、構建方程，探索新知（10分鐘）

　　探索方程這一部分，采用自主、合作方式，引導學生從方程思想、建系思想、等價換元等不同的角度分析歸納，并將小組討論出的較為優(yōu)秀成果展示出來，培養(yǎng)學生學習過程中的團隊意識，也體驗了數(shù)學思維的條理性和系統(tǒng)性。

　　1、根據(jù)求曲線方程的一般步驟建立橢圓方程：

　　（1）、建系設點； （2）、列方程（3）、化簡方程； （4）、等價轉化；

　　設問：怎樣選取坐標系？  怎樣化簡含有兩個根式的方程？   ③為什么要引入b？

　　2、推導得出橢圓的標準方程為：(a>b>0)  或  (a>b>0)

　　設問：①兩種方程有何異同？  ②怎樣根據(jù)條件確定焦點的位置？

　　設計意圖：1、通過方程的推導，學會建立適當?shù)淖鴺讼担瑯嬙鞌?shù)與形的橋梁，學會用解析的方法來解決問題，滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想。培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)、探究、研究能力；

　　2、設置問題，引導學生獨立思考、使之成為知識的發(fā)現(xiàn)者；

　　3、鼓勵學生富于個性化的理解和表達。

　　(四)、操作演練、拓展思維（5分鐘）

　　例題: 求適合下列條件的橢圓的方程：

　　①、兩個焦點的坐標分別是(-4,0)、(4,0)，橢圓上一點p到兩焦點距離的和等于10。

　　②、兩個焦點的坐標分別是(0,-4)、(0,4)，橢圓上一點p到兩焦點距離的和等于10。

　　③、焦距為 8，橢圓上一點p到兩焦點距離的和等于10。

　　設計意圖：學以致用，運用研究成果解決問題，并通過變式訓練，質疑討論、師生互動，培養(yǎng)學生樂于動手、勇于實踐的能力。通過變式訓練來強化概念，開拓學生的思維，訓練學生思維的嚴謹性。深化知識點的掌握，突出重點、難點 。

　　練習1：已知橢圓的標準方程為，m為橢圓上的一點，m到一個焦點的距離是3，則它到另一個焦點的距離等于          。

　　練習2：下列各組橢圓中,其焦點相同的是:(    )

　　a、與           b、與

　　c、與           d、與

　　練習3：已知橢圓，、是它的焦點，ab是過的直線被橢圓截得的線段長，求△的周長。

　　練習4：求適合下列條件的橢圓的標準方程：

　　(1)  焦點坐標為(0,-4)、(0,4)，a=5;

　　(2)  焦點在x軸上,焦距等于4,并且經(jīng)過點p(3,-2);

　　設計意圖：練習一是填空題，設計此題的目的讓學生加深對橢圓的定義的理解，以便更好的夯實基礎知識；練習二是選擇題，融入相對練習一較多的知識點，滲透類比思想，讓學生從不同的角度分析、補充，強化學生的發(fā)散思維、培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識；練習三、四則是練習一與二的有機綜合，充分滲透數(shù)形結合思想，較好的提高了學生的綜合能力，從中感受數(shù)學的魅力。也為下一節(jié)課的進一步提高作了鋪墊。

　　（五）課堂總結，完善認知（1分鐘)

　　一個概念：橢圓：

　　二個方程：；；

　　三個意識：求美意識；求簡意識；猜想的意識。

　　四個思想：數(shù)形結合、類比、方程、轉化與化歸

　　設計意圖：培養(yǎng)歸納、概括能力，并鞏固研究成果。同時，通過小結，使學生理清這節(jié)課的重難點，深化對基本概念，基本理論的理解，同時培養(yǎng)學生宏觀掌握知識的能力，為進一步學習打下堅實的基礎。

　　（六）布置作業(yè)，鞏固提高：

　　1、教材96頁——習題8.1第3、4題

　　2、課后實踐操作題：一束光線垂直于一個墻面，將一圓形紙板置于光源與墻面之間，墻面上會出現(xiàn)紙板的影子，變化紙板與光線的角度，觀察影子會出現(xiàn)哪些不同的形狀？

　　設計意圖：使學生探究、思考、實踐的過程延伸到課后。體現(xiàn)分層教學的思想，提高學生的學習積極性，使各層次的學生都找到各自的學習區(qū)，進一步完善教學目標的實現(xiàn)。

　　（七）板書設計

　　8.1橢圓及其標準方程

　　1、橢圓的定義

　　2、有關概念

　　3、標準方程

　　（1）焦點在軸上

　　（2）焦點在軸上

　　標準方程的推導過程書寫

　　例1：（寫要點）

　　變式1：（寫要點）

　　變式2：

　　（1）詳寫

　　（2）寫關鍵步驟

橢圓及其標準方程 篇12

　　我說課的題目是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本.必修）《數(shù)學》第二冊、第八章《圓錐曲線》、第一節(jié)《橢圓及其標準方程》。

　　一、概說：

　　1、教材分析：

　　橢圓及其標準方程是圓錐曲線的基礎，它的學習方法對整個這一章具有導向和引領作用，直接影響其他圓錐曲線的學習。是后繼學習的基礎和范示。同時，也是求曲線方程的深化和鞏固。

　　2、教學分析：

　　橢圓及其標準方程是培養(yǎng)學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、概括、推理和探索能力的極好素材。本節(jié)課通過創(chuàng)設情景、動手操作、總結歸納，應用提升等探究性活動，培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)新精神和實踐能力，使學生掌握坐標法的規(guī)律，掌握數(shù)學學科研究的基本過程與方法。

　　3、學生分析：

　　高中二年級學生正值身心發(fā)展的鼎盛時期，思維活躍，又有了相應知識基礎，所以他們樂于探索、敢于探究。但高中生的邏輯思維能力尚屬經(jīng)驗型，運算能力不是很強，有待于訓練。

　　基于上述分析，我采取的是教學方法是“問題誘導--啟發(fā)討論--探索結果”以及“直觀觀察--歸納抽象--總結規(guī)律”的一種研究性教學方法，注重“引、思、探、練”的結合。

　　引導學生學習方式發(fā)生轉變，采用激發(fā)興趣、主動參與、積極體驗、自主探究的學習，形成師生互動的教學氛圍。

　　我設定的教學重點是：橢圓定義的理解及標準方程的推導。

　　教學難點 是：標準方程的推導。

　　二、目標說明：

　　根據(jù)數(shù)學教學大綱要求確立“三位一體”的教學目標 。

　　1、知識與技能目標：

　　理解橢圓定義、掌握標準方程及其推導。

　　2、過程與方法目標：注重數(shù)形結合，掌握解析法研究幾何問題的一般方法，注重探索能力的培養(yǎng)。

　　3、情感、態(tài)度和價值觀目標：

　　(1)探究方法激發(fā)學生的求知欲，培養(yǎng)濃厚的學習興趣。

　　(2)進行數(shù)學美育的滲透，用哲學的觀點指導學習。

　　三、過程說明：

　　依據(jù)“一個為本，四個調整”的新的教學理念和上述教學目標 設計教學過程 。“以學生發(fā)展為本，新型的師生關系、新型的教學目標 、新型的教學方式、新型的呈現(xiàn)方式”體現(xiàn)如下：

　　（一）對教材的重組與拓展：根據(jù)教學目標 ，選擇教學內容，遵循拓展、開放、綜合的原則。教材中對橢圓定義盡管很嚴密，但不夠直觀，所以增加了影音文件：海爾波譜彗星的運行軌道圖，最后，讓學生交流用幾何畫板畫橢圓以及5個探究性問題，作為對教材的拓展。

　　（二）在教學過程 中的體現(xiàn)：

　　1、新課導入  ：以影音文件“海爾波譜彗星的運行軌道示意圖”導入  ，呈現(xiàn)方式具有新異性，激發(fā)學習興趣；畫板畫圖，增強動手操作意識，直觀形象從而引入橢圓定義，進而研究橢圓標準方程。

　　2、新課呈現(xiàn)：

　　學生通過觀看文件、動手操作，然后自己總結橢圓定義，符合從感性上升為理性的認知規(guī)律，而且提升了抽象概括的能力。然后，進行推導橢圓的標準方程，培養(yǎng)運算能力，進而探討標準方程的特點。教師作為熱烈討論的平等氛圍中的引導者，鼓勵學生大膽探究、勇于創(chuàng)新，積極談論和參與體驗，培養(yǎng)嚴謹?shù)倪壿嬎季S，抽象概括的能力，滲透數(shù)學美學教育，掌握數(shù)形結合的重要數(shù)學思想，最后的幾個探究性問題鼓勵學生積極探索，敢于探究，轉變學習方式。

　　3、鞏固應用

　　根據(jù)定義及其標準方程，設計三組九道練習題，引導學生聯(lián)系、思考、討論、反饋、矯正，增強運用能力。

　　4、繼續(xù)探究：

　　（1）觀察橢圓形狀，不同原因在哪里；

　　（2）改變繩長或變換焦點位置再畫橢圓，發(fā)現(xiàn)關系；

　　（3）用幾何畫板交流畫圖，觀察形狀變化；

　　（4）如何描述形狀變化？

　　引導學生探究欲望，開展研究性學習。

　　四、評價說明：

　　本節(jié)課的學生評價堅持形成性評價和階段性評價相結合的原則。

　　（一）形成性評價：從操作能力、概括能力、學習興趣、交流合作、情緒情感方面對學習效果進行過程評價。對出現(xiàn)問題的學生，教師指出其可取之處并耐心引導，這樣有助于培養(yǎng)他們勇于面對挫折，持之以恒地科學探索精神；當學生做的精彩有創(chuàng)新，教師給予學生充分的鼓勵，從而進一步激發(fā)學生創(chuàng)造的潛能，提高他們的創(chuàng)新能力。

　　（二）階段性評價：從單元測試、期中測試等方面對學生的階段性學習成果進行測試。評價結果以每次測試成績和學生平時的綜合表現(xiàn)為依據(jù)。同時要進行學生的自我評價以及教師對行動的綜合性評價。

　　（三）教師自我反思評價：本課充分體現(xiàn)了“一個為本，四個調整”的新課程理念。

　　五、說課總結：

　　這節(jié)課使用計算機網(wǎng)絡技術，展現(xiàn)知識的發(fā)生過程，是學生始終處于問題探索研究狀態(tài)之中，激情引趣。注重數(shù)學科學研究方法的掌握，是研究性教學的一次有益嘗試。有利于改變學生的學習方式，有利于學生自主探究，有利于學生的實踐能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。

橢圓及其標準方程 篇13

　　橢圓是圓錐曲線中重要的一種,本節(jié)內容的學習是后繼學習其它圓錐曲線的基礎,坐標法是解析幾何中的重要數(shù)學方法,橢圓方程的推導是利用坐標法求曲線方程的很好應用實例。本節(jié)課內容的學習能很好地在課堂教學中展現(xiàn)新課程的理念,主要采用學生自主探究學習的方式,使培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能力的教學思想貫穿于本節(jié)課教學設計的始終。

　　橢圓是生活中常見的圖形,通過實驗演示,創(chuàng)設生動而直觀的情境,使學生親身體會橢圓與生活聯(lián)系,有助于激發(fā)學生對橢圓知識的學習興趣;在橢圓概念引入的過程中,改變了直接給出橢圓概念和動畫畫出橢圓的方式,而采用學生動手畫橢圓并合作探究的學習方式,讓學生親身經(jīng)歷橢圓概念形成的數(shù)學化過程,有利于培養(yǎng)學生觀察分析、抽象概括的能力。

　　橢圓方程的化簡是學生從未經(jīng)歷的問題,方程的推導過程采用學生分組探究,師生共同研討方程的化簡和方程的特征,可以讓學生主體參與橢圓方程建立的具體過程,使學生真正了解橢圓標準方程的來源,并在這種師生嘗試探究、合作討論的活動中,使學生體會成功的快樂,提高學生的數(shù)學探究能力,培養(yǎng)學生獨立主動獲取知識的能力。

　　設計例題、習題的研討探究變式訓練,是為了讓學生能靈活地運用橢圓的知識解決問題,同時也是為了更好地調動、活躍學生的思維,發(fā)展學生數(shù)學思維能力,讓學生在解決問題中發(fā)展學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新能力,同時培養(yǎng)學生大膽實踐、勇于探索的精神,開闊學生知識應用視野。