橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

教學(xué)目標(biāo)
    1.把握橢圓的定義,把握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及其推導(dǎo)過程;
    2.能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,把握運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
    3.通過對(duì)橢圓概念的引入教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和探索能力;
    4.通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),使學(xué)生進(jìn)一步把握求曲線方程的一般方法,并滲透數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法,提高運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力;
    5.通過讓學(xué)生大膽探索橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好和創(chuàng)新意識(shí).
    教學(xué)建議
    教材分析
    1. 知識(shí)結(jié)構(gòu)
    2.重點(diǎn)難點(diǎn)分析
    重點(diǎn)是橢圓的定義及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式.難點(diǎn)是橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo).關(guān)鍵是把握建立坐標(biāo)系與根式化簡(jiǎn)的方法.
    橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內(nèi)容:一是橢圓的定義;二是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先碰到的,所以教材把對(duì)橢圓的研究放在了重點(diǎn),在雙曲線和拋物線的教學(xué)中鞏固和應(yīng)用.先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然.學(xué)好橢圓對(duì)于學(xué)生學(xué)好圓錐曲線是非常重要的.
    (1)對(duì)于橢圓的定義的理解,要抓住橢圓上的點(diǎn)所要滿足的條件,即橢圓上點(diǎn)的幾何性質(zhì),可以對(duì)比圓的定義來理解.
    另外要注重到定義中對(duì)“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于 .這樣規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種非凡情況,即:“當(dāng)常數(shù)等于 時(shí)軌跡是一條線段;當(dāng)常數(shù)小于 時(shí)無軌跡”.這樣有利于集中精力進(jìn)一步研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì).但講解橢圓的定義時(shí)注重不要忽略這兩種非凡情況,以保證對(duì)橢圓定義的準(zhǔn)確性.
    (2)根據(jù)橢圓的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程,應(yīng)注重下面幾點(diǎn):
    ①曲線的方程依靠于坐標(biāo)系,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,是求曲線方程首先應(yīng)該注重的地方.應(yīng)讓學(xué)生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行推理,發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對(duì)稱軸,以這兩條對(duì)稱軸作為坐標(biāo)系的兩軸,不但可以使方程的推導(dǎo)過程變得簡(jiǎn)單,而且也可以使最終得出的方程形式整潔和簡(jiǎn)潔.
    ②設(shè)橢圓的焦距為 ,橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為 ,令 ,這些措施,都是為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)過程和最后得到的方程形式整潔、簡(jiǎn)潔,要讓學(xué)生認(rèn)真領(lǐng)會(huì).
    ③在方程的推導(dǎo)過程中碰到了無理方程的化簡(jiǎn),這既是我們今后在求軌跡方程時(shí)經(jīng)常碰到的問題,又是學(xué)生的難點(diǎn).要注重說明這類方程的化簡(jiǎn)方法:①方程中只有一個(gè)根式時(shí),需將它單獨(dú)留在方程的一側(cè),把其他項(xiàng)移至另一側(cè);②方程中有兩個(gè)根式時(shí),需將它們分別放在方程的兩側(cè),并使其中一側(cè)只有一項(xiàng).
    ④教科書上對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),實(shí)際上只給出了“橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程 “而沒有證實(shí),”方程 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上”.這實(shí)際上是方程的同解變形問題,難度較大,對(duì)同學(xué)們不作要求.
    (3)兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓異同點(diǎn)
    中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)分別在 軸上, 軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分別為: , .它們的相同點(diǎn)是:外形相同、大小相同,都有 , .不同點(diǎn)是:兩種橢圓相對(duì)于坐標(biāo)系的位置不同,它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同.