直線與橢圓的位置關系導學案
教學目標：
（1）會判斷直線與橢圓的位置關系,理解直線與橢圓相交所得的弦長公式;
（2）通過求弦長具體實例，發現求弦長的一般規律，體驗從特殊到一般的認識規律；
（3）通過幾何關系與代數運算的不斷轉化，感悟解析幾何基本思想，培養學生邏輯推理能力和運算能力.
教學重點：直線與橢圓的弦長公式探究
教學難點：從特殊到一般規律的發現，“數”和“形”之間的相互轉化.
教學過程：
教師：直線與圓有哪些位置關系？如何判斷？
學生：直線與圓的位置關系及其判定：
幾何方法： 相離、 相切、 相交.
代數方法：方程組 無解相離、有唯一解相切、有兩組解相交.
教師：由于圓的特殊性，幾何方法顯得簡單，而代數方法具有一般性.自然引出下面問題.類比直線和圓，直線與橢圓有哪些位置關系？
（板書： ： ，e: ）
學生：直線與橢圓有三種位置關系：相離、相切、相交.或直線與橢圓的公共點個數可能是零個、一個、兩個.
教師：當直線與橢圓沒有公共點時，稱直線與橢圓相離；當有一個公共點時，稱直線與橢圓相切，這條直線叫橢圓的一條切線；當直線與橢圓有兩個公共點時，稱直線與橢圓相交.（板書：相離、相切、相交）
板書課題：直線橢圓位置關系
教師：請大家研究下面問題如何解決
判斷出直線 與橢圓e： 的位置關系是_______
學生1：畫圖，直線與y的交點（0, 1）在橢圓內部，所以直線與橢圓相交.
學生2：由（板書） ，得 ,
，直線與橢圓相交.
教師：（學生思考解答時，教師畫出橢圓）學生1的方法簡捷明了，使得我們對問題有了直觀的認識，為什么多數同學沒有這樣解答呢？從“數形結合”是思考問題的首選。
但我們的認識不能停留在此，要進一步深入；如果將直線改為 ，在化草圖的情況下方法1就不適合了，而方法2具有一般性.（板書
消去y得 ， .
時相離、 時相切、 時相交。
教師：上述問題中，設直線與橢圓交于a,b兩點，你如何求線段ab的長|ab|呢？
（學生獨立解答教師巡視）運算過程中想一想能否優化運算過程，簡化運算。
教師提示.
發現下面三種運算，請該生板書
學生1： ， ；
a（ ， ），b（ ， ）.
|ab|=
.
學生2： ， ；
a（ ， ），b（ ， ）.
|ab|=
= .
學生3： ， ；
=
|ab|=
= .
教師：運算是一件既容易又困難的工作，容易是指誰都會算，困難是指算得既簡潔又準確。學生2注意到提取公因數，比學生1的算法要簡單；學生3（如果沒有學生這樣做，老師從學生2中引導出來）注意到 與 之間關系，使得要研究4個未知量的問題轉化為兩個未知量的問題。同過大家的實踐，可以發現對于直線上兩點 ，結論 。這是由于直線上點的橫縱坐標是線性變化的。
大家再仔細觀察解題過程，還能發現那些結論？
學生：在|ab|= 中， ；（ ）
教師：上述結論是偶然還是必然？能否推廣到一般情況使得我們連兩個未知數 都可以不求了？
學生：當直線與橢圓相交時|ab|= 成立。