兩角差的余弦公式

【教學目標】

【知識與技能】

①了解兩角差的余弦公式的推導；

②掌握兩角差的余弦公式并能對公式進行初步的應用。

【過程與方法】

①經歷大膽猜想---初步驗證---理論證明---應用與拓展的數學化的過程讓學生感受到知識的產生和發展；

②利用信息技術揭示單角的三角函數值與兩角差的余弦值之間的關系，激發學生探究數學的積極性；

③培養學生獲取數學知識、數學交流的能力；

  【情感態度價值觀】

①使學生體會聯想轉化、數形結合、分類討論的數學思想；

②培養學生大膽猜想、敢于探索、勇于置疑、嚴謹、求實的科學態度。

【教學重點、難點】

重點： 兩角差余弦公式的探索和初步應用。
難點：探索過程的組織和引導。
【教學手段】 用幾何畫板和powerpoint演示。
【教學流程】

創設問題情景，揭示課題

感知猜想

利用幾何畫板驗證猜想

組織和引導學生共同合作探索公式

通過例題、練習，加強對公式的理解

回顧與反思

布置作業，引發其他公式的探究

【教學設計】

（一）創設問題情境，揭示課題
先讓學生口答 的正弦余弦值，再提出  

問題1. 有什么關系？

（ ）

問題2.對于a、b、c

（讓學生討論，老師歸納其討論結果，并指出不成立。因為

）

問題3.對于任意角α、β，
（設計意圖：由特殊問題引發一般問題，喚起學生解決問題的意識，拋出新知識引起學生的疑惑，在興趣和疑惑中，激發學生的求知欲，引導學習方向。）
（二）感性認知，提出猜想

問題：如何用任意角α和β的正弦、余弦值來表示cos（α－β）？

雖然 但學生自然猜想到它們之間有一定的等量關系，于是讓學生憑借直覺，發揮想象，將sinα、sinβ、cosα、cosβ隨意組合，構造出結果的表示形式。

（三）驗證猜想

   借助幾何畫板，呈現猜想的式子，計算出cos（α－β）和各式子的值，發現當隨意變換角度α和β時，總有cos（α－β）和

cosαcosβ+sinαsinβ的結果相等，所以猜測公式的形式可能是：

cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

（第一組驗證）

（第二組驗證）

（設計意圖：使學生看到現代化信息技術對探討數學問題的幫助，從而引導學生在今后的學習和工作中能重視現代信息技術的應用。）
（四）聯想轉化、探索論證

讓學生加強新舊知識的聯系，尋找已有知識點的理論支持，選定探討方法，適時提問，逐步引導，層層推進。

問題(1)剛才的驗證可靠嗎？為什么？

（不可靠，它并不能代表一般性）

問題(2)對于任意的α和β,你如何證明上式恒成立呢？你聯想到哪些相關知識？
1.根據學生的回答，先利用向量來證明。

問題（3）你是如何聯想到向量？用向量證明得先做哪些準備？

問題（4）在圖中選擇哪些向量，它們如何表示？

問題（5）如何利用向量的運算構造出等式的左右兩邊？

問題（6）證明是否嚴密？若有，請你補充。
（設計意圖：讓學生經歷利用向量知識解決一個數學問題的過程，體會向量方法解決數學問題的簡潔性。）

2.利用學生對舊知識的聯想提出利用三角函數線來證明。

讓學生研讀教材，并提出相應的問題，拓寬學生的思維。

問題（1）如何構造三角函數線來證明公式？