兩角差的余弦公式（通用3篇）
兩角差的余弦公式 篇1
課題：§3.1.1
【教學目標】
【知識與技能】
①了解兩角差的余弦公式的推導；
�、谡莆諆山遣畹挠嘞夜讲⒛軐竭M行初步的應用。
【過程與方法】
�、俳洑v大膽猜想---初步驗證---理論證明---應用與拓展的數學化的過程讓學生感受到知識的產生和發展；
�、诶眯畔⒓夹g揭示單角的三角函數值與兩角差的余弦值之間的關系，激發學生探究數學的積極性；
�、叟囵B學生獲取數學知識、數學交流的能力；
【情感態度價值觀】
�、偈箤W生體會聯想轉化、數形結合、分類討論的數學思想；
②培養學生大膽猜想、敢于探索、勇于置疑、嚴謹、求實的科學態度。
【教學重點、難點】
重點： 兩角差余弦公式的探索和初步應用。
難點：探索過程的組織和引導。
【教學手段】用幾何畫板和powerpoint演示。
【教學流程】
創設問題情景，揭示課題
感知猜想
利用幾何畫板驗證猜想
組織和引導學生共同合作探索公式
通過例題、練習，加強對公式的理解
回顧與反思
布置作業，引發其他公式的探究
【教學設計】
（一）創設問題情境，揭示課題
先讓學生口答 的正弦余弦值，再提出
問題1. 有什么關系？
�。� ）
問題2.對于a、b、c
�。ㄗ寣W生討論，老師歸納其討論結果，并指出不成立。因為
�。�
問題3.對于任意角α、β，
�。�設計意圖：由特殊問題引發一般問題，喚起學生解決問題的意識，拋出新知識引起學生的疑惑，在興趣和疑惑中，激發學生的求知欲，引導學習方向。）
（二）感性認知，提出猜想
問題：如何用任意角α和β的正弦、余弦值來表示cos（α－β）？
雖然 但學生自然猜想到它們之間有一定的等量關系，于是讓學生憑借直覺，發揮想象，將sinα、sinβ、cosα、cosβ隨意組合，構造出結果的表示形式。
（三）驗證猜想
借助幾何畫板，呈現猜想的式子，計算出cos（α－β）和各式子的值，發現當隨意變換角度α和β時，總有cos（α－β）和
cosαcosβ+sinαsinβ的結果相等，所以猜測公式的形式可能是：
cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ
（第一組驗證）
（第二組驗證）
�。�設計意圖：使學生看到現代化信息技術對探討數學問題的幫助，從而引導學生在今后的學習和工作中能重視現代信息技術的應用。）
（四）聯想轉化、探索論證
讓學生加強新舊知識的聯系，尋找已有知識點的理論支持，選定探討方法，適時提問，逐步引導，層層推進。
問題(1)剛才的驗證可靠嗎？為什么？
�。ú豢煽�，它并不能代表一般性）
問題(2)對于任意的α和β,你如何證明上式恒成立呢？你聯想到哪些相關知識？
1.根據學生的回答，先利用向量來證明。
問題（3）你是如何聯想到向量？用向量證明得先做哪些準備？
問題（4）在圖中選擇哪些向量，它們如何表示？
問題（5）如何利用向量的運算構造出等式的左右兩邊？
問題（6）證明是否嚴密？若有，請你補充。
�。�設計意圖：讓學生經歷利用向量知識解決一個數學問題的過程，體會向量方法解決數學問題的簡潔性。）
2.利用學生對舊知識的聯想提出利用三角函數線來證明。
讓學生研讀教材，并提出相應的問題，拓寬學生的思維。
問題（1）如何構造三角函數線來證明公式？
問題（2）證明前提是什么?證明完成了嗎？
(是在三個角都是銳角的前提下證明的,不具備一般性)
問題（3）兩種證明方法用的是哪一種數學思想方法？
問題（4）你認為哪一種方法好？
（設計意圖：分化難點，突出重點，拓寬思維，養成研讀教材，善于思考，善于提問，小組合作的好習慣）
3.分析公式結構特點，尋求簡單記憶
(記作 ,諧音記憶為:烤烤曬曬符號反)
【拓展與應用】
1. 利用差角余弦公式求 的值
（求解過程讓學生獨立完成，注意引導學生多方向、多維度思考問題）
2.
（讓學生結合公式 ，明確需要再求哪些三角函數值，可使問題得到解決。并使學生體會到思維的有序性和表達的條理性是三角變換的基本要求。）
變式：去掉α的范圍，對結果有影響嗎？
�。ㄌ嵝褜W生注意三角函數的符號問題，并培養學生分類討論的思想）
3.①求 的值
�、谇� 的值
③求 的值
（設置題目由簡單到復雜，由具體角度到任意角，培養學生的靈活變換能力和逆向思維能力）
4.
�。ㄗ寣W生結合公式 ，明確需要先求哪些三角函數值，可使問題得到解決。）
�。ㄗ寣W生自主練習，收集學生的解法，對比點評，培養學生對角進行拆分，構造出差角，靈活運用公式）
變式二：
�。柟虒堑牟鸱�，突出靈活的重要性）
�。ɡ}和習題的設計意圖：通過基礎訓練和變式訓練，加強學生對公式的理解和應用，體驗公式既可正用、逆用，還可變用.還可使學生掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問題，培養了學生的靈活思維品質，提高學生的數學交流能力，促進思維的創新。）
【回顧與反思】
1. 回顧公式的推導過程，讓學生口述并輔以簡單的流程圖。
2.體會其中蘊涵的數學思想。
3.你在公式的推導過程中有什么啟發和感受？
4.公式的應用過程中應該注意什么問題，你有什么體會？
(設計意圖：讓學生通過自己小結，反思學習過程，加深對公式的推導和應用過程的理解，促進知識的內化。)
【設置作業和思考題】.
作業: 的1,4題
思考:你能利用如何用cos (α－β)繼續探究α±β的三角函數？
(設計意圖：鞏固本節課的知識,并根據本節課所講的知識提出問題，而用下一節課要學的知識解決問題作為課堂教學的結束，使新舊知識建立聯系，給學生留下懸念。使學生在探索學習的過程中，充滿好奇心和興趣，充分調動了學生的主觀能動性。)
兩角差的余弦公式 篇2
對數函數及其性質
一.教學目標
1.掌握對數函數的概念，圖象和性質，且在掌握性質的基礎上能進行初步的應用.
2.通過指數函數與對數函數在圖象與性質上的對比，樹立相互聯系相互轉化的觀點，通過對數函數圖象和性質的學習，滲透數形結合，分類討論等思想，注重培養學生的觀察，分析，歸納等邏輯思維能力.
3.通過觀察指數函數與對數函數在圖象，對學生進行對稱美，簡潔美等審美教育，調動學生學習數學的積極性.
二.教材分析
對數函數是函數中一類重要的基本初等函數，它是在學生已經學過指數函數、對數與對數運算基礎上引入的.故是對上述知識的應用，也是對函數這一重要數學思想的進一步認識與理解.對數函數的概念，圖象與性質的學習使學生的知識體系更加完整，系統，同時又是對數和函數知識的拓展與延伸.它是解決有關自然科學領域中實際問題的重要工具，是學生今后學習對數方程，對數不等式的基礎.
教學重點：理解對數函數的定義，掌握對數函數的圖象性質.
教學難點：類比指數函數的圖象和性質得到對數函數的圖象和性質�！ �
三：教法建議
(1) 對數函數及其性質在引入前，就應讓學生回顧的指數函數及其性質得來的整個過程，讓學生通過對指數函數的認識逐步轉化為對對數函數的認識，從而了解知識的共性以及一般的認知規律。在畫對數函數圖象時，既要考慮到對底數的分類討論而且對每一類問題也可以多選幾個不同的底，畫在同一個坐標系內，便于觀察圖象的特征，找出共性，歸納性質.
(2) 在本節課中結合對數函數教學的特點，一定要讓學生動手做，動腦想，大膽猜，要以學生的研究為主，教師只是不斷地類比指數函數引導學生思考.這樣既增強了學生的參與意識又教給他們思考問題的方法，獲取知識的途徑，使學生學有所思，思有所得，練有所獲，，從而提高學習興趣.
四.教學方法
啟發研討式
五.學情分析
所教學生中考分數普遍偏低，基礎較薄弱，探究能力也較弱，但求知欲旺盛，課堂很活躍，需要授課時主次分明、邏輯清晰，提問明確，對于難點要放慢節奏，適時引導并保留一定的時間供學生消化、揣摩、反思、討論，對于個別學生還需點撥、輔導，鞏固練習要重基礎知識，講究一題多變，借以提高學生的應變能力。
六.教學過程
（一） 引入新課
師:從p63的例8我們知道經過的年數與人口的關系為人口=13×1.XX年數,若知道年數我們就可以利用指數函數的模型來求人口,如20年后人口=13×1.0120≈16億,但若知道人口為18億要你預測年數的時候又怎么求呢?
�。ㄒ蕴釂柕男问揭胄抡n，讓學生很快進入思考的狀態，努力尋求解決問題的方法，同時也讓學生意識到新舊知識的聯系，以及明確數學知識很大程度上是由問題引發和拓展的。）
生:可以用我們剛學過的對數的運算來求,即年數=
師:若給出任意的人口數能否求出對應的年數呢?
生:把 當作x,把年數當作y,則有y=log1.01x,利用這個關系式就可以知道任意的x均有唯一的y與之對應.
師:很好,這就是我們今天要學的對數函數.
類比指數函數總結定義：一般地,函數y=logax(a＞0,且a≠1)叫做對數函數。
在回顧研究指數函數的圖象和性質的基礎上，我們將一起來研究對數函數的圖象與性質.
二.對數函數的圖像與性質
1. 作圖方法
由于指數函數的圖象按 和 分成兩種不同的類型，故對數函數的圖象也應以1為分界線分成兩種情況 和 ，并分別以① 和 ， ② 和 為例畫兩組圖.
（讓學生通過自己動手畫同底的指數函數和對數函數，一方面可以幫助學生建立兩者的聯系和尋求差異的意識，另一方面也為了提高學生的作圖能力和探究能力。）
具體操作時，先畫出第①組的圖象，要求學生做到：
(1) 先列表再作圖，指數函數 的圖象要盡量準確(關鍵點的位置，圖象的變化趨勢等).如：
……
�。ǎā�2， ）
（—1， ）
�。�0，1）
（1，2）
（2，4）
�。�3，8）
……
……
（ ，—2）
（ ，—1）
（1，0）
�。�2，1）
�。�4，2）
（8，3）
……
從上表中，我們發現了什么現象，反映在圖象上又會發現什么？
(2) 畫出直線 ，觀察同一坐標中的圖象的位置有什么關系？
結論：同底的指數函數和對數函數，關于y=x對稱。
(3) 利用第(2)的結論猜想要畫第②組的圖象，除了描點法還有其它什么方法？
�。ù藭r分兩組，第一組的同學采用列表描點法作圖，第二組的同學采用對稱的方法作圖。）
學生在畫圖本上完成具體操作，教師在學生完成后將關鍵步驟在黑板上演示一遍，畫出
和 的圖像.(此時同底的指數函數和對數函數畫在同一坐標系內)如圖：
2. 草圖.
教師畫完圖后再利用投影儀將 和 的圖象畫在同一坐標系內，如圖：
然后提出讓學生根據圖象說出對數函數的性質(要求從幾何與代數兩個角度說明)
3. 性質
(1) 定義域：
(2) 值域：
由以上兩條可說明圖象位于 軸的右側.
(3) 截距：令 得 ，即在 軸上的截距為1，與 軸無交點即以 軸為漸近線.
(4) 奇偶性：既不是奇函數也不是偶函數，即它不關于原點對稱，也不關于 軸對稱.
(5) 單調性：與 有關.當 時，在 上是增函數.即圖象是上升的
當 時，在 上是減函數，即圖象是下降的.
之后可以追問學生有沒有最大值和最小值，當得到否定答案時，可以再問能否看待何時函數值為正?學生看著圖可以答出應有兩種情況：
當 時，有 ；當 時，有 .
最后教師在總結時，強調記住性質的關鍵在于要腦中有圖.且應將其性質與指數函數的性質對比記憶.(特別強調它們單調性的一致性)
對圖象和性質有了一定的了解后，一起來看看它們的應用.
三.簡單應用
1. 研究相關函數的性質
例7. 求下列函數的定義域：
(1) (2)
先由學生依次列出相應的不等式，其中特別要注意對數中真數和底數的條件限制.
2. 利用單調性比較大小
例8. 比較下列各組數的大小
�。�1） log23.4 , log28.5 ； (2) log0.33.4 , log0.38.5
(3) loga3.4 loga8.5 .
讓學生先說出各組數的特征即它們的底數相同，故可以構造對數函數利用單調性來比大小.最后讓學生以其中一組為例寫出詳細的比較過程.
擴展：比較 log0.30.4 , log20.5的大小
此時底數不一樣，該如何比較？
提示：如何比較0.30.4和20.5的大小
結論:當底數不同的時候,同樣可以插入中間量(1,0)或作圖描點比高低的方法來比較大小.
3.鞏固練習
若 ，求 的取值范圍.
四.小結
知識點：理解對數函數的定義，重點掌握其圖象和性質。
能力點：函數的作圖、觀察、分析能力和類比研究能力。
方法點：領會對稱方法；對比、類比方法；數形結合方法。
五.作業 略
六.探究活動
(1) 指數函數當底數均大于1時,底數越大的圖象越靠近y軸,那在對數函數中會發生什么變化?
(2) 指數函數當底數均小于1時,底數越大的圖象越遠離y軸,那在對數函數中會發生什么變化?
七.教學反思
本節課重點、難點把握很好，邏輯清楚，尤其是新舊知識的聯系處理到位，從學生熟悉的指數函數出發不斷地以舊帶新，一方面讓學生掌握知識的聯系和共性，一方面也幫助學生建立一個學生知識的框架和線條。在探索對數函數的圖象和性質的時候，讓學生自己動手列表描點，在列表的過程中發現所列的點的橫坐標和縱坐標恰好相反，在這個基礎上又生成新的問題，激發學生通過作圖來發現這樣的兩個點實質上是關于y=x對稱，從而也得出同底的對數函數和指數函數也是關于y=x對稱，在這個基礎上作出下一組圖的時候就可以利用這個結論快速作圖。最后仿照指數函數在同一坐標中畫出 和 ，再通過觀察圖象讓學生自己總結出對數函數的性質，做到不死記硬背，而是腦中有圖.且應將其性質與指數函數的性質對比記憶.不足的地方是給學生作圖的時間較少，沒有完全放開，對于學生基礎較好的可以適當加快上課的進程。
兩角差的余弦公式 篇3
兩角差的余弦公式
【使用說明】 1、復習教材P124-P127頁，40分鐘時間完成預習學案
2、有余力的學生可在完成探究案中的部分內容。
【學習目標】
知識與技能：理解兩角差的余弦公式的推導過程及其結構特征并能靈活運用。
過程與方法：應用已學知識和方法思考問題，分析問題，解決問題的能力。
情感態度價值觀： 通過公式推導引導學生發現數學規律，培養學生的創新意識和學習數學的興趣。
.【重點】通過探索得到兩角差的余弦公式以及公式的靈活運用
【難點】兩角差余弦公式的推導過程
預習自學案
一、知識鏈接
1. 寫出 的三角函數線 ：
2. 向量 , 的數量積,
�、俣x：
②坐標運算法則：
3. ， ，那么 是否等于 呢?
下面我們就探討兩角差的余弦公式
二、教材導讀
1.、兩角差的余弦公式的推導思路
如圖,建立單位圓O
(1)利用單位圓上的三角函數線
設
則
又OM=OB+BM
=OB+CP
=OA_____ +AP_____
=
從而得到兩角差的余弦公式：
____________________________________
(2)利用兩點間距離公式
如圖，角 的終邊與單位圓交于A( )
角 的終邊與單位圓交于B( )
角 的終邊與單位圓交于P( )
點T( )
AB與PT關系如何?
從而得到兩角差的余弦公式：
____________________________________
(3) 利用平面向量的知識
用 表示向量 ，
=( , ) =( , )
則 . =
設 與 的夾角為
�、佼� 時:
=
從而得出
②當 時顯然此時 已經不是向量 的夾角，在 范圍內，是向量夾角的補角.我們設夾角為 ，則 + =
此時 =
從而得出
2、兩角差的余弦公式
____________________________
三、預習檢測
1. 利用余弦公式計算 的值.
2. 怎樣求 的值
你的疑惑是什么?
________________________________________________________
______________________________________________________
探究案
例1. 利用差角余弦公式求 的值.
例2.已知 ， 是第三象限角，求 的值.
訓練案
一、 基礎訓練題
1、
2、 ¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬
3、
二、綜合題
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