對數函數（精選17篇）

對數函數 篇1

　　教學目標 

　　1.掌握的概念，圖象和性質，且在掌握性質的基礎上能進行初步的應用.

　　(1) 能在指數函數及反函數的概念的基礎上理解的定義，了解對底數的要求，及對定義域的要求，能利用互為反函數的兩個函數圖象間的關系正確描繪的圖象.

　　(2) 能把握指數函數與的實質去研究認識的性質，初步學會用的性質解決簡單的問題.

　　2.通過概念的學習，樹立相互聯系相互轉化的觀點，通過圖象和性質的學習，滲透數形結合，分類討論等思想，注重培養學生的觀察，分析，歸納等邏輯思維能力.

　　3.通過指數函數與在圖象與性質上的對比，對學生進行對稱美，簡潔美等審美教育，調動學生學習數學的積極性.

　　教學建議

　　教材分析

　　(1) 又是函數中一類重要的基本初等函數，它是在學生已經學過對數與常用對數，反函數以及指數函數的基礎上引入的.故是對上述知識的應用，也是對函數這一重要數學思想的進一步認識與理解.的概念，圖象與性質的學習使學生的知識體系更加完整，系統，同時又是對數和函數知識的拓展與延伸.它是解決有關自然科學領域中實際問題的重要工具，是學生今后學習對數方程，對數不等式的基礎.

　　(2) 本節的教學重點是理解的定義，掌握的圖象性質.難點是利用指數函數的圖象和性質得到的圖象和性質.由于的概念是一個抽象的形式，學生不易理解，而且又是建立在指數與對數關系和反函數概念的基礎上，故應成為教學的重點.

　　(3) 本節課的主線是是指數函數的反函數，所有的問題都應圍繞著這條主線展開.而通過互為反函數的兩個函數的關系由已知函數研究未知函數的性質，這種方法是第一次使用，學生不適應，把握不住關鍵，所以應是本節課的難點.

　　教法建議

　　(1) 在引入時，就應從學生熟悉的指數問題出發，通過對指數函數的認識逐步轉化為對的認識，而且畫圖象時，既要考慮到對底數 的分類討論而且對每一類問題也可以多選幾個不同的底，畫在同一個坐標系內，便于觀察圖象的特征，找出共性，歸納性質.

　　(2) 在本節課中結合教學的特點，一定要讓學生動手做，動腦想，大膽猜，要以學生的研究為主，教師只是不斷地反函數這條主線引導學生思考的方向.這樣既增強了學生的參與意識又教給他們思考問題的方法，獲取知識的途徑，使學生學有所思，思有所得，練有所獲，，從而提高學習興趣.

　　教學設計示例

　　教學目標 

　　1. 在指數函數及反函數概念的基礎上，使學生掌握的概念，能正確描繪的圖像，掌握的性質，并初步應用性質解決簡單問題.

　　2. 通過的學習，樹立相互聯系，相互轉化的觀點，滲透數形結合，分類討論的思想.

　　3. 通過有關性質的研究，培養學生觀察，分析，歸納的思維能力，調動學生學習的積極性.

　　教學重點，難點

　　重點是理解的定義，掌握圖像和性質.

　　難點是由與指數函數互為反函數的關系，利用指數函數圖像和性質得到的圖像和性質.

　　教學方法

　　啟發研討式

　　教學用具

　　投影儀

　　教學過程 

　　一. 引入新課

　　今天我們一起再來研究一種常見函數.前面的幾種函數都是以形式定義的方式給出的，今天我們將從反函數的角度介紹新的函數.

　　反函數的實質是研究兩個函數的關系，所以自然我們應從大家熟悉的函數出發，再研究其反函數.這個熟悉的函數就是指數函數.

　　提問：什么是指數函數?指數函數存在反函數嗎?

　　由學生說出 是指數函數，它是存在反函數的.并由一個學生口答求反函數的過程：

　　由 得 .又 的值域為 ，

　　所求反函數為 .

　　那么我們今天就是研究指數函數的反函數-----.

　　2.8 (板書)

　　一. 的概念

　　1. 定義：函數 的反函數 叫做.

　　由于定義就是從反函數角度給出的，所以下面我們的研究就從這個角度出發.如從定義中你能了解的什么性質嗎?最初步的認識是什么?

　　教師可提示學生從反函數的三定與三反去認識，從而找出的定義域為 ，的值域為 ，且底數 就是指數函數中的 ，故有著相同的限制條件 .

　　在此基礎上，我們將一起來研究的圖像與性質.

　　二.的圖像與性質 (板書)

　　1. 作圖方法

　　提問學生打算用什么方法來畫函數圖像?學生應能想到利用互為反函數的兩個函數圖像之間的關系，利用圖像變換法畫圖.同時教師也應指出用列表描點法也是可以的，讓學生從中選出一種，最終確定用圖像變換法畫圖.

　　由于指數函數的圖像按 和 分成兩種不同的類型，故的圖像也應以1為分界線分成兩種情況 和 ，并分別以 和 為例畫圖.

　　具體操作時，要求學生做到：

　　(1) 指數函數 和 的圖像要盡量準確(關鍵點的位置，圖像的變化趨勢等).

　　(2) 畫出直線 .

　　(3) 的圖像在翻折時先將特殊點 對稱點 找到，變化趨勢由靠近 軸對稱為逐漸靠近 軸，而 的圖像在翻折時可提示學生分兩段翻折，在 左側的先翻，然后再翻在 右側的部分.

　　學生在筆記本完成具體操作，教師在學生完成后將關鍵步驟在黑板上演示一遍，畫出

　　和 的圖像.(此時同底的指數函數和畫在同一坐標系內)如圖：

　　2. 草圖.

　　教師畫完圖后再利用投影儀將 和 的圖像畫在同一坐標系內，如圖：

　　然后提出讓學生根據圖像說出的性質(要求從幾何與代數兩個角度說明)

　　3. 性質

　　(1) 定義域：

　　(2) 值域：

　　由以上兩條可說明圖像位于 軸的右側.

　　(3) 截距：令 得 ，即在 軸上的截距為1，與 軸無交點即以 軸為漸近線.

　　(4) 奇偶性：既不是奇函數也不是偶函數，即它不關于原點對稱，也不關于 軸對稱.

　　(5) 單調性：與 有關.當 時，在 上是增函數.即圖像是上升的

　　當 時，在 上是減函數，即圖像是下降的.

　　之后可以追問學生有沒有最大值和最小值，當得到否定答案時，可以再問能否看待何時函數值為正?學生看著圖可以答出應有兩種情況：

　　當 時，有 ；當 時，有 .

　　學生回答后教師可指導學生巧記這個結論的方法：當底數與真數在1的同側時函數值為正，當底數與真數在1的兩側時，函數值為負，并把它當作第(6)條性質板書記下來.

　　最后教師在總結時，強調記住性質的關鍵在于要腦中有圖.且應將其性質與指數函數的性質對比記憶.(特別強調它們單調性的一致性)

　　對圖像和性質有了一定的了解后，一起來看看它們的應用.

　　三.簡單應用  (板書)

　　1. 研究相關函數的性質

　　例1.  求下列函數的定義域：

　　(1)      (2)    (3)

　　先由學生依次列出相應的不等式，其中特別要注意對數中真數和底數的條件限制.

　　2. 利用單調性比較大小 (板書)

　　例2.  比較下列各組數的大小

　　(1) 與 ；      (2) 與 ；  

　　(3) 與 ；           (4) 與 .

　　讓學生先說出各組數的特征即它們的底數相同，故可以構造利用單調性來比大小.最后讓學生以其中一組為例寫出詳細的比較過程.

　　三.鞏固練習

　　練習：若 ，求 的取值范圍.

　　四.小結

　　五.作業  略

　　板書設計 

　　2.8

　　一. 概念                                              

　　1.  定義  2.認識

　　二.圖像與性質                                  

　　1.作圖方法

　　2.草圖 

　　圖1    圖2  

　　3.性質                        

　　(1)    定義域(2)值域(3)截距(4)奇偶性(5)單調性

　　三.應用

　　1.相關函數的研究

　　例1    例2

　　練習

　　探究活動

　　(1) 已知 是函數 的反函數，且 都有意義.

　　① 求 ；

　　② 試比較 與4 的大小，并說明理由.

　　(2) 設常數 則當 滿足什么關系時， 的解集為

　　答案：

　　(1) ① ；

　　②當 時， <4 ；當 時， 4

　　(2) .

對數函數 篇2

　　教學目標 

　　1.掌握的概念，圖象和性質，且在掌握性質的基礎上能進行初步的應用.

　　(1) 能在指數函數及反函數的概念的基礎上理解的定義，了解對底數的要求，及對定義域的要求，能利用互為反函數的兩個函數圖象間的關系正確描繪的圖象.

　　(2) 能把握指數函數與的實質去研究認識的性質，初步學會用的性質解決簡單的問題.

　　2.通過概念的學習，樹立相互聯系相互轉化的觀點，通過圖象和性質的學習，滲透數形結合，分類討論等思想，注重培養學生的觀察，分析，歸納等邏輯思維能力.

　　3.通過指數函數與在圖象與性質上的對比，對學生進行對稱美，簡潔美等審美教育，調動學生學習數學的積極性.

　　教學建議

　　教材分析

　　(1) 又是函數中一類重要的基本初等函數，它是在學生已經學過對數與常用對數，反函數以及指數函數的基礎上引入的.故是對上述知識的應用，也是對函數這一重要數學思想的進一步認識與理解.的概念，圖象與性質的學習使學生的知識體系更加完整，系統，同時又是對數和函數知識的拓展與延伸.它是解決有關自然科學領域中實際問題的重要工具，是學生今后學習對數方程，對數不等式的基礎.

　　(2) 本節的教學重點是理解的定義，掌握的圖象性質.難點是利用指數函數的圖象和性質得到的圖象和性質.由于的概念是一個抽象的形式，學生不易理解，而且又是建立在指數與對數關系和反函數概念的基礎上，故應成為教學的重點.

　　(3) 本節課的主線是是指數函數的反函數，所有的問題都應圍繞著這條主線展開.而通過互為反函數的兩個函數的關系由已知函數研究未知函數的性質，這種方法是第一次使用，學生不適應，把握不住關鍵，所以應是本節課的難點.

　　教法建議

　　(1) 在引入時，就應從學生熟悉的指數問題出發，通過對指數函數的認識逐步轉化為對的認識，而且畫圖象時，既要考慮到對底數 的分類討論而且對每一類問題也可以多選幾個不同的底，畫在同一個坐標系內，便于觀察圖象的特征，找出共性，歸納性質.

　　(2) 在本節課中結合教學的特點，一定要讓學生動手做，動腦想，大膽猜，要以學生的研究為主，教師只是不斷地反函數這條主線引導學生思考的方向.這樣既增強了學生的參與意識又教給他們思考問題的方法，獲取知識的途徑，使學生學有所思，思有所得，練有所獲，，從而提高學習興趣.

　　教學設計示例

　　教學目標 

　　1. 在指數函數及反函數概念的基礎上，使學生掌握的概念，能正確描繪的圖像，掌握的性質，并初步應用性質解決簡單問題.

　　2. 通過的學習，樹立相互聯系，相互轉化的觀點，滲透數形結合，分類討論的思想.

　　3. 通過有關性質的研究，培養學生觀察，分析，歸納的思維能力，調動學生學習的積極性.

　　教學重點，難點

　　重點是理解的定義，掌握圖像和性質.

　　難點是由與指數函數互為反函數的關系，利用指數函數圖像和性質得到的圖像和性質.

　　教學方法

　　啟發研討式

　　教學用具

　　投影儀

　　教學過程 

　　一. 引入新課

　　今天我們一起再來研究一種常見函數.前面的幾種函數都是以形式定義的方式給出的，今天我們將從反函數的角度介紹新的函數.

　　反函數的實質是研究兩個函數的關系，所以自然我們應從大家熟悉的函數出發，再研究其反函數.這個熟悉的函數就是指數函數.

　　提問：什么是指數函數?指數函數存在反函數嗎?

　　由學生說出 是指數函數，它是存在反函數的.并由一個學生口答求反函數的過程：

　　由 得 .又 的值域為 ，

　　所求反函數為 .

　　那么我們今天就是研究指數函數的反函數-----.

　　2.8 (板書)

　　一. 的概念

　　1. 定義：函數 的反函數 叫做.

　　由于定義就是從反函數角度給出的，所以下面我們的研究就從這個角度出發.如從定義中你能了解的什么性質嗎?最初步的認識是什么?

　　教師可提示學生從反函數的三定與三反去認識，從而找出的定義域為 ，的值域為 ，且底數 就是指數函數中的 ，故有著相同的限制條件 .

　　在此基礎上，我們將一起來研究的圖像與性質.

　　二.的圖像與性質 (板書)

　　1. 作圖方法

　　提問學生打算用什么方法來畫函數圖像?學生應能想到利用互為反函數的兩個函數圖像之間的關系，利用圖像變換法畫圖.同時教師也應指出用列表描點法也是可以的，讓學生從中選出一種，最終確定用圖像變換法畫圖.

　　由于指數函數的圖像按 和 分成兩種不同的類型，故的圖像也應以1為分界線分成兩種情況 和 ，并分別以 和 為例畫圖.

　　具體操作時，要求學生做到：

　　(1) 指數函數 和 的圖像要盡量準確(關鍵點的位置，圖像的變化趨勢等).

　　(2) 畫出直線 .

　　(3) 的圖像在翻折時先將特殊點 對稱點 找到，變化趨勢由靠近 軸對稱為逐漸靠近 軸，而 的圖像在翻折時可提示學生分兩段翻折，在 左側的先翻，然后再翻在 右側的部分.

　　學生在筆記本完成具體操作，教師在學生完成后將關鍵步驟在黑板上演示一遍，畫出

　　和 的圖像.(此時同底的指數函數和畫在同一坐標系內)如圖：

　　2. 草圖.

　　教師畫完圖后再利用投影儀將 和 的圖像畫在同一坐標系內，如圖：

　　然后提出讓學生根據圖像說出的性質(要求從幾何與代數兩個角度說明)

　　3. 性質

　　(1) 定義域：

　　(2) 值域：

　　由以上兩條可說明圖像位于 軸的右側.

　　(3) 截距：令 得 ，即在 軸上的截距為1，與 軸無交點即以 軸為漸近線.

　　(4) 奇偶性：既不是奇函數也不是偶函數，即它不關于原點對稱，也不關于 軸對稱.

　　(5) 單調性：與 有關.當 時，在 上是增函數.即圖像是上升的

　　當 時，在 上是減函數，即圖像是下降的.

　　之后可以追問學生有沒有最大值和最小值，當得到否定答案時，可以再問能否看待何時函數值為正?學生看著圖可以答出應有兩種情況：

　　當 時，有 ；當 時，有 .

　　學生回答后教師可指導學生巧記這個結論的方法：當底數與真數在1的同側時函數值為正，當底數與真數在1的兩側時，函數值為負，并把它當作第(6)條性質板書記下來.

　　最后教師在總結時，強調記住性質的關鍵在于要腦中有圖.且應將其性質與指數函數的性質對比記憶.(特別強調它們單調性的一致性)

　　對圖像和性質有了一定的了解后，一起來看看它們的應用.

　　三.簡單應用  (板書)

　　1. 研究相關函數的性質

　　例1.  求下列函數的定義域：

　　(1)      (2)    (3)

　　先由學生依次列出相應的不等式，其中特別要注意對數中真數和底數的條件限制.

　　2. 利用單調性比較大小 (板書)

　　例2.  比較下列各組數的大小

　　(1) 與 ；      (2) 與 ；  

　　(3) 與 ；           (4) 與 .

　　讓學生先說出各組數的特征即它們的底數相同，故可以構造利用單調性來比大小.最后讓學生以其中一組為例寫出詳細的比較過程.

　　三.鞏固練習

　　練習：若 ，求 的取值范圍.

　　四.小結

　　五.作業  略

　　板書設計 

　　2.8

　　一. 概念                                              

　　1.  定義  2.認識

　　二.圖像與性質                                  

　　1.作圖方法

　　2.草圖 

　　圖1    圖2  

　　3.性質                        

　　(1)    定義域(2)值域(3)截距(4)奇偶性(5)單調性

　　三.應用

　　1.相關函數的研究

　　例1    例2

　　練習

　　探究活動

　　(1) 已知 是函數 的反函數，且 都有意義.

　　① 求 ；

　　② 試比較 與4 的大小，并說明理由.

　　(2) 設常數 則當 滿足什么關系時， 的解集為

　　答案：

　　(1) ① ；

　　②當 時， <4 ；當 時， 4

　　(2) .

對數函數 篇3

　　課題：§2.2.2對數函數（三）教學目標：       知識與技能  理解指數函數與對數函數的依賴關系，了解反函數的概念，加深對函數的模型化思想的理解.       過程與方法  通過作圖，體會兩種函數的單調性的異同.       情感、態度、價值觀  對體會指數函數與對數函數內在的對稱統一.教學重點：重點  難兩種函數的內在聯系，反函數的概念.難點  反函數的概念.教學程序與環節設計：         創設情境組織探究嘗試練習鞏固反思作業回饋課外活動由函數的觀點分析例題，引出反函數的概念.兩種函數的內在聯系，圖象關系.簡單的反函數問題，單調性問題.從宏觀性、關聯性角度試著給指數函數、對數函數的定義、圖象、性質作一小結.簡單的反函數問題，單調性問題. 互為反函數的函數圖象的關系.

　　教學過程與操作設計：

　　環節

　　呈現教學材料

　　師生互動設計

　　創

　　設

　　情

　　境材料一：當生物死亡后，它機體內原有的碳14會按確定的規律衰減，大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.根據些規律，人們獲得了生物體碳14含量p與生物死亡年數t之間的關系.回答下列問題：（1）求生物死亡t年后它機體內的碳14的含量p，并用函數的觀點來解釋p和t之間的關系，指出是我們所學過的何種函數？（2）已知一生物體內碳14的殘留量為p，試求該生物死亡的年數t，并用函數的觀點來解釋p和t之間的關系，指出是我們所學過的何種函數？（3）這兩個函數有什么特殊的關系？（4）用映射的觀點來解釋p和t之間的對應關系是何種對應關系？（5）由此你能獲得怎樣的啟示？生：獨立思考完成，討論展示并分析自己的結果.師：引導學生分析歸納，總結概括得出結論：（1）p和t之間的對應關系是一一對應；（2）p關于t是指數函數 ；t關于p是對數函數 ，它們的底數相同，所描述的都是碳14的衰變過程中，碳14含量p與死亡年數t之間的對應關系；（3）本問題中的同底數的指數函數和對數函數，是描述同一種關系（碳14含量p與死亡年數t之間的對應關系）的不同數學模型.材料二：由對數函數的定義可知，對數函數 是把指數函數 中的自變量與因變量對調位置而得出的，在列表畫 的圖象時，也是把指數函數 的對應值表里的 和 的數值對換，而得到對數函數 的對應值表，如下：表一  .

　　環節

　　呈現教學材料

　　師生互動設計

　　…

　　-3

　　-2

　　-1

　　0

　　1

　　2

　　3

　　…

　　…

　　1

　　2

　　4

　　8

　　…表二  .

　　…

　　-3

　　-2

　　-1

　　0

　　1

　　2

　　3

　　…

　　…

　　1

　　2

　　4

　　8

　　…在同一坐標系中，用描點法畫出圖象.生：仿照材料一分析： 與 的關系.師：引導學生分析，講評得出結論，進而引出反函數的概念.

　　組織探究材料一：反函數的概念：當一個函數是一一映射時，可以把這個函數的因變量作為一個新的函數的自變量，而把這個函數的自變量作為新的函數的因變量，我們稱這兩個函數互為反函數.由反函數的概念可知，同底數的指數函數和對數函數互為反函數.材料二：以 與 為例研究互為反函數的兩個函數的圖象和性質有什么特殊的聯系？師：說明：（1）互為反函數的兩個函數是定義域、值域相互交換，對應法則互逆的兩個函數；（2）由反函數的概念可知“單調函數一定有反函數”；（3）互為反函數的兩個函數是描述同一變化過程中兩個變量關系的不同數學模型.師：引導學生探索研究材料二.生：分組討論材料二，選出代表闡述各自的結論，師生共同評析歸納.

　　嘗試練習求下列函數的反函數：（1） ；         （2） 生：獨立完成.

　　鞏固反思從宏觀性、關聯性角度試著給指數函數、對數函數的定義、圖象、性質作一小結.

　　作業反饋1.  求下列函數的反函數：12343579

　　環節

　　呈現教學材料

　　師生互動設計

　　1

　　2

　　3

　　4

　　3

　　5

　　7

　　92.（1）試著舉幾個滿足“對定義域內任意實數a、b，都有f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) .”的函數實例，你能說出這些函數具有哪些共同性質嗎？（2）試著舉幾個滿足“對定義域內任意實數a、b，都有f (a + b) = f ( a )·f ( b ) .”的函數實例，你能說出這些函數具有哪些共同性質嗎？答案：1.互換 、 的數值.2.略.

　　課外活動我們知道，指數函數 ，且 與對數函數 ，且 互為反函數，那么，它們的圖象有什么關系呢？運用所學的數學知識，探索下面幾個問題，親自發現其中的奧秘吧！問題1  在同一平面直角坐標系中，畫出指數函數 及其反函數 的圖象，你能發現這兩個函數的圖象有什么特殊的對稱性嗎？問題2  取 圖象上的幾個點，說出它們關于直線 的對稱點的坐標，并判斷它們是否在 的圖象上，為什么？問題3  如果p0（x0，y0）在函數 的圖象上，那么p0關于直線 的對稱點在函數 的圖象上嗎，為什么？問題4  由上述探究過程可以得到什么結論？問題5  上述結論對于指數函數 ，且 及其反函數 ，且 也成立嗎？為什么？結論：    互為反函數的兩個函數的圖象關于直線 對稱.

對數函數 篇4

　　教學目標 

　　1.掌握的概念，圖象和性質，且在掌握性質的基礎上能進行初步的應用.

　　(1) 能在指數函數及反函數的概念的基礎上理解的定義，了解對底數的要求，及對定義域的要求，能利用互為反函數的兩個函數圖象間的關系正確描繪的圖象.

　　(2) 能把握指數函數與的實質去研究認識的性質，初步學會用的性質解決簡單的問題.

　　2.通過概念的學習，樹立相互聯系相互轉化的觀點，通過圖象和性質的學習，滲透數形結合，分類討論等思想，注重培養學生的觀察，分析，歸納等邏輯思維能力.

　　3.通過指數函數與在圖象與性質上的對比，對學生進行對稱美，簡潔美等審美教育，調動學生學習數學的積極性.

　　教學建議

　　教材分析

　　(1) 又是函數中一類重要的基本初等函數，它是在學生已經學過對數與常用對數，反函數以及指數函數的基礎上引入的.故是對上述知識的應用，也是對函數這一重要數學思想的進一步認識與理解.的概念，圖象與性質的學習使學生的知識體系更加完整，系統，同時又是對數和函數知識的拓展與延伸.它是解決有關自然科學領域中實際問題的重要工具，是學生今后學習對數方程，對數不等式的基礎.

　　(2) 本節的教學重點是理解的定義，掌握的圖象性質.難點是利用指數函數的圖象和性質得到的圖象和性質.由于的概念是一個抽象的形式，學生不易理解，而且又是建立在指數與對數關系和反函數概念的基礎上，故應成為教學的重點.

　　(3) 本節課的主線是是指數函數的反函數，所有的問題都應圍繞著這條主線展開.而通過互為反函數的兩個函數的關系由已知函數研究未知函數的性質，這種方法是第一次使用，學生不適應，把握不住關鍵，所以應是本節課的難點.

　　教法建議

　　(1) 在引入時，就應從學生熟悉的指數問題出發，通過對指數函數的認識逐步轉化為對的認識，而且畫圖象時，既要考慮到對底數 的分類討論而且對每一類問題也可以多選幾個不同的底，畫在同一個坐標系內，便于觀察圖象的特征，找出共性，歸納性質.

　　(2) 在本節課中結合教學的特點，一定要讓學生動手做，動腦想，大膽猜，要以學生的研究為主，教師只是不斷地反函數這條主線引導學生思考的方向.這樣既增強了學生的參與意識又教給他們思考問題的方法，獲取知識的途徑，使學生學有所思，思有所得，練有所獲，，從而提高學習興趣.

　　教學設計示例

　　教學目標 

　　1. 在指數函數及反函數概念的基礎上，使學生掌握的概念，能正確描繪的圖像，掌握的性質，并初步應用性質解決簡單問題.

　　2. 通過的學習，樹立相互聯系，相互轉化的觀點，滲透數形結合，分類討論的思想.

　　3. 通過有關性質的研究，培養學生觀察，分析，歸納的思維能力，調動學生學習的積極性.

　　教學重點，難點

　　重點是理解的定義，掌握圖像和性質.

　　難點是由與指數函數互為反函數的關系，利用指數函數圖像和性質得到的圖像和性質.

　　教學方法

　　啟發研討式

　　教學用具

　　投影儀

　　教學過程 

　　一. 引入新課

　　今天我們一起再來研究一種常見函數.前面的幾種函數都是以形式定義的方式給出的，今天我們將從反函數的角度介紹新的函數.

　　反函數的實質是研究兩個函數的關系，所以自然我們應從大家熟悉的函數出發，再研究其反函數.這個熟悉的函數就是指數函數.

　　提問：什么是指數函數?指數函數存在反函數嗎?

　　由學生說出 是指數函數，它是存在反函數的.并由一個學生口答求反函數的過程：

　　由 得 .又 的值域為 ，

　　所求反函數為 .

　　那么我們今天就是研究指數函數的反函數-----.

　　2.8 (板書)

　　一. 的概念

　　1. 定義：函數 的反函數 叫做.

　　由于定義就是從反函數角度給出的，所以下面我們的研究就從這個角度出發.如從定義中你能了解的什么性質嗎?最初步的認識是什么?

　　教師可提示學生從反函數的三定與三反去認識，從而找出的定義域為 ，的值域為 ，且底數 就是指數函數中的 ，故有著相同的限制條件 .

　　在此基礎上，我們將一起來研究的圖像與性質.

　　二.的圖像與性質 (板書)

　　1. 作圖方法

　　提問學生打算用什么方法來畫函數圖像?學生應能想到利用互為反函數的兩個函數圖像之間的關系，利用圖像變換法畫圖.同時教師也應指出用列表描點法也是可以的，讓學生從中選出一種，最終確定用圖像變換法畫圖.

　　由于指數函數的圖像按 和 分成兩種不同的類型，故的圖像也應以1為分界線分成兩種情況 和 ，并分別以 和 為例畫圖.

　　具體操作時，要求學生做到：

　　(1) 指數函數 和 的圖像要盡量準確(關鍵點的位置，圖像的變化趨勢等).

　　(2) 畫出直線 .

　　(3) 的圖像在翻折時先將特殊點 對稱點 找到，變化趨勢由靠近 軸對稱為逐漸靠近 軸，而 的圖像在翻折時可提示學生分兩段翻折，在 左側的先翻，然后再翻在 右側的部分.

　　學生在筆記本完成具體操作，教師在學生完成后將關鍵步驟在黑板上演示一遍，畫出

　　和 的圖像.(此時同底的指數函數和畫在同一坐標系內)如圖：

　　2. 草圖.

　　教師畫完圖后再利用投影儀將 和 的圖像畫在同一坐標系內，如圖：

　　然后提出讓學生根據圖像說出的性質(要求從幾何與代數兩個角度說明)

　　3. 性質

　　(1) 定義域：

　　(2) 值域：

　　由以上兩條可說明圖像位于 軸的右側.

　　(3) 截距：令 得 ，即在 軸上的截距為1，與 軸無交點即以 軸為漸近線.

　　(4) 奇偶性：既不是奇函數也不是偶函數，即它不關于原點對稱，也不關于 軸對稱.

　　(5) 單調性：與 有關.當 時，在 上是增函數.即圖像是上升的

　　當 時，在 上是減函數，即圖像是下降的.

　　之后可以追問學生有沒有最大值和最小值，當得到否定答案時，可以再問能否看待何時函數值為正?學生看著圖可以答出應有兩種情況：

　　當 時，有 ；當 時，有 .

　　學生回答后教師可指導學生巧記這個結論的方法：當底數與真數在1的同側時函數值為正，當底數與真數在1的兩側時，函數值為負，并把它當作第(6)條性質板書記下來.

　　最后教師在總結時，強調記住性質的關鍵在于要腦中有圖.且應將其性質與指數函數的性質對比記憶.(特別強調它們單調性的一致性)

　　對圖像和性質有了一定的了解后，一起來看看它們的應用.

　　三.簡單應用  (板書)

　　1. 研究相關函數的性質

　　例1.  求下列函數的定義域：

　　(1)      (2)    (3)

　　先由學生依次列出相應的不等式，其中特別要注意對數中真數和底數的條件限制.

　　2. 利用單調性比較大小 (板書)

　　例2.  比較下列各組數的大小

　　(1) 與 ；      (2) 與 ；  

　　(3) 與 ；           (4) 與 .

　　讓學生先說出各組數的特征即它們的底數相同，故可以構造利用單調性來比大小.最后讓學生以其中一組為例寫出詳細的比較過程.

　　三.鞏固練習

　　練習：若 ，求 的取值范圍.

　　四.小結

　　五.作業  略

　　板書設計 

　　2.8

　　一. 概念                                              

　　1.  定義  2.認識

　　二.圖像與性質                                  

　　1.作圖方法

　　2.草圖 

　　圖1    圖2  

　　3.性質                        

　　(1)    定義域(2)值域(3)截距(4)奇偶性(5)單調性

　　三.應用

　　1.相關函數的研究

　　例1    例2

　　練習

　　探究活動

　　(1) 已知 是函數 的反函數，且 都有意義.

　　① 求 ；

　　② 試比較 與4 的大小，并說明理由.

　　(2) 設常數 則當 滿足什么關系時， 的解集為

　　答案：

　　(1) ① ；

　　②當 時， <4 ；當 時， 4

　　(2) .

對數函數 篇5

　　教學目標

　　1.把握對數函數的概念,圖象和性質,且在把握性質的基礎上能進行初步的應用.

　　(1) 能在指數函數及反函數的概念的基礎上理解對數函數的定義,了解對底數的要求,及對定義域的要求,能利用互為反函數的兩個函數圖象間的關系正確描繪對數函數的圖象.

　　(2) 能把握指數函數與對數函數的實質去研究熟悉對數函數的性質,初步學會用對數函數的性質解決簡單的問題.

　　2.通過對數函數概念的學習,樹立相互聯系相互轉化的觀點,通過對數函數圖象和性質的學習,滲透數形結合,分類討論等思想,注重培養學生的觀察,分析,歸納等邏輯思維能力.

　　3.通過指數函數與對數函數在圖象與性質上的對比,對學生進行對稱美,簡潔美等審美教育,調動學生學習數學的積極性.

　　教學建議

　　教材分析

　　(1) 對數函數又是函數中一類重要的基本初等函數,它是在學生已經學過對數與常用對數,反函數以及指數函數的基礎上引入的.故是對上述知識的應用,也是對函數這一重要數學思想的進一步熟悉與理解.對數函數的概念,圖象與性質的學習使學生的知識體系更加完整,系統,同時又是對數和函數知識的拓展與延伸.它是解決有關自然科學領域中實際問題的重要工具,是學生今后學習對數方程,對數不等式的基礎.

　　(2) 本節的教學重點是理解對數函數的定義,把握對數函數的圖象性質.難點是利用指數函數的圖象和性質得到對數函數的圖象和性質.由于對數函數的概念是一個抽象的形式,學生不易理解,而且又是建立在指數與對數關系和反函數概念的基礎上,故應成為教學的重點.

　　(3) 本節課的主線是對數函數是指數函數的反函數,所有的問題都應圍繞著這條主線展開.而通過互為反函數的兩個函數的關系由已知函數研究未知函數的性質,這種方法是第一次使用,學生不適應,把握不住關鍵,所以應是本節課的難點.

　　教法建議

　　(1) 對數函數在引入時,就應從學生熟悉的指數問題出發,通過對指數函數的熟悉逐步轉化為對對數函數的熟悉,而且畫對數函數圖象時,既要考慮到對底數 的分類討論而且對每一類問題也可以多選幾個不同的底,畫在同一個坐標系內,便于觀察圖象的特征,找出共性,歸納性質.

　　(2) 在本節課中結合對數函數教學的特點,一定要讓學生動手做,動腦想,大膽猜,要以學生的研究為主,教師只是不斷地反函數這條主線引導學生思考的方向.這樣既增強了學生的參與意識又教給他們思考問題的方法,獲取知識的途徑,使學生學有所思,思有所得,練有所獲,,從而提高學習愛好.

　　教學設計示例

　　對數函數

　　教學目標

　　1. 在指數函數及反函數概念的基礎上,使學生把握對數函數的概念,能正確描繪對數函數的圖像,把握對數函數的性質,并初步應用性質解決簡單問題.

　　2. 通過對數函數的學習,樹立相互聯系,相互轉化的觀點,滲透數形結合,分類討論的思想.

　　3. 通過對數函數有關性質的研究,培養學生觀察,分析,歸納的思維能力,調動學生學習的積極性.

　　教學重點,難點

　　重點是理解對數函數的定義,把握圖像和性質.

　　難點是由對數函數與指數函數互為反函數的關系,利用指數函數圖像和性質得到對數函數的圖像和性質.

　　教學方法

　　啟發研討式

　　教學用具

　　投影儀

　　教學過程

　　一. 引入新課

　　今天我們一起再來研究一種常見函數.前面的幾種函數都是以形式定義的方式給出的,今天我們將從反函數的角度介紹新的函數.

　　反函數的實質是研究兩個函數的關系,所以自然我們應從大家熟悉的函數出發,再研究其反函數.這個熟悉的函數就是指數函數.

　　提問:什么是指數函數?指數函數存在反函數嗎?

　　由學生說出 是指數函數,它是存在反函數的.并由一個學生口答求反函數的過程:

　　由 得 .又 的值域為 ,

　　所求反函數為 .

　　那么我們今天就是研究指數函數的反函數對數函數.

　　2.8對數函數 (板書)

　　一. 對數函數的概念

　　1. 定義:函數 的反函數 叫做對數函數.

　　由于定義就是從反函數角度給出的,所以下面我們的研究就從這個角度出發.如從定義中你能了解對數函數的什么性質嗎?最初步的熟悉是什么?

　　教師可提示學生從反函數的三定與三反去熟悉,從而找出對數函數的定義域為 ,對數函數的值域為 ,且底數 就是指數函數中的 ,故有著相同的限制條件 .

　　在此基礎上,我們將一起來研究對數函數的圖像與性質.

　　二.對數函數的圖像與性質 (板書)

　　1. 作圖方法

　　提問學生打算用什么方法來畫函數圖像?學生應能想到利用互為反函數的兩個函數圖像之間的關系,利用圖像變換法畫圖.同時教師也應指出用列表描點法也是可以的,讓學生從中選出一種,最終確定用圖像變換法畫圖.

　　由于指數函數的圖像按 和 分成兩種不同的類型,故對數函數的圖像也應以1為分界線分成兩種情況 和 ,并分別以 和 為例畫圖.

　　具體操作時,要求學生做到:

　　(1) 指數函數 和 的圖像要盡量準確(關鍵點的位置,圖像的變化趨勢等).

　　(2) 畫出直線 .

　　(3) 的圖像在翻折時先將非凡點 對稱點 找到,變化趨勢由靠近 軸對稱為逐漸靠近 軸,而 的圖像在翻折時可提示學生分兩段翻折,在 左側的先翻,然后再翻在 右側的部分.

　　學生在筆記本完成具體操作,教師在學生完成后將關鍵步驟在黑板上演示一遍,畫出

　　和 的圖像.(此時同底的指數函數和對數函數畫在同一坐標系內)如圖:

　　2. 草圖.

　　教師畫完圖后再利用投影儀將 和 的圖像畫在同一坐標系內,如圖:

　　然后提出讓學生根據圖像說出對數函數的性質(要求從幾何與代數兩個角度說明)

　　3. 性質

　　(1) 定義域:

　　(2) 值域:

　　由以上兩條可說明圖像位于 軸的右側.

　　(3) 截距:令 得 ,即在 軸上的截距為1,與 軸無交點即以 軸為漸近線.

　　(4) 奇偶性:既不是奇函數也不是偶函數,即它不關于原點對稱,也不關于 軸對稱.

　　(5) 單調性:與 有關.當 時,在 上是增函數.即圖像是上升的

　　當 時,在 上是減函數,即圖像是下降的.

　　之后可以追問學生有沒有最大值和最小值,當得到否定答案時,可以再問能否看待何時函數值為正?學生看著圖可以答出應有兩種情況:

　　當 時,有 ;當 時,有 .

　　學生回答后教師可指導學生巧記這個結論的方法:當底數與真數在1的同側時函數值為正,當底數與真數在1的兩側時,函數值為負,并把它當作第(6)條性質板書記下來.

　　最后教師在總結時,強調記住性質的關鍵在于要腦中有圖.且應將其性質與指數函數的性質對比記憶.(非凡強調它們單調性的一致性)

　　對圖像和性質有了一定的了解后,一起來看看它們的應用.

　　三.簡單應用 (板書)

　　1. 研究相關函數的性質

　　例1. 求下列函數的定義域:

　　(1) (2) (3)

　　先由學生依次列出相應的不等式,其中非凡要注重對數中真數和底數的條件限制.

　　2. 利用單調性比較大小 (板書)

　　例2. 比較下列各組數的大小

　　(1) 與 ; (2) 與 ;

　　(3) 與 ; (4) 與 .

　　讓學生先說出各組數的特征即它們的底數相同,故可以構造對數函數利用單調性來比大小.最后讓學生以其中一組為例寫出具體的比較過程.

　　三.鞏固練習

　　練習:若 ,求 的取值范圍.

　　四.小結

　　五.作業 略

　　板書設計

　　2.8對數函數

　　一. 概念

　　1. 定義2.熟悉

　　二.圖像與性質

　　1.作圖方法

　　2.草圖

　　圖1 圖2

　　3.性質

　　(1) 定義域(2)值域(3)截距(4)奇偶性(5)單調性

　　三.應用

　　1.相關函數的研究

　　例1 例2

　　練習

　　探究活動

　　(1) 已知 是函數 的反函數,且 都有意義.

　　① 求 ;

　　② 試比較 與4 的大小,并說明理由.

　　(2) 設常數 則當 滿足什么關系時, 的解集為

　　答案:

　　(1) ① ;

　　②當 時, <4 ;當 時,

對數函數 篇6

　　一、教材分析1、教材的地位與作用函數是高中數學的核心，對數函數是重要的基本初等函數之一，它是學生已學過指數函數及對數與常用對數基礎上引入的，這為過渡到本節的學習起到輔墊作用；“對數函數”這節教材是在沒有學習反函數的基礎上研究指數函數和對數函數的自變量與因變量之間的關系。學習本節使學生的知識體系更加完整、系統，同時又是指數函數知識的拓展和延伸，它是解決有關自然科學領域中實際問題的重要工具。2、教學目標的確定及依據通過對教材的研究和結合學生的實際情況等方面的要求，本節的知識目標：理解對數函數的概念，掌握對數函數的圖象和性質，在掌握性質的基礎上學會初步應用。能力目標是：通過對數函數的學習，培養學生數形結合，分類討論的數學思想；注重培養學生分析、類比、歸納的能力。情態及價值觀目標：用聯系的觀點分析問題，認識事物之間的轉化，在民主和諧的教學氣氛中，培養合作意識，感受學習樂趣，動腦思考的良好個性品質。3、教學重點、難點重點：對數函數的概念，圖象和性質難點：①指數函數與對數函數的內在關系②通過已知的指數函數圖象和性質再類比對數函數的圖象和性質。二、教法分析數學是一門培養和發展人的思維的重要學科，因此，在教學中不僅要使學生“知其然”而且要使學生“知其所以然”。1、教法——發現法發現法的教學方法，體現了認知心理學的應用。在教學過程中，首先創設一個問題的情境，引導學生積極思考，容易激發其興趣，喚起其有意注意，興趣可調動學習積極性。由學生熟悉的指數函數知識逐步過渡到對數函數知識的認識，其次，借助老師和學習伙伴的幫助，發揮其主動性來對知識的“發現”和接受(即在學習過程中幫助學生很好地掌握對數函數的概念，圖象和性質，并對指數函數與對數函數的內在關系達到較深刻的理解)2、學法啟發式與獨立自主學習，合作交流學習相結合提出富有啟發性的問題激發他們的獨立自主探索，與合作交流。以學生作為教學主體，教師作為教學主導，在討論中以教師的點拔如“類比法”使學生能夠找到解決問題的方法，從而解決所提問題，通過加強合作交流，反饋練習法，激發他們手腦并用，引發和加強學生的有意注意。3、教學手段①利用學校局域網，采用計算機輔助教學，讓形象、直觀、清晰的對數函數與指數函數圖象加深學生的理解。②利用投影儀提出問題三、教學過程教學矛盾的主要方面是學生的學，學是中心，會學是目的，因此在教學中要不斷指導學生學會學習。 創設情境提出問題類比聯想動手操作觀察分析合作交流鞏固應用知識整合（一）教學流程圖引入新課XX年10月18日，美國某城市的日報醒目標題刊登了“市政委員會今天宣布，本市垃圾的體積達到50000立方米”，副標題“垃圾的體積每三年增加一倍”（1）設想城市垃圾的體積繼續每三年增加一倍，24年后本市的垃圾的體積是多少？（2）若按現在這個速度，該市要經過多少年垃圾的體積達到百萬立方米、千萬立方米，……（由環保問題引出）這個問題的解決方法，就是今天所要學習的內容——對數函數設計意圖：通過“引例”使學生對本節內容產生興趣。有了“引例”輔墊，學生將產生有意注意，對新知識的學習產生求知欲。（二）建立對數函數概念（1）假如本市現有垃圾1萬立方米，它以每年100%的增長率遞增，那么幾年之后，本市的垃圾體積達到10萬立方米、100萬立方米……師生互動結果：①先建立函數關系，設年數為x，要達到垃圾體積為y，則函數關系y=2x②在函數y=2x中，y是已知，x是未知，所以根據對數的定義，這個函數可寫成對數形式x=log2y若用x表示自變量，y表示函數值，則y= log2x這個函數叫對數函數。 （2）自主學習，用投影儀出示下面的思考題1、何為對數函數2、y=ax與y=logax中x、y的相同之處是什么？不同之處又是什么？引導學生從y=ax → x=logay →y=logax(a>0且a≠1)過渡，把函數y=logax(a>0,且a≠1)叫做對數函數，引出概念。設計意圖：利用已經學過的知識逐步分析，這樣引出對數函數的概念過渡自然，學生易于接受。再讓學生比較y=ax與y=logax中x、y的定義域、值域。（三）正確描繪對數函數圖象對數函數概念建立后，接著應研究對數函數圖象。問題：①你會用什么方法畫出對數函數圖象？②在同一平面直角坐標系作出 與 ，觀察并尋找它們之間的關系。學生根據問題，一般會采取列表、描點、連線，或是函數圖象變換法作圖。動手作圖象：同學之間，學生將會對哪種作圖方法簡便而展開討論。學生通過畫圖體會①作圖的方法與步驟。②加深兩函數之間的認識，關于直線y=x對稱。③一般形式的圖象如何獲得，即如何從 及 過渡到一般形式。在學生的實踐探索，與相互交流過程中，教師從中點拔。利用多媒體，以直觀、形象、清晰的畫面展示畫圖過程。設計意圖：充分調動學生自主學習的積極性，自己去尋找解決問題的方案，通過師生、生生的雙邊活動達到教學目標。（四）對數函數的性質在理解對數函數定義的基礎上，掌握對數函數的圖象和性質是本節的重點，關鍵在于抓住對數函數與指數函數的關系這一要領。通過圖象由學生通過自主探索，與小組之間合作交流等活動方式，找出共性，歸納相應的性質。作了以上分析后，分類討論思想分a>1與0<a<1兩種情況列出對數函數圖象和性質，體現從“特殊到一般”從“具體到抽象”方法。把對數函數圖象和性質列成一個表并與指數函數圖象和性質進行比較。（用多媒體）設計意圖：直觀易懂，能讓學生主動參與教學過程，使學生掌握類比法、分類討論、歸納的數學思想及能力，利用表格，可突破難點。（五）知識整合，鞏固應用課堂練習（立足課本，變式教學）1、求下列函數的定義域變式：1、若把底數3改為x+1，那么函數 的定義域2、若把真數4-x2改為 ，那么函數的 的定義域3、若把 改成 那么函數的定義域設計意圖：鞏固概念，突破難點2、比較下列兩個數的大小    變式：1、將底數3變為0.3，那么兩個值大小2、將底數變為a，a>0且a≠1，那么兩個值大小設計意圖：①構造對數函數并利用單調性比較大小，了解學生課堂學習效率②對底數a與1大小關系未明確，要分類；引導學生小結：1、通過本節學習，要逐步掌握對數函數的概念，圖象與性質，并能利用對數函數的性質解決一些簡單問題，如定義域，兩數比較大小。設計意圖：通過對對數函數的概念圖象性質的課堂總結，使學生理清這節課的難點。2、①課本p70，習題2.3(2) 2. (1)(2) 3. (1)(2)(3)(4)②預習內容：(1)p68，例2 (3) 例3  4③思考：指數函數 的圖象與對數函數圖象 的圖象相交，則交點情況有幾種？板書設計

　　§2.3.2 （一）定義                   1、對數  2、圖象（二）性質                   （1）              （三）學生練習                                     （2）                                     （3）                                     （4）   

　　[評價分析]我根據我校推行的“以生為本”的教學理念，把上課的著眼點放在如何“引導”學生自主探究知識，合作交流為主線，讓學生經歷數學知識的形成與應用過程。立足課本，變式教學，在多媒體、與投影儀輔助下，學生動腦、動手、動口加深對所學知識的理解，從而突破難點與重點。整節課主要是為了注重學生的學習習慣的形成，體現了教為主導，學為主體的教學原則。

對數函數 篇7

　　2.8(第一課時  對數函數的定義、圖象和性質)教學目的： 1.了解對數函數的定義、圖象及其性質以及它與指數函數間的關系；2.會求對數函數的定義域；3.滲透應用意識，培養歸納思維能力和邏輯推理能力，提高數學發現能力。 教學重點：對數函數的定義、圖象、性質教學難點：對數函數與指數函數間的關系.教學形式：計算機輔助教學教學過程： 一、復習引入：對于函數 = ，根據對數的定義，可以寫成對數的形式，就是 如果用 表示自變量， 表示函數，這個函數就是 由反函數概念可知， 與指數函數 互為反函數。二、新授內容：1.對數函數的定義：函數 叫做對數函數；它是指數函數   的反函數。對數函數   的定義域為 ，值域為 。2.對數函數的圖象由于對數函數 與指數函數 互為反函數，所以 的圖象與 的圖象關于直線 對稱。因此，我們只要畫出和 的圖象關于 對稱的曲線，就可以得到 的圖象，然后根據圖象特征得出對數函數的性質。    3.對數函數的性質先回顧指數函數 的圖象和性質。

　　a>10<a<1

　　圖

　　象

　　性

　　質1.定義域r2.值域（0，+∞）3.過定點（0，1），即x=0時，y=14.函數值分布x>0時，y>1;x<0時，0<y<1x>0時，0<y<1;x<0時，y>1.

　　5.單調性在 r上是增函數在r上是減函數由由反函數的性質和對數函數的圖象，觀察得出對數函數的性質.

　　a>10<a<1

　　圖

　　象

　　性

　　質1.定義域（0，+∞）2.值域r3.過定點（1，0），即x=1時，y=04.函數值分布x>1時，y>0;0<x<1時， y<00<x<1時， y<0;x>1時，y>0.

　　5.單調性在 （0，+∞）上是增函數在（0，+∞）上是減函數三、例題：例1求下列函數的定義域：[（1）—（3） 課本p83例1]（1） ； （2） ； （3） （4） 解：（4）         故函數 的定義域為（0，1）.例2求下列函數的反函數（1）       （2）   解：（1）    ∴             （2）    ∴   四、練習：1.畫出函數y= x及y= 的圖象，并且說明這兩個函數的相同性質和不同性質.解：相同性質：兩圖象都位于y軸右方，都經過點（1，0），這說明兩函數的定義域都是（0，+∞），且當x=1,y=0.不同性質：y= x的圖象是上升的曲線，y= 的圖象是下降的曲線，這說明前者在（0，+∞）上是增函數，后者在（0，+∞）上是減函數.2.求下列函數的定義域：（1）y= (1-x)                       (2)y= (3)y=                         五、作業：習題2.8  1，2

對數函數 篇8

　　教學目標 

　　1. 在指數函數及反函數概念的基礎上，使學生掌握對數函數的概念，能正確描繪對數函數的圖像，掌握對數函數的性質，并初步應用性質解決簡單問題.

　　2. 通過對數函數的學習，樹立相互聯系，相互轉化的觀點，滲透數形結合，分類討論的思想.

　　3. 通過對數函數有關性質的研究，培養學生觀察，分析，歸納的思維能力，調動學生學習的積極性.

　　教學重點，難點

　　重點是理解對數函數的定義，掌握圖像和性質.

　　難點是由對數函數與指數函數互為反函數的關系，利用指數函數圖像和性質得到對數函數的圖像和性質.

　　教學方法

　　啟發研討式

　　教學用具

　　投影儀

　　教學過程 

　　一. 引入新課

　　今天我們一起再來研究一種常見函數.前面的幾種函數都是以形式定義的方式給出的，今天我們將從反函數的角度介紹新的函數.

　　反函數的實質是研究兩個函數的關系，所以自然我們應從大家熟悉的函數出發，再研究其反函數.這個熟悉的函數就是指數函數.

　　提問：什么是指數函數?指數函數存在反函數嗎?

　　由學生說出 是指數函數，它是存在反函數的.并由一個學生口答求反函數的過程：

　　由 得 .又 的值域為 ，

　　所求反函數為 .

　　那么我們今天就是研究指數函數的反函數-----對數函數.

　　2.8對數函數 (板書)

　　一. 對數函數的概念

　　1. 定義：函數 的反函數 叫做對數函數.

　　由于定義就是從反函數角度給出的，所以下面我們的研究就從這個角度出發.如從定義中你能了解對數函數的什么性質嗎?最初步的認識是什么?

　　教師可提示學生從反函數的三定與三反去認識，從而找出對數函數的定義域為 ，對數函數的值域為 ，且底數 就是指數函數中的 ，故有著相同的限制條件 .

　　在此基礎上，我們將一起來研究對數函數的圖像與性質.

　　二.對數函數的圖像與性質 (板書)

　　1. 作圖方法

　　提問學生打算用什么方法來畫函數圖像?學生應能想到利用互為反函數的兩個函數圖像之間的關系，利用圖像變換法畫圖.同時教師也應指出用列表描點法也是可以的，讓學生從中選出一種，最終確定用圖像變換法畫圖.

　　由于指數函數的圖像按 和 分成兩種不同的類型，故對數函數的圖像也應以1為分界線分成兩種情況 和 ，并分別以 和 為例畫圖.

　　具體操作時，要求學生做到：

　　(1) 指數函數 和 的圖像要盡量準確(關鍵點的位置，圖像的變化趨勢等).

　　(2) 畫出直線 .

　　(3) 的圖像在翻折時先將特殊點 對稱點 找到，變化趨勢由靠近 軸對稱為逐漸靠近 軸，而 的圖像在翻折時可提示學生分兩段翻折，在 左側的先翻，然后再翻在 右側的部分.

　　學生在筆記本完成具體操作，教師在學生完成后將關鍵步驟在黑板上演示一遍，畫出

　　和 的圖像.(此時同底的指數函數和對數函數畫在同一坐標系內)如圖：

　　2. 草圖.

　　教師畫完圖后再利用投影儀將 和 的圖像畫在同一坐標系內，如圖：

　　然后提出讓學生根據圖像說出對數函數的性質(要求從幾何與代數兩個角度說明)

　　3. 性質

　　(1) 定義域：

　　(2) 值域：

　　由以上兩條可說明圖像位于 軸的右側.

　　(3) 截距：令 得 ，即在 軸上的截距為1，與 軸無交點即以 軸為漸近線.

　　(4) 奇偶性：既不是奇函數也不是偶函數，即它不關于原點對稱，也不關于 軸對稱.

　　(5) 單調性：與 有關.當 時，在 上是增函數.即圖像是上升的

　　當 時，在 上是減函數，即圖像是下降的.

　　之后可以追問學生有沒有最大值和最小值，當得到否定答案時，可以再問能否看待何時函數值為正?學生看著圖可以答出應有兩種情況：

　　當 時，有 ；當 時，有 .

　　學生回答后教師可指導學生巧記這個結論的方法：當底數與真數在1的同側時函數值為正，當底數與真數在1的兩側時，函數值為負，并把它當作第(6)條性質板書記下來.

　　最后教師在總結時，強調記住性質的關鍵在于要腦中有圖.且應將其性質與指數函數的性質對比記憶.(特別強調它們單調性的一致性)

　　對圖像和性質有了一定的了解后，一起來看看它們的應用.

　　三.簡單應用  (板書)

　　1. 研究相關函數的性質

　　例1.  求下列函數的定義域：

　　(1)      (2)    (3)

　　先由學生依次列出相應的不等式，其中特別要注意對數中真數和底數的條件限制.

　　2. 利用單調性比較大小 (板書)

　　例2.  比較下列各組數的大小

　　(1) 與 ；      (2) 與 ；  

　　(3) 與 ；           (4) 與 .

　　讓學生先說出各組數的特征即它們的底數相同，故可以構造對數函數利用單調性來比大小.最后讓學生以其中一組為例寫出詳細的比較過程.

　　三.鞏固練習

　　練習：若 ，求 的取值范圍.

　　四.小結

　　五.作業  略

　　板書設計 

　　2.8對數函數

　　一. 概念                                              

　　1.  定義  2.認識

　　二.圖像與性質                                  

　　1.作圖方法

　　2.草圖 

　　圖1    圖2  

　　3.性質                        

　　(1)    定義域(2)值域(3)截距(4)奇偶性(5)單調性

　　三.應用

　　1.相關函數的研究

　　例1    例2

　　練習

對數函數 篇9

　　教學目標：①掌握對數函數的性質。

　　②應用對數函數的性質可以解決：對數的大小比較，求復合函數的定義域、值 域及單調性。

　　③ 注重函數思想、等價轉化、分類討論等思想的滲透,提高解題能力。

　　教學重點與難點：對數函數的性質的應用。

　　教學過程設計：

　　⒈復習提問：對數函數的概念及性質。

　　⒉開始正課

　　1 比較數的大小

　　例 1 比較下列各組數的大小。

　　⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)

　　⑵log0.50.6 ,logЛ0.5 ,lnЛ

　　師：請同學們觀察一下⑴中這兩個對數有何特征?

　　生：這兩個對數底相等。

　　師：那么對于兩個底相等的對數如何比大小?

　　生：可構造一個以a為底的對數函數，用對數函數的單調性比大小。

　　師：對，請敘述一下這道題的解題過程。

　　生：對數函數的單調性取決于底的大小：當0

　　調遞減，所以loga5.1>loga5.9 ;當a>1時，函數y=logax單調遞

　　增，所以loga5.1

　　板書：

　　解：Ⅰ)當0

　　∵5.1loga5.9

　　Ⅱ)當a>1時，函數y=logax在(0，+∞)上是增函數，

　　∵5.10，lnЛ>0，logЛ0.51，

　　log0.50.6log0.2(3x+3)

　　師：如何來求⑴中函數的定義域?(提示：求函數的定義域，就是要使函數有意義。若函數中含有分母，分母不為零;有偶次根式，被開方式大于或等于零;若函數中有對數的形式，則真數大于零，如果函數中同時出現以上幾種情況，就要全部考慮進去，求它們共同作用的結果。)生：分母2x-1≠0且偶次根式的被開方式log0.8x-1≥0，且真數x>0。

　　板書：

　　解：∵　　 2x-1≠0　　　　　 x≠0.5

　　log0.8x-1≥0 ，　 x≤0.8

　　x>0　　　　　　　 x>0

　　∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕

　　師：接下來我們一起來解這個不等式。

　　分析：要解這個不等式,首先要使這個不等式有意義，即真數大于零，

　　再根據對數函數的單調性求解。

　　師：請你寫一下這道題的解題過程。

　　生：

　　解：　 x2+2x-3>0 　　　　　x1

　　(3x+3)>0　 　　,　　 x>-1

　　x2+2x-30,a≠1)

　　師：求例3中函數的的值域和單調區間要用及復合函數的思想方法。

　　下面請同學們來解⑴。

　　生：此函數可看作是由y= log0.5u, u= x- x2復合而成。

　　板書：

　　解：⑴∵u= x- x2>0, ∴0

　　u= x- x2=-(x-0.5)2+0.25, ∴0

　　∴y= log0.5u≥log0.50.25=2

　　∴y≥2

　　x　　　 x(0,0.5]　　 x[0.5,1)

　　u= x- x2

　　y= log0.5u

　　y=log0.5(x- x2)

　　函數y=log0.5(x- x2)的單調遞減區間(0,0.5]，單調遞 增區間[0.5,1)

　　注：研究任何函數的性質時，都應該首先保證這個函數有意義，否則

　　函數都不存在，性質就無從談起。

　　師：在⑴的基礎上，我們一起來解⑵。請同學們觀察一下⑴與⑵有什

　　么區別?

　　生：⑴的底數是常值，⑵的底數是字母。

　　師：那么⑵如何來解?

　　生：只要對a進行分類討論，做法與⑴類似。

　　板書：略。

　　⒊小結

　　這堂課主要講解如何應用對數函數的性質解決一些問題，希望能

　　通過這堂課使同學們對等價轉化、分類討論等思想加以應用，提高解題能力。

　　⒋作業

　　⑴解不等式

　　①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1),(a為常數)

　　⑵已知函數y=loga(x2-2x)，(a>0,a≠1)

　　①求它的單調區間;②當0

　　⑶已知函數y=loga (a>0, b>0, 且 a≠1)

　　①求它的定義域;②討論它的奇偶性;　 ③討論它的單調性。

　　⑷已知函數y=loga(ax-1) (a>0,a≠1),

　　①求它的定義域;②當x為何值時，函數值大于1;③討論它的

　　單調性。

　　5.課堂教學設計說明

　　這節課是安排為習題課，主要利用對數函數的性質解決一些問題，整個一堂課分兩個部分：一 .比較數的大小,想通過這一部分的練習，

　　培養同學們構造函數的思想和分類討論、數形結合的思想。二.函數的定義域, 值 域及單調性，想通過這一部分的練習，能使同學們重視求函數的定義域。因為學生在求函數的值域和單調區間時，往往不考慮函數的定義域，并且這種錯誤很頑固，不易糾正。因此，力求學生做到想法正確，步驟清晰。為了調動學生的積極性，突出學生是課堂的主體，便把例題分了層次，由易到難，力求做到每題都能由學生獨立完成。但是，每一道題的解題過程，老師都應該給以板書，這樣既讓學生有了獲取新知識的快樂，又不必為了解題格式的不熟悉而煩惱。每一題講完后，由教師簡明扼要地小結，以使好學生掌握地更完善，較差的學生也能夠跟上。

對數函數 篇10

　　教案

　　課題：指數函數與對數函數的性質及其應用

　　課型：綜合課

　　教學目標 ：在復習指數函數與對數函數的特性之后，通過圖像對比使學生較快的學會不求值比較指數函數與對數函數值的大小及提高對復合型函數的定義域與值域的解題技巧。

　　重點：指數函數與對數函數的特性。

　　難點：指導學生如何根據上述特性解決復合型函數的定義域與值域的問題。

　　教學方法：多媒體授課。

　　學法指導：借助列表與圖像法。

　　教具：多媒體教學設備。

　　教學過程 ：

　　一、   復習提問。通過找學生分別敘述指數函數與對數函數的公式及特性，加深學生的記憶。

　　二、   展示指數函數與對數函數的一覽表。并和學生們共同復習這些性質。

　　指數函數與對數函數關系一覽表

　　函數

　　性質

　　指數函數

　　y=ax （a＞0且a≠1）

　　對數函數

　　y=logax（a＞0且a≠1）

　　定義域

　　實數集R

　　正實數集（0，﹢∞）

　　值域

　　正實數集（0，﹢∞）

　　實數集R

　　共同的點

　　（0，1）

　　（1，0）

　　單調性

　　a＞1 增函數

　　a＞1 增函數

　　0＜a＜1 減函數

　　0＜a＜1 減函數

　　函數特性

　　a＞1

　　當x＞0,y＞1

　　當x＞1,y＞0

　　當x＜0,0＜y＜1

　　當0＜x＜1, y＜0

　　0＜a＜1

　　當x＞0, 0＜y＜1

　　當x＞1, y＜0

　　當x＜0,y＞1

　　當0＜x＜1, y＞0

　　反函數

　　y=logax（a＞0且a≠1）

　　y=ax （a＞0且a≠1）

　　圖像

　　Y

　　y=(1/2)x      y=2x

　　(0,1)

　　X

　　Y

　　y=log2x

　　(1,0)

　　X

　　y=log1/2x

　　三、   同一坐標系中將指數函數與對數函數進行合成， 觀察其特點，并得出y＝log2x與y＝2x、 y＝log1/2x與y＝（1/2）x 的圖像關于直線y＝x對稱，互為反函數關系。所以y＝logax與y＝ax互為反函數關系，且y＝logax的定義域與y＝ax的值域相同，y＝logax的值域與y＝ax的定義域相同。

　　Y

　　y＝(1/2)x                           y＝2x           y＝x

　　（0，1）              y＝log2x

　　（1，0）            X

　　y＝log1/2x

　　注意：不能由圖像得到y＝2x與y＝（1/2）x為偶函數關系。因為偶函數是指同一個函數的圖像關于Y軸對稱。此圖雖有y＝2x與y＝（1/2）x圖像對稱，但它們是2個不同的函數。

　　四、   利用指數函數與對數函數性質去解決含有指數與對數的復合型函數的定義域、值域問題及比較函數的大小值。

　　五、   例題

　　例⒈比較（Л）（－0.1）與（Л）（－0.5）的大小。

　　解：∵ y＝ax中， a＝Л＞1

　　∴ 此函數為增函數

　　又∵ ﹣0.1＞﹣0.5

　　∴ （Л）（－0.1）＞（Л）（－0.5）

　　例⒉比較log67與log76的大小。

　　解： ∵ log67＞log66＝1

　　log76＜log77＝1

　　∴  log67＞log76

　　注意：當2個對數值不能直接進行比較時，可在這2個對數中間插入一個已知數，間接比較這2個數的大小。

　　例⒊ 求y＝3√4-x2的定義域和值域。

　　解：∵√4-x2  有意義，須使4-x2≥0

　　即x2≤4，      |x|≤2

　　∴-2≤x≤2，即定義域為[-2，2]

　　又∵0≤x2≤4，   ∴0≤4-x2≤4

　　∴0≤√4-x2  ≤2，且y＝3x是增函數

　　∴30≤y≤32，即值域為[1，9]

　　例⒋ 求函數y＝√log0.25（log0.25x）的定義域。

　　解：要函數有意義，須使log0.25（log0.25x）≥0

　　又∵ 0＜0.25＜1，∴y＝log0.25x是減函數

　　∴ 0＜log0.25x≤1

　　∴ log0.251＜log0.25x≤log0.250.25

　　∴ 0.25≤x＜1，即定義域為[0.25，1）

　　六、   課堂練習

　　求下列函數的定義域

　　1.      y＝8[1/（2x-1）]

　　2.      y＝loga（1-x）2 （a＞0，且a≠1）

　　七、   評講練習

　　八、   布置作業 

　　第113頁，第10、11題。并預習指數函數與對數函數

　　在物理、社會科學中的實際應用。

對數函數 篇11

　　對數函數

　　對數函數的一般形式為，它實際上就是指數函數的反函數。因此指數函數里對于a的規定，同樣適用于對數函數。

　　右圖給出對于不同大小a所表示的函數圖形：

　　可以看到對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數。

　　（1）對數函數的定義域為大于0的實數集合。

　　（2）對數函數的值域為全部實數集合。

　　（3）函數總是通過（1，0）這點。

　　（4）a大于1時，為單調遞增函數，并且上凸；a小于1大于0時，函數為單調遞減函數，并且下凹。

　　（5）顯然對數函數無界。

　　反比例函數

　　形如y＝k/x(k為常數且k≠0)的函數，叫做反比例函數。

　　自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數。

　　反比例函數圖像性質：

　　反比例函數的圖像為雙曲線。

　　由于反比例函數屬于奇函數，有f(-x)=-f(x)，圖像關于原點對稱。

　　另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

　　如圖，上面給出了k分別為正和負（2和-2）時的函數圖像。

　　當k＞0時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數

　　當k＜0時，反比例函數圖像經過二，四象限，是增函數

　　反比例函數圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。

　　知識點：

　　1.過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。

　　2.對于雙曲線y＝k/x，若在分母上加減任意一個實數(即y＝k/（x±m）m為常數)，就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。（加一個數時向左平移，減一個數時向右平移）

對數函數 篇12

　　教案

　　課題：指數函數與對數函數的性質及其應用

　　課型：綜合課

　　教學目標 ：在復習指數函數與對數函數的特性之后，通過圖像對比使學生較快的學會不求值比較指數函數與對數函數值的大小及提高對復合型函數的定義域與值域的解題技巧。

　　重點：指數函數與對數函數的特性。

　　難點：指導學生如何根據上述特性解決復合型函數的定義域與值域的問題。

　　教學方法：多媒體授課。

　　學法指導：借助列表與圖像法。

　　教具：多媒體教學設備。

　　教學過程 ：

　　一、   復習提問。通過找學生分別敘述指數函數與對數函數的公式及特性，加深學生的記憶。

　　二、   展示指數函數與對數函數的一覽表。并和學生們共同復習這些性質。

　　指數函數與對數函數關系一覽表

　　函數

　　性質

　　指數函數

　　y=ax （a＞0且a≠1）

　　對數函數

　　y=logax（a＞0且a≠1）

　　定義域

　　實數集r

　　正實數集（0，﹢∞）

　　值域

　　正實數集（0，﹢∞）

　　實數集r

　　共同的點

　　（0，1）

　　（1，0）

　　單調性

　　a＞1 增函數

　　a＞1 增函數

　　0＜a＜1 減函數

　　0＜a＜1 減函數

　　函數特性

　　a＞1

　　當x＞0,y＞1

　　當x＞1,y＞0

　　當x＜0,0＜y＜1

　　當0＜x＜1, y＜0

　　0＜a＜1

　　當x＞0, 0＜y＜1

　　當x＞1, y＜0

　　當x＜0,y＞1

　　當0＜x＜1, y＞0

　　反函數

　　y=logax（a＞0且a≠1）

　　y=ax （a＞0且a≠1）

　　圖像

　　y

　　y=(1/2)x      y=2x

　　(0,1)

　　x

　　y

　　y=log2x

　　(1,0)

　　x

　　y=log1/2x

　　三、   同一坐標系中將指數函數與對數函數進行合成， 觀察其特點，并得出y＝log2x與y＝2x、 y＝log1/2x與y＝（1/2）x 的圖像關于直線y＝x對稱，互為反函數關系。所以y＝logax與y＝ax互為反函數關系，且y＝logax的定義域與y＝ax的值域相同，y＝logax的值域與y＝ax的定義域相同。

　　y

　　y＝(1/2)x                           y＝2x           y＝x

　　（0，1）              y＝log2x

　　（1，0）            x

　　y＝log1/2x

　　注意：不能由圖像得到y＝2x與y＝（1/2）x為偶函數關系。因為偶函數是指同一個函數的圖像關于y軸對稱。此圖雖有y＝2x與y＝（1/2）x圖像對稱，但它們是2個不同的函數。

　　四、   利用指數函數與對數函數性質去解決含有指數與對數的復合型函數的定義域、值域問題及比較函數的大小值。

　　五、   例題

　　例⒈比較（л）（－0.1）與（л）（－0.5）的大小。

　　解：∵ y＝ax中， a＝л＞1

　　∴ 此函數為增函數

　　又∵ ﹣0.1＞﹣0.5

　　∴ （л）（－0.1）＞（л）（－0.5）

　　例⒉比較log67與log76的大小。

　　解： ∵ log67＞log66＝1

　　log76＜log77＝1

　　∴  log67＞log76

　　注意：當2個對數值不能直接進行比較時，可在這2個對數中間插入一個已知數，間接比較這2個數的大小。

　　例⒊ 求y＝3√4-x2的定義域和值域。

　　解：∵√4-x2  有意義，須使4-x2≥0

　　即x2≤4，      |x|≤2

　　∴-2≤x≤2，即定義域為[-2，2]

　　又∵0≤x2≤4，   ∴0≤4-x2≤4

　　∴0≤√4-x2  ≤2，且y＝3x是增函數

　　∴30≤y≤32，即值域為[1，9]

　　例⒋ 求函數y＝√log0.25（log0.25x）的定義域。

　　解：要函數有意義，須使log0.25（log0.25x）≥0

　　又∵ 0＜0.25＜1，∴y＝log0.25x是減函數

　　∴ 0＜log0.25x≤1

　　∴ log0.251＜log0.25x≤log0.250.25

　　∴ 0.25≤x＜1，即定義域為[0.25，1）

　　六、   課堂練習

　　求下列函數的定義域

　　1.      y＝8[1/（2x-1）]

　　2.      y＝loga（1-x）2 （a＞0，且a≠1）

　　七、   評講練習

　　八、   布置作業 

　　第113頁，第10、11題。并預習指數函數與對數函數

　　在物理、社會科學中的實際應用。

對數函數 篇13

　　一、說教材

　　1、教材的地位和作用

　　函數是高中數學的核心，而對數函數是高中階段所要研究的重要的基本初等函數之一.本節內容是在學生已經學過指數函數、對數及反函數的基礎上引入的，因此既是對上述知識的應用，也是對函數這一重要數學思想的進一步認識與理解.對數函數在生產、生活實踐中都有許多應用.本節課的學習使學生的知識體系更加完整、系統，為學生今后進一步學習對數方程、對數不等式等提供了必要的基礎知識.

　　2、教學目標的確定及依據

　　根據教學大綱要求，結合教材，考慮到學生已有的認知結構心理特征，我制定了如下的教學目標：

　　(1) 知識目標：理解對數函數的意義;掌握對數函數的圖像與性質;初步學會用

　　對數函數的性質解決簡單的問題.

　　(2) 能力目標：滲透類比、數形結合、分類討論等數學思想方法，培養學生觀察、

　　分析、歸納等邏輯思維能力.

　　(3) 情感目標：通過指數函數和對數函數在圖像與性質上的對比，使學生欣賞數

　　學的精確和美妙之處，調動學生學習數學的積極性.

　　3、教學重點與難點

　　重點：對數函數的意義、圖像與性質.

　　難點：對數函數性質中對于在a>1與0

　　二、說教法

　　學生在整個教學過程中始終是認知的主體和發展的主體，教師作為學生學習的指導者，應充分地調動學生學習的積極性和主動性，有效地滲透數學思想方法.根據這樣的原則和所要完成的教學目標，對于本節課我主要考慮了以下兩個方面：

　　1、教學方法：

　　(1)啟發引導學生實驗、觀察、聯想、思考、分析、歸納;

　　(2)采用“從特殊到一般”、“從具體到抽象”的方法;

　　(3)滲透類比、數形結合、分類討論等數學思想方法.

　　2、教學手段：

　　計算機多媒體輔助教學.

　　三、說學法

　　“授之以魚，不如授之以漁”，方法的掌握，思想的形成，才能使學生受益終身.本節課注重調動學生積極思考、主動探索，盡可能地增加學生參與教學活動的時間和空間，我進行了以下學法指導：

　　(1)類比學習：與指數函數類比學習對數函數的圖像與性質.

　　(2)探究定向性學習：學生在教師建立的情境下，通過思考、分析、操作、探索，

　　歸納得出對數函數的圖像與性質.

　　(3)主動合作式學習：學生在歸納得出對數函數的圖像與性質時，通過小組討論，

　　使問題得以圓滿解決.

　　四、說教程

　　1、溫故知新

　　我通過復習細胞分裂問題，由指數函數 引導學生逐步得到對數函數的意義及對數函數與指數函數的關系：互為反函數.

　　設計意圖：既復習了指數函數和反函數的有關知識，又與本節內容有密切關系，

　　有利于引出新課.為學生理解新知清除了障礙，有意識地培養學生

　　分析問題的能力.

　　2、探求新知

對數函數 篇14

　　教學任務：（1）應用對數函數的圖像和性質比較兩個對數的大小；（2）熟練應用對數函數的圖象和性質，解決一些綜合問題；（3）通過例題和練習的講解與演練，培養學生分析問題和解決問題的能力.教學重點：應用對數函數的圖象和性質比較兩個對數的大小.教學難點：對對數函數的性質的綜合運用.回顧與總結

　　圖

　　象

　　定義域(1) 定義域： (0,+∞)

　　值域(2) 值域：r

　　性

　　質(3) 過點(1,0), 即x=1 時, y=0(4) 0<x<1時,  y<0;     (4) 0<x<1時,  y>0;      x>1時,  y<0        x>1時,  y>0(5) 在(0,+∞)上是增函數   (5)在(0,+∞)上是減函數應用舉例例2：比較下列各組中，兩個值的大小：log23.4與 log28.5  （2） log 0.3 1.8與 log 0.3 2.7（3） loga5.1與 loga5.9（a>o,且a≠1）（1）解法一：畫圖找點比高低（略）解法二：利用對數函數的單調性考察函數y=log 2 x  ,∵a=2 > 1,∴ y=log2x在（0，+∞）上是增函數； ∵3.4<8.5∴ log23.4< log28.5（2）解：考察函數y=log 0.3 x  , ∵a=0.3< 1, ∴ y=log 0.3 x在區間（0，+∞）上是減函數；∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7  （3） loga5.1與 loga5.9（a>o,且a≠1）解: 若a>1則函數在區間（0，+∞）上是增函數；      ∵5.1<5.9       ∴ loga5.1 < loga5.9若0<a<1則函數在區間（0，+∞）上是減函；         ∵5.1<5.9         ∴ loga5.1 > loga5.9注意：若底數不確定，那就要對底數進行分類討論，即0<a<1 和 a > 1三：你能口答嗎？                    變一變還能口答嗎？c2c4c1c3

　　四：想一想？底數a對對數函數y=logax的圖象有什么影響？分析：指數函數的圖象按a>1和0<a<1分類故對數函數的圖象也應a>1和0<a<1分類（用幾何畫板）五：小試牛刀      如圖所示曲線是y=logax的圖像，已知a的取值為             ，你能指出相應的c1，c2 ，c3 ，c4 的a的值嗎？六：勇攀高峰若logn2>logm2>0時，則m與n的關系是（  ）     a.m>n>1   b.n>m>1   c.1>m>n   d.1>n>m七：再想一想？你能比較log34和log43的大小嗎？方法一提示：用計算器 方法二提示：想一想如何比較1.70.3與0.93.1的大小？1.70.3>1.70=0.90>0.93.1解：log34>log33=log44>log43例6 溶液酸堿度的測量.溶液酸堿度是通過ph刻畫的. ph的計算公式為ph＝－lg[h＋]，其中[h＋]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.    (1)根據對數函數性質及上述ph的計算公式，說明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關系；    (2)已知純凈水中氫離子的濃度為[h＋]＝10－7摩爾/升，計算純凈水的ph.

　　分析：本題已經建立了數學模型，我們就直接應用公式ph＝－lg[h＋]解：（1）根據對數運算性質，有

　　在（0，+∞）上隨[h+]的增大，    減小，相應地，     也減少，即ph減少。所以，隨[h+]的增大ph減少，即溶液中氫離子的濃度越大，溶液的酸堿度就越大。   （2）但[h+]=10-7時，ph=-lg10-7=-(-7)=7。所以，純凈水的ph是7。事實上，食品監督檢測部門檢測純凈水的質量時，需要檢測很多項目，ph的檢測只是其中一項。國家標準規定，飲用純凈水的ph應該是5.0~7.0之間。思考：胃酸中氫離子的濃是2.5×10-2爾/升，胃酸的ph是多少？                 八.小結 ：    一.本節課我們學習了比較兩個對數大小的方法：（1）應用對數函數單調性比較兩個對數的大小；   （2）應用對數函數的圖像—“底大圖低”比較兩個對數的大小。 二.本節課我們還學習了建立數學模型解決實際問題。九：備用習題1.已知loga3a<0，則a的取值范圍為         。2.設0<x<1,logax<logbx<0,則a,b關系（    ）a.0<a<b<1  b.1<a<b   c.0<b<a<1   d1<b<a十：課后作業。1.書p74，a組題8；2.書p75，b組題2，33.思考：若1<a<2,則y=               中的x的取值范圍是       。

對數函數 篇15

　　教學目標：①掌握對數函數的性質。

　　②應用對數函數的性質可以解決：對數的大小比較，求復合函數的定義域、值 域及單調性。

　　③ 注重函數思想、等價轉化、分類討論等思想的滲透,提高解題能力。

　　教學重點與難點：對數函數的性質的應用。

　　教學過程設計：

　　⒈復習提問：對數函數的概念及性質。

　　⒉開始正課

　　1 比較數的大小

　　例 1 比較下列各組數的大小。

　　⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)

　　⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл

　　師：請同學們觀察一下⑴中這兩個對數有何特征？

　　生：這兩個對數底相等。

　　師：那么對于兩個底相等的對數如何比大小？

　　生：可構造一個以a為底的對數函數，用對數函數的單調性比大小。

　　師：對，請敘述一下這道題的解題過程。

　　生：對數函數的單調性取決于底的大小：當0<a<1時，函數y=logax單

　　調遞減，所以loga5.1>loga5.9 ；當a>1時，函數y=logax單調遞

　　增，所以loga5.1<loga5.9。

　　板書：

　　解：ⅰ）當0<a<1時，函數y=logax在（0，+∞）上是減函數，

　　∵5.1<5.9 ∴loga5.1>loga5.9

　　ⅱ）當a>1時，函數y=logax在（0，+∞）上是增函數，

　　∵5.1<5.9 ∴loga5.1<loga5.9

　　師：請同學們觀察一下⑵中這三個對數有何特征？

　　生：這三個對數底、真數都不相等。

　　師：那么對于這三個對數如何比大小？

　　生：找“中間量”， log0.50.6>0，lnл>0，logл0.5<0；lnл>1，

　　log0.50.6<1，所以logл0.5< log0.50.6< lnл。

　　板書：略。

　　師：比較對數值的大小常用方法：①構造對數函數，直接利用對數函

　　數 的單調性比大小，②借用“中間量”間接比大小，③利用對數

　　函數圖象的位置關系來比大小。

　　2 函數的定義域, 值 域及單調性。

　　例 2 ⑴求函數y=的定義域。

　　⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)

　　師：如何來求⑴中函數的定義域？（提示：求函數的定義域，就是要

　　使函數有意義。若函數中含有分母，分母不為零；有偶次根式，

　　被開方式大于或等于零；若函數中有對數的形式，則真數大于

　　零，如果函數中同時出現以上幾種情況，就要全部考慮進去，求

　　它們共同作用的結果。）

　　生：分母2x-1≠0且偶次根式的被開方式log0.8x-1≥0，且真數x>0。　

　　板書：

　　解：∵　　 2x-1≠0　　　　　 x≠0.5

　　log0.8x-1≥0 ，　 x≤0.8

　　x>0　　　　　　　 x>0

　　∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕

　　師：接下來我們一起來解這個不等式。

　　分析：要解這個不等式,首先要使這個不等式有意義，即真數大于零，

　　再根據對數函數的單調性求解。

　　師：請你寫一下這道題的解題過程。

　　生：<板書>

　　解：　 x2+2x-3>0 　　　　　x<-3 或 x>1　 　　　

　　(3x+3)>0　 　　,　　 x>-1

　　x2+2x-3<(3x+3)　　　 -2<x<3

　　不等式的解為：1<x<3

　　例 3 求下列函數的值域和單調區間。

　　⑴y=log0.5(x- x2)

　　⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)

　　師：求例3中函數的的值域和單調區間要用及復合函數的思想方法。

　　下面請同學們來解⑴。

　　生：此函數可看作是由y= log0.5u, u= x- x2復合而成。

　　板書：

　　解：⑴∵u= x- x2>0, ∴0<x<1

　　u= x- x2=-(x-0.5)2+0.25, ∴0<u≤0.25

　　∴y= log0.5u≥log0.50.25=2

　　∴y≥2

　　x　　　 x(0,0.5]　　 x[0.5,1)

　　u= x- x2

　　y= log0.5u

　　y=log0.5(x- x2)

　　函數y=log0.5(x- x2)的單調遞減區間(0,0.5]，單調遞 增區間[0.5,1)

　　注：研究任何函數的性質時，都應該首先保證這個函數有意義，否則

　　函數都不存在，性質就無從談起。

　　師：在⑴的基礎上，我們一起來解⑵。請同學們觀察一下⑴與⑵有什

　　么區別？

　　生：⑴的底數是常值，⑵的底數是字母。

　　師：那么⑵如何來解？

　　生：只要對a進行分類討論，做法與⑴類似。

　　板書：略。

　　⒊小結

　　這堂課主要講解如何應用對數函數的性質解決一些問題，希望能

　　通過這堂課使同學們對等價轉化、分類討論等思想加以應用，提高解題能力。

　　⒋作業

　　⑴解不等式

　　①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1),(a為常數)

　　⑵已知函數y=loga(x2-2x)，(a>0,a≠1)

　　①求它的單調區間；②當0<a<1時，分別在各單調區間上求它的反函數。

　　⑶已知函數y=loga (a>0, b>0, 且 a≠1)

　　①求它的定義域；②討論它的奇偶性;　 ③討論它的單調性。

　　⑷已知函數y=loga(ax-1) (a>0,a≠1),

　　①求它的定義域；②當x為何值時，函數值大于1；③討論它的

　　單調性。

　　5.課堂教學設計說明

　　這節課是安排為習題課，主要利用對數函數的性質解決一些問題，整個一堂課分兩個部分：一 .比較數的大小,想通過這一部分的練習，

　　培養同學們構造函數的思想和分類討論、數形結合的思想。二.函數的定義域, 值 域及單調性，想通過這一部分的練習，能使同學們重視求函數的定義域。因為學生在求函數的值域和單調區間時，往往不考慮函數的定義域，并且這種錯誤很頑固，不易糾正。因此，力求學生做到想法正確，步驟清晰。為了調動學生的積極性，突出學生是課堂的主體，便把例題分了層次，由易到難，力求做到每題都能由學生獨立完成。但是，每一道題的解題過程，老師都應該給以板書，這樣既讓學生有了獲取新知識的快樂，又不必為了解題格式的不熟悉而煩惱。每一題講完后，由教師簡明扼要地小結，以使好學生掌握地更完善，較差的學生也能夠跟上。

對數函數 篇16

　　課題：指數函數與對數函數的性質及其應用

　　課型：綜合課

　　教學目標 ：在復習指數函數與對數函數的特性之后，通過圖像對比使學生較快的學會不求值比較指數函數與對數函數值的大小及提高對復合型函數的定義域與值域的解題技巧。

　　重點：指數函數與對數函數的特性。

　　難點：指導學生如何根據上述特性解決復合型函數的定義域與值域的問題。

　　教學方法：多媒體授課。

　　學法指導：借助列表與圖像法。

　　教具：多媒體教學設備。

　　教學過程 ：

　　一、   復習提問。通過找學生分別敘述指數函數與對數函數的公式及特性，加深學生的記憶。

　　二、   展示指數函數與對數函數的一覽表。并和學生們共同復習這些性質。

　　指數函數與對數函數關系一覽表

　　函數

　　性質

　　指數函數

　　y=ax （a＞0且a≠1）

　　對數函數

　　y=logax（a＞0且a≠1）

　　定義域

　　實數集R

　　正實數集（0，﹢∞）

　　值域

　　正實數集（0，﹢∞）

　　實數集R

　　共同的點

　　（0，1）

　　（1，0）

　　單調性

　　a＞1 增函數

　　a＞1 增函數

　　0＜a＜1 減函數

　　0＜a＜1 減函數

　　函數特性

　　a＞1

　　當x＞0,y＞1

　　當x＞1,y＞0

　　當x＜0,0＜y＜1

　　當0＜x＜1, y＜0

　　0＜a＜1

　　當x＞0, 0＜y＜1

　　當x＞1, y＜0

　　當x＜0,y＞1

　　當0＜x＜1, y＞0

　　反函數

　　y=logax（a＞0且a≠1）

　　y=ax （a＞0且a≠1）

　　圖像

　　Y

　　y=(1/2)x      y=2x

　　(0,1)

　　X

　　Y

　　y=log2x

　　(1,0)

　　X

　　y=log1/2x

　　三、   同一坐標系中將指數函數與對數函數進行合成， 觀察其特點，并得出y＝log2x與y＝2x、 y＝log1/2x與y＝（1/2）x 的圖像關于直線y＝x對稱，互為反函數關系。所以y＝logax與y＝ax互為反函數關系，且y＝logax的定義域與y＝ax的值域相同，y＝logax的值域與y＝ax的定義域相同。

　　Y

　　y＝(1/2)x                           y＝2x           y＝x

　　（0，1）              y＝log2x

　　（1，0）            X

　　y＝log1/2x

　　注意：不能由圖像得到y＝2x與y＝（1/2）x為偶函數關系。因為偶函數是指同一個函數的圖像關于Y軸對稱。此圖雖有y＝2x與y＝（1/2）x圖像對稱，但它們是2個不同的函數。

　　四、   利用指數函數與對數函數性質去解決含有指數與對數的復合型函數的定義域、值域問題及比較函數的大小值。

　　五、   例題

　　例⒈比較（Л）（－0.1）與（Л）（－0.5）的大小。

　　解：∵ y＝ax中， a＝Л＞1

　　∴ 此函數為增函數

　　又∵ ﹣0.1＞﹣0.5

　　∴ （Л）（－0.1）＞（Л）（－0.5）

　　例⒉比較log67與log76的大小。

　　解： ∵ log67＞log66＝1

　　log76＜log77＝1

　　∴  log67＞log76

　　注意：當2個對數值不能直接進行比較時，可在這2個對數中間插入一個已知數，間接比較這2個數的大小。

　　例⒊ 求y＝3√4-x2的定義域和值域。

　　解：∵√4-x2  有意義，須使4-x2≥0

　　即x2≤4，      |x|≤2

　　∴-2≤x≤2，即定義域為[-2，2]

　　又∵0≤x2≤4，   ∴0≤4-x2≤4

　　∴0≤√4-x2  ≤2，且y＝3x是增函數

　　∴30≤y≤32，即值域為[1，9]

　　例⒋ 求函數y＝√log0.25（log0.25x）的定義域。

　　解：要函數有意義，須使log0.25（log0.25x）≥0

　　又∵ 0＜0.25＜1，∴y＝log0.25x是減函數

　　∴ 0＜log0.25x≤1

　　∴ log0.251＜log0.25x≤log0.250.25

　　∴ 0.25≤x＜1，即定義域為[0.25，1）

　　六、   課堂練習

　　求下列函數的定義域

　　1.      y＝8[1/（2x-1）]

　　2.      y＝loga（1-x）2 （a＞0，且a≠1）

　　七、   評講練習

　　八、   布置作業 

　　第113頁，第10、11題。并預習指數函數與對數函數

　　在物理、社會科學中的實際應用。

對數函數 篇17

　　對數函數的應用 教案

　　教學目標 ：①掌握對數函數的性質。

　　②應用對數函數的性質可以解決：對數的大小比較，求復

　　合函數的定義域、值 域及單調性。

　　③ 注重函數思想、等價轉化、分類討論等思想的滲透,提高

　　解題能力。

　　教學重點與難點：對數函數的性質的應用。

　　教學過程 設計：

　　⒈復習提問：對數函數的概念及性質。

　　⒉開始正課

　　1 比較數的大小

　　例 1 比較下列各組數的大小。

　　⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)

　　⑵log0.50.6 ,logЛ0.5 ,lnЛ

　　師：請同學們觀察一下⑴中這兩個對數有何特征？

　　生：這兩個對數底相等。

　　師：那么對于兩個底相等的對數如何比大小？

　　生：可構造一個以a為底的對數函數，用對數函數的單調性比大小。

　　師：對，請敘述一下這道題的解題過程。

　　生：對數函數的單調性取決于底的大小：當0<a<1時，函數y=logax單

　　調遞減，所以loga5.1>loga5.9 ；當a>1時，函數y=logax單調遞

　　增，所以loga5.1<loga5.9。

　　板書：

　　解：Ⅰ）當0<a<1時，函數y=logax在（0，+∞）上是減函數，

　　∵5.1<5.9 ∴loga5.1>loga5.9

　　Ⅱ）當a>1時，函數y=logax在（0，+∞）上是增函數，

　　∵5.1<5.9 ∴loga5.1<loga5.9

　　師：請同學們觀察一下⑵中這三個對數有何特征？

　　生：這三個對數底、真數都不相等。

　　師：那么對于這三個對數如何比大小？

　　生：找“中間量”， log0.50.6>0，lnЛ>0，logЛ0.5<0；lnЛ>1，

　　log0.50.6<1，所以logЛ0.5< log0.50.6< lnЛ。

　　板書：略。

　　師：比較對數值的大小常用方法：①構造對數函數，直接利用對數函

　　數 的單調性比大小，②借用“中間量”間接比大小，③利用對數

　　函數圖象的位置關系來比大小。

　　2 函數的定義域, 值 域及單調性。

　　例 2 ⑴求函數y=的定義域。

　　⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)

　　師：如何來求⑴中函數的定義域？（提示：求函數的定義域，就是要

　　使函數有意義。若函數中含有分母，分母不為零；有偶次根式，

　　被開方式大于或等于零；若函數中有對數的形式，則真數大于

　　零，如果函數中同時出現以上幾種情況，就要全部考慮進去，求

　　它們共同作用的結果。）

　　生：分母2x-1≠0且偶次根式的被開方式log0.8x-1≥0，且真數x>0。

　　板書：

　　解：∵ 2x-1≠0 x≠0.5

　　log0.8x-1≥0 ， x≤0.8

　　x>0 x>0

　　∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕

　　師：接下來我們一起來解這個不等式。

　　分析：要解這個不等式,首先要使這個不等式有意義，即真數大于零，

　　再根據對數函數的單調性求解。

　　師：請你寫一下這道題的解題過程。

　　生：<板書>

　　解： x2+2x-3>0 x<-3 或 x>1

　　(3x+3)>0 , x>-1

　　x2+2x-3<(3x+3) -2<x<3

　　不等式的解為：1<x<3

　　例 3 求下列函數的值域和單調區間。

　　⑴y=log0.5(x- x2)

　　⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)

　　師：求例3中函數的的值域和單調區間要用及復合函數的思想方法。

　　下面請同學們來解⑴。

　　生：此函數可看作是由y=log0.5u, u=x- x2復合而成。

　　板書：

　　解：⑴∵u=x- x2>0, ∴0<x<1

　　u=x- x2=-(x-0.5)2+0.25, ∴0<u≤0.25

　　∴y=log0.5u≥log0.50.25=2

　　∴y≥2

　　x x(0,0.5] x[0.5,1)

　　u=x- x2

　　y=log0.5u

　　y=log0.5(x- x2)

　　函數y=log0.5(x- x2)的單調遞減區間(0,0.5]，單調遞 增區間[0.5,1)

　　注：研究任何函數的性質時，都應該首先保證這個函數有意義，否則

　　函數都不存在，性質就無從談起。

　　師：在⑴的基礎上，我們一起來解⑵。請同學們觀察一下⑴與⑵有什

　　么區別？

　　生：⑴的底數是常值，⑵的底數是字母。

　　師：那么⑵如何來解？

　　生：只要對a進行分類討論，做法與⑴類似。

　　板書：略。

　　⒊小結

　　這堂課主要講解如何應用對數函數的性質解決一些問題，希望能

　　通過這堂課使同學們對等價轉化、分類討論等思想加以應用，提高解題能力。

　　⒋作業 

　　⑴解不等式

　　①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1),(a為常數)

　　⑵已知函數y=loga(x2-2x)，(a>0,a≠1)

　　①求它的單調區間；②當0<a<1時，分別在各單調區間上求它的反函數。

　　⑶已知函數y=loga (a>0, b>0, 且 a≠1)

　　①求它的定義域；②討論它的奇偶性; ③討論它的單調性。

　　⑷已知函數y=loga(ax-1) (a>0,a≠1),

　　①求它的定義域；②當x為何值時，函數值大于1；③討論它的

　　單調性。

　　5.課堂教學設計說明

　　這節課是安排為習題課，主要利用對數函數的性質解決一些問題，整個一堂課分兩個部分：一 .比較數的大小,想通過這一部分的練習，

　　培養同學們構造函數的思想和分類討論、數形結合的思想。二.函數的定義域, 值 域及單調性，想通過這一部分的練習，能使同學們重視求函數的定義域。因為學生在求函數的值域和單調區間時，往往不考慮函數的定義域，并且這種錯誤很頑固，不易糾正。因此，力求學生做到想法正確，步驟清晰。為了調動學生的積極性，突出學生是課堂的主體，便把例題分了層次，由易到難，力求做到每題都能由學生獨立完成。但是，每一道題的解題過程，老師都應該給以板書，這樣既讓學生有了獲取新知識的快樂，又不必為了解題格式的不熟悉而煩惱。每一題講完后，由教師簡明扼要地小結，以使好學生掌握地更完善，較差的學生也能夠跟上。