排列組合二項式定理
1~10中一共有n=4+2+1=7個合數(shù).
題2:在前面的問題2中,步行從a村到b村的北路需要8時,中路需要4時,南路需要6時,b村到c村的北路需要5時,南路需要3時,要求步行從a村到c村的總時數(shù)不超過12時,共有多少種不同的走法?
第一步從a村到b村有3種走法,第二步從b村到c村有2種走法,共有n=3×2=6種不同走法.
題2中的合數(shù)是4,6,8,9,10這五個,其中6既含有因數(shù)2,也含有因數(shù)3;10既含有因數(shù)2,也含有因數(shù)5.題中的分析是錯誤的.
從a村到c村總時數(shù)不超過12時的走法共有5種.題2中從a村走北路到b村后再到c村,只有南路這一種走法.
(此時給出題1和題2的目的是為了引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用兩個基本原理的注意事項,這樣安排,不但可以使學(xué)生對兩個基本原理的理解更深刻,而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力)
進(jìn)行分類時,要求各類辦法彼此之間是相互排斥的,不論哪一類辦法中的哪一種方法,都能單獨完成這件事.只有滿足這個條件,才能直接用加法原理,否則不可以.
如果完成一件事需要分成幾個步驟,各步驟都不可缺少,需要依次完成所有步驟才能完成這件事,而各步要求相互獨立,即相對于前一步的每一種方法,下一步都有m種不同的方法,那么計算完成這件事的方法數(shù)時,就可以直接應(yīng)用乘法原理.
也就是說:類類互斥,步步獨立.
(在學(xué)生對問題的分析不是很清楚時,教師及時地歸納小結(jié),能使學(xué)生在應(yīng)用兩個基本原理時,思路進(jìn)一步清晰和明確,不再簡單地認(rèn)為什么樣的分類都可以直接用加法,只要分步而不管是否相互聯(lián)系就用乘法.從而深入理解兩個基本原理中分類、分步的真正含義和實質(zhì))
(三)應(yīng)用舉例
現(xiàn)在我們已經(jīng)有了兩個基本原理,我們可以用它們來解決一些簡單問題了.
例1 書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書,5本不同的語文書,6本不同的英語書.
(1)若從這些書中任取一本,有多少種不同的取法?
(2)若從這些書中,取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本,有多少種不同的取法?
(3)若從這些書中取不同的科目的書兩,有多少種不同的取法?
(讓學(xué)生思考,要求依據(jù)兩個基本原理寫出這3個問題的答案及理由,教師巡視指導(dǎo),并適時口述解法)
(1)從書架上任取一本書,可以有3類辦法:第一類辦法是從3本不同數(shù)學(xué)書中任取1本,有3種方法;第二類辦法是從5本不同的語文書中任取1本,有5種方法;第三類辦法是從6本不同的英語書中任取一本,有6種方法.根據(jù)加法原理,得到的取法種數(shù)是
n=m1+m2+m3=3+5+6=14.故從書架上任取一本書的不同取法有14種.
(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各1本,需要分成三個步驟完成,第一步取1本數(shù)學(xué)書,有3種方法;第二步取1本語文書,有5種方法;第三步取1本英語書,有6種方法.根據(jù)乘法原理,得到不同的取法種數(shù)是n=m1×m2×m3=3×5×6=90.故,從書架上取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各1本,有90種不同的方法.