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數(shù)的概念的發(fā)展

數(shù)的概念的發(fā)展


教學目標 

(1)了解數(shù)的概念發(fā)展的過程和動力;
(2)了解引進虛數(shù)單位i的必要性和作用;理解i的性質(zhì).
(3)正確對復數(shù)進行分類,掌握數(shù)集之間的從屬關系;
(4)了解數(shù)系從自然數(shù)到有理數(shù)到實數(shù)再到復數(shù)擴充的基本思想.


教學建議

1.教材分析

(1)知識結構

首先簡明扼要地對已經(jīng)學過的數(shù)集因生產(chǎn)與科學發(fā)展的需要而逐步擴充的過程作了概括;然后說明,數(shù)集的每一次擴充,對數(shù)學學科本身來說,也解決了原有數(shù)集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾,使得某些代數(shù)方程在新的數(shù)集中能夠有解。從而引出虛數(shù)單位i及其性質(zhì),接著,將數(shù)的范圍擴充到復數(shù),并指出復數(shù)后來由于在科學技術中得到應用而進一步發(fā)展。
①從實際生產(chǎn)需要推進數(shù)的發(fā)展

自然數(shù) 整數(shù) 有理數(shù) 無理數(shù)

②從解方程的需要推進數(shù)的發(fā)展

負數(shù) 分數(shù) 無理數(shù) 虛數(shù)

2)重點、難點分析

(一)認識的動力

從正整數(shù)擴充到整數(shù),從整數(shù)擴充到有理數(shù),從有理數(shù)擴充到實數(shù),數(shù)的概念是不斷發(fā)展的,其發(fā)展的動力來自兩個方面。

①解決實際問題的需要

由于計數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù);為了表示具有相反意義的量的需要產(chǎn)生了整數(shù);由于測量的需要產(chǎn)生了有理數(shù);由于表示量與量的比值(如正方形對角線的長度與邊長的比值)的需要產(chǎn)生了無理數(shù)(既無限不循環(huán)小數(shù))。

②解方程的需要。

為了使方程 有解,就引進了負數(shù);為了使方程 有解,就要引進分數(shù);為了使方程 有解,就要引進無理數(shù)。

引進無理數(shù)后,我們已經(jīng)能使方程 永遠有解,但是,這并沒有徹底解決問題,當 時,方程 在實數(shù)范圍內(nèi)無解。為了使方程 )有解,就必須把實數(shù)概念進一步擴大,這就必須引進新的數(shù)。

(二)注意數(shù)的概念在擴大時要遵循的原則

第一,要能解決實際問題中或數(shù)學內(nèi)部的矛盾。現(xiàn)在要解決的就是在實數(shù)集中,方程 無解這一矛盾。

第二,要盡量地保留原有數(shù)集(現(xiàn)在是實數(shù)集)的性質(zhì),特別是它的運算性質(zhì)。

(三)正確確認識數(shù)集之間的關系

①有理數(shù)就是一切形如 的數(shù),其中 ,所以有理數(shù)集實際就是分數(shù)集.

②“循環(huán)節(jié)不為0的循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)”.

③{有理數(shù)}={分數(shù)}={循環(huán)小數(shù)},{實數(shù)}={小數(shù)}.

④自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實數(shù)集R、復數(shù)集C之間有如下的包含關系:

2.教法建議

1)注意知識的連續(xù)性:數(shù)的發(fā)展過程是漫長的,每一次發(fā)展都來自于生產(chǎn)、生活和計算等需要,所以在教學時要注意使學生認識到數(shù)的發(fā)展的兩個動力.

2)創(chuàng)造良好的課堂氣氛:由于本節(jié)課要了解擴充實數(shù)集的必要性,所以,教師可以多向?qū)W生介紹一些數(shù)的發(fā)展過程中的一些科學史,課堂學習的氣氛可以營造成一種師生共同研究、共同交流的氣氛。

 

教學目的

1.使學生了解數(shù)是在人類社會的生產(chǎn)和生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來的,了解虛數(shù)產(chǎn)生歷史過程;

2.理解并掌握虛數(shù)單位的定義及性質(zhì);

3.掌握復數(shù)的定義及復數(shù)的分類.

教學重點

虛數(shù)單位的定義、性質(zhì)及復數(shù)的分類.

教學難點 

虛數(shù)單位的性質(zhì).

教學過程 

一、復習引入

原始社會,由于計數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)的概念,隨著文字的產(chǎn)生和發(fā)展,出現(xiàn)了記數(shù)的符號,進而建立了自然數(shù)的概念。自然數(shù)的全體構成自然數(shù)集.

為了表示具有相反意義的量引進了正負數(shù)以及表示沒有的零,這樣將數(shù)集擴充到有理數(shù)集

有些量與量之間的比值,如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果,無法用有理數(shù)表示,為解決這種矛盾,人們又引進了無理數(shù),有理數(shù)和無理數(shù)合并在一起,構成實數(shù)集.

數(shù)的概念是人類社會的生產(chǎn)和生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來的,數(shù)學理論的研究和發(fā)展也推動著,數(shù)已經(jīng)成為現(xiàn)代社會生活和科學技術時刻離不開的科學語言和工具.

二、新課教學

(一)虛數(shù)的產(chǎn)生

我們知道,在實數(shù)范圍內(nèi),解方程 是無能為力的,只有把實數(shù)集擴充到復數(shù)集才能解決.對于復數(shù) ab都是實數(shù))來說,當 時,就是實數(shù);當 時叫虛數(shù),當 時,叫做純虛數(shù).可是,歷史上引進虛數(shù),把實數(shù)集擴充到復數(shù)集可不是件容易的事,那么,歷史上是如何引進虛數(shù)的呢?

16世紀意大利米蘭學者卡當(1501—1576)在1545年發(fā)表的《重要的藝術》一書中,公布了三次方程的一般解法,被后人稱之為“卡當公式”.他是第一個把負數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學家,并且在討論是否可能把10分成兩部分,使它們的乘積等于40時,他把答案寫成 ,盡管他認為 這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的,但他還是把10分成了兩部分,并使它們的乘積等于40.給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學家笛卡爾(1596—1650),他在《幾何學》(1637年發(fā)表)中使“虛的數(shù)’‘與“實的數(shù)”相對應,從此,虛數(shù)才流傳開來.

數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星——虛數(shù),于是引起了數(shù)學界的一片困惑,很多大數(shù)學家都不承認虛數(shù).德國數(shù)學家菜不尼茨(1664—1716)在1702年說:“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所,它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”.瑞士數(shù)學大師歐拉(1707—1783)說:“一切形如 習的數(shù)學式子都是不可能有的,想象的數(shù),因為它們所表示的是負數(shù)的平方根.對于這類數(shù),我們只能斷言,它們既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它們純屬虛幻.”然而,真理性的東西一定可以經(jīng)得住時間和空間的考驗,最終占有自己的一席之地.法國數(shù)學家達蘭貝爾(.1717—1783)在 1747年指出,如果按照多項式的四則運算規(guī)則對虛數(shù)進行運算,那么它的結果總是 的形式(ab都是實數(shù))(說明:現(xiàn)行教科書中沒有使用記號 而使用 ).法國數(shù)學家棣莫佛(1667—1754)在1730年發(fā)現(xiàn)公式了 ,這就是著名的探莫佛定理.歐拉在 1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關系式 ,并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i來表示-1的平方根,首創(chuàng)了用符號i作為虛數(shù)的單位.“虛數(shù)”實際上不是想象出來的,而它是確實存在的.挪威的測量學家未塞爾(1745—1818)在1779年試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋,并首先發(fā)表其作法,然而沒有得到學術界的重視.

德國數(shù)學家高斯(1777—1855)在 1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法,即所有實數(shù)能用一條數(shù)軸表示,同樣,虛數(shù)也能用一個平面上的點來表示.在直角坐標系中,橫軸上取對應實數(shù)a的點A,縱軸上取對應實數(shù)b的點B,并過這兩點引平行于坐標軸的直線,它們的交點C就表示復數(shù) .象這樣,由各點都對應復數(shù)的平面叫做“復平面”,后來又稱“高斯平面”.高斯在1831年,用實數(shù)組(ab)代表復數(shù) ,并建立了復數(shù)的某些運算,使得復數(shù)的某些運算也象實數(shù)一樣地“代數(shù)化”.他又在1832年第一次提出了“復數(shù)”這個名詞,還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標法和極坐標法加以綜合.統(tǒng)一于表示同一復數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中,并把數(shù)軸上的點與實數(shù)—一對應,擴展為平面上的點與復數(shù)—一對應.高斯不僅把復數(shù)看作平面上的點,而且還看作是一種向量,并利用復數(shù)與向量之間—一對應的關系,闡述了復數(shù)的幾何加法與乘法.至此,復數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了.

經(jīng)過許多數(shù)學家長期不懈的努力,深刻探討并發(fā)展了復數(shù)理論,才使得在數(shù)學領域游蕩了200年的幽靈——虛數(shù)揭去了神秘的面紗,顯現(xiàn)出它的本來面目,原來虛數(shù)不虛呵.虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員,從而實數(shù)集才擴充到了復數(shù)集.

隨著科學和技術的進步,復數(shù)理論已越來越顯出它的重要性,它不但對于數(shù)學本身的發(fā)展有著極其重要的意義,而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力,也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù).

(二)、虛數(shù)單位

1.規(guī)定i叫虛數(shù)單位,并規(guī)定:

(1)

(2)實數(shù)與它進行四則運算時,原有的加、乘運算律仍然成立

2.形如 ( )的數(shù)叫復數(shù),常用一個字母z表示,即 ( )

注:(1)  ( )叫復數(shù)的代數(shù)形式;

(2)以后說復數(shù) 都有

(3)a叫復數(shù) ( )的實部記作 b叫復數(shù) ( )的虛部,用 表示;

(4)全體復數(shù)的所成的集合叫復數(shù)集用C表示.

1.指出下列復數(shù)的實部、虛部:

(1    (2)    (4)   (5)   

(6)    (7)   (8)10

3. 復數(shù) ( )當 z是實數(shù),當 ,z是虛數(shù).

2. ( )取什么值時,復數(shù) 是()

(1) 實數(shù)    (2) 純虛數(shù)  (3)    零

解:∵ ,∴

(1)z為實數(shù),則 解得:

(2) z為實數(shù),則 解得:

(3)z為零,則 解得:


數(shù)的概念的發(fā)展 相關內(nèi)容:
  • 復數(shù)的有關概念

    教學目標 (1)掌握,如虛數(shù)、純虛數(shù)、復數(shù)的實部與虛部、兩復數(shù)相等、復平面、實軸、虛軸、共軛復數(shù)、共軛虛數(shù)的概念。 (2)正確對復數(shù)進行分類,掌握數(shù)集之間的從屬關系; (3)理解復數(shù)的幾何意義,初步掌握復數(shù)集c和復平面內(nèi)所有的點...

  • 組合

    教學目標 (1)使學生正確理解的意義,正確區(qū)分排列、問題; (2)使學生掌握數(shù)的計算公式、數(shù)的性質(zhì)用數(shù)與排列數(shù)之間的關系; (3)通過學習知識,讓學生掌握類比的學習方法,并提高學生分析問題和解決問題的能力; (4)通過對排列、問...

  • 排列

    教學目標 (1)正確理解的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有; (2)了解和數(shù)的意義,能根據(jù)具體的問題,寫出符合要求的; (3)掌握數(shù)公式,并能根據(jù)具體的問題,寫出符合要求的數(shù); (4)會分析與數(shù)字有關的問題,培養(yǎng)學生的抽象能...

  • 排列、組合、二項式定理-基本原理

    教學目標 (1)正確理解加法原理與乘法原理的意義,分清它們的條件和結論; (2)能結合樹形圖來幫助理解加法原理與乘法原理; (3)正確區(qū)分加法原理與乘法原理,哪一個原理與分類有關,哪一個原理與分步有關; (4)能應用加法原理與乘...

  • 復數(shù)的乘法與除法

    教學目標 (1)掌握復數(shù)乘法與除法的運算法則,并能熟練地進行乘、除法的運算; (2)能應用i和 的周期性、共軛復數(shù)性質(zhì)、模的性質(zhì)熟練地進行解題; (3)讓學生領悟到“轉化”這一重要數(shù)學思想方法; (4)通過學習復數(shù)乘法與除法的運算...

  • 復數(shù)的向量表示

    教學目標 (1)掌握向量的有關概念:向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量; (2)理解并掌握復數(shù)集、復平面內(nèi)的點的集合、復平面內(nèi)以原點為起點的向量集合之間的一一對應關系; (3)掌握復數(shù)的模的定義及其幾何意義; (4)通...

  • 復數(shù)的有關概念

    教學目標 (1)掌握,如虛數(shù)、純虛數(shù)、復數(shù)的實部與虛部、兩復數(shù)相等、復平面、實軸、虛軸、共軛復數(shù)、共軛虛數(shù)的概念。 (2)正確對復數(shù)進行分類,掌握數(shù)集之間的從屬關系; (3)理解復數(shù)的幾何意義,初步掌握復數(shù)集c和復平面內(nèi)所有的點...

  • 數(shù)學教案-排列、組合、二項式定理-基本原理

    教學目標 (1)正確理解加法原理與乘法原理的意義,分清它們的條件和結論; (2)能結合樹形圖來幫助理解加法原理與乘法原理; (3)正確區(qū)分加法原理與乘法原理,哪一個原理與分類有關,哪一個原理與分步有關; (4)能應用加法原理與乘...

  • 線性規(guī)劃(通用16篇)

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  • 高三數(shù)學教案
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