排列
教學(xué)目標(biāo)
（1）正確理解的意義。能利用樹形圖寫出簡(jiǎn)單問題的所有；
（2）了解和數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的；
（3）掌握數(shù)公式，并能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的數(shù)；
（4）會(huì)分析與數(shù)字有關(guān)的問題，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；
（5）通過對(duì)應(yīng)用問題的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生通過對(duì)具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律，得出結(jié)論，以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。
教學(xué)建議
一、知識(shí)結(jié)構(gòu)
二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
本小節(jié)的重點(diǎn)是的定義、數(shù)及數(shù)的公式，并運(yùn)用這個(gè)公式去解決有關(guān)數(shù)的應(yīng)用問題.難點(diǎn)是導(dǎo)出數(shù)的公式和解有關(guān)的應(yīng)用題.突破重點(diǎn)、難點(diǎn)的關(guān)鍵是對(duì)加法原理和乘法原理的掌握和運(yùn)用，并將這兩個(gè)原理的基本思想方法貫穿在解決應(yīng)用問題當(dāng)中.
從n個(gè)不同元素中任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素的一個(gè).因此，兩個(gè)相同，當(dāng)且僅當(dāng)他們的元素完全相同，并且元素的順序也完全相同.數(shù)是指從n個(gè)不同元素中任取m（m≤n）個(gè)元素的所有不同的種數(shù)，只要弄清相同、不同，才有可能計(jì)算相應(yīng)的數(shù).與數(shù)是兩個(gè)概念，前者是具有m個(gè)元素的，后者是這種的不同種數(shù).從集合的角度看，從n個(gè)元素的有限集中取出m個(gè)組成的有序集，相當(dāng)于一個(gè)，而這種有序集的個(gè)數(shù)，就是相應(yīng)的數(shù).
公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解.要重點(diǎn)分析好 的推導(dǎo).
的應(yīng)用題是本節(jié)教材的難點(diǎn)，通過本節(jié)例題的分析，應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生解決應(yīng)用問題的能力.
在分析應(yīng)用題的解法時(shí)，教材上先畫出框圖，然后分析逐次填入時(shí)的種數(shù)，這樣解釋比較直觀，教學(xué)上要充分利用，要求學(xué)生作題時(shí)也應(yīng)盡量采用.
在教學(xué)應(yīng)用題時(shí)，開始應(yīng)要求學(xué)生寫解法要有簡(jiǎn)要的文字說明，防止單純的只寫一個(gè)數(shù)，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力，在基本掌握之后，可以逐漸地不作這方面的要求.
三、教法建議
①在講解數(shù)的概念時(shí)，要注意區(qū)分“數(shù)”與“一個(gè)”這兩個(gè)概念.一個(gè)是指“從n個(gè)不同元素中，任取出m個(gè)元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事；數(shù)是指“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù).例如，從3個(gè)元素a，b，c中每次取出2個(gè)元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：
ab，ac，ba，bc，ca，cb，
其中每一種都叫一個(gè)，共有6種，而數(shù)字6就是數(shù)，符號(hào) 表示數(shù).
②的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按一定順序”.
從定義知，只有當(dāng)元素完全相同，并且元素的順序也完全相同時(shí)，才是同一個(gè)，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的，都不是同一。叫不同.
在定義中“一定順序”就是說與位置有關(guān)，在實(shí)際問題中，要由具體問題的性質(zhì)和條件來決定，這一點(diǎn)要特別注意，這也是與后面學(xué)習(xí)的組合的根本區(qū)別.
在的定義中 ，如果 有的書上叫選，如果 ，此時(shí)叫全.
要特別注意，不加特殊說明，本章不研究重復(fù)問題.
③關(guān)于數(shù)公式的推導(dǎo)的教學(xué).公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解.課本上用的是不完全歸納法，先推導(dǎo) ， ，…，再推廣到 ，這樣由特殊到一般，由具體到抽象的講法，學(xué)生是不難理解的.
導(dǎo)出公式 后要分析這個(gè)公式的構(gòu)成特點(diǎn)，以便幫助學(xué)生正確地記憶公式，防止學(xué)生在“n”、“m”比較復(fù)雜的時(shí)候把公式寫錯(cuò).這個(gè)公式的特點(diǎn)可見課本第229頁(yè)的一段話：“其中，公式右邊第一個(gè)因數(shù)是n，后面每個(gè)因數(shù)都比它前面一個(gè)因數(shù)少1，最后一個(gè)因數(shù)是 ，共m個(gè)因數(shù)相乘.”這實(shí)際是講三個(gè)特點(diǎn)：第一個(gè)因數(shù)是什么？最后一個(gè)因數(shù)是什么？一共有多少個(gè)連續(xù)的自然數(shù)相乘.
公式 是在引出全數(shù)公式 后，將數(shù)公式變形后得到的公式.對(duì)這個(gè)公式指出兩點(diǎn)：（1）在一般情況下，要計(jì)算具體的數(shù)的值，常用前一個(gè)公式，而要對(duì)含有字母的數(shù)的式子進(jìn)行變形或作有關(guān)的論證，要用到這個(gè)公式，教材中第230頁(yè)例2就是用這個(gè)公式證明的問題；（2）為使這個(gè)公式在 時(shí)也能成立，規(guī)定 ，如同 時(shí) 一樣，是一種規(guī)定，因此，不能按階乘數(shù)的原意作解釋.
④建議應(yīng)充分利用樹形圖對(duì)問題進(jìn)行分析，這樣比較直觀，便于理解.
⑤學(xué)生在開始做應(yīng)用題的作業(yè) 時(shí)，應(yīng)要求他們寫出解法的簡(jiǎn)要說明，而不能只列出算式、得出答數(shù)，這樣有利于學(xué)生得更加扎實(shí).隨著學(xué)生解題熟練程度的提高，可以逐步降低這種要求.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
教學(xué)目標(biāo)
（1）正確理解的意義。能利用樹形圖寫出簡(jiǎn)單問題的所有；
（2）了解和數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的；
（3）會(huì)分析與數(shù)字有關(guān)的問題，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；
教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)是的定義、數(shù)并運(yùn)用這個(gè)公式去解決有關(guān)數(shù)的應(yīng)用問題。
難點(diǎn)是解有關(guān)的應(yīng)用題。
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
一、 復(fù)習(xí)引入
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)基本原理，請(qǐng)大家完成以下兩題的練習(xí)（用投影儀出示）：
1.書架上層放著50本不同的社會(huì)科學(xué)書，下層放著40本不同的自然科學(xué)的書.
（1）從中任取1本，有多少種取法？
（2）從中任取社會(huì)科學(xué)書與自然科學(xué)書各1本，有多少種不同的取法？
2.某農(nóng)場(chǎng)為了考察三個(gè)外地優(yōu)良品種A，B，C，計(jì)劃在甲、乙、丙、丁、戊共五種類型的土地上分別進(jìn)行引種試驗(yàn)，問共需安排多少個(gè)試驗(yàn)小區(qū)？
找一同學(xué)談解答并說明怎樣思考的的過程
第1（1）小題從書架上任取1本書，有兩類辦法，第一類辦法是從上層取社會(huì)科學(xué)書，可以從50本中任取1本，有50種方法；第二類辦法是從下層取自然科學(xué)書，可以從40本中任取1本，有40種方法.根據(jù)加法原理，得到不同的取法種數(shù)是50+40=90.第（2）小題從書架上取社會(huì)科學(xué)、自然科學(xué)書各1本（共取出2本），可以分兩個(gè)步驟完成：第一步取一本社會(huì)科學(xué)書，第二步取一本自然科學(xué)書，根據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是： 50×40=2000.
第2題說，共有A，B，C三個(gè)優(yōu)良品種，而每個(gè)品種在甲類型土地上實(shí)驗(yàn)有三個(gè)小區(qū)，在乙類型的土地上有三個(gè)小區(qū)……所以共需3×5=15個(gè)實(shí)驗(yàn)小區(qū).
二、 講授新課
學(xué)習(xí)了兩個(gè)基本原理之后，現(xiàn)在我們繼續(xù)學(xué)習(xí)問題，這是我們本節(jié)討論的重點(diǎn).先從實(shí)例入手：
1.北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線，需要準(zhǔn)備多少種不同飛機(jī)票？
由學(xué)生設(shè)計(jì)好方案并回答.
（1）用加法原理設(shè)計(jì)方案.
首先確定起點(diǎn)站，如果北京是起點(diǎn)站，終點(diǎn)站是上海或廣州，需要制2種飛機(jī)票，若起點(diǎn)站是上海，終點(diǎn)站是北京或廣州，又需制2種飛機(jī)票；若起點(diǎn)站是廣州，終點(diǎn)站是北京或上海，又需要2種飛機(jī)票，共需要2+2+2=6種飛機(jī)票.
（2）用乘法原理設(shè)計(jì)方案.
首先確定起點(diǎn)站，在三個(gè)站中，任選一個(gè)站為起點(diǎn)站，有3種方法.即北京、上海、廣泛任意一個(gè)城市為起點(diǎn)站，當(dāng)選定起點(diǎn)站后，再確定終點(diǎn)站，由于已經(jīng)選了起點(diǎn)站，終點(diǎn)站只能在其余兩個(gè)站去選.那么，根據(jù)乘法原理，在三個(gè)民航站中，每次取兩個(gè)，按起點(diǎn)站在前、終點(diǎn)站在后的順序不同方法共有3×2=6種.
根據(jù)以上分析由學(xué)生（板演）寫出所有種飛機(jī)票
再看一個(gè)實(shí)例.
在航海中，船艦常以“旗語(yǔ)”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號(hào).如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時(shí)升起表示一定的信號(hào)，問這樣總共可以表示出多少種不同的信號(hào)？
找學(xué)生談自己對(duì)這個(gè)問題的想法.
事實(shí)上，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個(gè)排法表示一種信號(hào)，所以不同顏色的同時(shí)升起可以表示出來的信號(hào)種數(shù)，也就是紅、黃、綠這三面旗子的所有不同順序的排法總數(shù).
首先，先確定最高位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個(gè)，有3種方法；
其次，確定中間位置的旗子，當(dāng)最高位置確定之后，中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取，有2種方法.剩下那面旗子，放在最低位置.
根據(jù)乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時(shí)升起表示出所有信號(hào)種數(shù)是：3×2×1=6（種）.
根據(jù)學(xué)生的分析，由另外的同學(xué)（板演）寫出三面旗子同時(shí)升起表示信號(hào)的所有情況.（包括每個(gè)位置情況）
第三個(gè)實(shí)例，讓全體學(xué)生都參加設(shè)計(jì)，把所有情況（包括每個(gè)位置情況）寫出來.
由數(shù)字1，2，3，4可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？寫出這些所有的三位數(shù).
根據(jù)乘法原理，從四個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出三個(gè)排成三位數(shù)的方法共有4×3×2=24（個(gè)）.
請(qǐng)板演的學(xué)生談?wù)勗鯓酉氲模?P> 第一步，先確定百位上的數(shù)字.在1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有4種取法.
第二步，確定十位上的數(shù)字.當(dāng)百位上的數(shù)字確定以后，十位上的數(shù)字只能從余下的三個(gè)數(shù)字去取，有3種方法.
第三步，確定個(gè)位上的數(shù)字.當(dāng)百位、十位上的數(shù)字都確定以后，個(gè)位上的數(shù)字只能從余下的兩個(gè)數(shù)字中去取，有2種方法.
根據(jù)乘法原理，所以共有4×3×2=24種.
下面由教師提問，學(xué)生回答下列問題
（1）以上我們討論了三個(gè)實(shí)例，這三個(gè)問題有什么共同的地方？
都是從一些研究的對(duì)象之中取出某些研究的對(duì)象.
（2）取出的這些研究對(duì)象又做些什么？
實(shí)質(zhì)上按著順序排成一排，交換不同的位置就是不同的情況.
（3）請(qǐng)大家看書，第×頁(yè)、第×行. 我們把被取的對(duì)象叫做雙元素，如上面問題中的民航站、旗子、數(shù)字都是元素.
上面第一個(gè)問題就是從3個(gè)不同的元素中，任取2個(gè)，然后按一定順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，后來又寫出所有排法.
第二個(gè)問題，就是從3個(gè)不同元素中，取出3個(gè)，然后按一定順序排成一列，求一共有多少排法和寫出所有排法.
第三個(gè)問題呢？
從4個(gè)不同的元素中，任取3個(gè)，然后按一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，并寫出所有的排法.
給出定義
請(qǐng)看課本，第×頁(yè)，第×行.一般地說，從n個(gè)不同的元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情況），按著一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè).
下面由教師提問，學(xué)生回答下列問題
（1）按著這個(gè)定義，結(jié)合上面的問題，請(qǐng)同學(xué)們談?wù)勈裁词窍嗤模渴裁词遣煌模?P> 從的定義知道，如果兩個(gè)相同，不僅這兩個(gè)的元素必須完全相同，而且的順序（即元素所在的位置）也必須相同.兩個(gè)條件中，只要有一個(gè)條件不符合，就是不同的.
如第一個(gè)問題中，北京—廣州，上海—廣州是兩個(gè)，第三個(gè)問題中，213與423也是兩個(gè).
再如第一個(gè)問題中，北京—廣州，廣州—北京；第二個(gè)問題中，紅黃綠與紅綠黃；第三個(gè)問題中231和213雖然元素完全相同，但順序不同，也是兩個(gè).
（2）還需要搞清楚一個(gè)問題，“一個(gè)”是不是一個(gè)數(shù)？
生：“一個(gè)”不應(yīng)當(dāng)是一個(gè)數(shù)，而應(yīng)當(dāng)指一件具體的事.如飛機(jī)票“北京—廣州”是一個(gè)，“紅黃綠”是一種信號(hào)，也是一個(gè).如果問飛機(jī)票有多少種？能表示出多少種信號(hào).只問種數(shù)，不用把所有情況羅列出來，才是一個(gè)數(shù).前面提到的第三個(gè)問題，實(shí)質(zhì)上也是這樣的.
三、 課堂練習(xí)
大家思考，下面的問題怎樣解？
有四張卡片，每張分別寫著數(shù)碼1，2，3，4.有四個(gè)空箱，分別寫著號(hào)碼1，2，3，4.把卡片放到空箱內(nèi)，每箱必須并且只能放一張，而且卡片數(shù)碼與箱子號(hào)碼必須不一致，問有多少種放法？（用投影儀示出）
分析：這是從四張卡片中取出4張，分別放在四個(gè)位置上，只要交換卡片位置，就是不同的放法，是個(gè)附有條件的問題.
解法是：第一步把數(shù)碼卡片四張中2，3，4三張任選一個(gè)放在第1空箱.
第二步從余下的三張卡片中任選符合條件的一張放在第2空箱.
第三步從余下的兩張卡片中任選符合條件的一張放在第3空箱.
第四步把最后符合條件的一張放在第四空箱.具體排法，用下面圖表表示：
所以，共有9種放法.
四、作業(yè)
課本：P232練習(xí)1，2，3，4，5，6，7.