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九年級下冊簡介

九年級下冊簡介

第27章 相似

本章的主要內(nèi)容包括相似圖形的概念和性質(zhì),相似三角形的判定,相似三角形的應(yīng)用舉例和位似變換等。此前學(xué)習(xí)的全等是圖形之間的一種特殊關(guān)系,而本章學(xué)習(xí)的相似是比全等更具一般性的圖形之間的關(guān)系。全等可以被認(rèn)為是特殊的相似(相似比為1),對于全等的認(rèn)識是學(xué)習(xí)相似的重要基礎(chǔ)。

本套教科書從第八章“全等三角形”開始,在學(xué)習(xí)要求上已進(jìn)入推理證明階段。本章的學(xué)習(xí)應(yīng)在前面已有基礎(chǔ)上一以貫之,即繼續(xù)進(jìn)行必要的推理證明,但要把握問題的難度,不宜證明難度較大的題目,而把證明的重點(diǎn)放在幫助學(xué)生理解基本定理的合理性之上。

第27.1節(jié)“圖形的相似”從學(xué)生熟悉的一些實(shí)際問題說起,引出相似圖形的概念,以及相似多邊形的概念、性質(zhì)等,使學(xué)生對相似先有一個一般性的認(rèn)識。

第27.2節(jié)“相似三角形”的內(nèi)容是討論最基本的多邊形──三角形的相似關(guān)系,這是認(rèn)識相似關(guān)系的基礎(chǔ),也是本章的重點(diǎn)內(nèi)容。教科書首先安排了證明了“過三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線,截出的三角形與原三角形相似”,然后將其推廣到更一般的結(jié)論“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”。在此基礎(chǔ)上,教科書安排了三個探究問題,引導(dǎo)學(xué)生得出相似三角形的三種主要判定方法。教科書對于其中第一個問題進(jìn)行了推導(dǎo)證明,另兩個問題的推導(dǎo)證明安排學(xué)生自己完成。接著,教科書通過三個例題討論在測量中如何利用相似三角形的知識,這些例題代表了測量中的常見典型問題。本節(jié)最后安排了相似三角形的周長和面積問題。

第27.3節(jié)“位似”討論一種圖形變換──位似變換。位似是一種特殊的相似,它的特殊性表現(xiàn)在“兩個相似圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線都交于一點(diǎn)(位似中心)”。教科書安排了利用坐標(biāo)描述位似變換的內(nèi)容,這是數(shù)形結(jié)合方法的體現(xiàn)。本套教科書中先后共出現(xiàn)了四種圖形變換:平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)和位似,本節(jié)最后安排了一幅包含這四種變換的圖案,學(xué)生通過思考圖案中的問題,可以對四種變換進(jìn)行綜合回顧。

第28章 銳角三角函數(shù)

本章主要內(nèi)容包括:銳角三角函數(shù)(正弦、余弦和正切),解直角三角形。銳角三角函數(shù)是自變量為銳角時的三角函數(shù),即縮小了定義域的后的三角函數(shù)。解直角三角形在實(shí)際當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用,銳角三角函數(shù)為解直角三角形提供了有效的工具。相似三角形的知識是學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的直接基礎(chǔ),勾股定理等內(nèi)容也是解直角三角形時經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)結(jié)論,因此本章與第18章“勾股定理”和第27章“相似”有密切關(guān)系。

銳角三角函數(shù)是本套教科書中唯一出現(xiàn)過的初等超越函數(shù),出現(xiàn)過的其他函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)等)都是代數(shù)函數(shù)。銳角三角函數(shù)的一個突出特點(diǎn)是概念的產(chǎn)生和應(yīng)用都與圖形分不開。銳角三角函數(shù)具有鮮明的幾何意義,其自變量是角, 函數(shù)值是直角三角形中邊長的比值。學(xué)習(xí)本章不僅可以使學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)識更全面,而且可以對用變化和對應(yīng)的觀點(diǎn)討論幾何圖形問題的方法認(rèn)識得更深入。

第28.1節(jié)“銳角三角函數(shù)”中,教科書從沿山坡鋪設(shè)水管的問題談起,通過討論直角三角形中直角邊與斜邊的比,使學(xué)生感受到銳角的大小確定后相應(yīng)邊的比也隨之確定,而且不同的角度對應(yīng)不同的比值,這種對應(yīng)正是函數(shù)關(guān)系。教科書設(shè)置了“探究”欄目,讓學(xué)生通過自主探究,利用相似三角形得出結(jié)論,由此引出正弦函數(shù)的概念。在此基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生類比對正弦函數(shù)的討論,得出余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義。接著教科書討論了“已知角的大小求它的三角函數(shù)值”和“已知角的三角函數(shù)值求角”這兩種問題,這樣就從兩個相反方向再次強(qiáng)調(diào)了銳角與其三角函數(shù)值之間的一一對應(yīng)關(guān)系。現(xiàn)在計算器已經(jīng)成為學(xué)習(xí)和運(yùn)用三角函數(shù)的有力工具,教科書在本節(jié)最后介紹了如何使用計算器求三角函數(shù)值以及如何由三角函數(shù)值求對應(yīng)的角。
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