兩圓的公切線

第一課時 （一）

教學目標：

（1）理解兩圓相切長等有關概念，掌握兩圓外公切線長的求法；

（2）培養學生的歸納、總結能力；

（3）通過兩圓外公切線長的求法向學生滲透“轉化”思想.

教學重點：

理解兩圓相切長等有關概念，兩圓外公切線的求法.

教學難點：

兩圓外公切線和兩圓外公切線長學生理解的不透，容易混淆.

教學活動設計

（一）實際問題（引入）

很多機器上的傳動帶與主動輪、從動輪之間的位置關系，給我們以一條直線和兩個同時相切的形象.（這里是一種簡單的數學建模，了解數學產生與實踐）

（二）概念

1、概念：

教師引導學生自學.給出兩圓的外公切線、內公切線以及公切線長的定義：

和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線.

(1)外公切線：兩個圓在公切線的同旁時，這樣的公切線叫做外公切線.

(2)內公切線：兩個圓在公切線的兩旁時，這樣的公切線叫做內公切線.

(3)公切線的長：公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長.

2、理解概念：

(1)公切線的長與切線的長有何區別與聯系?

(2)公切線的長與公切線又有何區別與聯系?

(1)公切線的長與切線的長的概念有類似的地方，即都是線段的長.但公切線的長是對兩個圓來說的，且這條線段是以兩切點為端點；切線長是對一個圓來說的，且這條線段的一個端點是切點，另一個端點是圓外一點.

(2)公切線是直線，而公切線的長是兩切點問線段的長，前者不能度量，后者可以度量.

（三）兩圓的位置與公切線條數的關系

組織學生觀察、概念、概括，培養學生的學習能力.添寫教材P143練習第2題表.

（四）應用、反思、總結

例1、已知：⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為2cm和7cm，圓心距O₁O₂=13cm，AB是⊙O₁、⊙O₂的外公切線，切點分別是A、B.求：公切線的長AB.

分析：首先想到切線性質，故連結O₁A、O₂B，得直角梯形AO₁O₂B.一般要把它分解成一個直角三角形和一個矩形，再用其性質.（組織學生分析，教師點撥，規范步驟）

解：連結O₁A、O₂B，作O₁A⊥AB，O₂B⊥AB.

過 O₁作O₁C⊥O₂B，垂足為C，則四邊形O₁ABC為矩形，

于是有

O₁C⊥C O₂，O₁C=AB，O₁A=CB.

在Rt△O₂CO₁和.

O₁O₂=13，O₂C=O₂B- O₁A=5

AB=O₁C= (cm).

反思：（1）“轉化”思想，構造三角形；（2）初步掌握添加輔助線的方法.

 例2*、如圖，已知⊙O₁、⊙O₂外切于P，直線AB為，A、B為切點，若PA=8cm，PB=6cm，求切線AB的長.

分析：因為線段AB是△APB的一條邊，在△APB中，已知PA和PB的長，只需先證明△PAB是直角三角形，然后再根據勾股定理，使問題得解.證△PAB是直角三角形，只需證△APB中有一個角是90°(或證得有兩角的和是90°)，這就需要溝通角的關系，故過P作CD如圖，因為AB是，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP.因為∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此題得解.

解：過點P作CD

∵ AB是⊙O₁和⊙O₂的切線，A、B為切點

∴∠CPA=∠BAP ∠CPB=∠ABP

又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°

∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°

∴∠CPA+∠CPB=90° 即∠APB=90°

在 Rt△APB中，AB²=AP²+BP²

說明：兩圓相切時，常過切點作，溝通兩圓中的角的關系.

（五）鞏固練習

1、當兩圓外離時，外公切線、圓心距、兩半徑之差一定組成( )

(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等邊三角形 (D)以上答案都不對.

此題考察外公切線與外公切線長之間的差別，答案(D)

2、外公切線是指

(A)和兩圓都祖切的直線 (B)兩切點間的距離 

(C)兩圓在公切線兩旁時的公切線 (D)兩圓在公切線同旁時的公切線

直接運用外公切線的定義判斷.答案：(D)

3、教材P141練習（略）

（六）小結（組織學生進行）

知識：、外公切線、內公切線及公切線的長概念；

能力：歸納、概括能力和求外公切線長的能力；

思想：“轉化”思想.

（七）作業 ：P151習題10，11.

第二課時 （二）

教學目標：

（1）掌握兩圓內公切線長的求法以及公切線與連心線的夾角或公切線的交角；

（2）培養的遷移能力，進一步培養學生的歸納、總結能力；

（3）通過兩圓內公切線長的求法進一步向學生滲透“轉化”思想.

教學重點：

兩圓內公切線的長及公切線與連心線的夾角或公切線的交角求法.

教學難點：

兩圓內公切線和兩圓內公切線長學生理解的不透，容易混淆.

教學活動設計

（一）復習基礎知識

（1）概念：公切線、內外公切線、內外公切線的長.

（2）兩圓的位置與公切線條數的關系.（構成數形對應，且一一對應）

（二）應用、反思

例1、（教材例2）已知：⊙O₁和⊙O₂的半徑分別為4厘米和2厘米，圓心距 為10厘米，AB是⊙O₁和⊙O₂的一條內公切線，切點分別是A，B.

求：公切線的長AB。

組織學生分析，遷移外公切線長的求法，既培養學生解決問題的能力，同時也培養學生學習的遷移能力.

解：連結O₁A、O₂B，作O₁A⊥AB，O₂B⊥AB.

過 O₁作O₁C⊥O₂B，交O₂B的延長線于C，

則O₁C=AB，O₁A=BC.

在Rt△O₂CO₁和.

O₁O₂=10，O₂C=O₂B+ O₁A=6

∴O₁C=(cm).

∴AB=8（cm）

反思：與外離兩圓的內公切線有關的計算問題，常構造如此題的直角梯行及直角三角形，在Rt△O₂CO₁中，含有內公切線長、圓心距、兩半徑和重要數量.注意用解直角三角形的知識和幾何知識綜合去解構造后的直角三角形.

例2 （教材例3）要做一個圖那樣的礦型架，將兩個鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為200毫米和80毫米，求V形角α的度數.

解：(略)

反思：實際問題經過抽象、化簡轉化成數學問題，應用數學知識來解決，這是解決實際問題的重要方法.它屬于簡單的數學建模.

組織學生進行，教師引導.

歸納：（1）用解直角三角形的有關知識可得：當公切線長l、兩圓的兩半徑和R+r、圓心距d、兩圓公切線的夾角α四個量中已知兩個量時，就可以求出其他兩個量.

， ；

（2）上述問題可以通過相似三角形和解三角形的知識解決.

（三）鞏固訓練

教材P142練習第1題，教材P145練習第1題.

學生獨立完成，教師巡視，發現問題及時糾正.

（四）小結

（1）求兩圓的內公切線，“轉化”為解直角三角形問題.公切線長、圓心距、兩半徑和三個量中已知任何兩個量，都可以求第三個量；

（2）如果兩圓有兩條外(或內)公切線，并且它們相交，那么交點一定在兩圓的連心線上；

（3）求兩圓兩外(或內)公切線的夾角.

（五）作業 

教材P153中12、13、14.

第三課時 （三）

教學目標：

（1）理解兩圓公切線在解決有關兩圓相切的問題中的作用, 輔助線規律，并會應用；

（2）通過兩圓公切線在證明題中的應用，培養學生的分析問題和解決問題的能力.

教學重點：

會在證明兩圓相切問題時，輔助線的引法規律，并能應用于幾何題證明中.

教學難點：

綜合知識的靈活應用和綜合能力培養.

教學活動設計

（一）復習基礎知識

（1）概念.

（2）切線的性質，弦切角等有關概念.

（二）公切線在解題中的應用

例1、如圖，⊙O₁和⊙O₂外切于點A，BC是⊙O₁和⊙O₂的公切線，B，C為切點.若連結AB、AC會構成一個怎樣的三角形呢？

觀察、度量實驗（組織學生進行）

猜想：（學生猜想）∠BAC=90°

證明：過點A作⊙O₁和⊙O₂的內切線交BC于點O.

∵OA、OB是⊙O₁的切線，

∴OA=OB.

同理OA=OC.

∴ OA=OB=OC.

∴∠BAC=90°.

反思：（1）公切線是解決問題的橋梁，綜合應用知識是解決問題的關鍵；（2）作是常見的一種作輔助線的方法.

例2、己知：如圖，⊙O₁和⊙O₂內切于P，大圓的弦AB交小圓于C，D.

求證：∠APC＝∠BPD.

分析：從條件來想，兩圓內切，可能作出的輔助線是作連心線O₁O₂，或作外公切線.

證明：過P點作MN.

∵∠MPC=∠PDC，∠MPN=∠B，

∴∠MPC－∠MPN=∠PDC－∠B，

即∠APC＝∠BPD.

反思：（1）作了兩圓公切線MN后，弦切角就把兩個圓中的圓周角聯系起來了.要重視MN的“橋梁”作用.（2）此例證角相等的方法是利用已知角的關系計算.

拓展：（組織學生研究，培養學生深入研究問題的意識）

己知：如圖，⊙O₁和⊙O₂內切于P，大圓⊙O₁的弦AB與小圓⊙O₂相切于C點.

是否有：∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB.

答案：有∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB.如圖作輔助線，證明方法步驟參看典型例題中例4.

（三）練習

練習1、教材145練習第2題.

練習2、如圖，已知兩圓內切于P，大圓的弦AB切小圓于C，大圓的弦PD過C點.

求證：PA·PB=PD·PC.

證明：過點P作EF

∵ AB是小圓的切線，C為切點

∴∠FPC=∠BCP，∠FPB=∠A

又∵∠1=∠BCP-∠A ∠2=∠FPC-∠FPB

∴∠1=∠2 ∵∠A=∠D，∴△PAC∽△PDB

∴PA·PB=PD·PC

說明：此題在例2題的拓展的基礎上解得非常容易.

（三）總結

學習了，應該掌握以下幾個方面

1、由圓的軸對稱性，兩圓外(或內)公切線的交點(如果存在)在連心線上.

2、公切線長的計算，都轉化為解直角三角形，故解題思路主要是構造直角三角形. 

3、常用的輔助線：

（1）兩圓在各種情況下常考慮添連心線；

（2）兩圓外切時，常添內公切線；兩圓內切時，常添外公切線.

4、自己要有深入研究問題的意識，不斷反思，不斷歸納總結.

（四）作業 教材P151習題中15，B組2.

探究活動

問題：如圖1，已知兩圓相交于A、B，直線CD與兩圓分別相交于C、E、F、D.

(1)用量角器量出∠EAF與∠CBD的大小，根據量得結果，請你猜想∠EAF與∠CBD的大小之間存在怎樣的關系，并證明你所得到的結論.

(2)當直線CD的位置如圖2時，上題的結論是否還能成立?并說明理由.

(3)如果將已知中的“兩圓相交”改為“兩圓外切于點A”，其余條件不變（如圖3），那么第（1）題所得的結論將變為什么？并作出證明.

提示：（1）（2）（3）都有∠EAF+∠CBD=180°.證明略（如圖作輔助線）.

說明：問題從操作測量得到的實驗數據入手，進行數據分析，歸納得出猜想，進而證明猜想成立.這也是數學發現的一種方法.第(2)、(3)題是對第(1)題結論的推廣和特殊化.第(3)題中若CD移動到與兩圓相切于點C、D，那么結論又將變為∠CAD＝90°.