數學教案－圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系

第一課時 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系（一）

教學目標 ：

（1）理解圓的旋轉不變性，掌握圓心角、弧、弦、弦心距之間關系定理推論及應用；

（2）培養學生實驗、觀察、發現新問題，探究和解決問題的能力；

（3）通過教學內容向學生滲透事物之間可相互轉化的辯證唯物主義教育，滲透圓的內在美（圓心角、弧、弦、弦心距之間關系），激發學生的求知欲.

教學重點、難點：

重點：圓心角、弧、弦、弦心距之間關系定理的推論.

難點：從感性到理性的認識，發現、歸納能力的培養.

教學活動設計

教學內容設計

（一）圓的對稱性和旋轉不變性

學生動手畫圓，對折、觀察得出：圓是軸對稱圖形和中心對稱圖形；圓的旋轉不變性.

引出圓心角和弦心距的概念：

圓心角定義：頂點在圓心的角叫圓心角.

弦心距定義：從圓心到弦的距離叫做弦心距.

（二）圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系

應用電腦動畫（實驗）觀察，在同圓等圓中，圓心角變化時，圓心角所對應的弧、弦、弦心距之間的關系，得出定理的內容.這樣既培養學生觀察、比較、分析和歸納知識的能力，又可以充分調動學生的學習的積極性.

定理：在同圓等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對弦的弦心距也相等.

（三）剖析定理得出推論

問題1：定理中去掉“在同圓或等圓中”這個前提，否則也不一定有所對的弧、弦、弦心距相等這樣的結論.（學生分小組討論、交流）

舉出反例：如圖，∠AOB=∠COD，但AB CD， .（強化對定理的理解，培養學生的思維批判性.）

問題2、在同圓等圓中，若圓心角所對的弧相等，將又怎樣呢？（學生分小組討論、交流，老師與學生交流對話），歸納出推論.

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.（推論包含了定理，它是定理的拓展）

（四）應用、鞏固和反思

例1、如圖，點O是∠EPF的平分線上一點，以O為圓心的圓和角的兩邊所在的直線分別交于點A、B和C、D，求證：AB=CD.

解（略，教材87頁）

例題拓展：當P點在圓上或圓內是否還有AB=CD呢？

（讓學生自主思考，并使圖形運動起來，讓學生在運動中學習和研究幾何問題）

練習：（教材88頁練習）

1、已知：如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，OE、OF為AB、CD的弦心距，根據本節定理及推論填空：    .

（1）如果AB＝CD，那么______，______，______；

（2）如果OE＝OG，那么______，______，______；

（3）如果 =，那么______，______，______；

（4）如果∠AOB＝∠COD，那么______，______，______.

（目的：鞏固基礎知識）

2、（教材88頁練習3題，略.定理的簡單應用）

（五）小結：學生自己歸納，老師指導.

知識：①圓的對稱性和旋轉不變性；②圓心角、弧、弦、弦心距之間關系，它反映出在圓中相等量的靈活轉換.

能力和方法：①增加了證明角相等、線段相等以及弧相等的新方法；②實驗、觀察、發現新問題，探究和解決問題的能力.

（六）作業 ：教材P99中1（1）、2、3.

第二課時 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系（二）

教學目標 ：

（1）理解1° 弧的概念，能熟練地應用本節知識進行有關計算；

（2）進一步培養學生自學能力，應用能力和計算能力；

（3）通過例題向學生滲透數形結合能力.

教學重點、難點：

重點：圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關系的應用.

難點：理解1° 弧的概念.

教學活動設計：

（一）閱讀理解

學生獨立閱讀P89中，1°的弧的概念，使學生從感性的認識到理性的認識.

理解：

（1）把頂點在圓心的周角等分成360份時，每一份的圓心角是1°的角.

（2）因為在同圓中相等的圓心角所對的弧相等，所以整個圓也被等分成360份，這時，把每一份這樣得到的弧叫做1°的弧.

（3）圓心角的度數和它們對的弧的度數相等.

（二）概念鞏固

1、判斷題：

（1）等弧的度數相等（ ）；

（2）圓心角相等所對應的弧相等（ ）；

（3）兩條弧的長度相等，則這兩條弧所對應的圓心角相等（ ）

2、解得題：

（1）度數是5°的圓心角所對的弧的度數是多少?為什么?

（2）5°的圓心角對著多少度的弧？ 5°的弧對著多少度的圓心角?

（3）n°的圓心角對著多少度的弧?  n°的弧對著多少度的圓心角?

（三）疑難解得

對于①弧相等；②弧的長度相等；③弧的度數相等；④圓心角的度數和它們對的弧的度數相等.學生在學習中有疑難的老師要及時解得.

特別是對于“圓心角的度數和它們對的弧的度數相等”，一定讓學生弄清楚這里說的相等指的是“角與弧的度數”相等，而不是“角與弧”相等，因為角與弧是兩個不同的概念，不能比較和度量.

（四）應用、歸納、反思

例1、如圖，在⊙O中，弦AB所對的劣弧為圓的 ，圓的半徑為2cm，求AB的長.

學生自主分析，寫出解題過程，交流指導.

解：（參看教材P89）

注意：學生往往重視計算結果，而忽略推理和解題步驟的嚴密性，教師要特別關注和指導.

反思：向學生滲透數形結合的重要的數學思想.所謂數形結合思想就是數與形互相轉化，圖形帶有直觀性，數則有精確性，兩者有機地結合起來才能較好地完成這個例題.

例2、如圖，已知AB和CD是⊙O的兩條直徑，弦CE∥AB，  =40°，求∠BOD的度數.

題目從“分析——解得”讓學生積極主動進行，此時教師只需強調解題要規范，書寫要準確即可.

（解答參考教材P90）

題目拓展：

1、已知：如上圖，已知AB和CD是⊙O的兩條直徑，弦CE∥AB，求證： ＝ .

2、已知：如上圖，已知AB和CD是⊙O的兩條直徑，弦 ＝ ，求證：CE∥AB.

目的：是培養學生發散思維能力，由學生自己分析證明思路，引導學生思考出不同的方法，最后交流、概括、歸納方法.

（五）小節（略）

（六）作業 ：教材P100中4、5題.

探究活動

我們已經研究過：已知點O是∠BPD的平分線上一點，以O為圓心的圓和角的兩邊所在的直線分別交于點A、B和C、D，則AB=CD ；現在，若⊙O與∠EPF的兩邊所在的直線分別交于點A、B和C、D，請你結合圖形，添加一個適當的條件，使OP為∠BPD的平分線.

解（略）

①AB=CD；

② =.（等等）