數(shù)學(xué)教案－方差

教學(xué)設(shè)計示例1

第一課時

素質(zhì)教育目標

（一）知識教學(xué)點

使學(xué)生了解方差、標準差的意義，會計算一組數(shù)據(jù)的方差與標準差.

（二）能力訓(xùn)練點

1.培養(yǎng)學(xué)生的計算能力.

2.培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.

（三）德育滲透點

1.培養(yǎng)學(xué)生認真、耐心、細致的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣.

2.滲透數(shù)學(xué)來源于實踐，又反過來作用于實踐的觀點.

（四）美育滲透點

通過本節(jié)課的教學(xué)，滲透了數(shù)學(xué)知識的抽象美及反映在圖像上的形象美，激發(fā)學(xué)生對美好事物的追求，岣哐�生�?STRONG>數(shù)學(xué)美的鑒賞力.

重點·難點·疑點及解決辦法

1.教學(xué)重點：方差概念.

2.教學(xué)難點 ：方差概念.

3.教學(xué)疑點：學(xué)生不易理解為什么要用方差去描述一組數(shù)據(jù)的波動大小，為什么不可以用各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的來和來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小呢？為什么對各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對值，而將其平方呢？對這些問題教師在剖析方差定義時要講清楚.

4.解決辦法：教師要講清方差，標準差的意義，即它們都是用來描述一組數(shù)據(jù)波動情況的特征數(shù)，常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小，我們所研究的僅是這兩組數(shù)據(jù)的個數(shù)相等，平均數(shù)相等或比較接近時的情況.

教學(xué)步驟 

（一）明確目標

前面我們學(xué)習(xí)了平均數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù)，它們都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量，這節(jié)課我們將進一步學(xué)習(xí)衡量樣本（或一組數(shù)據(jù)）和總體的另一類特征數(shù)——方差、標準差及其計算.

這種開門見山式引入課題，能迅速將學(xué)生的注意力集中起來，進入新課講解.

（二）整體感知

對于一組數(shù)據(jù)來說，我們除了關(guān)心它的集中趨勢以外，還關(guān)心它的波動大小.衡量這個波動大小的最常用的特征數(shù)，就是方差和標準差.

（三）教學(xué)過程 

1.請同學(xué)們看下面的問題：（用幻燈出示）

兩臺機床同時生產(chǎn)直徑是40毫米的零件，為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中各抽出10件進行測量，結(jié)果如下（單位：毫米）

上面表中的數(shù)據(jù)如圖所示

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中的數(shù)據(jù)和圖，提出問題：怎樣能說明在使所生產(chǎn)的10個零件的直徑符合規(guī)定方面，哪個機床做得好呢？

對于這個問題，學(xué)生會馬上想到計算它們的平均數(shù).教師可把學(xué)生分成兩級分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù).（請兩名同學(xué)到黑板計算）

計算的結(jié)果說明兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米.這時教師引導(dǎo)學(xué)生思考，這能說明兩個機床做的一樣好嗎？不能！我們再觀察上圖（給學(xué)生充分的時間觀察，找出左右兩圖的區(qū)別）從圖中看到，機床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較大，偏離40毫米線較多；機床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較小，比較集中在40毫米線的附近.這

說明，在使所生產(chǎn)的10個零件的直徑符合規(guī)定方面，機床乙比機床甲要好.

教師說明：從上面看到，對于一組數(shù)據(jù)，除需要了解它們的平均水平外，還常常需要了解它們的波動大小（即偏離平均數(shù)的大小）.

通過引例的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解為什么要研究數(shù)據(jù)波動的大小，為提出方差概念做好了準

備.

2.方差概念

教師講解，為了描述一組數(shù)據(jù)的波動大小，可以采用不止一種辦法，例如，可以先求得各個數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差的絕對值，再取其平均數(shù)，用這個平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，通常，采用的是下面的做法：

設(shè)在一組數(shù)據(jù) 中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù) 的差的平方分別是 ，那么我們用它們的平均數(shù)，即用

③

來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.一組數(shù)據(jù)方差越大，說明這組數(shù)據(jù)波動越大.教師要剖析公式中每一個元素的意義，以便學(xué)生理解和掌握.

在學(xué)生理解方差概念時，可能會提出疑問：為什么要這樣定義方差？（教師說明，在表示各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的倔離程度時，為了防止正偏差與負偏差的相互抵消）為什么對各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對值，而要將它們平方？（教師說明，這主要是因為在很多問題里，含有絕對值的式子不便于運算，且在衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的“功能”上，方差更強些）為什么要除以數(shù)據(jù)個數(shù)n？（是為了消除數(shù)據(jù)個數(shù)的影響）.

在學(xué)生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通過計算機床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，再根據(jù)理論說明哪個機床做得更好.

教師范解

從 知道，機床甲生產(chǎn)的10個零件直徑比機床乙生產(chǎn)的10個零件直徑波動要大.

這樣做使學(xué)生深刻體會到數(shù)學(xué)來源于實踐，又反過來作用實踐，不僅使學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，而且培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.

3.例1 （用幻燈出示）已知兩組數(shù)據(jù)：

甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7

乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1

分別計算這兩組數(shù)據(jù)的方差.

讓學(xué)生自己動手計算，求平均數(shù)時激發(fā)學(xué)生用簡化公式計算，找一名好學(xué)生到黑板計算.

解：根據(jù)公式②（取 ），有

從 知道，乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)波動大.

4.標準差概念

在有些情況下，需要用到方差的算術(shù)平方根

④

并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標準差.它也是一個用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小的重要的量.

教師引導(dǎo)學(xué)生分析方差與標準差的區(qū)別與聯(lián)系：

計算標準差要比計算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致，有時用它比較方便.

課堂練習(xí)  教材P165中（1）、（2）

（四）總結(jié)、擴展

知識小結(jié)：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，使我們知道了對于一組數(shù)據(jù)，有時只知道它的平均數(shù)還不夠，還需要知道它的波動大小；而描述一組數(shù)據(jù)的波動大小的量不止一種，最常用的是方差和標準差.方差與標準差這兩個概念既有聯(lián)系又有區(qū)別.

方法小結(jié)：求一組數(shù)據(jù)方差的方法；先求平均數(shù)，再利用③求方差，求一組數(shù)據(jù)標準差的方法：先求這組數(shù)據(jù)的方差，然后再求方差的算術(shù)平方根.

布置作業(yè) 

教材P173中1，2（1）（2）

板書設(shè)計 

教學(xué)設(shè)計示例2

一、教學(xué)目的

1.使學(xué)生了解方差、標準差的意義，會計算一組數(shù)據(jù)的方差與標準差.

2.使學(xué)生了解樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義.

二、教學(xué)重點、難點

重點：方差、標準差、樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義.

難點：樣本方差、樣本標準差的計算.

三、教學(xué)過程 

復(fù)習(xí)提問

計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)有哪些方法？

引入新課

在很多實際問題中，只知道一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是不夠的，還需要知道這組數(shù)據(jù)的波動大小.如何了解數(shù)據(jù)的波動大小？這正是我們要解決的問題.

新課

引例 兩臺機床同時生產(chǎn)直徑是40毫米的零件.為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中抽出10件進行測量，結(jié)果如下(單位：毫米)：

表中數(shù)據(jù)表成如下形式：

可在此處讓學(xué)生用公式②分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(還可提問學(xué)生a取什么值最好，這樣學(xué)生能在教師的啟發(fā)下得到a=40最合適).當(dāng)學(xué)生算出如下平均數(shù)：

讓學(xué)生思考，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米時，甲、乙兩機床性能是否都一樣好？提出問題讓學(xué)生議議后，再引導(dǎo)學(xué)生看圖1，讓學(xué)生認識到“機床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸編差較大，偏離40毫米線較多；機床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸的偏差較小，比較集中在40毫米線的附近.”這說明，在使所生產(chǎn)的10個零件的直徑符合規(guī)定方面，機床乙比機床甲要好.

這反映出，對一組數(shù)據(jù)，除需要了解它們的平均水平以外，還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數(shù)的大小).

在此處要告訴學(xué)生：描述一組數(shù)據(jù)的波動大小，可以采用不止一種辦法.本課介紹“方差”即是一種方法.即：

來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.

要強調(diào)“一組數(shù)據(jù)方差越大，說明這組數(shù)據(jù)波動越大”.條件許可時，還可介紹③式可表示為：

接下來可以請兩個學(xué)生計算引例中機床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差.

從0.026＞0.008可以比較出，機床甲生產(chǎn)的10個零件直徑比機床乙生產(chǎn)的10個零件直徑波動要大.(接下來教師再給出如下例題.)

例1 已知兩組數(shù)據(jù)：

分別計算這兩組數(shù)據(jù)的方差.

講此例后，要強調(diào)求解步驟為：

(1)求平均數(shù)；(2)求方差；(3)比較方差得出結(jié)論.

此后接前面問題說，用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動的方法還可用一組數(shù)據(jù)的標準差，即

公式④(即標準差)也是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的重要的量.

在本節(jié)引例中，兩組數(shù)據(jù)的標準差，可讓學(xué)生算一下，得出：

說明：計算標準差要比計算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致，有時用它比較方便.

小結(jié)

1.本課學(xué)了計算一組數(shù)據(jù)的方差的公式③.

2.本課在方差的基礎(chǔ)上又學(xué)了計算一組數(shù)據(jù)的標準差的公式④.

練習(xí)：選用課本練習(xí)題.

作業(yè) ：選用課本習(xí)題.

四、教學(xué)注意問題

要注意通過例題講好求方差題目的解題格式.

教學(xué)設(shè)計示例3

一、教學(xué)目的

1.使學(xué)生進一步理解方差、標準差的意義.

2.使學(xué)生掌握利用簡化公式計算一組數(shù)據(jù)的方差的方法.

3.使學(xué)生會根據(jù)同類問題兩組數(shù)據(jù)的方差(或標準差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況.

二、教學(xué)重點、難點

重點：簡化計算一組數(shù)據(jù)的方差公式.

難點：利用方差(或標準差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況.

三、教學(xué)過程 

復(fù)習(xí)提問

1.什么是一組數(shù)據(jù)的方差、標準差？

2.一組數(shù)據(jù)的方差和標準差應(yīng)如何計算？

引入新課

我們看到，用公式③計算一組數(shù)據(jù)的方差比較麻煩.那么，有否較簡便的計算方法呢？

新課

教師應(yīng)在黑板上進行如下推導(dǎo)：

推導(dǎo)上述公式后，可讓學(xué)生仿①～④四個公式的方法歸納推理出如下結(jié)論：

一般地，如果一組數(shù)據(jù)的個數(shù)是n，那么它們的方差可以用下面的公式計算：

在這時，教師要強調(diào)：當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)較小時，用公式⑤計算方差比公式③計算少了求各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差一步，因此比較方便.

例2 計算下面數(shù)據(jù)的方差(結(jié)果保留到小數(shù)點后第1位)：

3 -1 2 1 -3 3

教師可讓學(xué)生共同來完成此例.

接下來教師按教材指出，當(dāng)一組數(shù)據(jù)較大時，可按下述公式計算方差：

其中x₁=x₁-a，x₂=x₂-a，…，x_n=x_n-a，x₁，x₂，…，x_n是原已知的n個數(shù)據(jù)，a是接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的一個常數(shù).

為使學(xué)生對公式⑥加深印象，可讓學(xué)生用公式⑥解下例.

例3 甲、乙兩個小組各10名學(xué)生的英語口語測驗成績?nèi)缦?單位：分)：

哪個小組學(xué)生的成績比較整齊？

解后，指出解題步驟有如下三步：

(3)代入公式⑥計算方差并比較得解.

小結(jié)

1.本課介紹了當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較小時，用以計算方差的簡化計算公式⑤.

2.本課又學(xué)習(xí)了當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較大時，用以計算方差的簡化公式⑥.

練習(xí)：選用課本練習(xí)題.

作業(yè) ：選用課本習(xí)題.

補充作業(yè) 

2.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差之和為13，標準差之和為5，且甲的波動比乙的波動大，求它們各自的標準差.(答案：S_甲=3，S_乙=2.)

3.在某次數(shù)學(xué)考試中，甲、乙兩校各8個班，不及格的人數(shù)分別如下：

分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差.

四、教學(xué)注意問題

要注意給學(xué)生講如下三點：

1.方差與標準差是衡量樣本和總體波動大小的特征數(shù).

2.用簡化計算公式求方差較為方便.

3.對同類問題的兩組數(shù)據(jù)，方差小的波動小、方差大的波動大.