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數(shù)學(xué)教案-方差

數(shù)學(xué)教案-方差

教學(xué)設(shè)計示例1

第一課時

素質(zhì)教育目標

(一)知識教學(xué)點

使學(xué)生了解方差、標準差的意義,會計算一組數(shù)據(jù)的方差與標準差.

(二)能力訓(xùn)練點

1.培養(yǎng)學(xué)生的計算能力.

2.培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.

(三)德育滲透點

1.培養(yǎng)學(xué)生認真、耐心、細致的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣.

2.滲透數(shù)學(xué)來源于實踐,又反過來作用于實踐的觀點.

(四)美育滲透點

通過本節(jié)課的教學(xué),滲透了數(shù)學(xué)知識的抽象美及反映在圖像上的形象美,激發(fā)學(xué)生對美好事物的追求,岣哐?STRONG>數(shù)學(xué)美的鑒賞力.

重點·難點·疑點及解決辦法

1.教學(xué)重點:方差概念.

2.教學(xué)難點 :方差概念.

3.教學(xué)疑點:學(xué)生不易理解為什么要用方差去描述一組數(shù)據(jù)的波動大小,為什么不可以用各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的來和來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小呢?為什么對各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對值,而將其平方呢?對這些問題教師在剖析方差定義時要講清楚.

4.解決辦法:教師要講清方差,標準差的意義,即它們都是用來描述一組數(shù)據(jù)波動情況的特征數(shù),常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小,我們所研究的僅是這兩組數(shù)據(jù)的個數(shù)相等,平均數(shù)相等或比較接近時的情況.

教學(xué)步驟 

(一)明確目標

前面我們學(xué)習(xí)了平均數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù),它們都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量,這節(jié)課我們將進一步學(xué)習(xí)衡量樣本(或一組數(shù)據(jù))和總體的另一類特征數(shù)——方差、標準差及其計算.

這種開門見山式引入課題,能迅速將學(xué)生的注意力集中起來,進入新課講解.

(二)整體感知

對于一組數(shù)據(jù)來說,我們除了關(guān)心它的集中趨勢以外,還關(guān)心它的波動大小.衡量這個波動大小的最常用的特征數(shù),就是方差和標準差.

(三)教學(xué)過程 

1.請同學(xué)們看下面的問題:(用幻燈出示)

兩臺機床同時生產(chǎn)直徑是40毫米的零件,為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量,從產(chǎn)品中各抽出10件進行測量,結(jié)果如下(單位:毫米)

機床甲

40

39.8

40.1

40.2

39.9

40

40.2

39.8

40.2

39.8

機床乙

40

40

39.9

40

39.9

40.2

40

40.1

40

39.9

上面表中的數(shù)據(jù)如圖所示

 

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中的數(shù)據(jù)和圖,提出問題:怎樣能說明在使所生產(chǎn)的10個零件的直徑符合規(guī)定方面,哪個機床做得好呢?

對于這個問題,學(xué)生會馬上想到計算它們的平均數(shù).教師可把學(xué)生分成兩級分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù).(請兩名同學(xué)到黑板計算)

計算的結(jié)果說明兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米.這時教師引導(dǎo)學(xué)生思考,這能說明兩個機床做的一樣好嗎?不能!我們再觀察上圖(給學(xué)生充分的時間觀察,找出左右兩圖的區(qū)別)從圖中看到,機床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較大,偏離40毫米線較多;機床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較小,比較集中在40毫米線的附近.這

說明,在使所生產(chǎn)的10個零件的直徑符合規(guī)定方面,機床乙比機床甲要好.

教師說明:從上面看到,對于一組數(shù)據(jù),除需要了解它們的平均水平外,還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數(shù)的大小).

通過引例的學(xué)習(xí),使學(xué)生理解為什么要研究數(shù)據(jù)波動的大小,為提出方差概念做好了準

備.

2.方差概念

教師講解,為了描述一組數(shù)據(jù)的波動大小,可以采用不止一種辦法,例如,可以先求得各個數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差的絕對值,再取其平均數(shù),用這個平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小,通常,采用的是下面的做法:

設(shè)在一組數(shù)據(jù) 中,各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù) 的差的平方分別是 ,那么我們用它們的平均數(shù),即用

來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小,并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.一組數(shù)據(jù)方差越大,說明這組數(shù)據(jù)波動越大.教師要剖析公式中每一個元素的意義,以便學(xué)生理解和掌握.

在學(xué)生理解方差概念時,可能會提出疑問:為什么要這樣定義方差?(教師說明,在表示各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的倔離程度時,為了防止正偏差與負偏差的相互抵消)為什么對各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對值,而要將它們平方?(教師說明,這主要是因為在很多問題里,含有絕對值的式子不便于運算,且在衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的“功能”上,方差更強些)為什么要除以數(shù)據(jù)個數(shù)n?(是為了消除數(shù)據(jù)個數(shù)的影響).

在學(xué)生理解了方差概念之后,再回到了引例中,通過計算機床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差,再根據(jù)理論說明哪個機床做得更好.

教師范解

從 知道,機床甲生產(chǎn)的10個零件直徑比機床乙生產(chǎn)的10個零件直徑波動要大.

這樣做使學(xué)生深刻體會到數(shù)學(xué)來源于實踐,又反過來作用實踐,不僅使學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣,而且培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.

3.例1 (用幻燈出示)已知兩組數(shù)據(jù):

甲:9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7

乙:10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1

分別計算這兩組數(shù)據(jù)的方差.

讓學(xué)生自己動手計算,求平均數(shù)時激發(fā)學(xué)生用簡化公式計算,找一名好學(xué)生到黑板計算.

解:根據(jù)公式②(取 ),有

從 知道,乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)波動大.

4.標準差概念

在有些情況下,需要用到方差的算術(shù)平方根

并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標準差.它也是一個用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小的重要的量.

教師引導(dǎo)學(xué)生分析方差與標準差的區(qū)別與聯(lián)系:

計算標準差要比計算方差多開一次平方,但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致,有時用它比較方便.

課堂練習(xí)  教材P165中(1)、(2)

(四)總結(jié)、擴展

知識小結(jié):通過這節(jié)課的學(xué)習(xí),使我們知道了對于一組數(shù)據(jù),有時只知道它的平均數(shù)還不夠,還需要知道它的波動大小;而描述一組數(shù)據(jù)的波動大小的量不止一種,最常用的是方差和標準差.方差與標準差這兩個概念既有聯(lián)系又有區(qū)別.

方法小結(jié):求一組數(shù)據(jù)方差的方法;先求平均數(shù),再利用③求方差,求一組數(shù)據(jù)標準差的方法:先求這組數(shù)據(jù)的方差,然后再求方差的算術(shù)平方根.

布置作業(yè) 

教材P173中1,2(1)(2)

板書設(shè)計 

14.3  方差(一)

方差公式③ 引例 例1

標準差公式④

教學(xué)設(shè)計示例2

一、教學(xué)目的

1.使學(xué)生了解方差、標準差的意義,會計算一組數(shù)據(jù)的方差與標準差.

2.使學(xué)生了解樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義.

二、教學(xué)重點、難點

重點:方差、標準差、樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義.

難點:樣本方差、樣本標準差的計算.

三、教學(xué)過程 

復(fù)習(xí)提問

計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)有哪些方法?

引入新課

在很多實際問題中,只知道一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是不夠的,還需要知道這組數(shù)據(jù)的波動大小.如何了解數(shù)據(jù)的波動大小?這正是我們要解決的問題.

新課

引例 兩臺機床同時生產(chǎn)直徑是40毫米的零件.為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量,從產(chǎn)品中抽出10件進行測量,結(jié)果如下(單位:毫米):

 

表中數(shù)據(jù)表成如下形式:

可在此處讓學(xué)生用公式②分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(還可提問學(xué)生a取什么值最好,這樣學(xué)生能在教師的啟發(fā)下得到a=40最合適).當(dāng)學(xué)生算出如下平均數(shù):

讓學(xué)生思考,兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米時,甲、乙兩機床性能是否都一樣好?提出問題讓學(xué)生議議后,再引導(dǎo)學(xué)生看圖1,讓學(xué)生認識到“機床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸編差較大,偏離40毫米線較多;機床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸的偏差較小,比較集中在40毫米線的附近.”這說明,在使所生產(chǎn)的10個零件的直徑符合規(guī)定方面,機床乙比機床甲要好.

這反映出,對一組數(shù)據(jù),除需要了解它們的平均水平以外,還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數(shù)的大小).

在此處要告訴學(xué)生:描述一組數(shù)據(jù)的波動大小,可以采用不止一種辦法.本課介紹“方差”即是一種方法.即:

來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小,并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.

要強調(diào)“一組數(shù)據(jù)方差越大,說明這組數(shù)據(jù)波動越大”.條件許可時,還可介紹③式可表示為:

接下來可以請兩個學(xué)生計算引例中機床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差.

從0.026>0.008可以比較出,機床甲生產(chǎn)的10個零件直徑比機床乙生產(chǎn)的10個零件直徑波動要大.(接下來教師再給出如下例題.)

例1 已知兩組數(shù)據(jù):

分別計算這兩組數(shù)據(jù)的方差.

 

講此例后,要強調(diào)求解步驟為:

(1)求平均數(shù);(2)求方差;(3)比較方差得出結(jié)論.

此后接前面問題說,用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動的方法還可用一組數(shù)據(jù)的標準差,即

公式④(即標準差)也是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的重要的量.

在本節(jié)引例中,兩組數(shù)據(jù)的標準差,可讓學(xué)生算一下,得出:

說明:計算標準差要比計算方差多開一次平方,但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致,有時用它比較方便.

小結(jié)

1.本課學(xué)了計算一組數(shù)據(jù)的方差的公式③.

2.本課在方差的基礎(chǔ)上又學(xué)了計算一組數(shù)據(jù)的標準差的公式④.

練習(xí):選用課本練習(xí)題.

作業(yè) :選用課本習(xí)題.

四、教學(xué)注意問題

要注意通過例題講好求方差題目的解題格式.

教學(xué)設(shè)計示例3

一、教學(xué)目的

1.使學(xué)生進一步理解方差、標準差的意義.

2.使學(xué)生掌握利用簡化公式計算一組數(shù)據(jù)的方差的方法.

3.使學(xué)生會根據(jù)同類問題兩組數(shù)據(jù)的方差(或標準差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況.

二、教學(xué)重點、難點

重點:簡化計算一組數(shù)據(jù)的方差公式.

難點:利用方差(或標準差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況.

三、教學(xué)過程 

復(fù)習(xí)提問

1.什么是一組數(shù)據(jù)的方差、標準差?

2.一組數(shù)據(jù)的方差和標準差應(yīng)如何計算?

引入新課

我們看到,用公式③計算一組數(shù)據(jù)的方差比較麻煩.那么,有否較簡便的計算方法呢?

新課

教師應(yīng)在黑板上進行如下推導(dǎo):

 

 

推導(dǎo)上述公式后,可讓學(xué)生仿①~④四個公式的方法歸納推理出如下結(jié)論:

一般地,如果一組數(shù)據(jù)的個數(shù)是n,那么它們的方差可以用下面的公式計算:

在這時,教師要強調(diào):當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)較小時,用公式⑤計算方差比公式③計算少了求各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差一步,因此比較方便.

例2 計算下面數(shù)據(jù)的方差(結(jié)果保留到小數(shù)點后第1位):

3 -1 2 1 -3 3

教師可讓學(xué)生共同來完成此例.

接下來教師按教材指出,當(dāng)一組數(shù)據(jù)較大時,可按下述公式計算方差:

其中x1=x1-a,x2=x2-a,…,xn=xn-a,x1,x2,…,xn是原已知的n個數(shù)據(jù),a是接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的一個常數(shù).

為使學(xué)生對公式⑥加深印象,可讓學(xué)生用公式⑥解下例.

例3 甲、乙兩個小組各10名學(xué)生的英語口語測驗成績?nèi)缦?單位:分):

哪個小組學(xué)生的成績比較整齊?

解后,指出解題步驟有如下三步:

(3)代入公式⑥計算方差并比較得解.

小結(jié)

1.本課介紹了當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較小時,用以計算方差的簡化計算公式⑤.

2.本課又學(xué)習(xí)了當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較大時,用以計算方差的簡化公式⑥.

練習(xí):選用課本練習(xí)題.

作業(yè) :選用課本習(xí)題.

補充作業(yè) 

2.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差之和為13,標準差之和為5,且甲的波動比乙的波動大,求它們各自的標準差.(答案:S=3,S=2.)

3.在某次數(shù)學(xué)考試中,甲、乙兩校各8個班,不及格的人數(shù)分別如下:

分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差.

四、教學(xué)注意問題

要注意給學(xué)生講如下三點:

1.方差與標準差是衡量樣本和總體波動大小的特征數(shù).

2.用簡化計算公式求方差較為方便.

3.對同類問題的兩組數(shù)據(jù),方差小的波動小、方差大的波動大.


 

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